3. matriks dan determinan
DESCRIPTION
tesTRANSCRIPT
Matriks dan Determinan 1
3. MATRIKS dan DETERMINAN Matriks
Determinan Invers Matriks
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Terapan
3.1. Matriks
Definisi 1:
Matriks adalah suatu susunan persegi-panjang elemen-
elemen.
Elemen yang dimaksud di dalam definisi 1 dapat berupa
bilangan, fungsi atau anggota suatu himpunan.
Pada bahasan selanjutnya hanya ditinjau matriks-matriks
dengan elemen bilangan real.
Suatu matriks disimbolkan dengan huruf besar sedangkan
elemen suatu matriks disimbolkan dengan huruf kecil.
Definisi 2:
Matriks A ukuran m×n, disimbolkan Am×n=(aij)m×n adalah
matriks dengan banyaknya baris m dan banyak kolom n,
ditulis :
( ) Ra,
aaa
aaaaaa
aA ij
mn2m1m
n22221
n11211
nmijnm ∈
==××
L
MMM
L
L
Elemen aij suatu matriks adalah elemen pada baris ke-i dan
kolom ke-j.
Matriks dan Determinan 2
Matriks An×n=(aij)n×n disebut matriks bujur-sangkar ukuran n×n.
Diagonal utama matriks An×n adalah elemen-elemen akk ,
k=1,2, ... ,n.
Matriks Identitas, disimbolkan I, adalah suatu matriks bujur-
sangkar dengan elemen-elemen diagonal utama 1 dan elemen-
elemen selain diagonal utama 0.
Matriks Nol, disimbolkan O, adalah matriks yang semua
elemennya 0.
Matriks yang hanya mempunyai satu kolom disebut matriks
kolom, sedangkan matriks yang hanya mempunyai satu baris
disebut matriks baris
Kesamaan Dua Matriks
Diketahui matriks-matriks Am×n=(aij)m×n dan Bm×n=(aij)m×n maka
A=B hanya bila aij=bij , ∀i=1,2,...,m dan j=1,2,...,n.
Operasi-Operasi Matriks
1. Penjumlahan Matriks
Diketahui matriks Am×n dan Bm×n , maka A+B=(aij+bij)m×n
Contoh :
=
232221
131211aaaaaa
A dan
=
232221
131211bbbbbb
B
++++++
=+232322222121
131312121111babababababa
BA
2. Pergandaan Skalar Matriks
Diketahui matriks Am×n dan skalar k, maka kA=(kaij)m×n
Contoh :
Matriks dan Determinan 3
=
232221
131211aaaaaa
A maka
=
232221
131211kakakakakaka
kA
3. Perkalian Matriks
Diketahui matriks-matriks Am×p dan Bp×n maka perkalian
matriks A dan B adalah ( ) ∑=
×=αα=
p
1kkjikijnmij ba,AB
Contoh :
=
232221
131211aaaaaa
A dan
=
3231
2221
1211
bbbbbb
B maka
++++++++
=
=
∑∑∑∑
==
==
322322221221312321221121
321322121211311321121111
31k 2kk2
31k 1kk2
31k 2kk1
31k 1kk1
babababababababababababa
baba
babaAB
Perlu dinyatakan bahwa perkalian matriks tidak komutatif,
artinya AB≠BA
4. Transpose Matriks
Diketahui A=(aij)m×n maka transpose A adalah AT=(aji)n×m
Contoh :
=
232221
131211aaaaaa
A maka
=
3213
2212
2111T
baaaaa
A
Berikut adalah teorema-teorema yang terkait dengan operasi-
operasi matriks di atas.
Matriks dan Determinan 4
Teorema 1
Jika matriks-matriks Am×n, Bm×n dan Cm×n dan skalar k, maka
berlakulah :
1. Sifat Komutatif : A+B=B+A
2. Sifat Assosiatif : A+(B+C)=(A+B)+C
3. Sifat Distributuf : k(A+B)=kA+kB
4. (AT)T=A
5. (A+B)T=AT+BT
6. (kA)T=kAT
Teorema 2
Jika matriks-matriks Am×p, Bp×q dan Cq×n , maka berlakulah :
1. (AB)T=BTAT
2. (AB)C=A(BC)
3.2. Determinan
Determinan, ditulis Det(.) atau |.| adalah suatu fungsi
dengan domain koleksi matriks bujur-sangkar dan kodomain
bilangan real. Jadi, jika A suatu matriks bujur-sangkar, maka
Det(A)=|A| adalah suatu bilangan real. Matriks yang
determinannya tidak nol disebut matriks nonsingular.
Definisi berikut akan menjelaskan tentang nilai determinan
suatu matriks. Definisi dibedakan menjadi determinan matriks
bujur sangkar A1x1 dan matriks Anxn untuk nilai n>1.
Definisi 3:
Diketahui matriks bujur-sangkar A=(a11), maka Det(A)=a11.
Matriks dan Determinan 5
Definisi 4:
Diketahui matriks bujur-sangkar A=(aij)n×n. n≥2.
(a). Minor (Minor) elemen aij disimbolkan Mij didefinisikan
sebagai determinan matriks yang diperoleh dengan
menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j pada matriks
A.
Contoh:
⇒
(b). Kofaktor (Cofaktor) elemen aij disimbolkan Cij
didefinisikan oleh Cij=(-1)i+j Mij
(c). Determinan matriks An×n didefinisikan sebagai berikut:
det(A)=ai1Ci1+ai2Ci2+…+ainCin untuk 1≤i≤n
atau
det(A)=a1jC1j+a2jC2j+…+anjCnj untuk 1≤j≤n.
Sifat 1
Jika A matriks ukuran 2×2, maka determinan dapat dihitung
dengan aturan berikut :
=
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaaaaaaaaaaaaaa
A
444341
242321
141311
32aaaaaaaaa
M =
( ) 211222112221
1211 aaaaaaaa
Adet −==
− +
Matriks dan Determinan 6
Sifat 2 : (Aturan Sarrus)
Jika A matriks ukuran 3×3, maka determinan A dapat
dihitung dengan aturan berikut :
Teorema 3 (Teorema-Teorema Determinan)
1. Jika A sebarang matriks bujur-sangkar yang memuat satu
baris elemen nol, maka det(A)=0.
2. Jika AT adalah transpose matriks A, maka det(AT)=det(A).
3. Jika A∗ adalah matriks yang diperoleh bila suatu baris elemen
matriks A dikalikan dengan konstanta k, maka :
det(A∗)=k det(A)
4. Jika A∗ adalah matriks yang diperoleh bila dua baris elemen
matriks A dipertukarkan, maka :
det(A∗)=−det(A)
5. Jika A∗ adalah matriks yang diperoleh bila kelipatan dari
suatu baris elemen matriks A, ditambahkan ke suatu baris
elemen yang lain, maka :
det(A∗)=det(A).
Catatan
Operasi-operasi terhadap suatu matriks berikut :
1. Mengalikan suatu baris elemen dengan bilangan k≠0
2. Menukarkan suatu baris dengan suatu baris lainnya
3. Menambahkan k kali suatu baris ke suatu baris lainnya,
( )
332112322311312213
322113312312332211
3231
21
1211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aa
aaaaaaaaa
Adet
−−−
++=
=
− +
Matriks dan Determinan 7
disebut Operasi Baris Elementer (elementary row operations).
Operasi serupa jika dikerjakan pada kolom-kolom suatu
matriks disebut Operasi Kolom Elementer.
3.3. Invers Matriks
Definisi 5:
Diketahui A sebarang matriks bujur-sangkar. Jika dapat
ditemukan matriks A-1 sedemikian hingga AA-1=A-1A=I,
dengan I matriks identitas, maka A dikatakan invertible dan
matriks A-1 disebut invers matriks A.
Teorema 4
1. Jika B dan C masing-masing invers matriks A, maka B=C.
2. Matriks A invertible jika hanya jika det(A)≠0.
3. Jika A invertible, maka det(A-1)=1/det(A).
4. Jika Anxn dan Bnxn invertible maka (AB)-1=B-1A-1
5. Jika A invertible, maka A-1 juga invertible dan (A-1)-1=A.
Definisi 6:
Diketahui A suatu matriks bujur-sangkar ukuran n×n.
1. Matriks
=
nn2n1n
n22221
n11211
CCC
CCCCCC
)A(C
L
MMM
L
L
, Cij kofaktor elemen aij
disebut Matriks Kofaktor A.
2. Adjoin matriks A disimbolkan Adj(A), didefinisikan :
Adj(A)=(C(A))T
Matriks dan Determinan 8
Teorema 5 :
Jika A invertible, maka ( ) ( )AAdjAdet
1A 1 =−
Dengan teorema 5 tersebut, maka invers suatu matriks dapat
dicari dengan determinan dan adjoinnya.
Contoh
−
−=
042361123
A , diperoleh :
det(A)=64
−−=
−
−=
1616161026
12412)A(Adj,
161012162416612
)A(C
−−=
−−=−
414141325321323
163161163
1616161026
12412
641A 1
Invers suatu matriks (jika ada) juga dapat dicari melalui
serangkaian operasi baris elementer, seperti dinyatakan teorema
berikut ini.
Teorema 6
Jika matriks An×n dapat ditransformasi menjadi matriks
Identitas I melalui serangkaian operasi baris elementer, maka
matriks A nonsingular. Rangkaian operasi baris yang
mentransformasi A menjadi I tersebut akan mentransformasi
I menjadi A-1.
Matriks dan Determinan 9
Ilustrasi teorema : ( )
→ − 1elementerbarisoperasi AIIA
Contoh :
Akan dicari kembali invers matriks
−
−=
042361123
A
( )
−−
−
− →
−
− →
−
−=
+−+−
103201310031
323160310316031321
1000100031
042361
31321
100010001
042361123
IA
3B1B22B1B
1B31
=
−− →
−−
−− →
−−
−− →
−−
−
− →
−+−+
++−
12B3B851B3B43
3B41
3B2B3161B2B32
2B163
AI414141325321323
163161163
100010001
414141016316108183
10085104301
111016316108183
40085104301
103201631610031
323160851031321
Keterangan : -5/8 B3+B2 artinya, -5/8 kali baris ke-3
ditambahkan ke baris ke-2.
Jadi diperoleh
−−=−
414141325321323
163161163A 1 .
Matriks dan Determinan 10
♦ Dua matriks A dan B dikatakan Ekuivalen Baris (row
equivalent) jika salah satu dari matriks tersebut dapat diperoleh
dari serangkaian operasi baris pada matriks lainnya.
♦ Suatu matriks dikatakan berada pada Bentuk Eselon Baris
Tereduksi (reduced row-echelon form) jika memenuhi :
(i). Pada suatu baris tak nol (tidak semua elemennya nol),
elemen pertama (dari kiri) tak nol adalah 1 (satu).
Elemen tersebut disebut 1 utama.
(ii). Di dalam sebarang dua baris tak nol berurutan, elemen
1 utama di dalam baris lebih rendah, terletak lebih jauh
ke kanan dibandingkan 1 utama pada baris yang lebih
tinggi.
(iii). Baris-baris dengan elemen-elemen semuanya 0 (nol)
terkelompokkan bersama-sama di bagian bawah
matriks.
(iv). Setiap kolom yang memuat elemen 1 utama, maka
elemen lainnya 0.
Catatan : Suatu matriks yang hanya memenuhi keadaan (i),
(ii) dan (iii) saja dikatakan berada pada Bentuk
Eselon Baris.
Contoh: - Matriks-matriks berikut ada pada bentuk eselon baris
tereduksi
−110030105001
,
100010001
,
0000
,
−
00000000004100010310
- Matriks-matriks berikut ada pada bentuk eselon baris
Matriks dan Determinan 11
− 410035105851
,
100010011
,
−
−
110000001100065210
♦ Eliminasi Gauss-Jordan adalah serangkaian operasi baris
elementer yang dikerjakan pada suatu matriks sedemikian
hingga diperoleh bentuk eselon baris tereduksi dari matriks
tersebut.
Contoh :
−
− →
−
− →
−
− +−
760211
342211
211342 2B1B212B
−−
→
−−
→ +−−
67106501
6710211 1B2B2B61
Pada bagian terapan, akan ditunjukkan penggunaan
eliminasi Gauss-Jordan tersebut untuk menyelesaikan suatu SPL.
Selanjutnya akan ditinjau pengertian rank suatu matriks
dengan terlebih dahulu mendefinisikan vektor baris dan vektor
kolom suatu matriks.
Diketahui matriks Amxn=(aij)mxn. Vektor-vektor
u1=(a11, a12, ..., a1n),
u2=(a21, a22, ..., a2n),
∂ um=(am1, am2, ..., amn)
disebut Vektor-vektor Baris matriks A, sedangkan vektor-vektor
=
m1
21
11
1
a
aa
Mv ,
=
m2
22
12
2
a
aa
Mv , ... ,
=
mn
2n
1n
n
a
aa
Mv
disebut Vektor-vektor kolom matriks A.
Matriks dan Determinan 12
Definisi 7
Rank matriks Amxn disimbolkan Rank(A) adalah bilangan yang
menyatakan jumlah maksimum vektor-vektor baris (vektor-
vektor kolom) matriks A yang independen linear.
Sifat 3: Diketahui Amxn. Rank(A)=0 hanya bila A=O.
Teorema 7
Diketahui matriks Amxn=(aij)mxn dan A≠O.
Rank(A)=r jika dan hanya jika r adalah bilangan bulat
terbesar sedemikian hingga Det( A )≠0, dengan A rxr
submatriks A.
Keterangan : Submatriks dari suatu matriks A adalah suatu
matriks yang diperoleh dengan menghilangkan satu
atau beberapa baris atau kolom matriks A.
Teorema 8
Diketahui matriks bujursangkar Anxn. Pernyataan-pernyata-
an berikut ini ekuivalen :
(a). A invertible
(b). Rank(A)=n
(c). A ekuivalen baris dengan matriks Identitas In
3.4. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Definisi 8
Diketahui matriks bujursangkar An×n. Bilangan λ disebut nilai
eigen matriks A, jika terdapat vektor v≠0 sedemikian hingga
Av=λv
Selanjutnya v disebut vektor eigen terhadap nilai eigen λ.
Matriks dan Determinan 13
Diperhatikan bahwa
Av=λv ⇔ (A-λI)v=0 ,
dengan I dan O masing-masing matriks identitas dan matriks nol.
Untuk mendapatkan penyelesaian v≠0, maka harus dipenuhi
det(A-λI)=0.
Persamaan terakhir biasa disebut persamaan karakteristik. Dari
persamaan karakteristik tersebut akan diperoleh penyelesaian
terhadap λ dan selanjutnya untuk setiap nilai λ akan menentukan
suatu vektor v.
Contoh:
Akan dicari nilai eigen dan vektor eigen matriks
−−−−=
121016121
A
Dari persamaan karakterisitik
det(A-λI)=0
⇔ 0121016121
=λ−−−−
λ−−λ−
⇔ λ3+λ2-12λ=0
⇔ λ(λ+4)(λ-3)=0
⇔ λ1=0, λ2=-4 atau λ3=3
untuk λ1=0, diperoleh
(A-λI)v=0
⇔ (A-0⋅I)v=0
⇔
=
−−−−−−
−
000
vvv
012100161201
3
2
1
⇔ v1=-1/13 v3 dan v2=-6/13 v3
Matriks dan Determinan 14
diperoleh vektor eigen v= Rt,t
13/t613/t
∈
−−
agar sederhana, dipilih t =-13, sehingga diperoleh vektor eigen
v=
−1361
Dengan cara serupa, untuk λ2=-4 dan λ3=3 dapat diperoleh
vektor eigen masing-masing
v=
−−
12
1 dan v=
−−
232
Teorema berikut ini sangat berguna untuk menghitung
matriks berpangkat. disamping itu, dapat pula digunakan untuk
meghitung invers suatu matriks (jika ada).
Teorema 9 (Cayley-Hamilton)
Suatu matriks bujur-sangkar akan memenuhi persamaan
karakteristiknya.
Jadi, jika diketahui matriks bujursangkar An×n dengan
persamaan karakteristik :
(-1)nλn+cn-1λn-1+ cn-2λn-2+…+ c1λ+c0=0
maka menurut teorema Cayley-Hamilton berlakulah :
(-1)nAn+cn-1An-1+ cn-2An-2+…+ c1A+c0I=0
⇔ An=(-1)1-n(cn-1An-1+ cn-2An-2+…+ c1A+c0I)
Terlihat bahwa teorema Cayley-Hamilton dapat digunakan untuk
menghitung matriks berpangkat.
Teorema Cayley-Hamilton juga dapat digunakan untuk
menghitung invers suatu matriks, yaitu :
Matriks dan Determinan 15
( )( ){ }( ){ }IcAcAcAcA1
c1A
AAcAcAcAcA1IAc
AcAcAcAcA1Ic
123n
2n2n
1n1n1n
0
1
11
22
2n2n
1n1n
n1n10
12
22n
2n1n
1nn1n
0
−−−−−−=⇔
−−−−−−=⇔
−−−−−−=
−−
−−
−+−
−−−
−−
+−
−−
−−
+
L
L
L
Contoh
Diketahui matriks
−−
=3142
A
Akan digunakan Teorema Cayley-Hamilton untuk menghitung A-1
dan Am.
Dari persamaan karakteristik : det(A-λI)=0, yaitu
( )( ) 0432031
42=+−λ+λ⇔=
λ−−λ−−
⇔ λ2−λ−2=0
⇔ λ1=−1 atau λ2=2
Berdasarkan teorema, diperoleh
A2−A−2I=0 ⇔ A-1=(A−I)/2 ⇔
−−
=−121223
A 1
Selanjutnya,
λ2−λ−2=0 ⇔ λ2=λ+2
⇔ λ3=λ2+2λ=(λ+2)+2λ=3λ+2
⇔ λ4=3λ2+2λ=3(λ+2)+2λ=5λ+6
⇔ ...
⇔ λm=k1λ+k2
Konstanta k1 dan k2 diperoleh dari substitusi λ1=−1 dan λ2=2
yaitu : k1=(2m−(-1)m)/3 , k2=(2m+(-1)m⋅2)/3 dan . Dengan
demikian :
λm=k1λ+k2 ⇔ Am =k1A+k2I
={(2m−(-1)m)/3}A+{(2m+(-1)m⋅2)/3}I
untuk m=6 (misalnya) diperoleh
−−
=85218420
A6 .
Matriks dan Determinan 16
3.5. Terapan
Sistem Persamaan Linear (SPL)
Sistem Persamaan Linear adalah suatu sistem persamaan
linear yang terdiri dari n persamaan dan m peubah :
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
∂ am1x1+am2x2+…+amnxn=bm
SPL tersebut dapat dituliskan ke dalam bentuk perkalian matrik :
AX=B
dengan
=
=
=
m
2
1
n
2
1
mn2m1m
n22221
n11211
b
bb
Bdan
x
xx
X,
aaa
aaaaaa
AMM
L
MMM
L
L
Teorema 10
Diketahui SPL dalam bentuk matriks AX=B, dengan matriks
=
=
=
m
2
1
1mx
n
2
1
1nx
mn2m1m
n22221
n11211
mxn
b
bb
Bdan
x
xx
X,
aaa
aaaaaa
AMM
L
MMM
L
L
.
Diketahui pula A~ , matriks imbuhan (augmented matriks).
=
m
2
1
mn2m1m
n22221
n11211
b
bb
aaa
aaaaaa
A~M
L
MMM
L
L
(a). Jika Rank(A)=Rank( A~ ), maka SPL tersebut paling
sedikit mempunyai satu penyelesaian. Dalam hal ini
dikatakan SPL tersebut konsisten.
Matriks dan Determinan 17
(b). Jika Rank(A)=Rank( A~ )=n, maka SPL tersebut
mempunyai penyelesaian tunggal.
(c). Jika Rank(A)<n, maka SPL tersebut mempunyai
penyelesaian yang banyaknya takhingga.
Secara umum dapat dinyatakan bahwa suatu SPL konsisten,
dapat diselesaikan melalui Eliminasi Gauss-Jordan.
Berikut ditinjau SPL pada teorema 10 untuk kasus m=n,
yaitu matriks Anxn, Xnx1 dan Bnx1 dengan A invertible.
Penyelesaian SPL Menggunakan Invers
Melalui operasi matriks, sistem persamaan AX=B, dapat
diselesaikan, dengan syarat A suatu matriks invertible
(berdasarkan teorema 8 maka Rank(A)=n) yaitu
AX=B ⇔ A-1AX=A-1B ⇔ IX=A-1B ⇔ X=A-1B.
Penyelesaian SPL Menggunakan Determinan
Selain invers, determinan matriks pun dapat digunakan
untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, seperti dinyatakan
oleh teorema berikut.
Teorema 11 (Aturan Cramer)
Jika AX=B adalah sistem persamaan linear yang terdiri dari n
persamaan dan n peubah, dan diketahui det(A)≠0 maka
sistem persamaan linear tersebut mempunyai penyelesaian
tunggal
( )( )
( )( )
( )( )AdetAdet
x,,Adet
Adetx,
AdetAdet
x nn
22
11 === L
Matriks dan Determinan 18
dengan Ak , k=1,2,...,n adalah matriks yang diperoleh dengan
menggantikan elemen-elemen kolom ke-k dari matriks A
dengan elemen-elemen matriks B.
Contoh: Akan dicari penyelesaian SPL berikut :
3x1+2x2-x3=0
x1+6x2+3x3=-48 ⇔ AX=B , dengan
2x1-4x2=32
−
−=
042361123
A ,
−=
=
32480
Bdanxxx
X
3
2
1
♦ Dengan Eliminasi Gauss-Jordan
Penyelesaian dengan cara ini adalah melalui eliminasi
gauss-jordan pada matriks imbuhan A~ . Elemen-elemen
pada kolom terakhir A~ setelah proses eliminasi selesai
meyatakan penyelesaian SPL.
Diperhatikan
−
−=
042361123
A dan
−=32480
B , maka
−−
−− →
−
−−−− →
−
−− →
−
−
−=
−
+−+−
128948
61608510
361
128144
48
616010160361
32048
042123
361
32480
042361123
A~
2B161
3B1B22B1B3
12B
Matriks dan Determinan 19
−− →
−−
− →
−−
− →
+−+
++−
4213
3
100010001
49
6
10085104301
169
6
40085104301
2B3B851B3B43
3B41
3B2B161B2B6
Jadi diperoleh : X=
−−=
4213
3
xxx
3
2
1.
♦ Dengan Invers
Karena
−−=−
414141325321323
163161163A 1 , maka diperoleh
−−=
−
−−== −
4213
3
32480
414141325321323
163161163BAX 1
♦ Dengan Determinan (Teorema 11)
Dari SPL di atas diperoleh :
−
−=
042361123
A , det(A)=64
−−
−=
04323648120
A1 , det(A1)=192
−
−=
03223481103
A2 , det(A2)=-416
Matriks dan Determinan 20
−−=32424861023
A3 , det(A3)=-256
Maka berdasarkan teorema 11 diperoleh
x1=192/64=3, x2=-416/64=-6,5 dan x3=-256/64=-4.
Jadi X=
−−=
4213
3
xxx
3
2
1.
Matriks dan Determinan 21
SOAL-SOAL LATIHAN
1. Tentukan rank matriks-matriks berikut :
−−
−
875386223111
dan213030112
2. Hitung invers matriks-matriks berikut :
−−
655432102
,
2212221103222220
3. Diketahui Det(A)=5 dan A suatu matriks ukuran 4×4. Hitunglah :
Det(3A), Det(2A-1) dan Det((2A)-1)
4. Diketahui matriks-matriks
=
243412321
A dan
=
243k12321
B
Jika Det(B)=2 Det(A), hitunglah nilai konstanta k
5. Carilah nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen masing-masing
matriks-matriks berikut
2145
,
−−−−
121016121
dan
−−
20004200831011731
6. Buktikan titik-titik (x1,x1), (x2,y2) dan (x3,y3) segaris bila hanya bila :
01yx1yx1yx
33
22
11=
7. Suatu matriks Anxn dikatakan simetris (symetric) jika AT=A dan
dikatakan anti-simetris (skew-symetric) jika AT=-A. Jika diketahui
matriks Bnxn tunjukkan matriks BBT dan B+BT masing-masing
simetris, sedangkan B-BT anti-simetris.
Matriks dan Determinan 22
8. Selesaikan masing-masing SPL berikut :
(a). x1+2x2+2x3=2 (b). x1+x2+x3=3
x1+x2+x3=0 x1-x2-x3=-1
x1-3x2-x3=0 3x1+2x2+x3=5
9. Tentukan Ak , k bilangan bulat positif, jika
=
222254245
A
10. Diperhatikan sebuah pelat bujursangkar dengan temperatur pada
masing-masing sisi seperti gambar. Pada beberapa keadaan
tertentu, hampiran temperatur pada titik P1, P2, P3 dan P4 dapat
dihitung masing-masing dengan rumus:
4100100uu
u
4200100uu
u
4200100uu
u
4100100uu
u
314
423
312
421
+++=
+++=
+++=
+++=
a. Tunjukkan Sistem Persamaan Linear di atas equivalen
dengan persamaan matriks
−−−−
=
−−
−−
200300300200
uuuu
4101141001411014
4
3
2
1
b. Selesaikan persamaan matriks pada bagian a dengan
mencari invers matriks koefisiennya.
100oC
100oC
100oC
200oC
P1
P2 P3
P4