Hampiran Numerik Penyelesaian Persamaan Polinomial

Pertemuan 4

Matakuliah : METODE NUMERIK ITahun : 2008

Bina Nusantara

Bentuk umum persamaan polinomial:

n

k

kkn xaxPxf

0

)()(

nn xaxaxaxaa ...3

32

210

Dengan ak adalah konstanta bilangan riil dan an 0Persamaan polinomial termasuk pada persamaan non-linier

Dapat diselesaikan baik dengan metoda terbuka maupun metoda tertutup tetapi kurang effisien untuk n yang besar

Bina Nusantara

Muller menggunakan pendekatan proyeksi parabola melalui tiga titik pada sumbu x sebagai pengganti proyeksi garis melaluidua titik pada sumbu x seperti pada metoda Secant

Misalkan tiga titik tsb adalah: [ x0,f(x0)]; [ x1,f(x1)]; [ x2,f(x2)]

Misalkan persamaan parabola melalui tiga titik tersebut adalah:

cxxbxxaxf )()()( 22

2

Maka:

ccxxbxxaxf

cxxbxxaxf

cxxbxxaxf

)()()(

)()()(

)()()(

222

222

212

211

202

200

……………..(1)

1. Metoda Müller

Bina Nusantara

Misalkan:

12

121

0

010

121

010

)()(

)()(

xx

xfxf

xx

xfxf

xxh

xxh

x

Disubtitusikan ke persamaan (1), diperoleh:

)( 2

11

01

01

xfc

ahb

hha

……………….(2)

Bina Nusantara

Akar persamaan polinomial diperoleh dengan iterasi berikut:

…………………..(3)

Contoh:

01213)( 3 xxxf , tentukan akar persamaan

Jawaban:

Misalkan: x0 = 4.5; x1 = 5.5; x2 = 5

f(4.5) = 20.625; f(5.5) = 82.875; f(5) = 48 = c

h0 = 1; h1 = -0.50 = 62.25; 1 = 69.75

a = 15b = 62.25

acbb

cxx

4

2223

Bina Nusantara

Dengan rumus iterasi:

Diperoleh:

976487.3

)48)(15(4)25.62(25.62

)48(25

4

2

2

223

acbb

cxx

acbb

cxx

4

2223

Bina Nusantara

Iterasi berikutnya adalah dengan menggunakan:X0 = 5.5; x1 = 5 dan x2 = 3.976487Kemudian dihitung kembali, h0; h1; 0 dan 1 untuk memperolehnilai a, b dan c

Hasil iterasinya adalah sbb.:

n xn n (%)

0 5 -

1 3.976487 25.74

2 4.00105 0.6139

3 4.00000 0.0262

4 4 0.0000119

Bina Nusantara

2. Metoda Bairstow

n

k

kkn xaxPxf

0

)()(

nn xaxaxaxaa ...3

32

210

dibagi dengan: (x2 – rx – s ) yang menghasilkan:

231

24322 ....)(

nn

nnn xbxbxbxbbxf

Dengan sisa pembagian:

01 )( brxbR

Bina Nusantara

Hubungan rekurensi (recurrence relationship) dengan pembagian Fungsi kuadrat diperoleh:

bn = an

bn-1 = an-1 + r b0

bi = ai + r bi+1 + s bi+2, untuk i = (n-2), (n-3),…, 2,1,0 Untuk membuat pembagian menuju nol, maka b0 dan b1 harus menuju nol. b0 dan b1 masing-masing fungsi dari r dan s

0),(

0),(

1111

0000

ss

br

r

bbssrrb

ss

br

r

bbssrrb

Bina Nusantara

Turunan parsial dapat ditentukan dengan cara pembagian sintetikseperti menentukan koefisien b yaitu dengan menuliskan:

31

210

10 ;; c

s

bc

r

b

s

bc

r

b

Sehingga:

132

021

bscrc

bscrc

dimana:

1

11

iii

nnn

nn

rcbc

rcbc

bc

Untuk i= n – 2 sampai dengan i= 1

Bina Nusantara

Contoh:Tentukan akar persamaan polinomial orde 5 berikut:

5432 5.375.2125.2875.325.1)( xxxxxxf Gunakan perkiraan awal r0 = s0 = -1 kemudian iterasikan sampaiGalat relatif kurang dari 1 %Jawaban:

Dari pembagian sintetik menentukan koefisien b diperoleh:

b5 = a5 = 1; b4 = -4.5; b3 = 6.25; b2 = 0.375; b1 = - 10.5 dan b0 = 11.375 Dari pembagian sintetik menentukan koefisien c diperoleh:

c5 = b5 = 1; c4 = -5.5; c3 = 10.75; c2 = - 4.875; c1 = - 16.375

Bina Nusantara

Maka:

-16.375 r – 4.875 s = -11.375- 4.875 r + 10.75 s = 10.5

r = 0.3558 dan s = 1.1381

Iterasi pertama untuk r dan s adalah:

r1 = r0 + r = -1 + 0.3558 = - 0.6442s1 = s0 + s = -1 + 1.1381 = 0.1381

r( r1 ) = | (0.3558/-0.6442| 100 % = 55.23 %s( s1) = | (1.1381/ 0.1381| 100 % = 824.1 %

Karena galat relatif masih tinggi, perhitungan dilanjutkan dengan iterasi ke-2

Bina Nusantara

Dari pembagian sintetik menentukan koefisien b diperoleh:

b5 = a5 = 1; b4 = -4.1442; b3 = 5.5578; b2 = - 2.0276; b1 = - 1.8013 dan b0 = 2.1304 Dari pembagian sintetik menentukan koefisien c diperoleh:

c5 = b5 = 1; c4 = -4.7884; c3 = 8.7806; c2 = - 8.3454; c1 = 4.7874 Maka: 4.7874 r – 8.3454 s = -2.1304 – 8.3454 r + 8.7806 s = 1.8013

r = 0.1331 dan s = 0.3316

r2 = r1 + r = - 0.6442 + 0.1331 = - 0.5111s1 = s0 + s = 0.1381 + 0.3316 = 0.4697

Iterasi ke dua untuk r dan s adalah:

Bina Nusantara

r( r2 ) = | (0.1331/-0.5111| 100 % = 26.0 %s( s2) = | (0.3316/ 0.4697| 100 % = 70.6 %

Karena galat relatif masih tinggi, perhitungan dilanjutkan dengan iterasi ke-3, dan seterusnyaSetelah iterasi ke-4 diperoleh haga r dan s yaitu:

r4 = - 0.5 dengan r( r4 ) = 0.063 %s4 = 0.5 dengan s( s4) = 0.040 %

Jadi r = r4 = -0.5 dan s = s4 = 0.5

Persamaan kuadarat: (x2 – rx – s ) = (x2 + 0.5x – 0.5 ) adalah merupakan faktor dari f(x)Dua akar pertama dari f(x) diperoleh yaitu:

0.1

5.02

)5.0(4)5.0(5.0

2

1

2

2,1

x

x

x

Bina Nusantara

Hasil pembagian f(x) dengan (x2 + 0.5x – 0.5 ) yaitu:

323 425.55.2)( xxxxf

Akar-akar dari f3 (x) ini dicari dengan menggunakan r = - 0.5 dan s = 0.5 sebagai perkiraan awal

Setelah lima iterasi diperoleh: r = 2 dan s = - 1.249 dan persamaan kuadrat (x2 – rx – s ) = (x2 - 2x + 1.249 ) adalah faktor dari f3(x)

Akar ke tiga dan ke empat dari f(x) diperoleh yaitu:

ix

ix

ix

499.01

499.01

499.012

)249.1(422

4

3

2

4,3

Hasil pembagian f3(x) dengan (x2 - 2x + 1.249 ) yaitu: f1(x) = x – 2. Jadi akar ke lima dari f(x) yaitu x5 = 2

Bina Nusantara

Birge-Vieta mengembangkan metoda Newton khusus untuk mencari akar-akar persamaan polinomial

Rumus iterasi metoda Newton:

)(

)('1

n

nnn xf

xfxx

2. Metoda Birge-Vieta

Bina Nusantara

f(x) dan f’(x) dievaluasi dengan aturan Horner secara rekursif untuk memperoleh koefisien b seperti yang telah digunakan Bairstow sehingga diperoleh hubungan rekurensi koefisien sbb:

bn = an

bi = ai + xn bi+1

Dengan i = n – 1 sampai 0 dan f(xn) = b0

134

2321 ...)( n

n xbxbxbxbbxg

Bila

dibagi dengan (x – xn) diperoleh fungsi g(x) orde (n – 1) dengan sisa pembagian b0, dan f(x) = (x – xn) g(x) + b0 dimana:

nn xaxaxaxaaxf ...)( 3

32

210

Bina Nusantara

Turunan pertama dari f(x) = (x – xn) g(x) + b0 yaitu: f’(x) = (x – xn) g’(x) + g(x)

f’(xn) = g(xn) yaitu suatu polinomial orde (n – 1) dan dapat dievaluasi dengan aturan Horner untuk memperoleh hubungan rekurensi koefisien c yaitu:

cn = bn

ci = bi + xn ci+1

Dengan i = n – 1 sampai 1 dan g(xn) = c1Rumus iterasi Bierge-Vieta untuk persamaan polinomial:

1

01 c

bxx nn

Bina Nusantara

Contoh:Tentukan akar persamaan polinomial f(x) = x3 – x – 1 disekitar X0 = 1.3

Dari hubungan rekurensi pembagian sintetik untuk menentukan koefisien b dan c diperoleh:

i ai bi=ai+x0 bi+1 ci=bi+x0 ci+1

3 1 1 1

2 0 1.3 2.6

1 -1 0.69 4.07

0 -1 -0.103

Jawaban:

Bina Nusantara

325.107.4

103.03.11

x

Iterasi pertama memberikan:

i ai bi=ai+x1 bi+1 ci=bi+x1 ci+1

3 1 1 1

2 0 1.325 2.265

1 -1 0.755625 4.267

0 -1 0.001203

Iterasi ke dua:

Bina Nusantara

3247181.1267.4

001203.0325.12

x

Iterasi ke dua memberikan:

Iterasi ke tiga:

i ai bi=ai+x2 bi+1 ci=bi+x2 ci+1

3 1 1 1

2 0 1.324718 2.64434

1 -1 0.154878 4.26434

0 -1 0.000004

Bina Nusantara

Iterasi ke tiga memberikan:

r( x3 ) = | (-0.0000002/1.3247179)| 100 % = 0.00002 %

3247179.126434.4

000004.03247181.13

x

Bina Nusantara

Soal Latihan

1. Menggunakan Metode Muller, tentukan akar dari f(x) = 2x4 – 3x2 + 6

2. Menggunakan Metode Bairstow, tentukan akar dari f(x) = x4 – 2x3 + 6x2 -2x + 5

3. Menggunakan Metode Bierge-Vieta, tentukan akar persamaan polinomial

f(x) = x3 – x2 + 2x -3 disekitar X0 = 1.27