02Aluno (a): _____________________________________Professor Cau Fsica 06/02/20141 Srie

01) Vetores:

Algumas grandezas ficam totalmente determinadas por um valor numrico e uma unidade; tais grandezas so chamadas escalares. Como exemplo podemos citar o comprimento, o volume, a massa, a densidade, a temperatura. No entanto, h outras grandezas que, alm do valor numrico e da unidade, necessitam de uma informao geomtrica que nos d a orientao espacial dessa grandeza (direo e sentido). As grandezas que necessitam dessa informao geomtrica so chamadas vetoriais. Como exemplo de grandezas vetoriais podemos citar o deslocamento, a velocidade, a acelerao, a fora. Vetor: o conjunto de um mdulo, uma direo e um sentido, utilizado em Fsica para representar as grandezas vetoriais. P(extremidade)

(origem) OObservao: Para que dois ou mais vetores sejam iguais, eles devero ter o mesmo mdulo, a mesma direo e o mesmo sentido.Observao: Se dois vetores ou mais tm o mesmo mdulo, a mesma direo, mas sentidos opostos so chamados de vetores opostos.

02) RELAO ENTRE VETORES:

Dada os vetores , observe a relao entre eles:

, ,, e

03) Operao com vetores:

Vetor Soma ou vetor resultante:

Regra do polgono: na regra do polgono utilizada na soma de vetores, somamos os vetores colocando a origem de um vetor na extremidade do outro, sendo o vetor resultante o vetor que sai da origem da soma e vai at a extremidade.

Observao: toda vez que tivermos uma linha poligonal fechada de soma de vetores, o vetor resultante ser zero.

Observao: somar vetores no somar valores, pois devemos somar o mdulo, a direo e o sentido.Observao: a ordem da soma dos vetores no interfere no resultado da soma. Regra do paralelogramo: na regra do paralelogramo utilizada na soma de vetores, somamos (dois vetores) os vetores colocando as origens em um mesmo ponto, traamos retas paralelas aos vetores e ligamos a origem dos vetores ao cruzamento das retas paralelas aos vetores.

Casos particulares:

1. Dois vetores na mesma direo e no mesmo sentido ( = 0): toda vez que tivermos dois vetores na mesma direo e no mesmo sentido, o vetor soma ser dado pela soma dos vetores.

2. Dois vetores na mesma direo e sentidos opostos ( = 180): toda vez que tivermos dois vetores na mesma direo e em sentidos opostos, o vetor soma ser dado pela diferena dos vetores.

3. Dois vetores perpendiculares entre si ( = 90): toda vez que tivermos dois vetores perpendiculares entre si, o vetor soma ser dado pelo Teorema de Pitgoras.

4. Dois vetores de mesmo mdulo formando entre si um ngulo de 120 : toda vez que tivermos dois vetores de mesmo mdulo formando um ngulo de 120 entre si, o vetor resultante ser sempre igual aos vetores que o formaram.

5.

Dois vetores de mesmo mdulo formando entre si um ngulo de 60 : toda vez que tivermos dois vetores de mesmo mdulo formando um ngulo de 60 entre si, o vetor resultante ser sempre igual ao mdulo dos vetores que o formaram multiplicado por .

6. Trs vetores de mesmo mdulo, coplanares, formando entre si ngulos de 120: toda vez que tivermos trs vetores de mesmo mdulo, coplanares e formando entre si ngulos de 120 o vetor resultante ser sempre igual zero.

Intervalo de valores do vetor soma: como somar vetores no somar valores, temos:

1. Intervalo para a soma de dois vetores: para dois vetores o valor mnimo ser dado pela diferena dos vetores (sempre o maior menos o menor) e o mximo ser dado pela soma dos vetores.

2. Intervalo para a soma de trs ou mais vetores: neste caso devemos lembrar que podemos formar um polgono fechado de soma de vetores, assim o intervalo de valores do vetor soma poder ter soma de no mnimo zero e no mximo a soma dos valores dos vetores. Uma regra simples para saber o valor mnimo da soma de vetores pegar o vetor de maior valor e subtrair da soma dos outros vetores, se o valor for negativo ou zero, o mnimo ser zero, e se o valor for positivo esse ser o valor mnimo.

Subtrao de vetores: a subtrao de vetores ou vetor diferena, nada mais que a soma de vetores, mas utilizando-se de um vetor oposto.

Observao: uma dica para saber o sentido do vetor diferena; basta lembrar que o vetor diferena fecha sempre o polgono, desta forma ele sempre saindo do vetor que est negativo.

Decomposio de um vetor: uma das possveis formas de decompor o vetor na forma de componentes perpendiculares entre si.

Versores ou vetores unitrios: podemos fazer a representao de um vetor em funo de e , vamos chamar os coeficientes e de componentes do vetor de vetores unitrios, mdulo igual a um.

Da figura temos:

04) Deslocamento vetorial:

O deslocamento vetorial sempre conecta duas posies na trajetria. Sua origem coincide com o ponto de partida da partcula e sua extremidade (ou ponta) aguada, com o ponto de chegada.

Observao: o mdulo do vetor deslocamento || sempre menor ou igual ao mdulo da variao do espao |S|.

05) Velocidade vetorial:

Velocidade vetorial mdia: denominada velocidade vetorial mdia o quociente do vetor deslocamento pelo tempo gasto nesse deslocamento.

Observao: o mdulo do vetor velocidade vetorial mdia sempre menor ou igual ao mdulo da velocidade escalar mdia .

Velocidade vetorial instantnea: a velocidade vetorial para um pequeno intervalo de tempo.

Caractersticas de :

Mdulo: igual ao mdulo da velocidade escalar instantnea; Direo: a da reta tangente trajetria no ponto considerado; Sentido: o mesmo do movimento.Observao: quando se fala em velocidade vetorial e no se esclarece se mdia ou instantnea, admite-se que se trata da instantnea.Observao: Quando se fala em velocidade e no se d nenhuma outra informao, admite-se que se trata da velocidade vetorial.

06) Acelerao vetorial:

Acelerao vetorial mdia: denominada acelerao vetorial mdia o quociente do vetor variao da velocidade pelo tempo gasto.

Acelerao vetorial instantnea: a acelerao vetorial para um pequeno intervalo de tempo.

Observao: se , teremos constante, o que significa que: ou a partcula est em repouso, ou est em movimento retilneo uniforme. Se , consideremos dois casos:

Trajetria retilnea: nesse caso o vetor tem a mesma direo da trajetria e mdulo igual ao mdulo da acelerao escalar . Se o movimento for acelerado, ter o mesmo sentido da velocidade vetorial ; se o movimento for retardado, ter sentido contrrio ao de .

Trajetria curvilnea: nesse caso o vetor aponta para dentro da curva e pode ser decomposta em duas aceleraes componentes, uma componente tangente trajetria, chamada acelerao tangencial , e outra componente normal trajetria, chamada acelerao normal ou centrpeta .

Acelerao tangencial: a acelerao tangencial responsvel pela variao da intensidade do vetor velocidade. A acelerao tangencial s ocorre em movimentos com variao do valor da velocidade.

Mdulo: igual ao mdulo da acelerao escalar instantnea; Direo: a da reta tangente trajetria no ponto considerado;

Sentido: o mesmo do de se o movimento for acelerado; e contrrio a se o movimento for retardado. Acelerao centrpeta: a acelerao centrpeta a responsvel pela variao da direo da velocidade vetorial. A acelerao centrpeta s ocorre em movimentos curvilneos. Mdulo: , em que R o raio da trajetria; e a velocidade angular. Direo: da reta normal; Sentido: sempre para o centro da trajetria.

07) Quadro resumo:

Segue abaixo um quadro resumo sobre a velocidade e acelerao vetorial.

08) Velocidade relativa :

A velocidade relativa entre dois mveis um vetor diferena, assim:

A em relao a B: B em relao a A:

Observao: se os mveis esto no mesmo sentido, as velocidades escalares se subtraem (1); se os mveis esto em sentido contrrios, as velocidades escalares se somam (2).

09) Composio de movimentos:

s vezes o movimento de um corpo pode ser analisado como a superposio de dois ou mais movimentos. Desta forma a composio de movimento uma soma de vetores.

Casos particulares notveis:

O barco desce o rio (navega a favor da correnteza); homem andando no sentido da escada rolante (esteira):

O barco sobe o rio (navega contra a correnteza); homem andando no sentido oposto da escada rolante (esteira):

O barco dirigido perpendicularmente correnteza; homem andando perpendicularmente a escada rolante (esteira):

Roda com movimentos de translao e rotao sem escorregar:

01) Com seis vetores de mdulos iguais a 8u, construiu-se o hexgono regular a seguir. O mdulo do vetor resultante dos seis vetores :

a) zero; b) 16u; c) 24u; d) 32u; e) 40u.

02) (FAAP) A intensidade da resultante entre duas foras concorrentes, perpendiculares entre si, de 75N. Sendo a intensidade de uma das foras igual a 60N, calcule a intensidade da outra.

03) Na figura, temos trs vetores coplanares formando uma linha poligonal fechada. A respeito vale a relao:

04) Dados os vetores a melhor representao para o vetor :

05) (UFRN) Qual o mdulo da resultante das foras coplanares aplicadas ao ponto O, como mostra na figura abaixo?

06) Considere dois vetores, de mdulos respectivamente iguais a 10u e 15u. Qual o intervalo de valores admissveis para o mdulo do vetor

07) Dois vetores de mesma origem, formam entre si um ngulo = 600. Se os mdulos desses vetores so u = 7u e v = 8u, qual o mdulo do vetor soma?

08) Determine o mdulo do vetor soma de com em cada caso:

09) Considere trs vetores coplanares de mdulos iguais a x e com origem coincidentes num ponto O Calcule o mdulo do vetor resultante da soma nos dois casos esquematizados.

10) Os vetores da figura tm mdulos respectivamente iguais a 24u e 21u. Qual o mdulo do vetor soma

11) Dados os vetores representados. Considerando a= 7u e b = 8u, pede-se:

a) represente os vetores .b) e c) calcule os mdulos de .

12) Considere duas foras de intensidades respectivamente iguais a 18N e 12N, aplicadas numa partcula P. A resultante no pode ter intensidade igual a:

a) 30N. b) 18N. c) 12N. d) 6N. e) 3N.

13) No plano quadriculado abaixo, esto representados cinco vetores: Aponte a alternativa incorreta:

14) Escreva em cada caso a expresso vetorial d os vetores .

15) No esquema esto representados os vetores A relao vetorial correta entre esses vetores :

16) A soma de dois vetores perpendiculares entre si tem mdulo igual a Se o mdulo de um deles o dobro do mdulo do outro, qual o mdulo do maior?

17) Duas foras eesto aplicadas sobre uma partcula, de modo que a fora resultante perpendicular a Se e , qual o ngulo entre e?

18) Considere duas foras e com intensidade respectivamente iguais a 12N e 5,0N. Calcule a intensidade das foras e nos seguintes casos:

a) e tm a mesma direo e sentidos opostos;

b) e so perpendiculares.

19) Dois vetores e , cujas direes so desconhecidas, tm mdulos dados por e . Sendo s a soma desses vetores:

a) o mximo valor possvel de ; b) o mnimo valor possvel de .

20) (UnB-DF) Considere um relgio com mostrador circular de 10cm de raio e cujo ponteiro dos minutos tem comprimento igual ao raio do mostrador. Considere esse ponteiro como um vetor de origem no centro do relgio e direo varivel. O mdulo da soma dos trs vetores determinados pela posio desse ponteiro quando o relgio marca exatamente 12h, 12h20min e, por fim, 12h40min , em cm, igual a:

a) 30; b) ; c) 20; d) zero.

21) A soma de dois vetores cujos mdulos so 12 e 18 tem certamente o mdulo compreendido entre:

a)29 e 31; b)12 e 18; c)6 e 18; d)6 e 30; e)12 e 30.

22) (F.C. CHAGAS) Qual a relao entre os vetores representados?

a)

b)

c)

d)

e)

23) (Unifesp) Na figura, so dados os vetores ,e . Sendo u a unidade de medida do mdulo desses vetores, pode-se afirmar que o vetor tem mdulo :

a) 2u, e sua orientao vertical, para cima.b) 2u, e sua orientao vertical, para baixo.c) 4u, e sua orientao horizontal, para a direita.d) 2u, e sua orientao forma 45 com a horizontal, no sentido horrio.e) 2u, e sua orientao forma 45 com a horizontal, no sentido anti-horrio.

24) (CES/2001) Sendo o vetor perpendicular ao vetor , a soma vetorial (+) e a diferena (-) sero sempre vetores:

a) iguais; b) de mdulos iguais; c) de sentidos opostos;d) perpendiculares; e) de direes iguais.

25) (FMTM/2006) A figura apresenta uma rvore vetorial cuja resultante da soma de todos os vetores representados tem mdulo, em cm, igual a:

a) 8. b) 26. c) 34. d) 40. e) 52.

26) (UFC/CE/2006) Analisando a disposio dos vetores , , , e , conforme figura abaixo, assinale a alternativa que contm a relao vetorial correta.

a) d)

b) e)

c)

27) Dados os vetores abaixo determine o valor mximo e mnimo do vetor soma:

a) ; b) ; c) ; d) .

GABARITO:

01) D; 02) 45N; 03) C; 04) D; 05) 5N; 06) 5 e 25; 07) 13u; 08) a) 140u; b) 20u; c) 100u; 09) a) x; b) 0; 10) 39u; 11) a) em sala; b) 13u; 12) E; 13) E; 14) a) ; b) ; c) ; 15) A; 16) 4; 17) 120; 18) a) = 7N e =17N; b) 13N; 19) a) 33; b) 7; 20) D; 21) D; 22) B; 23) B; 24) B; 25) D; 26) C; 27) a) Smn = 4u e Smx = 10u; b) Smn = 0 e Smx = 12u; c) Smn = 1u e Smx = 15u; d) Smn = 0 e Smx = 24u.www.colegiosimbios.com.br1

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