3. analiza tacnosti

3. ANALIZA TAČNOSTI U GEODETSKIM MREŽAMA

ANALIZA TAČNOSTI

Analiza tačnosti u geodetskim mrežama.

1. TAČNOST MERENIH VELIČINA U GEODETSKOJ MREŽI

v1

l

1l

T

QQ

vQv

trag

so

22 )( oosE

Eksperimentalna standardna devijacija jedinice težine os

Ova ocena je globalna mera tačnosti merenja u geodetskoj mreži.

Standardna devijacija jedinice težine o

.

2. TAČNOST NEPOZNATIH PARAMETARA

Eksperimentalne standardne devijacije nepoznatih parametara

ixs

Kovarijaciona matrica je

1Txx PA)(AQK 2ˆ

2ˆ oo ss

ili eksperimentalne standardne devijacije nepoznatih parametara

iii xxox Qss ) ..., ,2 ,1( ui


Matrica kofaktora nepoznatih parametara

uuuu

u

u

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

QQQ

QQQ

QQQ

21

22212

12111

x̂Q


Geodetske mreže 1-D

i

i

H

0

H

( )iH

s

Eksperimentalne standardne devijacije visina tačaka u 1-D mrežama.



Y

X

i

y i

ii

x i

s

s

o

(x y ),

Eksperimentalne standardne devijacije koordinata tačaka u 2-D mrežama.



Y

X

iy

i

i

ii

Z

x i

Z

(x , y , z )i

s

s

s

o

Eksperimentalne standardne devijacije koordinata tačaka u 3-D mrežama.

3. POLOŽAJNA TAČNOST TAČAKA

Položajna tačnost tačaka geodetske 2-D mreže

iiiiiii yyxxoyxp QQssss 22

Y

X

yi

x i

i

o

i (x , y ) i

s

s

Položajna tačnost tačaka u 2D mrežama.

4. ELIPSA GREŠAKA

X

Y

x

y

0

Elipsa grešaka.

4. ELIPSA GREŠAKAX

Y

A

B

x

y

0

Kanonski oblik elipse grešaka.

4. ELIPSA GREŠAKA

X

Y

0

i(x ,y )

D

i i

Podera-kriva grešaka.

4. ELIPSA GREŠAKA

X

Y

0

i(x ,y )

D

i iA/2

O1

O2

A/2

A/2

A/2

Prelaz podere u dva kruga grešaka.

4. ELIPSA GREŠAKA

U teorijskim razmatranjima, u cilju dobijanja parametara elepse grešaka, elipsoida grešaka ili hiperelipsoida grešaka, često se primenjuje linearna transformacija oblika

xQy x ˆ

xxQx iˆ) ..., ,2 ,1( ui

određuje se vektor x koji je rešenje matrične jednačine

ili

4. ELIPSA GREŠAKA

0)( ˆ xIQx i ) ..., ,2 ,1( ui

i

xQ ˆ

gde su:

sopstvene vrednosti matrice kofaktora

sopstveni vektori matrice kofaktora

matrica kofaktora nepoznatih parametara.

x

4. ELIPSA GREŠAKARešenje za sistem

0)det()( ˆ IQx if Rešenjem polinoma dobija se

u

2

1

Λ

uuuu

u

u

xxx

xxx

xxx

21

22221

11211

u21 x , ,x ,xX

4. ELIPSA GREŠAKA

XQXΛ xT ˆ

Tx XΛXQ ˆ

odnosno

Λ

X

gde je: spektralna matrica a

modalna matrica.

Važe transformacije

4. ELIPSA GREŠAKA

U modelu posrednog izravnanja 2D geodetskih mreža

yyyx

xyxx

QQ

QQxQ ˆ

0)(

)()det( ˆ

yyyx

xyxx

QQ

QQIQx

0)( 22 xyyyxxyyxx QQQQQ

rešenja ovog polinoma ili algebarske jednačine drugog stepena, su sopstvene vrednosti

4. ELIPSA GREŠAKA

kQQ

kQQ

yyxx

yyxx

2

12

1

2

1

22 4 xyyyxx QQQk

T2

T1

21T

xx

xxxXΛXQ

2

1ˆ

Matrica kofaktora xQ ˆ može se izraziti preko spektralne matrice Λ i modalne matrice X

1x 2xgde su i sopstveni vektori matrice

4. ELIPSA GREŠAKA

Parametri standardne elipse grešaka

kQQsssB

kQQsssA

yyxxoBoo

yyxxoAoo

2

1

2

1

2

1

x

y

yyxx

xy

x

xarctg

QQ

Qarctg

1

12

2

1

4. ELIPSA GREŠAKA

Oblast poverenja ili hiperelipsoid poverenja za u

nepoznatih parametara

ruo

Fsu ,2ˆ )ˆ()ˆ(

xxQxx 1x

T

gde je verovatnoća

1)}ˆ()ˆ{( 1,,

2ˆ ruo FsuP xxQxx 1x

T

4. ELIPSA GREŠAKA

U opštem slučaju poluose hiperelipsoida grešaka su

1,,ruioi FusA ) ..., ,2 ,1( ui

1,,21,,2

1,,21,,2

22

22

rrBoF

rrAoF

FBFsB

FAFsA

yyxx

xyF QQ

Qarctg

2

2

1

Parametri elipse grešaka za: 2u )1( i

4. ELIPSA GREŠAKA

21, uioiA ) ..., ,2 ,1( ui

21,2

21,2

Bo

Ao

B

A

yyxx

xy

QQ

Qarctg

2

2

1

Kada je poznata standardna devijacija jedinice težine o

4. ELIPSA GREŠAKAA

BN

(x ,y )

(x ,y )(x ,y )

(x ,y )A

BN N

A

B

(x ,y )

(x ,y )

(x ,y )

1

2

3

n

1 1

2 2

3 3

n n...

...

Elipsa gresaka sa

Elipsa poverenja 95% sa

Elipsa poverenja 95% sa

so2

so2o2

Elipse grešaka u geodetskoj 2-D mreži.

5. RELATIVNA ELIPSA GREŠAKA

xyy

xx

y

xij

ij

ij

ij

ijijij ˆ

ˆˆ

ˆˆ

GxxΔx

Razlike koordinata tačaka

sa kovarijacionom matricom

ΔxT

xT

xΔx QGQGGKGK 2ˆ

2ˆ oijijoijij ss


jjjjijij

jjjjijij

jijiiiii

jijiiiii

yyxyyyxy

yxxxyxxx

yyxyyyxy

yxxxyxxx

QQQQ

QQQQ

QQQQ

QQQQ

xQ ˆ

Submatrice matrice kofaktora xQ ˆ

uji

ij

1

00II00G Submatrice matrice ijG


Matrica kofaktora razlika koordinata tačaka

ΔyΔyΔyΔx

ΔxΔyΔxΔxijij QQ

QQT

xΔx GQGQ ˆ

RyyxxoR

RyyxxoR

kQQsB

kQQsA

2

1

2

1

yyxx

yxR QQ

Qarctg

2

2

1 22 4 yxyyxxR QQQk


Parametri relativne elipse poverenja

2u

1,,2

1,,2

2

2

rRRF

rRRF

FBB

FAA

RRF

za ijxijyi

za verovatnoću )1( ,

za


Relativna elipsagresaka

Apsolutna elipsagresaka

Relativne elipse grešaka u geodetskoj 2-D mreži.

6. ELIPSOID GREŠAKA

x y

X

Y

Z

B

A

C

T( , , z )B

C

A

Funkcija gustina verovatnoća 3-D normalnog rasporeda

)μ(xK)μ(x

x

x1

xT

x

K

2

1

3det2

1),,( ezyxf


zyx tCtBtA , ,

gde su parametri troosnog elipsoida

Co

Bo

Ao

sC

sB

sA

Jednačina elipsoida u koordinatnom sistemu XYZ

1222

z

z

y

y

x

x

t

z

t

y

t

x

Poluose troosnog elipsoida grešaka


0

)(

)(

)(

)det()( ˆ

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

QQQ

QQQ

QQQ

f IQx

Karakteristična funkcija za matricu kofaktora

02

)(

)det(

222

222

23ˆ

xyxzxyzzyyxxxyzzxzyyyzxx

yzxzxyyyxxzzyyzzxx

zzyyxx

QQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQ

QQQf

IQx


Rešenja karakterističnog polinoma matrice

33

4cos3/2

33

2cos3/2

33/cos3/2

ap

ap

ap

C

B

A


i

ii H

Earccos

i

ii H

Farccos

i

ii H

Garccos

) , ,( CBAi

Uglovi, koje poluose elipsoida grešaka A, B, C grade sa osama koordinatnog sistema XYZ

yzxyiyyxzi QQQQE

xzxyixxyzi QQQQF

iyyixxxyi QQQG 2

222iiii GFEH


Poluose elipsoida grešaka za 3u parametra

1,,31,,3

1,,31,,3

1,,31,,3

33

33

33

rrCoF

rrBoF

rrAoF

FCFsC

FBFsB

FAFsA

21,3

21,3

21,3

Co

Bo

Ao

C

B

A

7. GLOBALNA TAČNOST

Matrica kofaktora xQ ˆ može se izraziti u obliku

u

2

1

u21T

x

x

x

x

xxxXΛXQ

u

2

1

ˆ

u , , , 21 sopstvene vrednosti

u21 x , ,x ,x sopstveni vektori matrice


min...det1

21ˆ

u

iiu xQ

min1

21ˆ

u

iiutrag xQ

Uslov da zapremina hiperelipsoida teži minimumu

Drugi uslov minimuma


Uopštene mere globalne tačnosti:

xx QK ˆˆ

11trag

ustrag

us ox

uuo

uo

ux sss 21ˆˆ2 detdet xx QK

1. Srednja eksperimentalna standardna devijacija nepoznatih parametara

2. Generalizovana eksperimentalna varijansa nepoznatih parametara


3. Globalne mere tačnosti koje ne zavise od koordinatnog sistema

uu xgxgxgF 2211xgT

gKg xT

ˆ2 Fs

Za ovu varijansu funkcije važi relacija

maxˆ

min gg

gKgT

xT


1min

max

minmax

Globalna mera tačnosti u homogeno-izotropnim geodetskim mrežama

Globalna mera tačnosti u geodetskim mrežama

max2

min gggg TTFs

3. analiza tacnosti

Documents