2장주파수해석 - skhurion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-8.pdf푸리에급수표현...

통신이론

2장 주파수 해석

1

성공회대학교

정보통신공학과

제2장의 구성

2.1 시간 영역과 주파수 영역

2.2 푸리에 해석

2.3 푸리에 급수

2.4 푸리에 변환

2.5 특이함수 모델

2.6 푸리에 변환 쌍

2.7 푸리에 변환과 관련된 정리들

2

2.1 시간영역과주파수영역

3

y 진폭

x 시간

y 진폭

x 주파수

시간영역에서의 표현

주파수영역에서의 표현

시간 영역과 주파수 영역

통신에서의 신호

- 시간의 흐름에 따라 전압, 전류, 또는 전력의 변화량을 나타낸 것

신호를 표시할 수 있는 방법

4


물리적으로 같은 신호를 서로 다른 관점에서 관찰

5


6

전기신호의 파형을 관측하는 장비

오실로스코우프 (Oscilloscope)

- 시간 영역에서 신호를 관찰하는 장비

스펙트럼 해석기 (Spectrum analyzer)

- 주파수 영역에서 신호를 관찰하는 장비

※출처: www.bbc.co.uk/blogs/researchanddevelopment/2012/04/goodbye-analogue-telly-hello-d.shtml

TV방송의 스펙트럼 예

7


8

※ 통신에서는 주파수 영역을 자주 사용

ex) FM방송 반송파(carrier)

반송파를 중심으로에너지가 집중되어 있다

89.1MHz 91.9MHz


푸리에 변환을 이용해 시간 영역의 신호를 주파수영역(domain)으로 옮겨서 해석하는 것이 편리

9

함수의 가감승제

함수의 덧셈

11

)(1

tft

t

)(2

tf

)()(21

tftf

t


함수의 곱셈

12

)(1

tft

t

)(2

tf

)()(21

tftf

t


함수의 나눗셈

13

ttf )(1

t

t

ttf sin)(2

t

)(

1)()()(

1

212tf

tftftf

tttftf

1sin)()(

12

)(

1

1tf


Sinc함수

14

)(sinc 형sin

)(Sa 형sin

xx

x

xx

x


Sa 함수

15


Sinc 함수

16

함수의 미분적분

미분

17

)(tx

t

1

10

0,0

0,sin)(

t

ttty

t

1

0

?)(

)( dt

tdxtx

t

1

10t

1

0

?)( ty

2

12 2

2


미분

19

)(tx

t

1

10

0,0

0,cos)(

t

ttty

t

1

0

?)(

)( dt

tdxtx

t

1

10t

1

0

?)( ty

2

12

2

2


적분

21

)(tx

t

1

10t

1

?)( dttx

t

1

10

?)( dtty

3

31

0

t

1

1

0

1)( ty

1 22 12

2


Cos의 적분 예

22

𝑓(𝑥) = cos 𝑥 𝐹(𝑥) = 0

𝑥

cos 𝑡 𝑑𝑡


미분/적분

24

)(tx

t0

dt

dt

)(tx

t10 3 4

t10 3 4

)(tx

2

2

복소수의 계산

복소수의 덧셈과 곱셈

28

A

0 1

j

실수

허수

j

j

ejB

ejA

21

21B

1

? BA

? BA

※ http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/ttrig.html

6

3

4

2

j

j

eB

eAex)

𝜑 0𝜋

6

𝜋

4

𝜋

3

𝜋

2

sin 𝜑 01

2

2

2

3

21

cos𝜑 13

2

2

2

1

20

tan𝜑 01

31 3 ∞

복소수의 계산

복소수의 뺄셈과 나눗셈

29

A

0 1

j

실수

허수

j

j

ejB

ejA

21

21B

1

? BA

? BA

※ ?2j

복소지수함수

복소지수함수를 실수와 허수의 성분으로 표시하면

30

te

te

e

tj

tj

tj

0

0

sinIm

cosRe

0

0

0

t

실수

허수

t0

tje 0

1

j

j

1

※출처: http://theta.tistory.com/32

복소지수함수

복소지수함수를 실수와 허수의 성분으로 표시하면

31

te

te

e

tj

tj

tj

0

0

sinIm

cosRe

0

0

0

실수

허수

t0

tje 0

1

j

j

1

2.2 푸리에해석

32

푸리에 해석

푸리에(Fourier) 해석

주파수해석이라고도 한다.• 주파수영역에서 통신신호를 해석하는 것

푸리에 급수나 푸리에 변환을 통해 신호의 주파수특성을 얻고자 하는 것• 푸리에 급수 : 주기함수를 해석

• 푸리에 변환 : 주기함수를 포함한 모든 함수를 해석

주파수 스펙트럼(frequency spectrum)

시간 영역의 신호를 주파수 영역에서 나타내어 진폭이나 위상 특성을 주파수의 함수로 표현한 것

33

각 신호가 포함하고 있는 주파수와 그들의 크기로 표시하는 영역

주기함수와 푸리에 급수

푸리에 급수(Fourier series)

주기함수의 주파수 스펙트럼을 구한다.• 기본 주파수 ω0의 배수 nω0(n은 정수)에 대응하는 고조

파의 간격으로 나타나는 이산적인 주파수 스펙트럼

34

일반 함수와 푸리에 변환

푸리에 변환(Fourier transform)

일반적인 함수의 주파수 스펙트럼을 구한다.• 이산치가 아닌 연속적인 함수의 형태

• 비주기함수는 고조파의 간격이 f0=0

35

※비주기함수의주기를∞로 둠

푸리에 해석의 주파수 특성

(－) 주파수 대역은 존재하는가? 물리적으로는 실제로 존재하지 않는다.

수학적으로만 (－) 주파수 대역이 나타나는 것• (cf.) i=√-1 허수의 존재는? ⇒ 수학적으로만 도입

주파수 특성에서 진폭 스펙트럼은 우함수진폭 스펙트럼은 ω=0 축에 대해 대칭• (－) 주파수 대역은 (＋) 주파수 대역과 좌우 대칭

신호의 전력을 계산할 때는 (－) 주파수 대역도 포함• 시간 영역과 주파수 영역이 서로 같은 신호를 두고 해석

했기 때문에 영역이 달라도 같은 전력 값이 계산

36

2.3 푸리에급수

37

급수

급수(series)어떤 함수를 다른 함수의 합으로 표현할 때 사용• 급수 전개 : 어떤 함수를 다른 함수 합으로 수식을 펼쳐

표현하는 것

보통은 무한급수⇒ 한정된 원소의 합은 근사식

통신신호 해석에서의 Fourier 급수주기신호의 주파수 성분을 구하기 위해

“여러가지 주파수 성분을 갖는 함수의 합”으로 표현

38

100

100

)()()()( tgtftgtfnn (2.3)

푸리에 급수 표현

푸리에 급수(Fourier series) 프랑스 수학자 푸리에 (Jean Baptiste Joseph Fourier)

“임의의 주기함수는 사인과 코사인의 무한급수로전개됨”을 최초로 증명

사인 급수(sine series) 혹은 코사인 급수(cosine series)라고도 한다.

※ 시간적으로 주기적인 신호

- Fourier급수로 해석해서 주파수영역에서의 신호의

진폭 및 위상특성을 얻을 수 있다.

39


주기가 T인 주기함수의 정의:

모든 t에 대해서

40

)(tf

t

)( Ttf

T

ex) 삼각함수,상수

t


41

고조파 (Harmonics)

- 기본파의 정수배를

가지는 파동

n차고조파

- 주파수가 n배인 파동

※어떠한 형태의 일정한 주기를 갖는 비정현파를 분해하면

각기 다른 진폭의 일정한 주기를 갖는 정현파 성분을 얻음


f(t)가 주기함수라면

주기함수는 여러 가지 주파수 성분을 갖는 신호들이 더해진 합성파의 형태

Fourier 급수 표현

푸리에 급수는 각기 다른 주파수 성분을 분리한다.• ω0=2π/T : 기본 주파수

• a0 : 직류성분(ω=0)

• ω0 포함신호 : 기본파(fundamental wave) 성분

• 2ω0 포함신호 : 2차 고조파(second harmonics) 성분

• nω0 포함신호 : n차 고조파(nth harmonics) 성분 42

Tff

T

1,2

2000

1

0

1

00

00201

002010

sincos

sin2sinsin

cos2coscos)(

n

n

n

n

n

n

tnbtnaa

tnbtbtb

tnatataatf

(2.5)


푸리에 급수

43

푸리에 계수 (an, bn)

tnan 0

cos 2

t

tnbn 0sin

t2

3

3

2n

a

3n

b

1

000

n

nntnbtnaatf sincos)(

푸리에 계수 구하기

주기함수의 푸리에 급수 표현

푸리에 계수(coefficient)

위 식에서 a0, an, bn

푸리에 급수를 전개하는 것은 결국 푸리에 계수를구하는 것

44

22)(

nnbafF

n

n

a

bf

1tan)(

1

000

n

nntnbtnaatf sincos)( (2.6)


계수를 구하는 과정 (a0) f(t)를 한 주기 구간 동안적분

45

Ta

tadtadtadta

dttnbdttnadta

dttnbtnaadttf

TTTT

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

n

n

n

n

n

nn

0

000

00

00

0

1

0

1

0

1

000

2222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2122

sincos

sincos)(

2

2

)(1

0

T

T

dttfT

a (2.7) f(t)의 평균치

0 0


46

0sin2

0sin2

sin2

sin1

2

cos2cos

0

00

000

000

2

22

2

nn

Tn

n

tnn

dttndttn

T

TT

T

BAB

A

BA

B

A

axa

dxax

axa

dxax

sin1

cos

cos1

sin

※

0sin2

2

0

T

T

dttn

우함수

기함수

2

T

2

T

t

2

T

2

T

t

같은 구간 한 주기 적분 0

n=1


계수를 구하는 과정 (an) 양변에 고조파 를곱하여 한 주기 동안 적분

47

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

00

1

0000

1

00

1

0000

0

1

0000

cossincoscoscos

cossincoscoscos

cossincoscos)(

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

dttktnbdttktnadttka

dttktnbtktnatka

dttktnbtnaadttktf

n

n

n

n

n

n

n

n

n

nn

0

tk 0cos

기함수

※ (n=k) 을 제외한 나머지는 모두 0이됨

Ta

dta

dttkadttka

dttktkbdttktka

kk

kk

kk

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

21

2)2cos1(

2

1cos

cossincoscos

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

00

2

0000

0

0


계수를 구하는 과정 (an) 양변에 고조파 를곱하여 한 주기 동안 적분

48

2

2

2

2

0

0

cos)(2

2cos)(

T

T

T

T

dttntfT

a

Ta

dttntf

n

n

(2.8) f(t)와 cosnω0t 곱의 평균치

dxnxxfa

ncos)(

1※ 𝑥 = 𝜔0𝑡 , (𝑑𝑥 = 𝜔0𝑑𝑡)로 나타내면

tk 0cos


계수를 구하는 과정 (bn) 양변에 고조파 를곱하여 한 주기 동안 적분

49

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

00

1

0000

1

00

1

0000

0

1

0000

sinsinsincossin

sinsinsincossin

sinsincossin)(

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

dttktnadttktnadttka

dttktnbtktnatka

dttktnbtnaadttktf

n

n

n

n

n

n

n

n

n

nn

0

tk 0sin

기함수

※ (n=k) 을 제외한 나머지는 모두 0이됨

Tb

dtb

dttkbdttkb

dttktkbdttktka

kk

kk

kk

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

21

2)2cos1(

2

1sin

sinsinsincos

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

00

2

0000

0

0


계수를 구하는 과정 (bn) 양변에 고조파 를곱하여 한 주기 동안 적분

50

2

2

2

2

0

0

sin)(2

2sin)(

T

T

T

T

dttntfT

b

Tb

dttntf

n

n

(2.9) f(t)와 sinnω0t 곱의 평균치

dxnxxfb

nsin)(

1

tk 0sin

※ 𝑥 = 𝜔0𝑡 , (𝑑𝑥 = 𝜔0𝑑𝑡)로 나타내면


주기함수의 한 주기 구간 표시

[t : 0↗T]일 때 [x : 0↗2π]이므로

①,③ 구간 표현을 사용했을 때 푸리에 계수 공식은

51

Fourier 급수의 다양한 형태

Fourier 급수를 삼각함수의 합성으로 표현

52

Sine 이나 Cosine 항으로 묶어서 표현할 수 있다

1

000sincos)(

n

nntnbtnaatf

tnc

tnctnc

tnbtna

nn

nnnn

nn

0

00

00

sin

sincoscossin

sincos

where

n

n

n

nnn

nnn

b

a

cb

ca1

tan,cos

sin

)tan,,(,sin)(122

1

00

n

n

nnnn

n

nnb

abactncatf 단

Sine 항으로 묶은 경우


53

1

000sincos)(

n

nntnbtnaatf

nn

nnnn

nn

tnd

tndtnd

tnbtna

0

00

00

cos

sinsincoscos

sincos

where

n

n

n

nnn

nnn

a

b

db

da1

tan,sin

cos

)tan,,(,cos)(122

1

00

n

n

nnnn

n

nna

bbadtndatf 단


54

Cosine 항으로 묶은 경우

복소 지수 형식의 푸리에 급수

복소 지수 형식을 사용하면

복소수와 지수함수의 장점을 모두 이용

① 복소수(complex number)• 주파수 영역에서 진폭과 위상 2가지 성질을 함께 표현

② 지수함수(exponential function)• 지수함수끼리 곱셈, 나눗셈, 미분, 적분 등 계산이 용이

지수함수와 삼각함수와의 관계• 오일러(Euler)의 공식



주기신호 f(t)에 대한 푸리에 계수 cn

58

,,,,)(

)(

2101

2

02

2

0

0

ndtetfT

c

Tectf

tjn

n

tjn

n

T

T

(2.11)

(2.12)

nc

nc

※ 오일러의 공식 사용

sincos

sincos

je

je

j

j

Θ 를 라 하면tn 0

tjntjn

tjntjn

eej

tn

eetn

00

00

2

1sin

2

1cos

0

0

1 1

0

1 1

000

0000

2

1

2

1

sincos)(

n n

tjntjn

n

tjntjn

n

n n

nn

eej

beeaa

tnbtnaatf

59

Fourier 급수의 복소지수 형식

1 1

0

1 1

0

1 1

0

00

00

0000

2

1

2

1

1

2

11

2

1

2

1

2

1)(

n n

tjn

nn

tjn

nn

n n

tjn

nn

tjn

nn

n n

tjntjn

n

tjntjn

n

ejbaejbaa

ebj

aebj

aa

eej

beeaatf

여기서

nnn

nnn

cjba

cjba

2

12

1

tjn

n

n

tjn

n

n

tjn

n

necececa 000

11

0

tjn

n

nectf 0)(

)2

(0

T

이라 하면


60

∙∙∙∙∙(2.11)

계수간의 관계

nnn

nnn

jbac

jbac

ac

2

12

100

Cn의 공액

)12.2()(1

)11.2()2

(,)(

2

2

0

00

dtetfT

C

Tectf

T

T

tjnn

tjn

n

n

Fourier 복소지수 형식


61

),,2,1,0( n

Cn의 증명

2

2

2

2

)9.2(sin)(2

)8.2(cos)(2

2

1

0

0

T

T

T

T

dttntfT

b

dttntfT

a

jbac

n

n

nnn

)12.2()(1

sincos)(2

2

1

sin)(2

cos)(2

2

1

2

2

0

2

2

2

2

2

2

00

00

dtetfT

dttnjtntfT

dttntfT

jdttntfT

C

T

T

T

T

T

T

T

T

tjn

n


62

an bn

dtetfT

C

T

T

tjnn

2

2

0)(1 ※

∙∙∙(2.12)

Cn의 절대값 진폭 스펙트럼

22

2

1

2

1

2

1

nn

nnnnn

nnn

ba

jbajbaC

jbac

허수

실수

nb2

1

na2

1

nc

신호 f(t)의 n차 고조파의 선스펙트럼 (Line Spectrum)

또는 진폭스펙트럼 이라 한다.

n


63

nc

실수

허수

cn과 an, bn 의 관계

nn

nnn

bja

jbac

2

1

2

1

2

1


64

j

n

)(nn

jba

nc

n

n

tjn

n

n

nn

ectf

tnbtnaatf

0

1

000

)(

sincos)(

실수

허수

cn과 an, bn 의 관계

nnn

jbac 2

1


65

na

nb

nc

nc

nnnjbac

2

1

nnn

nnn

jbcc

acc

j

n

n

n

na

b1tan

n

nb

)(nn

jba

Cn의 위상

n

n

na

b1tan 위상 스펙트럼 (Phase Spectrum)

에 대한 Cn의 그래프

복소 Fourier 스펙트럼

0n

t

T0

tt

00 nfT

Anfc

nsinc)(

0nf

t

)(tf


66


67

ex) 복소 Fourier스펙트럼의 식을 구하라 Cn 구하기

)(tf

t

2

2

TA

)12.2()(1

)11.2()2

(,)(

2

2

0

00

dtetfT

C

Tectf

T

T

tjnn

tjn

n

n

att

at

atat

ea

AdteA

aeedt

d

※지수함수의 미분/적분


68

ex) 복소 Fourier스펙트럼의 식을 구하라 Cn 구하기

)(tf

t

2

2

TA

)12.2()(1

)11.2()2

(,)(

2

2

0

00

dtetfT

C

Tectf

T

T

tjnn

tjn

n

n

2

2sin

2sin

22

2

11

)(1

0

0

000

00

0

2020

20202020

2

2

02

2

02

2

0

2

2

0

n

n

T

An

Tn

Aj

j

ee

Tjn

A

eeTjn

Aee

Tjn

A

ejnT

Adte

T

AdteA

T

dtetfT

C

jnjn

jnjnjnjn

tjntjntjn

tjnn

T

T

표본화 함수 (sampling function)

)(sinc 형sin

)(Sa 형sin

xx

x

xx

x

)(sinc)( xxSa

sinc(x)

) 0 ,3,2,1( 지남을에서n

※ 지남 을0 에서 n )( 는xSa

69


70

ex) 앞의 예를 Fourier 급수로 전개하면

)(tf

t

2

2

TA

)12.2()(1

)11.2()2

(,)(

2

2

0

00

dtetfT

C

Tectf

T

T

tjnn

tjn

n

n

tjn

tjn

tjntjn

n

eT

nSinc

T

A

en

SaT

A

en

n

T

AeCtf

0

0

00

2

2

2sin

)(

0

0

0

,2,1,0,sincsinc

1)(

1

0

0

2

2

2

2

nnfT

A

T

n

T

Ac

T

AdtA

Tdttf

Tc

n

T

T

T

T

Duty cycle:

T

를 고정, T를 증가 스펙트럼 진폭

주파수 성분간의 간격

T를 고정, 를 증가 스펙트럼 진폭 ∝

주파수 성분간의 간격 ∝

main lobe의 주파수폭 ∝

T

1∝

T/1

T0

/1

00

sinc)( nfT

Anfc

n

T

A

Tf

10

10

nf t

)(tf

복소 Fourier 스펙트럼

A

불변

72

파세발의 정리 (Parseval’s theorem)

n

n

n

nn cbaadttfT

T

T

2

1

2220

2

2

1)(

1 2

2

f(t)의 평균전력은 각 주파수 성분의

전력의 합과 같다

)(tf

t

2

1

2

1

2

nF

평균전력

n

nC2

0n

주기함수의 n차고조파의

전력스펙트럼의 합

2

nC

dttfT

P

T

T

2

2

2|)(|

1

=

73

주기함수 파형 (우함수)

xxxxf 3cos12cos2cos34)(

74

xxxxf 3sin12sin2sin3)(

주기함수 파형 (기함수)

75

xxx

xxxxf

3sin12sin2sin3

3cos12cos2cos34)(

주기함수 파형 (우함수+기함수)

76

2.4 푸리에 변환

77

2.4 푸리에 변환 (Fourier Transform)

신호 f(t)가 주기를 갖는 비정현파인 경우 Fourier 급수를 이용하여 주파수 영역의 성분들의 크기를 구할수 있다.

신호 f(t)가 비주기 신호인 경우

푸리에 급수 사용 X

78

※ “비주기 신호도 주기가 무한대인 주기신호”로 가정 이 문제 해결 가능

Fourier 변환

– ”시간영역에서 비주기 신호 f(t)를 주파수영역으로변환하기 위한 도구”

- 비주기신호/주기신호 모두 적용가능

Fourier 변환식의 유도 (1)

Fourier 변환식의 유도

Fourier 급수의 복소지수 형식에서

79

)(

)( T

tf

tfT

함수를동안의한주기

함수를인주기이라 하면

)12.2()(1

)11.2()2

()(

2

2

0

00

T

T

dtetfT

c

Tectf

tjnTn

n

tjnnT

여기에, 에 대한 조건을 적용하면)( T

)( Tn

c

1

T0 t

f(t)

T

1

T

20

0n

2

4

일정

∴ : 주파수 간격 가 무한소로 수렴하므로 로 나타내면T 0 d

dT

Td

T

T 2 or

220

가 무한소로 됨으로써, 선스펙트럼 주파수 는0

0n

T

n0

연속변수 로 표현됨


80


81

위의 관계를 푸리에 급수에 적용하면

dtetfd

dtetfT

c

tj

T

tjn

Tn

)(

2

)(1

0

d

2

n

tjn

nTectf 0)(

에 위의 관계를 적용하면,

(T ∞ 에 의해)

T

n

T

Ttftf ),()( 가 된다.


82

이상의 변화를 이용하면

tjn

n

tj

T

tjn

n

nT

edtetfd

ectf

0

0

)(2

)(

dedtetf

edtetfd

tf

tjtj

tjtj

)(2

1

)(2

)(t 에 대한 정적분이므로결과값은 ω의 함수 F(ω)가된다.

dtetfF

deFtf

tj

tj

)()(

)(2

1)(

Fourier 변환 과 역변환 식

(2.13) : F(ω)의 Fourier 역변환

(2.14) : f(t) 의 Fourier 변환

Fourier 변환

– 시간영역의 신호 f(t)로부터 주파수 영역의 신호 F(ω)를얻는데 사용

Fourier 역변환

- 주파수영역의 신호 F(ω)로부터 시간 영역의 신호 f(t)를얻는데 사용

기호

)()(

)()(

1

Ftf

tfF

F

F 변환

역변환

f(t)와 F(ω)는 “푸리에 변환쌍”을 이룬다

)()( Ftf

Fourier 변환의 정의

83

Fourier 변환의 정의

푸리에 변환(Fourier transform)주기신호와 비주기신호를 모두 포함한 일반적인 신호에대해 주파수 특성을 얻을 수 있다.

푸리에 변환(Fourier transform)식

• 복소 지수 형식의 푸리에 급수에서 변환식을 유도

단, (2.13)

F(ω) : 함수 f(t) 의 주파수 스펙트럼 밀도함수

푸리에 역변환(inverse Fourier transform)식

에서 이므로

84

dtetfF

tj )()(

dttf )(

fdefFdeFtfftjtj

2)()(

2

1)(

f 2 dfd 2

(2.14)

푸리에 변환쌍

푸리에 변환 쌍(pair)

푸리에 변환과 역변환으로 이루어진 쌍

F(ω)는 임의의 주파수 ω에 대한 주파수 성분 표시• F(ω)의 단위는 [volt∙sec]

85

Fourier 변환: 구형펄스

86

0

)(tf

t

2

2

A

구형펄스

기타 0,22

A,A)(

ttrecttf

),(

trectt

rect

※

구형파 f(t)의 fourier 변환은 ?

Fourier 변환: 구형펄스

87

0

)(tf

t

2

2

A

구형펄스

222

2

2sin

2

2sin

2

2

2

)()(

22

222

2

2

2

SincASaAAA

j

eeA

eej

Ae

j

A

dteAdtet

rectA

dtetfF

jj

jjtj

tjtj

tj

FA

2

4

2

푸리에 변환의 주파수 특성

Fourier 변환의 정의식에 오일러(Euler)의 공식

을 적용하여, 복소수의 성질을 이용하면

89

f(t) 의 주파수 변환 F(ω)를 진폭 |F(ω)|와 위상 |φ(ω)| 에 대한 주파수 스펙트럼으로 분리

tjte

tjte

tj

tj

sincos

sincos

dtttfjdtttf

dttjttf

dtetfFtj

sin)(cos)(

)sin(cos)(

)()(

)15.2()()()()( FjBA

dtttfB

sin)()(※


푸리에 변환식에서 진폭과 위상 특성을 구한다.진폭 스펙트럼 |F(ω)| : ω=0 축에 좌우대칭인 우함수

위상 스펙트럼 |ф(ω)| : 원점에 대칭인 기함수

90

진폭스펙트럼 |F(ω)| 위상스펙트럼 Φ(ω)

)(

우함수 기함수


진폭과 위상에 대한 주파수 스펙트럼(2.18)⇒진폭 |F(ω)| 는 ω=0 축에 좌우대칭인 우함수

(2.19)⇒위상 |φ(ω)| 는 원점에 대칭인 기함수

91


F(ω)와 |F(ω)|

F(ω) : 푸리에 변환에서 얻은 복소수 성분의 주파수 스펙트럼

|F(ω)| : 통신 신호의 주파수 특성에 대한 진폭 스펙트럼을 구할 때 사용

92

Fourier 변환의 성질

Fourier 변환의 대칭성질

93

0

)(tf

t

2

2

A

ex) f(t)가 우함수

)(Re F

)(Im F


Fourier 변환의 대칭성질

95

0

)(tf

t

2

2

A

ex)

22

2

2

2sin

2

2sin

2sin

2

cos2cos2

cos)(2)(

2

2

0

00

0

SincASaA

A

At

A

dttAdttt

rectA

dtttfF


Fourier 변환쌍의 변환성질

96

① 상수(Constant)의 곱

(B.1)

② 선형성(Linearity)- 시간함수의 선형조합의 Fourier변환은 각기 대응하는

Fourier변환들의 선형조합으로 주어진다.

)()(

)()(

22

11

Ftf

Ftf

F

F

라하고,

21, aa 를 임의의 상수라 하면

(B.2)


97

)()(

)()(

)()(

2211

2211

2211

FaFa

dtetfadtetfa

dtetfatfa

tjtj

tj

)(Im)(Re)(

)(Im)(Re)(

tfjtftf

tfjtftf

뒤 Parseval의 정리에서 설명 ③ 공액복소수 성질

(B.3)


98

④ 시간비례(Time Scaling)

- 시간함수의 시간을 늘리거나 압축하는 것

i) (a>0)일때

aF

a

defa

a

def

dteatfatf

aj

j

tj

a

1

)(1

)(

)()(F

a

ddt

dt

da

at

,

)놓으면 라 τ(at

ii) (a<0)일때

aF

aatf

1)(F

이므로

※ 주파수척도 변환

a

ts

aafS

1)(

(B.4)


99

i) 과 ii)를 결합하면

aF

aatf

1)(F

※ a>1이면 시간축은 압축

주파수축은 확장되고 변환된 크기는 축소됨

0

)(atf

at

11

1

11 a

(a=1)

(a=2)

0

)(atf

at

2

1

2

1

1 1

)(F

2 44 2

2

111

aa

22

3 3

2

44

<펄스폭이 2인 Fourier 변환>

<펄스폭이 1인 Fourier 변환>

)(F


100

시간 영역에서 신호가 만큼 천이된 신호 에 대한

푸리에변환

⑤ 시간천이(Time Shift)

,)()( 일때 F Ftf

0t )(

0ttf

)()( 0

0

Fettf

tjF

(B.5)

주파수상에서 복소지수가곱해지면, 시간상에서 천이가일어난다

0t)(F

실

허


101

)(

)(

)(

)()(

0

0

0 )(

00

Fe

defe

def

dtettfttf

tj

jtj

tj

tj

Fdtdtt

,

놓으면) 로 τt-(t

0

0

)()( 0

0

Fettf

tj (B.6)


102

-어떤 시간함수 에 를 곱한 신호의 주파수 스펙트럼은

신호 의 스펙트럼을 만큼 이동 시킨 것

)(tf

0

0

)( 0

0

0

)(

)(

)(

F

dtetf

dtetfe

tfe

tj

tjtj

tj

F

(B.7)

⑥ 주파수천이(Frequency Shift)

tje 0

)(tf

0

)(F

0

)( 0 F

0


103

tjtjtjtj

tjtjtjtj

etfetfj

eej

tfttf

etfetfeetfttf

0000

0000

)()(2

1

2

1)(sin)(

)()(2

1

2

1)(cos)(

0

0

(B.8)


(B.9)

※

0t

)(tf

0t

t0cos

?


104


)(2

)(2

)()(2

1

)(2

1)(

2

1sin)(

)()(2

1

)(2

1)(

2

1cos)(

0000

0

00

0

00

00

Fj

Fj

FFj

etfj

etfj

ttf

FF

etfetfttf

tjtj

tjtj

FFF

FFF

0

)(2

10 F

000

)(2

10

jF

00

)(2

10

F

ttf 0cos)( F ttf 0sin)( F

)(2

10

jF


105

⑦ 시간 컨벌루션(Time Convolution)

Convolution

)(tx )(ty)(th

시스템

)()()( thtxty

dhtx

dthxthtx

)()(

)()()()(


106

⑦ 시간 컨벌루션(Time Convolution)

(B.10)

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()()()(

12

12

21

2

)(

1

21

2121

FF

defF

dedkkfef

ddkkfef

ddttfef

dtedtfftftf

j

jkj

kj

tj

tj

F

dtdkkt

kt

,

)

( 변환로


107

(B.11)

dmdkm

mk

,

) ( 변환로

⑧ 주파수 컨벌루션(Frequency Convolution)

)()()()(2

1

)()(2

1

2

1

)()(2

1

2

1

)()(2

1

2

1)()(

2

1

1212

21

)(

21

2121

1

tftftfdmemF

dmemFdkekF

dmedkmFkF

dedkkFkFFF

jmt

jmtjkt

tkmj

tj

F

deFFdkkFkFFF

tj)(

2

1)(,)()()()(

1

2121F※


108

deFjdedt

dF

deFdt

d

dt

tdf

deFtf

tjtj

tj

tj

)(2

1)(

2

1

)(2

1)(

)(2

1)(

⑨ 시간영역에서의 미분(Derivative)

신호 f(t)를 시간 t에 관하여 미분하면

(B.12)

n차미분

deFj

dedt

dF

dt

tfd

tjn

tj

n

n

n

n

)(2

1

)(2

1)(

1차미분

tjtj

tjtj

ejedt

d

ejedt

d

2

2

2


109

(B.13)

⑩ 시간영역에서의 적분(Integration)

Fourier 변환의 성질 (계속)

⑪ 쌍대성(Duality)

110

)()(

)(2)(

fftF

ftF

(B.14)

)(tF)(2 f

Fourier 변환의 성질 (계속)

⑪ 쌍대성(Duality)

111

)()(

)(2)(

fftF

ftF

(B.15)

dfefFdeFtf

ftjtj

2)()(

2

1)(

Fourier 역변환식

)(2)(

)()(2

)()(2

)(2

1)(

ftF

dtetFf

deFtf

deFtf

tj

tj

tj

F

) 바꾸면서로를와t(

대입를 )( tt

2.5 특이함수모델

114

특이함수

특이함수(singularity function)

자연현상이나 정상적인 물리계에서는 나타나지 않고 수학적인 방법에서만 존재하는 함수• 어떤 지점에서 함수가 불연속(discontinuous)

• 유한한 범위나 모든 차수의 유한한 미분도 갖지 않음

콘덴서의 전압, 코일의 전류처럼 자연계의 전기신호는 특이함수처럼 급격히 변할 수 없다.

실제의 자연현상을 근사화한 특이함수 모델을 사용하면 실제 자연계의 신호를 쉽게 해석할 수 있다.

115

특이함수

116

특이함수의 모델링

단위 임펄스 함수

단위 임펄스 함수(unit impulse function)혹은 단위 충격파 함수, 디락-델타 함수(Dirac delta function)

단위 계단함수를 미분해서 정의

임펄스 함수 위치에서는 그 크기를 알 수 없다.

117

단위 임펄스 함수

임펄스 함수 위치에서 근방의 적분 값은 1

118

a b

특이함수의 Fourier 변환

119

① 단위 충격파 함수 (Unit Impulse Function)

11

면적

)(t

t2

2

0

1

)(t

t0

1면적

※ Δ를 0으로 수렴시키면

파형의 너비는 0으로 수렴하고

크기는 t=0에서 무한대로 수렴하지만, 면적은 여전히 1

특이함수의 Fourier 변환 (계속)

120

충격파함수의 특성

1)(:

0,0

0,)(:

dtt

t

tt

면적

크기

11

면적

)(t

t2

2

0

1

)(t

t0

1면적

)()(

)()(

00tttt

tt

※


121

충격파함수의 천이특성

)()()(

00tfdttttf

충격파함수는 함수 f(t)와의 적분을통해서 특별한 값, 즉

에서 함수값 를 선택함.0

tt

)(0

tf

0 t

)(tf

0t

)(0

tt

0 t

)(0

tf

0t

적분

b

a

btatfdttttf

그외,0

)(),()()(

00

0Cf)

0 t

)(tf

0ta b

(B.16)


122

충격파함수의 Fourier 변환

1

)()(

0

e

dtetttj

F(B.17)

0

)()(00

tj

tj

e

dtetttt

F

(B.18)

0)(

1)(

0

tjett

t

※

Re

Im

10

0tje

0t

tjte

je

tj00

0

sincos

10sin0cos

0

② 지수함수(Exponential Function) ... where (a>0)


123

)()( tuetfat

0 t

)(tf

1at

e

)0( a

0,0

0,1)(

t

ttu

0t

)(tu

1

※ 단위 계단함수

0 t

1)(tue

at

)0( a

dtetueF

tf

tjat

)()(

)(F



124

dtetueFtjat

)()(

0 t

1)(tue

at

)0( a



125

aj

tja

tjatjat

tjat

e

a

aj

a

a

aja

eeja

eja

dtedtee

dtetueF

1tan

22

2222

0

0)(

0

)(

0

1

)0(,1

1

1

)()(

(2.28)

222

222

2



126

aj

tja

tjatjat

tjat

e

a

aj

a

a

aja

eeja

eja

dtedtee

dtetueF

1tan

22

2222

0

0)(

0

)(

0

1

)0(,1

1

1

)()(

22

1

a

0

22a

a

22

a

허수

실수

a

)(tan

)(

)(F

(2.28)



127

0

22a

a

)(

22

a

허수

실수

진폭 스펙트럼

22

1)(

aF

위상 스펙트럼

a

1tan)(

)(F

0

)(F

a

1

2

2

)(F


128

taetf

)(

0 t

)(tf

1 tae

)0( a

※

0 t

1)(tue

at

)0( a

)()()(

)(

tftfF

tf

F

F

◎ 대칭 지수형 함수

)()(

)()()(

)()(

tuetue

tftftf

tuetf

atat

at

하면라고

)(tf

0 t

1 )0( a

)( tf

)( tueat


129

◎ 대칭 지수형 함수

22

2

11

)()(

)(

)(

a

a

jaja

tuetue

eF

tf

atat

ta

FF

F

F

0

)(F

a

2

(2.29)


130

③ 시그넘 함수 (Signum Function)

0,1

0,0

0,1

)sgn(

t

t

t

t

tt

정의

(2.13)

0 t

)sgn( t1

1

※ 이 함수는 Fourier 변환이 존재하기 위한 조건

dttf )( 을 만족하지 않음

But, 는 만족함)sgn( teta

0 t

1

tae

)0( a

)(tf )( tf

(B.19)


131


0t

)sgn( t1

1

)sgn( teta

0 t

1

tae

)0( a

)()( tftueat

)()( tftueat

22

211

)()(

)sgn()(

)(

a

j

jaja

tftf

teF

tf

ta

FF

F

F

1

)()(

)()()(

)()(

tuetue

tftftf

tuetf

atat

at

하면라고 ※


132


0 t

)sgn(1

1

)sgn( teta

0 t

1

tae )0( a

)(tueat

)( tueat

j

j

j

a

jt

a

22

22lim)sgn(

2220

F

(B.20), (2.25)

0

2

)sgn(

tF

※ a가 작아지면

1

)sgn()sgn()sgn()0(0

tteteata

※


133

④ 단위 계단 함수 (Unit Step Function)

)sgn(12

1)( ttu

정의

0 t

)(tu1

(B.21)

j

j

ttF

tu

1)(

2

2

1)(2

2

1

)sgn(2

11

2

1)sgn(1

2

1)(

)(

FFF

F

0

)(tuF

(B.22), (2.27)

2장주파수해석 - skhurion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-8.pdf푸리에급수표현...

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