§3-5 Rayleigh-Ritz 分析法 （简称 R-R 法）

R-R 法是目前用于缩减自由度的主要方法，这种方法可用于求大型系统广义特征问题部分特征解的近似值。

第四章介绍的各种方法基本都与 R-R 有关。

本节主要介绍用于求最低 m 阶特征解的 R-R 法。一、基本思想、计算公式和步骤R-R 法在理论上的主要依据是，各阶特征值是Rayleigh 商的极值或驻值。

第 三 章

第5

节 R

ayleigh—R

itz

分析法

MK 适用求广义特征问题

1 、基本思想是：选择 m 个线性无关的 RitZ 基向量

它们张成一个 m 维子空间

而 Rayleigh 商在子空间

这 m 个极值点就是系统前 m 阶特征值在子空间中最佳近似值，同时也求得相应的

miqi 2,1,

mV

mV 中存在 m 个极值点。

mV

特征向量近似值。

第 三 章

第5

节 R

ayleigh—R

itz

分析法

① 选择 m 个线性无关的 Ritz 基向量

mqqq 21, —— 张成 mV

② 设 q 是 mV 子空间中的任一向量， mVq

则它可以表示为 m 个 Ritz 基向量的线性组合，

即

zQqzq m

m

iii

1

第 三 章

第5

节 R

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itz

分析法

2 、计算公式推导（即 R-R 法求解过程）

mm qqqQ 21

Tmzzzz 21 ——Ritz 坐标向量。

式中：—— Ritz 基向量矩阵

③ 求向量 q 的 Rayleigh 商

zQMQz

zQKQz

qMq

qKqq

mT

mT

mT

mT

T

T

z

zMz

zKzT

T

第 三 章

第5

节 R

ayleigh—R

itz

分析法

其中：

mT

mmm

mT

mmm

QMQM

QKQK

—[K] 在

—[M] 在mV

mV

上投影

上投影

nm

④ 可见， Rayleigh 商 ρ 是 Ritz 坐标向量 z 的函数，

因此，求驻值 0 z 即：

222

zMz

zMzKzzMzzK

z T

TT

第 三 章

第5

节 R

ayleigh—R

itz

分析法

zMz

zM

zMz

zKz

zMz

zKTT

T

T

22

0

22

zMz

zMzKT

可得 zMzK

这是 m 阶广义特征问题，它的特征解为

mi

zi

i2,1

第 三 章

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节 R

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itz

分析法

（例如可用广义 Jacobi 法求式 * ）

*

这些特征向量 也满足如下正交条件 iz

IZMZ T

ZKZ Tmi 2,1

mzzzZ 21

⑤ 原 n 阶广义特征问题最低 m 阶特征解的近似值为

mi

zQ imi

ii2,1

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节 R

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itz

分析法

m

2

1

mii 2,1可见近似特征向量

是 m 个 Ritz 向量的线性组合。

⑥ 证明近似特征向量

mizQ imi 2,1

也满足对原矩阵 [K] 和 [M] 相互正交。

设 ZQmm 21

将

mT

m

mT

m

QMQM

QKQK

第 三 章

第5

节 R

ayleigh—R

itz

分析法

代入

得

iT

T

diagZKZ

IZMZ

imT

mT

mT

mT

diagZQMQZ

IZQKQZ

即

ii

T

T

diagdiagM

IK

即

第 三 章

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节 R

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itz

分析法

这说明近似特征向量 对 [M] 、 [K] 正交！

当然模也规范化。

但是注意：由于 nm ，所以

不一定是精确特征向量。

只能是前 m 个特征向量的近似值。

由上述 R-R 法推导过程可见：

nm ， R-R 法可使一个大型特征问题变成一个小型问题。这给仅需求若干最低阶特征解的大多数工程问题，提供了很大的方便。

第 三 章

第5

节 R

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分析法

3 、 R-R 法的具体计算步骤

① 选择 m 个线性无关的 Ritz 基向量：

mm qqqQ 21

② 计算投影矩阵 K M 和

mT

m

mT

m

QKQK

QMQM

第 三 章

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节 R

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分析法

iii zMzK

mi 2,1

∵ 当 K 、 M 对称，且一个正定时， K

M 也对称、正定！

例如可用广义 Jacobi 法求出

mi

zi

i2,1

④ 原系统前 m 阶特征解的近似值：

mi

zQ imi

ii2,1

第 三 章

第5

节 R

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itz

分析法

③ 求解降阶的广义特征问题

二、 R-R 法的精度分析

R-R 法的精度取决于哪些因素呢？

从解不难看出： R-R 法精度完全取决于 mQ

即取决于 mV 的品质。mV —— 由 mqqq 21, 张成。

设 mE 为真实前 m 个特征向量子空间。

mm EV 接近 则 R-R 精度好！接近精确解！若

下面从两个方面说明 R-R 法的精度。

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第5

节 R

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分析法

1 、用 R-R 法求得的近似特征值，总是大于等于精确值

即 miii 2,1

即：从上界接近精确特征值。

证明：

① 由 Rayleigh 商的特性可知， Rayleigh 商的 极小值为 1

因此，一定存在11

② 证明22

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节 R

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分析法

设向量 和 ~ 是子空间 mV 的两个任意向量。

即 mV ~，

设 1

1

— 第一阶近似特征向量（由 R-R 法求出）

— 第一阶精确的特征向量 i ）设 满足约束条件 01 M

T

（此约束表示： 中不含有 1 ！）

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节 R

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分析法

在 中可以有无穷多个！nRmV

为近似第一阶特征向量！ 1

2min 01 MT

ii ）又设 满足约束条件： 0~1 MT

（此约束表示： ~ 中不含 1 ！）

~

满足约束条件 ~ 的 Rayleigh 商的极小值为：

为精确第一阶特征向量！

即 2~~min 0~

1 MT

iii ）比较两种约束条件可以得出：

第 三 章

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节 R

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分析法

满足此约束条件 的 Rayleigh 商的极小值为：

1

向量 所受的约束比向量 ~ 严，因为向量 1

不但含有 1 成份，而且还可能含有其他精确特征

向量成份，因此有22

~

iv ）设 是 n 维空间中的向量，它具有约束条件为

01 MT 中不含 1 成份

则 的 Rayleigh 商的极小值 2min

nR1 ，

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节 R

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分析法

v ）比较 ~ 和 所受的约束条件，即

21

21

0

~~0~

nT

mT

RM

VM

可见 ~ 所受的限制比 严格！

所以存在 22~

vi ）又∵ 22~ 22

③ 同理可证： miii 4,3

第 三 章

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节 R

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分析法

因此：用 R-R 法求得的近似特征值，总是大于等于

精确值，即miii 2,1

证毕。由此特性可得：

当 [K] 正定时，（即 0i ）

K 也一定正定（即 iii 0 ）

同时，该特征性也说明， R-R 法所求得的解只能是

前 m 阶特征解的近似值。从上界接近精确值。

第 三 章

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节 R

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分析法

2 、 R-R 法在什么情况下可求的精确的特征解？

可以证明：当 Ritz 基向量所张的子空间 mV 与前

m 个特征向量所张的子空间 mE 重合时， R-R 法可

求得精确的特征解。

证明：设 miE

mjVq

mi

mj

2,1,

2,1,

由于子空间 mV mE与 重合 mm VE

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节 R

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分析法

则 m 个 Ritz 基向量可表示为前 m 个特征向量的线性组合。

即

m

iiijjq

1

jm

式中

mjjj

Tj

mm

21

21 ,,

mj 2,1

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节 R

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分析法

前 m 个精确特征向量。

mj

q jmj

2,1

将这 m 个 Ritz 向量

mj 2,1

写成矩阵，即：

即 mmm AAQ 21,

m 个 Ritz 向量矩阵

mm qqqQ 21

将上式代入投影矩阵：

mT

m

mT

m

QMQM

QKQK

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节 R

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分析法

midiag

AA

AIA

AMAM

AA

AKAK

im

T

T

mT

mT

mT

mT

mT

2,1

即

K M将 、 代入 iii zMzK

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节 R

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分析法

即 m 阶的广义特征问题。

iTiim

T zAAzAA 即

mi 2,1 ii zAy

ZAy

令

或

则有 iiim yy

标准特征问题

m

m

0

02

1

立即可解出：miii 2,1

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节 R

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分析法

左 乘得： iiim zAzA TA

可见 : i 为前 m 阶特征值精确值。

而 Iyyyy m 21

则 1 AZ

mizQ imi 2,1

而 m

m

mm

AA

ZQ

1

AQ mm

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节 R

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分析法

IZAy 因为

又

IAA 1

即 miii 2,1

可见：特征向量也是前 m 阶精确解。证毕！

小 结

① R-R 法的精度不取于每个 Ritz 基向量接近特征

向量的程度，而取决于基向量所张的子空间 mV

mE

接近

的程度，这样使 m 个基向量的选择难度大大下降，

从而使 R-R 为一种具有实用阶值的系统降价方法；

② R-R 法本身不具有使子空间 mV 接近 mE 的能力；

第 三 章

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节 R

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分析法

③ 实用中，常常将“ R-R 法”与“同时反迭代法”结合

即：先用“同时反迭代法”使

mm EV 收敛

然后再用 R-R 法求前 m 阶近似特征解。

第四章中子空间迭代法和 Lancyos 法等都有效地利用了这样的配合使用。

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节 R

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itz

分析法

思考 : (1) 试述 R-R 法的基本思想 ;

(2) 决定 R-R 法精度的因素。