3. hampiran numerik ian persamaan tak linear

8/14/2019 3. Hampiran Numerik ian Persamaan Tak Linear

http://slidepdf.com/reader/full/3-hampiran-numerik-ian-persamaan-tak-linear 1/26



Hampiran Numerik Penyelesaian

Persamaan Tak LinearPertemuan 3

Matakuliah : METODE NUMERIK I

Tahun : 2008



Bina Nusantara

Persamaan Tak Linier adalah persamaan yang

mengandung variabel berpangkat lebih dari satu

dan/atau yang mengandung fungsi-fungsi transenden

PERSAMAAN TAK LINIER (N0N LINEAR)



Bina Nusantara

PERSAMAAN TAK LINIER (N0N LINEAR)

Contoh:

0...)( 3

3

2

21

0

0

0 =+++++== ∑=

n

n

n

k

k

k xa xa xa xa xa xa x f 1.

02)( 2=+−= xe x f x

2.

0sin)( =+−=

−

x xe x f x

3.

Persamaan Tak Linier adalah persamaan yangmengandung variabel berpangkat lebih dari satu

dan/atau yang mengandung fungsi-fungsi transenden



Bina Nusantara

Bracketing Methods vs Open Methods

Bracketing Methods:

- Memerlukan paling sedikit dua nilai akar sebagaidugaan awal

-Akar dugaan mengapit akar persamaan yang dicari- Lebih mudah memenuhi asumsinya dibanding openmethods

Open Methods

- Umumnya hanya perlu satu nilai dugaan awal- Lebih efisien dibanding Bracketing Methods, tetapi

metode ini tidak selalu convergen



Bina Nusantara

f(x)

x

xl

xu xr xr xr

Terdapat akar banyak dan

ganjil.

f(x)

x xu

xl xr

Bila f(xu ) dan f(xl ) berlainan tanda

maka pasti akar, xr , diantara xu

dan xl .

i.e. xl < xr < xu.

Hal yang perlu diperhatikan dalammenggunkan Bracketing Methods



Bina Nusantara

f(x)

x xl xu

xr xr

f(x)

x

xl xu

Bila f(xu ) dan f(xl ) mempunyai

tanda yang sama, maka kemungkinan

tidak

terdapa akar diantara xl and xu.

Kemungkinan terdapat

akar genap diantara x l and x

u .



Bina Nusantara

f(x

)

x

Terdapat

akar

ganda

f(x

)

x

Bila fungsi tangensial terhadap

sumbu

X,maka terdapat akar ganda

(multiple)

Fungsidiskontinuitas



Bina Nusantara

Metode BisectionLangkah-langkah menentuakan akar suatu persamaan

menggunakan metode Bisection

1. Pilih batas bawah dan batas atas interval (a and b) yangdiperkirakan memuat akar

2. Pilih a < b, sehiungga a dan b berada pada jangkauan fungsi3. Periksa apakah terdapat akar antara a and b atau

(f(a)*f(b) < 0)4. Hitung nilai tengah a dan b {Nilai tengah (Nt) = (a+b)/2}5. Jika f(Nt)*f(a) < 0 maka akar berada antar nilai tengah dan a

(ubah b=Nt), sebaliknya (ubah a=Nt)6. Jika f(Nt) lebih besar dari epsilon ( ε) kembali ke langkah 4,lainnya, nyatakan Nilai tengah sebagai akar



Bina Nusantara

Relatif error:

Absolut Error:

%100.

1

1

+

+−

=

n

nn

r

x

x xε

%100.

1

1

+

+−

=

n

nn

r

x

x xε

1.+

−= nnr x x Abs ε



Bina Nusantara

Metoda Bisection



Bina Nusantara



Bina Nusantara

Contoh: Tentukan Akar dari x6-6=0 pada

interval [1,2]n an bn Nt=(a+b)/

2

f(Nilaitengah)

│Ntn+1 -Ntn│

0 1 2 1.5 5.390625

1 1 1.5 1.25 -2.1853 0.25

2 1.25 1.5 1.375 0.7580 -0.125

3 1.25 1.375 1.3125 -0.8879 0.0625

4 1.3125 1.375 1.34375 -0.11277 -0.03125

5 1.34375 1.375 1.35938 0.31009 -0.015636 1.34375 1.35938 1.35156 0.09560 0.00781

7 1.34375 1.35156 1.34766 -0.00934 0.00391

8 1.34766 1.35156 1.34961 0.04294 -0.00195

9 1.34766 1.34961 1.34863 0.01676 0.00098



Bina Nusantara

Metoda Posisi SalahMetoda posisi salah (Regula Falsi) tetap

menggunakan dua titik perkiraan awal seperti pada

metoda bagi dua yaitu a0 dan b0 dengan syaratf(a0).f(b0) < 0. Metoda Regula Falsi dibuat untuk

mempecepat konvergensi iterasi pada metoda bagi

dua yaitu dengan melibatkan f(a) dan f(b)Rumus iterasi Regula Falsi:

n=0,1,2,3,…)(

) )()((

)(n

nn

nnnr b f

a f b f

abb X

−

−

−=



Bina Nusantara

n a b f(a) f(b) f(xr ) Xr ((Xr -Xr+1 )/Xr+1 )*100

0 1 3 0.5 -0.1 -0.10968 3.1

1 1 3.1 0.5 -0.10968 -0.06939 2.7222213.87756

2 1 2.7222 0.5 -0.06939 -0.04177 2.51235 8.35379

3 1 2.5123 0.5 -0.04177 -0.02434 2.39575 4.86687

4 1 2.3957 0.5 -0.02433 -0.01390 2.33097 2.77897

5 1 2.331 0.5 -0.01389 -0.00784 2.29498 1.56807

… … … … … … … …

… … … … … … … …

24 1 2.25 0.5 -2E-07 -1.12916E-07 2.25000

25 1 2.25 0.5 -1.1E-07 -6.27312E-08 2.25 (akar ) 0.00004

Contoh:

Menggunakan Metode False-Position tentukan akar dari f(x)=(0,9-0,4X)/X pada

interval [1, 3]



Bina Nusantara

Metode Terbuka

Metoda titik tetap

Akar dari f(x)=0 ditentukan dengan Iterasixn+1 =g(x), untuk n=0,1,2,3,…

atau xn+1 =xn + f(xn), untuk n=0,1,2,3,…



Bina Nusantara

Contoh:f(x) = 1 – x – x^3=0

3

2

^nx-1

nx

1nx

+

=+

0

0 x =Jawab :

2

30-10 x1

+=

0 .5 =

00

2

3.5-1.5 x2

+=

0 .6875=

6875. 2

30.6875-10 x3 +=

0 .6813 =

6813.

2

30.6813-10

x4

+=

0.6825 =

6825.

2

30.6825-10

x5

+=

0 .6823=

00

2

3 .6823-1.6823 x6

+=

0 .6823 =

Jadi akar pendekatan adalah .68230

Rumus iterasi diperolehdengan x=x +f(x) yaitu:1-2x-x 3̂ = -x, kemudiandiubah menjadi:



Bina Nusantara

Metode Newton-RaphsonAsumsi:• f(x) Kontinu dan dapat dapat

diturunkan (differetiable) pada [a, b]• Nilai akar dugaan awal (x0) beradapada interval [a, b] dapat ditetntukan



Bina Nusantara

Grafik

f( x

)

f ’( xi

)

x

i

xi+

1

)('

)(

)('

)(

)()('

1

1

1

i

i

ii

i

i

ii

ii

i

i

x f

x f x x

x f

x f x x

x x

x f x f

−=

=−

−

=

+

+

+

Metode Newton-Raphson



Bina Nusantara

Langkah-langkah Menentukan Akar Menentukan akar suatu fungsi/persamaan tidak

linear dengan metode Newton-Raphson:1) Andaikan x i sebagai akar dugaan awal

2) Tentukan x i+1 dengan

3) Andaikan xi= xi+1 ulangi langkah 2 dan 3 hinggahasilnya cukup akurat,

misalnya bila , ε =bilangan bulat positif kecil

)('

)(1

i

iii

X f

X f X X −=

+

ε <

−

+

+

1

1

n

nn

x

x x



Bina Nusantara

Contoh: Hitung akar dari f(x) = x3 – 15

f’(x) = 3x2

Andaikan X1= 3

maka X2= 3-{[3(3)3-15]/[3.(3)2]} = 2,55555556

X3 = 2,5556 - {[3(2,5556)3-15]/[3.(2,5556)2]}

= 2.46929917X4 = 2,46621207 (merupakan Akar Pendekatan)

)('

)(1

i

iii

X f

X f X X −=

+

Relatif error= 0.000156%



Bina Nusantara

Metode ScantAsumsi:• f(x) Kontinu pada [a, b]

• Interval pemuat [xo, x1] diketahui



Bina Nusantara

Langkah Penyelesaian• Membangun barisan titik potong xn+1 antara sumbu

–x dengan garis lurus yang melewati titik (xn-1, f(xn-

1)) dan titik (xn+1, f(xn+1))

• Membangkitkan barisan akar pendekatan{xn:n≥2} secara iteratif menggunakan formula

)()()(

1

1

1−

−

+

−

−−=

nn

nn

nnn x f x f

x x x f x x

x1

x0 x2 x3

f(x)

x

yGrafik



Bina Nusantara

Contoh: Cari akar riel dari x6-x-1=0 pada

[1,2] n xn f(xn) |((xn-xn-1 )/xn)x100|

0 2 61

1 1 -1 100.00

2 1.016129 -0.915367714 1.59

3 1.190578 0.657465697 14.65

4 1.117656 -0.168491168 6.52

5 1.132532 -0.022437286 1.316 1.134817 0.000953564 0.20

7 1.134724 -5.06617E-06 0.01

8 1.134724 (akar) -1.13476E-09 0.00



Bina Nusantara

Soal Latihan

1. Tentukan akar dari:f(x)=6X3 -5X2 +7X-2 nilai dugaan awal a=0 dan b=1 untuk (εr <

0,01%)

Menggunakan Metode Bisection dan Metode False-Position,

2. Tentukan akar dari f(x)= Sin x = X2, bila x dalam radian,pada [1/2, 1] untuk menggunakan Metode Newton-Raphson (εr <

0,1%)

3. Tentukan akar dari f(x)= X4

-8X3

+ X2

-2x +1, menggunakanMetode Titik Tetap, batas toleransi kesalahan (εr < 1,0%)

3. hampiran numerik ian persamaan tak linear

Documents