3-1

3. PROFILI U NESTLAČIVOM OPTJECANJU

3.1 Razvoj profila

Presjeka krila okomito na njegov raspon nazivamo profil. Razvoj profila može se pratiti

pomoću slike 1. Ako profil ploče iznenadno zauzeo mali napadni kut, pojavit će optjecanje

kao na slici 1-a. Zbog toga što je oblik strujanja skoro simetričan praktično nema sile uzgona.

Međutim zbog viskoziteta strujanje na izlazom rubu ne može nastaviti obilaziti oštri izlazni

rub da bi zrak išao u natrag.

Slika 3-1

U mjesto toga struja zraka se brzo dobije oblik kao na slici b tj. struja zraka na izlaznom rubu

je praktično tangencijalna s pločom. To je tzv. Kutta uvjet prema Njemačkom znanstveniku

W. M. Kutta koji je 1902 prvi postavio taj uvjet da bi teoretski izračunao silu uzgona jednog

3-2

profila. Na toj slici treba uočiti strujnicu koja djeli nailazeću struju zraka na zrak koji ide na

gornju stranu ploče od zraka koji ide na donju stranu ploče. Na kraju te strujnice, gdje ona

udara okomito na ploču, nalazi se zaustavna točka u blizini napadnog ruba. Zrak s gornje

strane te strujnice nije u stanju obići oštri napadni rub, te dolazi do odvajanja struje zraka s

gornje strane ploče. Pod utjecajem nailazeće struje zraka s gornje strane ploče dolazi do

povrata struje zraka na površinu ploče neposredno poslije obilaska napadnog ruba. Zbog ove

nesimetrične slike optjecanja u kojoj zrak s gornje strane ima dulji put dolazi do ubrzava

gibanje a s donje strane, gdje zrak ima kraći put ploče, dolazi do usporavanja gibanja.

Primjenom Bernulijeve jednadžbe znači da s gornje strane imamo pad tlaka, a s donje

povećanje tlaka. Ta razlika tlaka stvara silu uzgona.

Slika 3-2

3-3

Ako je napadni kut ploče veliki (npr. 015 ) odvojeno strujanje s gornje strane od

prednjeg ruba neće biti vraćeno na ploču kao na slici c. Kad se to dogodi neuredno

(nekontrolirano) optjecanje s gornje strane stvara povećanje tlaka, što izaziva pad sile uzgona.

aj slučaj nazivamo slom uzgona (stall).

Da bi poboljšali optjecanje i time omogućili veće napadne kutove prije sloma uzgona,

povije se prednji dio profila ploče kao na slici d. da bi bio bolje prilagođen nailazećoj struju

zraka. Taj oblik profila je sličan onome koji su primijenila Wright Brothers. Ovo rješenje, kao

što se moglo očekivati je dobro samo za mali interval napadnih kutova za koje je tangenta na

napadni rub profila u pravcu nailazeće struje. Međutim, ako podebljamo profil i zaoblimo ga

na prednjem rubu, profila se može koristiti za znatno veći interval napadnih kutova, a da se ne

pojavi odvajanje struje s gornje strane prednjeg ruba. Zakrivljenost profila i debljina profila

nisu elementi potrebni za stvaranje uzgona, već oni omogućuju uporabu danog krila u širem

intervalu napadnih kutova, a time i veći najveći uzgon prije pojave sloma uzgona.

I zakrivljeni i zaobljen profil konačne debljine ima svoj slom uzgona kao na slici f. Pri

nekom napadnom kutu dolazi ipak do odvajanja s gornje strane u blizini izlaznog ruba. S

povećanjem tog napadnog kuta točka odvajanja struje zraka pomjera se u naprijed. Gdje će se

vršiti to odvajanje od prednjeg ili zadnjeg ruba ovisi o Reynoldsovom broju i geometriji

profila. Jasno je da deblji profili sa zaobljenim prednjim rubom imaju odvajanje od prednjeg

ruba pri većim napadnim kutovima. Isto tako djeluje i povećanje Reynoldsovog borja.

Odvajanje od zaobljenog prednjeg ruba profila realne debljine stvara odvojeno

optjecanje na cijelom gornjem dijelu profila, dok je odvajanje na zadnjem dijelu profila

progresivno s povećanjem napadnog kuta i postupno dovodi do sloma uzgona. Pogledajmo

prvo sliku 3.6 koja daje rezultate ispitivanja promjene uzgona s povećanjem napadnog kuta

profila NACA 1408 za razne vrijednosti Reynoldsovog broja: 666 109,106,103 ⋅⋅⋅=Re .

Prvo uočimo da je za taj profil i za sve vrijednosti Reynoldsovog broja isto 0α i αlc . Razlika

je u slomu uzgona zbog različitih Reynoldsovih brojeva.

Za najmanju vrijednost Reynoldsovog broja 6103 ⋅=Re (točke označene ○), slom

uzgona se pojavljuje odjedanput kad napadni kut ima vrijednost 0max 12=α . To znači da je pri

tom Re

Za srednju vrijednost Reynoldsovog broja 6106 ⋅=Re (točke označene □), slom

uzgona se pojavljuje također odjedanput ali pri većoj vrijednosti napadnog kuta 0max 14=α .

3-4

lijevo desno

Slika 3-3

3.2 Optjecanje tankih profila pod malim napadnim kutom

U aerodinamici profila koristimo dva koordinatna sustava. Prvi ima ishodište na početku

tetive, os x u pravcu tetive, a z os okomito na gore (y os koju ne koristimo ide u pravcu

razmaha krila). Komponentu aerodinamičke sile u pravcu tetive nazivamo uzdužna sila i

označavamo je sa X, a komponentu okomitu na tetivu nazivamo normalna sila i označavamo

je sa Z. Drugi koordinatni sustav ima isto ishodište ali x os je u pravcu neporemećene brzine

optjecanja ∞V , a z os je okomita na nju isto na gore (y os oba koordinatna sustava je

zajednička i u pravcu raspona krila). Komponenta aerodinamičke sile duž neporemećene

brzine označava se sa D i naziva se otpor, a komponenta okomita na neporemećenu brzinu

označava se sa L i naziva se uzgon.

3-5

α

∞VX

D

Z

L

Fzz

x

x

c

Slika 3-4

3.2.1 Aerodinamički koeficijenti profila

Zamislimo jedno krilo beskonačnog raspona, a istog profila u svim presjecima krila. Takvo

krilo ima ravansko optjecanje tj u svim presjecima bit će slika optjecanja ista. Promatramo

jedan dio dy koji je isječen iz tog krila, ali se nalazi u prisustvu ostatka krila (slika 3-5).

dycdS ⋅= je projekcija površine tog djela krila na ravan krila. Na taj dio krila duljine dy

djeluje aerodunamička sila koja ima dvije komponente u ravni profila: uzgon dL okomito na

brzinu i otpor dD u pravcu brzine, te moment propinjanja dM u ravni profila. S obzirom da

smo pretpostavili da je optjecanje ravansko ta brzina u promatranom presjeku ista je kao i u

svakom drugom presjeku. Odnos sile uzgona na tom dijelu krila prema referentnoj sili

predstavlja koeficijent uzgona profila

dycVdLc

⋅⋅=

∞

2

2ρl ,

Isto tako je koeficijent otpora profila

dycVdDcd

⋅⋅=

∞

2

2ρ,

i koeficijent momenta propinjanja profila za neku točku profila (obično za točku na 41

tetive)

3-6

cdycVdMcm

⋅⋅⋅=

∞

2

2ρ.

1m

c

Slika 3-5 Dio jedinične duljine isječen iz beskonačnog krila

To znači da je otpor, uzgon i moment propinjanja po jedinici duljine u presjeku krila :

m

d

ccVdydM

ccVdydL

ccVdydD

22

2

2

2

2

2

∞

∞

∞

=

=

=

ρ

ρ

ρ

l

Uvedimo oznake

DdydD ′= L

dydL ′= M

dydM ′=

D′ i L′ imaju dimenzije sile po duljine (opterećenje) tj [ ]mN , dok M ′ ima dimenziju

momenta po duljini (to je dimenzija sile).

Ako je optjecanje ravansko a to znači isti profil i isti vektor neporemećene brzine po cijelom

razmahu krila, onda su otpor, uzgon i moment koji djeluje na dio krila raspona b

d

d

cbcVM

ccbVL

ccbVD

22

2

2

2

2

2

∞

∞

∞

=

=

=

ρ

ρ

ρ

l

3-7

Međutim ako profil ili vektor neporemećene brzine nisu isti onda moramo integrirati po

razmahu krila da bi dobili otpor, uzgon i moment koji djeluju na krilo.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )∫

∫

∫

⋅=

⋅=

⋅=

∞

∞

∞

2

0

22

2

0

2

2

0

2

22

22

22

b

b

b

d

dyycycVM

dyycycVL

dyycycVD

l

l

ρ

ρ

ρ

Vidimo da su nam potrebni aerodinamički koeficijenti profila da bi smo odredili

aerodinamičke sile i moment koji djeluju na krilo.

3.2.2 Određivanje aerodinamičkih koeficijenata profila uzrokovanih talkom

Prema slici 3-6 bit će elementarna sila koje djeluju na element površine dyds ⋅ donjake

(indeks "d" od engleske riječi down) zbog tlaka

( ) dydzpdydzpdydspdDdydxpdydspdL

dddd

ddd

⋅−=⋅−⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=

δδ

sincos

ili

dzpDddxpLd

dd

dd

−=′⋅=′

a na element gornjake (indeks "u" od engleske riječi up)

( ) dydzpdydzpdydspdDdydxpdydspdL

uuuu

uuu

⋅=⋅−⋅−=⋅⋅⋅−=⋅⋅−=⋅⋅⋅−=

δδ

sincos

dzpDddxpLd

dd

dd

−=′⋅=′

Isto tako elementarni moment zbog tlaka za ishodište

( )( )dzzdxxpDdzLdxMd

dzzdxxpDdzLdxMd

uuuu

dddd

+⋅−=′⋅+′⋅−=′+⋅=′⋅−′⋅=′

Na cijeli profil djelovat će sile

∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫

⋅−=⋅−⋅−=⋅−⋅=′+′=′

⋅=⋅+⋅=⋅−⋅=′++′=′

dzpdzpdzpdzpdzpDdDdD

dxpdxpdxpdxpdxpLdLdL

A

Bu

B

Ad

A

Bu

A

Bd

B

Au

B

Ad

A

Bu

B

Ad

B

Au

B

Ad

B

Au

B

Ad

3-8

Kako je rezultanta od elementarnih sila dsp∞ po zatvorenoj konturi profila jednaka nuli, bit

će

( )

( )

( ) ( )∫∫∫

+⋅−=′

⋅−=′

⋅−=′

∞

∞

∞

dzzdxxppM

dyppD

dxppL

sd Dd

Ld

∞V

⋅

δ

∞V

1⋅dspLd

sdDd

c

δ

1dsp

A

A

B

B

Slika 3-6. Elementarne sile na profilu jedinične širine

3-9

Da bi dobili koeficijente profila trebamo ove sile po duljini raspona (opterećenja) podijeliti sa

referentnim tlakom 2V 2ρ i sa tetivom profila c

( ) ∫∫∫ =−

=−⋅

=⋅

′= ∞

∞ xdCcxd

Vppdxpp

cVcVLc p

22

1

2

222 ρρρl

gdje je koeficijent tlaka

∞

∞−=

qppC p

a 2

21

∞∞∞ = Vq ρ je referentni tlak. Uočimo da je pC nad tlak u promatranoj točki

∞−=∆ ppp , podijeljen s referentnim tlakom, drugim riječima to je bezdimenzionalni prirast

tlaka u promatranoj točki.

Isto tako bit će bit:

( ) ∫∫ −=⋅−−=′

= ∞∞∞

zdCdzppcqcq

Dc pd1

i na analogni način dobivamo konačno i koeficijent momenta za točku na napadnom rubu.

( )∫ += zdzxdxCc pm .

Uočimo da su ovi integrali po konturi profila napisani u koordinatnom sustavu čija je x os u

pravcu neporemećene brzine. Međutim s obzirom da integral po zatvorenoj krivulji ne ovisi

od izbora koordinatnog sustava mogu se oni izračunati i uz pomoć kooridnatnog sustavu čija

je x os duž tetive. U svakom slučaju da bi izračunali aerodinamičke koeficijente na profilu

prouzrokovane tlakom potreban je koeficijent tlaka pC .

3.2.3 Izračunavanje aerodinamičkih koeficijenata profila uzrokovanih trenjem

Kao što smo odredili aerodinamičke koeficijente prouzrokovane tlakom na gornjaci i donjaci

tako isto određujemo i aerodinamičke koeficijente prouzrokovane trenjem zraka po gornjaci i

donjaci profila. Na elementarnoj površini dydsdS ⋅= postoji elementarna sila trenja

dSdF ⋅= τ u pravcu tangente, i u smjeru od brzine, gdje je τ tangencijalni napon zbog

trenja zrako po konturi profila. Sa slike 3-7 vidimo da element te sile ima komponente na

gornjaci :

dydxdydsdDdydzdydsdL

uuu

uuu

⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=

τδττδτ

cossin

ili poslije dijeljenja sa dy

3-10

dxDddzLd

uu

uu

⋅=′⋅=′

ττ

a na donjaci:

dydxdydsdDdydzdydsdL

ddd

ddd

⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=

τδττδτ

cossin

dxDddzLd

dd

dd

⋅=′⋅=′

ττ

sd Dd

αcosc

c

dL∞V

αsincDdsd

Ld

1dsd ⋅τ

∞V

δ

δ

1dsu ⋅τ

Slika 3-7

Elementarni moment oko ishodišta zbog trenja:

dddd

uuuu

dDzdLxdMdDzdLxdM⋅+⋅−=

⋅−⋅=

3-11

Na cijeli profil djelovat će sile po jedinici raspona

( )

( )∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

+=+=′+′=′

+=+=′+′=′

B

Aud

B

Au

B

Ad

B

Au

B

Adf

B

Aud

B

Au

B

Ad

B

Au

B

Adf

dxdxdxDdDdD

dzdzdzLdLdL

ττττ

ττττ

Odgovarajući koeficijenti trenja profila

( )

( )∫

∫

+=′

=

+=′

=

∞

∞

B

Aufdf

fdf

B

Afudf

ff

xdcccV

Dc

zdcccV

Lc

2

2

2

2

ρ

ρl

gdje odnos tangencijalnog napona na optjecanoj površini i referentnog tlaka

f2 c

2V

=∞ρ

τ

tz. lokalni koeficijent trenja.

Postoji i moment za vrh profila od sila trenja:

( ) ( )∫∫∫∫ ⋅+⋅−+⋅−⋅=′+′=′B

Addd

B

Auuu

B

Ad

B

Auo dDzdLxdDzdLxMdMdM

Kao što vidimo da bi izračunali aerodinamičke koeficijente uslijed trenja treba nam lokalni

koeficijent trenja fc , ako što nam je trebao koeficijent tlaka pC da bi izračunali

aerodinamičke koeficijente uslijed tlaka.

3.2.4 Profil kao vrtložna površina

Slučaj tankih profila pod malim napadnim kutom može se teoretski analizirati. Tanak profil

možemo zamijeniti s njegovom srednjom linijom a da se njegove značajke ne razliku bitno od

profila male debljine. Neka je jednadžba te srednje linije ( )xzz = kao na slici 2-5. Na

elementu ds postavljamo elementarni vrtlog

dsd ⋅=Γ γ

takav da budu zadovoljeni rubni uvjeti (brzina tangentna na profil). Prema teoremu Kutta-

Joukowski na taj element profila ds djeluje elementarna sila uzgona

Γ=′ ∞∞ dVLd ρ

Poslije dijeljenje sa ds.1

γρ ∞∞=∆ Vp

3-12

dsΓd

z

x

Slika 3-8

gdje je ud ppp −=∆ razlika tlaka s donje i gornje strane profila na mjestu promatranog

elementa. Ta razlika tlaka može se prikazati i pomoću koeficijenta tlaka

( ) ( )2

2∞∞

∞∞ −=−−−=∆VCCppppp pupdud

ρ

Kombiniranjem ove jednadžbe i gornje dobivamo

∞

=−V

CC pupdγ2

U svakom slučaju vidimo da je funkcija ( )xγ pokazuje razliku tlaka (ili koeficijenta tlaka)

donjake i gornjake.

Na mjesto srednje linije, s kojom smo zamijenili profil (krilo beskonačnog raspona),

promatramo cilindričnu vrtložnu površinu. Elementarni vrtlozi su pravocrtne izvodnice, a

srednja linija profila je direktrisa te cilindrične površine kao na slici 9.

Vrtložna površina predstavlja površinu diskontinuiteta u strujnom polju, jer se i

normalna i tangencijalna komponenta brzine razlikuju s gornje i donje strane vrtložne

površine. U to ćemo se uvjeriti na slijedeći način. Zato što je optjecanje ravansko u točki

( )zxP , postoji potencijal od jedne vrtložne niti:

rndsd lπ

γφ2

=

3-13

x

y

z

A B

Slika 3-9

a ukupni je potencijal u točki P koji stvara vrtložna površina od točke A do točke B

( )∫=B

A

dsrnlγπ

φ21

Gradijent potencijala je

∫∫−

=∂∂

=∂∂ B

A

B

A

dsr

xdsxr

rx 2211

21 ξγ

πγ

πφ

A B

x

ξ

ds

P ( )zx,

( )ζξ ,r

x

z

Slika 3-10.

3-14

∫−

=∂∂ B

A

dsr

zz 22

1 ςγπ

φ

a inducirana brzina u pravcu nr bit će

φgradnVn ⋅=r

Da bi pojednostavili, pretpostavimo nezakrivljenu vrtložnu površinu AB. Zatim postavimo x

os koordinatnog sustava paralelno toj površini. Normalna komponenta brzine na vrtložnu

površinu AB bit će:

∫−

=∂∂

=⋅=B

A2n ds

rz

21

zgradnV ζγ

πφφr

Vidimo da pri prolazu točke P kroz vrtložnu površinu (ζ je konstatno, a z se smanjuje i kad

točka P prolazi kroz vrtložnu površinu ζ=z ) normalna komponenta brzine mijenja znak.

Tangencijalne komponente isto imaju diskontinuitet. Promatrajmo kao na slici 2-9

elementarni četverokut oko elemnta ds. Cirkulacija duž tog četverokuta mora biti jednaka

intenzitetu vrtložne niti, a to znači da je

z

x

Γdds

utv

dtvnv

nv

Slika 3-11

Γ=⋅+⋅+⋅+⋅rrrrrrrrr dndvsdvndvsdv ndtnut

Kao što smo rekli normalna komponenta brzine je po intenzitetu ista s gornje i donje strane

vrtložne površine, pa je skalarni produkt duž bočnih stranica četverokuta jednak nuli jer je do

vrtložne površine jednog znaka (prva polovina dn), a poslije (druga polovina dn) suprotnog,

dok je intenzitet isti. Tako dobivamo

dsdsvdsv dtut γ=−

γ=− dtut vv

3-15

Pretpostavimo da je element ds na izlaznom rubu profila C. Ako postoji gustoća vrtloga γ u

izlaznoj točki C onda na izlaznom rubu imamo dvije različite brzine s gornje i donje strane

ruba, jer je

dcucc vv −=γ

Kako je to nerealno, jedino je moguće rješenje, da na izlaznom rubu gustoća bude jednaka

nuli:

0=Cγ .

To je uvjet Kutta Žukovski.

3.2.5 Raspodjela cirkulacije po tetivi profila

Iskoristimo činjenicu da srednja linija nema veliku zakrivljenost pa vrtložne niti možemo

promatrati na tetivi (na x osi) kao na slici 2-9. To znači da je

( )xdxd γ=Γ

z

x

dxαΓd

Slika 3-12

a rubni je uvjet prema Kutta Žukovskom:

( ) 0=cγ .

Elementarni vrtlog Γd inducira na srednjoj liniji brzinu elementarnu induciranu brzinu koja je

okomita na poteg od vrtloga do promatrane točke P. Ta brzina ima dvije komponente: tdw

duž tangente i ndw okomitu na tangentu. Komponenta okomita na tangentu praktično je

jednaka induciranoj brzini na x osi

( )xddwdwn −

=≈ξ

ξξγπ21

3-16

Γd

z

x

ξd

ξ

x

dxdzarctgndw

dV

tdw

dw

Slika 3-13

Zato je ukupna komponenta duž normale od svih inducirana brzina jednaka integralu

( )∫ −

=c

dx

w02

1 ξξξγ

π

z

x

α

ξ

x

nV

Γd

∞V

nw

dxdzarctg

ξd

Slika 3-14

Iz rubnog uvjeta, ta brzina mora biti jednaka projekciji brzine optjecanja na normalu u točki P.

( )

−=

− ∞∫ dxdzarctgVd

x

c

αξξξγ

πsin

21

0

Već smo usvojili da je zakrivljenost mala što znači da je dxdz

dxdzarctg ≈ , a isto tako

promatramo i slučaj malih napadnih kutova, pa je sinus napadnog kuta jedank kutu u

radijanima. Tako dobivamo temeljnu jednadžbu tankih profila

( )

−=

− ∞∫ dxdzVd

x

c

αξξξγ

π 021

3-17

U ovoj jednadžbi je ( )xzdxdz ′= zadana funkcija, a traži se gustoća intenziteta elementarnih

vrtloga ( )ξγγ = .

3.2.6 Značajke simetričnog profila

Simetrični profili su nezakrivljeni 0=dxdz , jer je njihova srednja linija ujedno tetiva profila.

Temeljna jednadžba simetričnih profila ima jednostavan oblik:

( ) αξξξγ

π ∞=−∫ Vd

x

c

021 .

Rješava se uvođenjem Glauertove varijable (kao na slici 2-13)

( )ϕξ cos12

−=c

ϕϕξ dcd sin2

=

analogno tomu je

( )ϑcos12

−=cx

ϑξx

2c

ϕ

Slika 3-15

S tom smjenom temeljna jednadžba dobiva oblik

( ) αϕϑϕ

ϕϕγπ

π

∞=−∫ Vd

0 coscossin

21

3-18

Ne zaboravimo da je kut ϑ konstanta u procesu integracije po kutu ϕ . Rješenje ove

integralne jednadžbe jest

( )ϑϑαϑγ

sincos12 +

= ∞V

U prilogu 11.1 je dokazano ovo rješenje. Uočimo da je na početku profila, kada je 0=ϑ ,

gustoća vrtloga ∞=γ , a na kraju profila, kada je πϑ = , ova jednadžba daje neodređen

rezultat, pa je potrebno primijeniti L'Hospitalovo pravilo

( ) 0cossin2 =

−= ∞ π

παπγ V

Ovakva raspodjela vrtloga po tetivi profila daje nam informaciju i o raspodjeli razlike tlaka.

Kako je

∞

=−V

CC pupdγ2

bit će za gornju funkciju ( )ϑγ

ϑϑα

sincos14 +

=− pupd CC

Slika 3-16

Vratimo na mjesto Glauertove varijable ϑ koordinatu ( )ϑcos12

−=cx , dobit ćemo

xxCC updp

−⋅=−

14α

3-19

Na dijagramu slika 14 prikazana je razlika koeficijenta tlaka ovisno o relativnom udaljenju od

vrha profila. Vidimo da je razlika koeficijenta tlaka proporcionalna napadnom kutu, da je

njena najveća vrijednost na početku tetive, i da opada rapidno prema izlaznom rubu. Linearna

teorija ne daje dobre rezultate na početku profila, jer je na zaobljenju kut tangente vrlo veliki.

Ukupni vrtlog oko profila pri ovoj raspodjeli ( )xγ bit će

( ) απϑϑϑϑαγ

π

∞∞ =+

==Γ ∫∫ cVdcVdxxc

00

sinsin

cos12

2

U jednadžbu teoreme Kutta Žukovski za profil

Γ= ∞∞VF ρ

zamijenimo vrijednost za cirkulaciju silu uzgona pomoću aerodinamičkog koeficijenta, pa

ćemo dobiti:

απρρ∞∞∞

∞∞ = cVVccVl2

2

απ2=lc

Uočimo karakter ovog koeficijenta uzgona tankog simetričnog profila. On je proporcionalan

napadnom kutu, a koeficijent proporcionalnosti je π2

αmalo

lc

π2arctan α

Slika 3-17. ( )αlc tankog simetričnog profila pod malim napadnim kutom

3-20

Konačno smo u mogućnosti izračunati hvatište aerodinamičke sile na simetričnom profilu.

Kako je Γ= ∞dVdF ρ i Γ= ∞∞VF ρ , bit će

Γ

Γ==∫∫cc

pc

xd

F

xdFx 00

Integral u brojniku

( ) απϑϑαϑϑϑϑαϑ

ππ

∞∞∞ =⋅=+

⋅−=Γ ∫∫∫ VcdVcdcVcxdc

2

0

22

00 4sin

21sin

2sincos12cos1

2

Vrijednost u nazivniku je već poznata απ ∞=Γ cV pa je

4cxcp =

Zato što je ova točka hvatište sile uzgona, za nju je moment propinjanja jednak nuli.

Za tanke profile (debljine do %12 ) i za male napadne kutove ( 2.0<α ), ispitivanja u

tunela na simetričnim profilima u potpunosti potvrđuju ove rezultate da je gradijent πα

2=∂∂ lc

te da je koeficijent momenta propinjanja za jednu četvrtinu tetive jednak nuli 041 =mc .

3.2.7 Značajke nesimetričnog profila

Vidjeli smo da temeljna jednadžba koja određuje raspodjelu cirkulacije po tetivi za

nesimetrične profile ima oblik

( )

−=

− ∞∫ dxdzVd

x

c

αξξξγ

π 021

ili pomoću Glauertove varijable

( )

−=

− ∞∫ dxdzVd αϕ

ϑϕϕϕγ

π

π

0 coscossin

21

Uočimo da nam je funkcija dxdz zadana a da se traži funkcija ( )ϑγ . Rješenje ove jednadžbe

tražimo u obliku zbroja funkcija

( ) ( ) ( )ϑγϑγϑγ f+= 0

gdje su ( )ϑγ 0 i ( )ϑγ f rješenja jednadžbi:

( ) αϕϑϕϕϕγ

π

π

∞=−∫ Vd

0

0

coscossin

21

( )dxdzVdf

∞=−∫

π

ϕϑϕϕϕγ

π 0 coscossin

21

3-21

Rješenje prve jednadžbe znamo jer to je gustoća vrtloga po tetivi simetričnog profila.

( )ϑϑϑγ

sincos12 00

+= ∞ AV

Drugo, ne znamo ali pada u oči da ono ne ovisi o napadnom kutu, već samo o zakrivljenosti

profila. To drugo rješenje tražimo u obliku Fourierove serije.

∑∞

=∞=

1

sin2n

nf nAV ϑγ

Sve konstante određujemo za zbroj.

++

= ∑∞

=∞

10 sin

sincos12

nn nAAV ϑ

ϑϑγ

Ako je rješenje tog oblika onda ono mora zadovoljavati temeljnu jednadžbu. Iz tog uvjeta

određujemo nepoznate konstante.

−=

−

+

+∞

∞

=∞∫ ∑ dx

dzVdnAAVc

nn α

ϑϕϕϕϕ

ϕϕ

π 0 10 coscos

sinsinsin

cos1221

dxdzdnAdA c

nn

c

−=−

+−

+∫ ∑∫

∞

=

αϑϕ

ϕϕϕπ

ϕϑϕ

ϕπ 0 10

0

coscossinsin1

coscoscos1

dxdzdnAdA

n

nc

−=−⋅

+−

+ ∑ ∫∫∞

=

αϕϑϕϕϕ

πϕ

ϑϕϕ

π

π

1 00

0

coscossinsin

coscoscos1

dxdznAA

nn −=−∑

∞

=

αϑ1

0 cos

Zadanu funkciju dxdz moramo razviti u Fourierov red:

∑∞

=

+=1

0 cosn

n nBBdxdz ϑ

gdje su

∫

∫

=

=

π

π

ϑϑπ

ϑπ

0

00

cos2

1

dndxdzB

ddxdzB

n

Uočimo važnu značajku ovih Fourierovih koeficijenata. Oni ne ovise o brzini optjecanja ∞V

ni o napadnom kutom α . Tako se temeljna jednadžba svodi na oblik

∑∑∞

=

∞

=

−−=−1

01

0 coscosn

nn

n nBBnAA ϑαϑ

iz koje slijedi da su traženi koeficijenti rješenja:

3-22

nn BABA

=−= 00 α

Koeficijent 0A ovisi o napadnom kutu ali ne o brzini optjecanja, a koeficijenti nA ne ovise ni

o brzini optjecanja ni o napadnom kutu. Tako je konačno gustoća vrtloga na u funkciji

Glauertove varijable:

( )

++

−= ∑∞

=∞

10 sin

sincos12

nn nBBV ϑ

ϑϑαγ

Ukupni vrtlog koji je integral elementarnih vrtloga bit će ( ϑϑ dcdx sin2

= )

( )

++−=−==Γ ∑ ∫∫∫∫

∞

=∞

1 000

00

sinsincos1sin2 n

n

c

dnAdAcVdcdxπππ

ϑϑϑϑϑϑϑγγ

Kako je

≠

==∫10

12sinsin

0 n

ndnπ

ϑϑϑπ

bit će

( )

+−⋅−=

+−−=

+−=Γ ∞∞∞ 222

101010

BBcVBBcVAAcV αππαπππ

To znači da je

( )0ααπ −⋅−=Γ ∞cV

gdje je

21

00BB −=α

Na temelju ove vrijednosti za cirkulaciju oko profila bit će primjenom teoreme Kutta

Žukovski Γ−= ∞∞VL ρ

( )0

2

2ααπρρ

−⋅= ∞∞∞∞∞ cVVccV

l

( )02 ααπ −=lc

Uočimo iz ove jednadžbe fizičko značenje 0α . To je napadni kut pri kome je uzgon jednak

nuli. On je značajka profila i obično je negativan.

3-23

0α

π2arctanα

αmalo

lc

Slika 3-18 ( )αlc tankog nesimetričnog profila pod malim napadnim kutom

Znači zbog zakrivljenosti srednje linije tankog profila koeficijent uzgona πα 2=lc se nije

promijenio. Pojavilo se samo 00 <α , zbog koga se ( )αlc transliralo na gore, drugim riječima

imamo povećanje koeficijenta uzgona profila za 02 απ bez obzira na napadni kut.

z

x

x

Γ= ∞∞ dVdL ρ

L

lx

c

Slika 3-19

3-24

Aerodinamički moment za vrh profila (napadni rub, leading edge ) bit će

∫∫ Γ⋅=⋅= ∞∞

cc

e dVxdFxM00

ρl

a njegov koeficijent

∫∫

⋅=⋅

⋅=

∞∞∞

∞∞ c

c

em dxxcVccV

dxVxc

022

0 2

2

γρ

γρ

l

Kako je

( )

−

+−−=

−+−−=

−+−=

+

+⋅−−=

⋅=Γ

∞∞∞

∞

=∞∫ ∑

∫∫

242424

sin2

sinsin

cos12cos12

210

2210

2210

2

0 10

00

BBcVBBBcVAAAcV

dcnAAVc

dxxdx

nn

cc

ααπαππ

ϑϑϑϑϑϑ

γ

π

bit će

−

+−−=

−

+−−= ∞∞ 22242 21

021

02

2

BBBBcVcV

c em ααπααπl

Potražimo hvatište sile uzgona lx .

( )

−−

⋅+=−−

−

+−−=

Γ

Γ=

Γ

Γ==

∞

∞

∞∞

∞∞ ∫∫∫0

21

0

210

2

000

211

424

ααααπ

ααπ

ρ

ρBBc

cV

BBcVdx

V

dVx

L

xdLx

ccc

l

Vidimo da za razliku od simetričnih profila, kod nesimetričnih profila hvatište sile uzgona

ovisi o napadnom kutu (kreće se od ∞− do ∞+ ). To znači da hvatište sile uzgona profila

nije jedna određena točka koja bi mogla biti značajka profila. Zato se hvatište sile uzgona ne

upotrebljava u praksi. Namjesto njega koristi se aerodinamički centar.

Potražimo moment za točku koja se nalazi na prvoj četvrtini tetive.

∫∫ ∞∞⋅

−=⋅

−=

cc

dxVcxdFcxM00

41 44γρ

a koeficijent tog momenta je

3-25

( )

( )

( )21

021

0

021

02

2

02

02

02

0241

4

222

21

242

212

422

42

BB

BB

cVcV

BBcVcV

cVdx

cV

dccV

dxcV

dcxcV

c

c

ccc

m

−−=

−+

−

+−−=

−+

−

+−−=

Γ−Γ⋅=

Γ⋅−Γ⋅=Γ⋅

−=

∞∞

∞∞

∞∞

∞∞∞

∫

∫∫∫

π

ααπααπ

ααπααπ

Ta vrijednost koeficijenta momenta ne ovisi o napadnom kutu. Ona jedino ovisi o obliku

srednje linije profila (konstante 21 i BB predstavljaju oblik profila). Zato se točka na tetivi za

koju moment propinjanja ne ovisi o napadnom kutu uzima kao značajka profila i zove se

aerodinamički centar.

4cx ca =

Uočimo činjenicu da simetrični profili imaju moment propinjanja za jednu četvrtinu

tetive (gdje je hvatište uzgona) jednak nuli, pa je ta točka isto aerodinamički centar

simetričnih profila jer moment u njoj ne ovisi o napadnom kutu. Drugim riječima

aerodinamički centar je značajka za sve vrste profila, ali za simetrične to je ujedno hvatište

sile uzgona, dok se hvatište sile uzgona na nesimetričnim profilima pomjera ovisno o

napadnom kutu od ∞− do ∞+ .

3.2.8 Primjer

Zadana zakrivljena ploča kao na slici. Parametarske jednadžbe srednje crte

( )ϑcos12

−=cx

ϑ2sinfz =

Ovim parametarskim jednadžbama odgovara nagib tangente

ϑϑ

ϑϑ cos4sin

2

cossin2 fcf

dxdz

==

S ovom vrijednosti bit će koeficijenti Fourierovog reda

0sin4cos410

000 ==== ∫∫

πππ

ϑπ

ϑϑπ

ϑπ

fdfddxdzB

3-26

ffdfddxdzB 4

42sin

28cos8cos2

00

2

01 =+=== ∫∫

πππ ϑϑπ

ϑϑπ

ϑϑπ

03

sin16sin8

cossin16cos8

2coscos82cos2

0

3

0

0

2

0

002

=

−=

−=

==

∫∫

∫∫

ππ

ππ

ππ

ϑπ

ϑπ

ϑϑϑπ

ϑϑπ

ϑϑϑπ

ϑϑπ

ff

dfdf

dfddxdzB

što znači da taj profil ima pozitivan koeficijent uzgona kada je napadni kut jednak nuli.

04

22

11

00

====

=−=

BAfBA

BA αα

Prema dobivenim vrijednostima za Fourierove koeficijente bit će značajka profila

ffBB 22

402

100 −=−=−=α

pa je aerodinamički koeficijent uzgona profila

( )fc 22 += απl

( ) ( ) ffBBcm πππ−=−=−= 40

44 1241

3.3 Profili realne debljine

3.3.1 Jednadžbe za izračunavanje aerodinamičkih koeficijenata

Poremećaj koji stvara profil u struji zraka simuliramo rasporedom elementarnih vrtloga Γd

koji su raspoređeni po konturi profila. Gustoća vrtloga dsdΓ

=γ je promjenljiva od točke do

točke na konturi tako da budu zadovoljeni rubni uvjeti a to znači da brzina u beskonačnosti

ostane nepromijenjena, a da na konturi da bude tangencijalna.

Promatrajmo jedan elementarni vrtlog dsd γ=Γ . U točki P, čije su koordinate

( )pp zx , , taj elementarni vrtlog inducira brzinu inddV kao na slici 3-20:

dsr

dVindγ

π21

= ,

3-27

gdje je r udaljenost elementarnog vrtloga od točke P pp zx , .

x

z

dsd γ=Γ

r

P

inddV

du

dw

ϑ

ϑ

+

Slika 3-20

Ta elementarna inducirana brzina ima komponente dwdu i .

ϑϑ

cossin

ind

ind

dVdwdVdu

=−=

Njihovom integracijom po konturi, a to znači krivuljni integral po konturi, dobit ćemo pp wu i

komponente inducirane brzine u točki P od cijele konture profila.

∫∫

=

−=

dww

duu

p

p

Pri tome moramo vršiti integraciju po konturi tako da površina profila bude s lijeve strane

kretanja u smjeru kako je to pokazano na slici 3-20. Ukoliko vršimo integraciju u suprotnom

smjeru moramo promijeniti znak ispred integrala.

Kad smo izračunali komponente inducirane brzine u točki P onda su komponente

poremećene brzine u točki P

pz

px

wVVuVV

+=

+=

∞

∞

α

α

sincos

a kvadrat brzina u točki P je

3-28

222zxp VVV +=

Koeficijent tlaka u točki P određujemo prema Bernoullievoj jednadžbi

22

22p

p

VpVp ∞∞∞

∞ +=+ρρ

pa je iz nje

2

2

2 1

2∞∞∞

∞ −=−

=VV

Vpp

C ppp ρ

Da bi odredili aerodinamičke koeficijente realnog profila prema jednadžbama

∫= xdCc pl

∫−= ydCc pd

( )∫ += ydyxdxCc pm .

treba nam koeficijent tlaka u točkama P koje leže na profilu, a da bi njega izračunali treba

nam brzina optjecanja u točki P na konturi profila.

3.3.2 Numerčka metoda

Mi ćemo prikazati tzv. panelnu metodu. Kontura profila je podijeljena na "m" pravocrtne

segmente (slika 2). Jedan bilo koji segment označavamo indeksom "k". Točke na granicama

segmenta nazivamo čvorovi (bijele točke). Neka su u čvorovima gustoće vrtloga:

mkk γγγγγ KK ,,,, 121 +

Usvojit ćemo da se gustoća vrtloga duž segmenta "k" linearno mijenja od čvora do čvora:

( ) sS

sk

kkk

γγγγ −+= +1

∞V

α 2

k

kγ 1+kγ

1

m 1+mγ

1γ

2γ

Slika 3-21

3-29

3.3.3 Komponente inducirane brzine od jednog segmenta

Da bi jednostavnije izračunali komponente inducirane brzine od jednog segmenta postavljamo

nov koordinatni sustav s ishodištem na početku segmenta sa ξ osom od čvora k prema čvoru

k+1. Sa slike vidimo da su koordinate pp ηξ , točke P u kooordinatnom sustavu k-og segmenta

(slika 3-22)

−−

⋅

−

=

kp

kp

kk

kk

p

p

zzxx

δδδδ

ηξ

cossinsincos

Sa slike vidimo da su komponente elementarne inducirane brzine duž i okomito na segment

rdVdVdV

rdVdVdV

pindind

pindind

ςξϑ

ηϑ

η

ξ

−==

−=−=

cos

sin

x

z

dsd γ=Γ

kS

kδ

r

ϑ

P

inddV

ξ

η

k

1+k

ϑ

ϑ

ξdV

ηdV

Slika 3-22: k-ti segment, i P točka.

3-30

U tim jednadžbama je udaljenost točke P čije su koordinate pp ηξ , od elementarnog vrtloga

čije su koordinate 0,ξ

( ) 222ppr ηξξ +−=

a elementarna inducirana brzina

r2dsdVind πγ

=

S tim oznakama bit će komponente inducirane brzine od svih elementarnih vrtloga na k-tom

segmentu :

∫∫

∫∫−

=−

=

−=−=

kk

kk

S

02

pS

0ind

pk

S

02p

S

0ind

pk

dsr2

1dVr

V

dsr2

1dVr

V

γξξ

πξξ

γη

πη

η

ξ

ili

( )

( )∫

∫

−+

+−

−=

−+

+−−=

+

+

k

k

S

k

kkk

pp

pk

S

k

kkk

pp

pk

dS

V

dS

V

0

122

0

122

21

21

ξξγγγηξξ

ξξπ

ξξγγγηξξ

ηπ

η

ξ

Pogodno je raditi s veličinama bez dimenzija.

kSξξ =

kSηη =

∞

=VV

V kk

ξξ

∞

=VV

V kk

ηη

∞

=′Vπγγ

2

gdje je kS duljina segmenta. S tim veličinama bit će poremećaji brzine bez dimenzija od k-tog

segmenta

( ) ( )

( )( )( )

( )( ) 1

1

022

1

022

1

1

022

1

022

1

1

+

+

′⋅

+−

−+′⋅

+−

−−=

′⋅

+−−′⋅

+−

−−=

∫∫

∫∫

k

pp

pk

pp

pk

k

pp

pk

pp

pk

ddV

ddV

γξηξξ

ξξξγξ

ηξξ

ξξξ

γξηξξ

ξηγξηξξ

ξη

η

ξ

3-31

U tim jednadžbama u uglastim zagradama se nalaze integrali koji ovise isključivo od položaja

točke P u odnosu na segment tj od pp ηξ i i od duljine segmenta kS .

( )∫ +−

−=

1

0221

1 ξηξξ

ξη dIpp

ppk

( )∫+−

=1

0222 ξ

ηξξξη dI

pp

pkp

( )( )( )∫

+−

−−=

1

0223

1ξ

ηξξ

ξξξdI

pp

pkp

( )( )∫ +−

−=

1

0224 ξ

ηξξ

ξξξdI

pp

pkp

Drugim riječima ti integrali su funkcije geometrije i nemaju nikakve veze s optjecanjem, tj. ne

ovise o brzini ∞V i napadnom kutu α . Od tih veličine ovise intenziteti vrtloga u čvorovima.

Uz pomoć tih integrala možemo napisati bezdimenzionalne jednadžbe za komponente (bez

dimenzija) inducirane brzine u točki P od segmenta k.

( )143

121

+

+

′⋅+′⋅=

′⋅+′⋅−=

kkpkkpk

kkpkkpk

IIV

IIV

γγ

γγ

η

ξ

Ove komponente trebamo preračunati u koordinatni sustav profila yx, pomoću jednadžba

transformacije:

+−

=

⋅

−=

kkkk

kkkk

k

k

kk

kk

k

k

VVVV

VV

wu

δδδδ

δδδδ

ηξ

ηξ

η

ξ

cossinsincos

cossinsincos

3.3.4 Komponente ukupne inducirane brzine

S obzirom da vršimo numeričku integraciju krivuljnog integrala u negativnom pravcu

(koeficijent k raste u negativnom pravcu) bit će komponente inducirane brzine u točki P od

svih segmenata:

( )

( )∑∑

∑∑

==

==

+−=−=

−−=−=

m

kkkkk

m

kkp

m

kkkkk

m

kkp

VVww

VVuu

11

11

cossin

sincos

δδ

δδ

ηξ

ηξ

poslije dijeljenja s neporemećenom brzinom i zamjene ξkV i ηkV bit će komponente

inducirane brzine (bez dimenzija):

3-32

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]∑

∑

=++

=++

′⋅+′⋅−′⋅+′⋅=

′⋅+′⋅+′⋅+′⋅=

m

kkkkpkkpkkkpkkpp

m

kkkkpkkpkkkpkkpp

IIIIw

IIIIu

1143121

1143121

cossin

sincos

δγγδγγ

δγγδγγ

Grupirajmo koeficijente uz nepoznate gustoće vrtloga kγ i 1+kγ

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]∑

∑

=+

=+

′⋅−+′⋅−=

′⋅++′⋅+=

m

kkkkpkkpkkkpkkpp

m

kkkkpkkpkkkpkkpp

IIIIw

IIIIu

114231

114231

cossincossin

sincossincos

γδδγδδ

γδδγδδ

Konačno komponente brzine u točki P su zbroj komponenata brzine prije poremećaja

αα sin,cos ∞∞ VV i komponenata poremećaja brzine pp wu , .

ppz

ppx

wVVuVV

+=

+=

∞

∞

α

α

sin

cos

3.3.5 Rubni uvjeti

Kad se točka P nalazi na konturi profila, nazivamo je kontrolona točka. U kontrolnoj točki

brzina mora biti tangencijalna na konturu, drugim riječima normalna komponenta mora biti

jednaka nuli. Izaberimo m kontrolnih točaka (na sredinama svakog od m segmenata). U tim

kontrolnim točkama m normalnih komponenata brzine moraju biti jednake nuli.

0=⋅+⋅= zjzxjxn nVnVV

To su m jednadžba za određivanje gustoća vrtloga. Kontrolne točke označit ćemo indeksom j

što znači da je mj K,2,1= .

jδcos

jδsin

jδ

1+j

j

jC

jnr

jxV

jzV

Slika 3-23

3-33

U svakoj kontrolnoj točki jj zx , poznat je ort normale nr :

jzjx nn δδ cos,sin =−= ,

pa rubni uvjet u kontrolnoj točki ima oblik:

( ) ( ) 0cossinsincos =⋅++⋅+− ∞∞ jjjj wVuV δαδα

ili

( )αδδδ −=+− jjjjj wu sincossin .

Komponente poremećaja (bez dimenzija) u j-toj kontrolnoj točki dane su jednadžbama:

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]∑

∑

=+

=+

′⋅−+′⋅−=

′⋅++′⋅+=

m

kkkjkkkjkkkjkkjj

m

kkkkjkkjkkkjkkjj

IIIIw

IIIIu

114231

114231

cossincossin

sincossincos

γδδγδδ

γδδγδδ

U ovim jednadžbama integrali jk4jk3jk2jk1 IIII i,, su četiri konstantne matrice, koje ovise

samo o obliku profila. Tako dobivamo u svakoj kontrolnoj točki ( mj K,2,1= ):

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( )αδγδδγδδδ

γδδγδδδ

−=′⋅−+′⋅−+

+′⋅++′⋅+−

∑

∑

=+

=+

j

m

kkkkjkkjkkkjkkjj

m

kkkkjkkjkkkjkkjj

IIII

IIII

sincossincossincos

sincossincossin

114231

114231

Grupirajmo koeficijente uz nepoznate 1i +′′ kk γγ

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )j

m

1k1kkjkj4kjkj2

m

1kkkjkj3kjkj1 IIII

δα

γδδδδγδδδδ

−=

=′⋅−+−+′⋅−+− ∑∑=

+=

sin

cossincossin

Ako uvedemo matrice 2n1n i CC

( ) ( )( ) ( )kjkjkjkjjkn

kjkjkjkjjkn

IICIIC

δδδδ

δδδδ

−+−=

−+−=

cossin

cossin

422

311

Ove nove matrice također ovise samo od oblika profila jer se pored matrica

jk4jk3jk2jk1 IIII i,, pojavljuju još i razlike nagiba segmenata kj δδ − . Tako dobivamo u m

kontrolnim točkama jednadžbe za rubne uvjete :

( )j

m

kkjkn

m

kkjkn CC δαγγ −=′⋅+′⋅ ∑∑

=+

=

sin1

121

1 .

Tako smo dobili m jednadžba ( j od 1 do m) za m+1 nepoznatih gustoća.

3-34

3.3.6 Uvjet na izlaznom rubu

Počet ćemo brojati segmente od izlaznog ruba, pa je čvor na izlaznom rubu granica između

prvog segmenta ( 1=k ) i zadnjeg segmenta ( mk = ). Dok je u svim čvorovima krajnja

gustoća prethodnog segmenta jednaka početnoj gustoći slijedećeg segmenta u čvoru na

izlaznom rubu gustoća je zbroj gustoća na početku prvog segmenta i na kraju m-ot segmenta

1m1 ++= γγγ .

Međutim u tom čvoru brzina s gornjake i donjake profila su jednake pa prema jednadžbi

(poglavlje 2.3.3) da je

du vv −=γ

gustoća vrtloga na izlaznom rubu mora biti jednaka nuli., a to znači da je

011 =+ +mγγ

Pomoću ove jednadžbe eliminirat ćemo nepoznatu gustoću 1+mγ , pa nam ostaje m

nepoznatih gustoća mγγγ K,, 21 koje možemo odrediti iz m graničnih uvjeta.

3.3.7 Određivanje gustoća

Jednadžbe koje smo dobili u kontrolnim točkama

( ) j

m

kkjknkjkn BCC =′+′∑

=+

1121 γγ

gdje je

( )jj

kk

BV

δαπγγ

−=

=′∞

sin2

Članove u linearnim jednadžbama možemo grupirati kako slijedi:

( ) jmmjn

m

kkkjnjknjn BCCCC =′+′++′ +

=−∑ 12

2121111 γγγ

Kako je

11 γγ ′−=′ +m

bit će

( ) ( ) j

m

kkkjnjknjmnjn BCCCC =′++′− ∑

=−

21211211 γγ

Konačno smo dobili linearni sustav od m jednadžba sa m nepoznatih gustoća:

j

m

kkjkn BA =′∑

=1

γ .

3-35

za mi K,2,1=

Matrica nA ima prvi stupac jmnjnjn CCA 2111 −= , a od drugog do zadnjeg stupca

121 −+= kjnkjnjkn CCA

3.3.8 Brzina optjecanja

Potrebna nam je brzina optjecanje u kontrolnoj točki. Već smo vidjeli da je normalna

komponenta brzine optjecanja u kontrolnoj točki jednaka nuli (rubni uvjet) pa imamo samo

tangencijalnu komponentu

jjtjj tVVVrr⋅==

zjzxjxj tVtVV +=

Komponente su orta tangente jxt δcos= i jzt δsin= , a komponente brzine u kontrolnoj točki

su jjx uVV += ∞ αcos , jjz wVV += ∞ αsin pa dobivamo brzinu optjecanja u j kontrolnoj

točki:

( ) ( ) jjjjj wVuVV δαδα sinsincoscos ⋅++⋅+= ∞∞

jjjjjjj wVuVV δδαδδα sinsinsincoscoscos +++= ∞∞

( ) jjjjjj wuVV δδαδ sincoscos ++−= ∞

S obzirom da su komponente poremećaja u j-toj kontrolnoj točki :

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]∑

∑

=+

=+

′⋅−+′⋅−=

′⋅++′⋅+=

m

kkkjkkkjkkkjkkjj

m

kkkkjkkjkkkjkkjj

IIIIw

IIIIu

114231

114231

cossincossin

sincossincos

γδδγδδ

γδδγδδ

dobivamo brzinu optjecanja jV u svakoj kontrolnoj točki ( mj K,2,1= ):

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]∑

∑

=+

=+

′⋅−+′⋅−+

+′⋅++′⋅++−=

m

kkkkjkkjkkkjkkjj

m

kkkkjkkjkkkjkkjjjj

IIII

IIIIV

114231

114231

cossincossinsin

sincossincoscoscos

γδδγδδδ

γδδγδδδαδ

Grupirajmo koeficijente uz nepoznate gustoće vrtloga kγ ′

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]∑

∑

=+

=

′⋅−−++

+′⋅−−++−=

m

kkkjkjkjkjkjkj

k

m

kkjkjkjkjkjkjjj

II

IIV

1142

131

sincoscossinsinsincoscos

sincoscossinsinsincoscoscos

γδδδδδδδδ

γδδδδδδδδαδ

3-36

Kao što smo uveli koeficijente jknjkn CC 21 , za proračun normalne komponente brzine,

uvedimo sad analogno tome koeficijente za proračun tangencijalne komponente:

( ) ( )( ) ( )kjkjkjkjjkt

kjkjkjkjjkt

IICIIC

δδδδ

δδδδ

−−−=

−−−=

sincos

sincos

422

311

S tim koeficijentima bit će konačno brzina optjecanja u j-toj točki

( ) ∑∑=

+=

′⋅+′⋅+−=m

kkjktk

m

kjktjj CCV

112

11cos γγαδ

Kao i slučaju rubnih uvjeta gornju jednadžbu za brzinu optjecanja možemo napisati u

jednostavnom obliku ako uvedemo matricu tA . Prvi stupac te matrice je razlika prvog stupca

matrice 1tC i zadnjeg stupca matrice 2tC

jmtjtjt CCA 2111 −=

a svi slijedeći stupac je zbroj odgovarajućeg stupca matrice 1tC i prethodnog stupca matrice

2tC

121 −+= kjtjktkjt CCA

mk K,2=

S tom matricom je brzina optjecanja dana jednadžbom:

( ) ∑=

′−−=m

kkkjtjj AV

1

cos γαδ

Znak - ispred sume je zbog obrnutog smjera brojanja segmenata.

3.4 Optjecanje pod velikim napadnim kutom (slom uzgona)

Eksperimentalna ispitivanja potvrđuju da se lc mijenja linearno do neke vrijednosti napadnog

kuta α , a zatim kratko vrijeme nelinearno da bi za određeni napadni kut imali najveću

vrijednost koeficijenta uzgona maxlc . Tu vrijednost napadnog kuta pri kojoj imamo najveći

koeficijent uzgona označujemo sa maxα . Posle te vrijednosti koeficijent uzgona rapidno pada

kao na slici 3-24. Mi kažemo da tada nastupa slom uzgona (stall).

3-37

maxα

maxlc

0lc

0α

( )0arctan a

Slika 3-24

Do sad smo promatrali samo potencijalno idealno optjecanje. To znači da je zrak

promatran kao idealan plin, i da je granična strujnica kontura profila. Pri tome smo zanemarili

granični sloj. I ako je tanak on je prisutan između potencijalnog optjecanja i konture profila.

Za male napadne kutove i tanke profile ova pretpostavka je bila zadovoljavajuća. Međutim

kad promatramo veće napadne kutove utjecaj graničnog sloja se ne može zanemariti. Mora se

uzeti u obzir i strujanje u graničnom sloju između profila i potencijalnog optjecanja. Taj

utjecaj se prvenstveno ostvaruje preko debljine graničnog sloja. Drugim riječima potencijalno

strujanje ima rubni uvjet na graničnom sloju, a ne na konturi profila. Vanjsku konturu

graničnog sloja dobivamo kad konturi profila dodamo debljinu graničnog sloja. Zato je

potrebno odrediti debljinu graničnog sloja.

Debljina graničnog sloja ovisi o prvenstveno o brzini na rubu graničnog sloja i

potencijalnog optjecanja i od gradijenta tlaka duž graničnog sloja, a da odredimo te veličine

treba nam oblik granične strujnice. Da bi razriješili ovaj simultani problem radimo iterativno:

U prvoj iteraciji zanemarimo postojanje graničnog sloja, te izračunamo potencijalno

optjecanje oko profila. Zatim usvajamo da brzina optjecanja i tlak na konturi profila su isti na

vanjskoj granici graničnog sloja. To nam omogućuje da izračunamo debljinu graničnog sloja.

To znači da u analizi graničnog sloja pretpostavljamo da se tlak ne mijenja kroz granični sloj.

U drugoj iteraciji određujemo potencijalno optjecanje oko profila koji je zadebljan za

debljinu graničnog sloja. Ako je debljina graničnog sloja mala duž cijele konture jasno je da

3-38

je da će se brzina optjecanja i tlak malo ili vrlo malo promijeniti u odnosu na optjecanje

profila iz prve iteracije, kad smo zanemarili granični sloj. Međutim ukoliko je došlo do pojava

koje znatno mijenjaju oblik granične strujnice u odnosu na konturu profila kao što je pojava

odvajanja graničnog sloja od konture profila, koeficijent tlaka a i oblik krivulje po kojoj

računamo krivuljni integral se bitno razlikuje pa su aerodinamički koeficijenti znatno različiti,

lc

α

12 3

4

Slika 3-25

Na slici 3-25 prava 1 predstavlja analitičko rješenje ( )02c ααπ −=l kod koga je

πα

2c=

∂∂ l

Taj nagib imaju samo vrlo tanki profili pri malim vrijednostima napadnog kuta. Profili

normalne debljine imaju taj nagib manji

0ac=

∂∂αl

Tu vrijednost dobivamo numeričkom metodom (panelnom metodom) ( )00ac αα −=l pravac

2, ali već za malo veće napadne kutove dolazi do odvajanja mjerenih podatak od pravca. Ako

izračunamo debljinu graničnog sloja pa zatim podebljamo profil za debljinu graničnog sloja

pa za taj podebljani profil izračunamo silu uzgona i cio taj postupak ponovimo za nekoliko

napadnih kutova, nećemo više dobiti linearnu ovisnost za koeficijent uzgona ( )αlc već

krivulju 3. Tako dobivena ovisnost dobro prati izmjeni koeficijent uzgona profila sve do neke

srednje vrijednosti napadnog kuta kad opet dolazi do odvajanja izračunatog i izmjerenog

koeficijenta sile uzgona za isti napadni kut. Ako u proračun optjecanja profila uzmemo u

3-39

obzir i odvajanje graničnog sloja, dobivamo krivulju 4 koja u potpunosti prati izmjerenu

zavisnost koeficijenta uzgona

Što je veća sila uzgona veća je cirkulacija brzine oko profila Γ , a to znači da je brzina

s gornje strane profila sve veća. Međutim prema uvjetu Kutta-Žukovski na izlaznom rubu

brzina s gornjake i donjake moraju biti jednake i jednake vrijednosti malo manjoj od brzine u

beskonačnosti. To znači da na gornjaci brzina mora naglo opadati od maksimalne vrijednosti

do vrijednosti na izlaznom rubu. Zbog opadanja brzine stvara se gradijent tlaka koji je utoliko

veći ukoliko je veća maksimalna brzina tj. ukoliko je veća cirkulacija tj. ukoliko je veća sila

uzgona. Znači što je veća sila uzgona biće jači gradijent tlaka na gornjaci prema izlaznom

rubu. Baš taj gradijent tlaka je uzrok odvajanja graničnog sloja. Znači da bi dobili što veću

maksimalnu silu uzgona treba tako napraviti gornjaku tako da gradijent tlaka bude što veći, ali

da ni u jednoj točki gornjake ne pređe kritičnu vrijednost.

U poglavlju o graničnom sloju vidjet ćemo da na odvajanje veliku ulogu ima

Reynoldsov broj kao i oblik gornjake oko napadnog ruba. Zato veličine maxα maxlc ovisi

prvenstveno o obliku gornjake i Reynoldsovog broja.

Slika 3-26

Neki profili poslije maksimalnog uzgona postepeno gube uzgon, dok drugi naglo gube

uzgon i istodobno mijenjaju i moment propinjanja. Tako npr. debeli profili (>14%)

zaobljenog napadnog ruba, gube uzgon postupno. Njihov turbulentni dio graničnog sloja

povećava se s povećanjem napadnog kuta, a oko 010 počinje odvajanje graničnog sloja na

kraju gornjake. Točka odvajanja se pomjera u naprijed kako se povećava napadni kut, što ima

za posljedicu postepeno opadanje uzgona. U tim uvjetima postepeno se mijenja i moment

propinjanja.

3-40

Nasuprot tomu kod tankih profila (manje od 6%) pri vrlo malim napadnim kutovima

dolazi do odvajanja struje na napadnom rubu gornjake, ali se granični sloj vraća na gornjaku.

S povećanjem napadnog kuta taj povratak graničnog sloja na gornjaku se odvija sve dalje i

dalje da bi pri nekom napadnom kutu cijela gornjaka bila odvojena od graničnog sloja. I u tim

slučajevima pad uzgona je postupan, ali se pojavljuju velike promjene u momentu

propinjanja.

Profili srednje debljine imaju sličnu pojavu, ali se pri nekom napadnom kutu, granični

sloj više ne vraća na gornjaku, što ima za posljedicu nagli slom uzgona i nagle promjene

momenta propinjanja.