3. simpleks metoda
DESCRIPTION
3. Simpleks metoda. Autor G. Dantzig. Simpleks metoda rješava problem linearnog programiranja (LP). LP je problem u kojem tražimo max ili min linearne funkcije na skupu rješenja sustava linearnih nejednadžbi ili (i) jednadžbi. Standardni problem maksimuma. max c’x Ax ≤ A 0 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/1.jpg)
1
3. Simpleks metoda
Autor G. Dantzig
![Page 2: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Simpleks metoda rješava problem linearnog programiranja (LP)
LP je problem u kojem tražimo max ili min linearne funkcije na skupu rješenja sustava linearnih nejednadžbi ili (i) jednadžbi.
![Page 3: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Standardni problem maksimuma
max c’x Ax ≤ A0
x ≥ 0
![Page 4: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Kanonski problem maksimuma
max c’x Ax = A0
x ≥ 0
![Page 5: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Standardni problem minimuma
min c’x Ax ≥ A0
x ≥ 0
![Page 6: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Kanonski problem minimuma
min c’x Ax = A0
x ≥ 0
![Page 7: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Terminologija za standardni problem maksimuma
x je moguće rješenje (dopustivo) ako zadovoljava ograničenja Ax ≤ A0, x ≥ 0.
S={x: Ax ≤ A0, x ≥ 0} je skup mogućih rješenja.
z(x)=c’x je funkcija cilja. x*ε S za koji vrijedi z(x*) ≥ z(x) za svako x ε S naziva se
optimalno rješenje.
![Page 8: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Primjer…
max (2x1 + x2)
x1 + x2 ≤ 5
x1 ≤ 3
x2 ≤ 3
x1,x2 ≥ 0
Da li je x=(1,4) moguće rješenje?
Da li je x=(2,3) moguće rješenje?
![Page 9: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Terminologija za ostale probleme
Moguće rješenje zadovoljava ograničenja. Funkcija cilja je z(x)=c’x kojoj tražimo
najveću ili najmanju vrijednost. Optimalno rješenje je moguće rješenje u
kojem funkcija cilja dostiže min ili max. Optimalna vrijednost funkcije cilja je njena
najmanja ili najveća vrijednost na skupu.
![Page 10: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Malo matematike…Osnovni pojmovi
Skup mogućih rješenja S je konveksan poliedar.
Poliedar- ima konačan broj vrhova i bridova. Skup je konveksan ako sadrži pravocrtnu
spojnicu bilo koje svoje dvije točke. Pravocrtna spojnica je konveksna kombinacija
dviju točaka x* i x’, odnosno
x(α)=(1-α)x* +αx’, 0 ≤ α ≤1.
![Page 11: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Još malo…
Optimalno rješenje, ako postoji, nalazi se u barem jednom vrhu.
Ako su dva rješenja optimalna, onda je svaka točka njihove pravocrtne spojnice također optimalno rješenje.
![Page 12: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Ideja simpleks metode Metoda generira samo kandidate, dakle vrhove. Prva faza je generiranje jednog vrha. Druga faza je ˝hod˝ po vrhovima. Iz vrha u kojem se trenutno nalazi prelazi u bolji, susjedni
vrh. Ako rješavamo problem max-bolji vrh ima veću vrijednost funkcije cilja. Ako rješavamo problem min-bolji vrh ima manju vrijednost funkcije cilja. (Ovo vrijedi ako rješenje nije degenerirano).
Dva su vrha susjedna ako su spojena bridom. Postupak se zaustavlja u optimalnom vrhu ili u vrhu iz
kojeg ˝vidi˝ da optimalno rješenje ne postoji.
![Page 13: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Kako generirati vrh?
Problem LP zapisujemo
u kanonskom obliku. Dobivamo sustav
jednadžbi s uvjetima nenegativnosti na varijable.
U dobivenom sustavu tražimo BMR-bazično moguće rješenje.
VRH
BMR
![Page 14: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Kanonski oblik U sustav linearnih nejednadžbi Ax ≤ A0, x ≥ 0
uvode se dodatne varijable u ≥ 0, on prelazi u sustav jednadžbi s uvjetima nenegativnosti na sve varijable odnosno
max c’x Ax+u= A0
x ≥ 0, u ≥ 0 . Varijable x zovemo strukturne, u dodatne. Primijetimo da koeficijenti u funkciji cilja uz
dodatne varijable su nula.
![Page 15: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/15.jpg)
Kanonski oblik ima…
m jednadžbi n+m varijabli, n strukturnih varijabli x, m
dodatnih varijabli u Uvjete ne negativnosti na sve varijable.
![Page 16: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Primjer …
Standardni problem maksimuma
max (2x1 + x2)
x1 + x2 ≤ 5
x1 ≤ 3
x2 ≤ 3
x1,x2 ≥ 0
Kanonski oblik
max (2x1 + x2)
x1 + x2 + u1 = 5
x1 + u2 = 3
x2 + u3 = 3
x1,x2 ≥ 0,u1,u2,u3 ≥ 0
![Page 17: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Početna simpleks tablica1. RHS ≥0
2. Iz kanonskog oblika zapisujemo tablicu.
3. Početna baza je skup jediničnih vektora u tablici (matrici koeficijenata sustava).
4. Ako je desna strana ograničenja A0 nenegativna, bazu tvore vektori uz dodatne varijable i početno rješenje je x=0, u=A0
5. Ako u tablici kanonskog oblika nema svih jediničnih vektora uvodi se umjetna baza.
![Page 18: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Bazično moguće rješenje
Bazično moguće rješenje odgovara jednom vrhu u skupu mogućih rješenja S, odnosno strukturne varijable x su komponente vrha.
Bazu u Rm tvore m linearno nezavisnih vektora. Svaki vektor prostora Rm može se na jedinstven
način prikazati kao linearna kombinacija vektora baze. Bazu biramo iz stupaca matrice koeficijenata
linearnog sustava kojem je desna strana nenegativna.
![Page 19: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Ako je A0 ≥ 0 nenegativna kombinacija vektora baze onda je rješenje bazično i moguće.
U svakoj simpleks tablici je jedna baza (gledamo koji vektori su jedinični).
Varijable koje pripadaju bazi zovemo bazične varijable i njihove vrijednosti čitamo iz tablice.
Preostale varijable zovemo nebazične varijable i sve imaju vrijednost 0.
![Page 20: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Primjer…
Kanonski oblik
max (2x1 + x2)
x1 + x2 + u1 = 5
x1 + u2 = 3
x2 + u3 = 3
x1,x2 ≥ 0,u1,u2,u3 ≥ 0
Provjera …
Da li je RHS ≥ 0 ?
RHS=A0
0
3
3
5
A0
![Page 21: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Tablica
x1 x2 u1 u2 u3 RHS
A0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
5
3
3
![Page 22: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Gdje smo?
Imamo 5 varijabli i 3 ograničenja.Broj bazičnih varijabli=broju ograničenja=3
Bazične varijable su u1,u2,u3.
Nebazične varijable su x1 i x2, pa je x1=0,x2=0.
Vrijednosti bazičnih varijabli čitamo iz tablice
u1= 5, u2=3, u3=3.
![Page 23: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Dobiveno je BMR
Vrijednosti strukturnih varijabli (x1,x2)=(0,0) su komponente jednog vrha skupa mogućih rješenja.
Funkcija cilja z(x)=2x1+x2 u dobivenom vrhu je z(0,0)=0.
![Page 24: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Bazu u R3 biramo iz skupa vektora…
={A1,A2,U1,U2,U3} gdje je
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
,
1
0
1
,
0
1
1
32121 UUUAA
![Page 25: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Jedan zapis linearnog sustava je
A0 =x1A1 +x2A2 +u1U1 +u2U2 +u3U3
odnosno vektor A0 je linearna kombinacija skupa vektora .
Ako vektor A0 prikažemo kao linearnu kombinaciju vektora jedne baze dvije od 5 varijabli imati će vrijednost 0.
![Page 26: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Vektor A0 prikazan je kao linearnakombinacija jediničnih vektora (jedne baze)
Imamo
A0=5U1 +3U2 +3U3
A0 je nenegativna kombinacija vektora baze pa je dobiveno rješenje bazično moguće.
![Page 27: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Pitanja…
1. Da li je skup vektora {A1,A2, U3} jedna baza prostora R3 ?
2. Ako je, prikažite vektor A0 kao linearnu kombinaciju vektora baze.
3. Da li je dobiveno rješenje bazično moguće?
4. Ako je, odredite komponente vrha.
![Page 28: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Odgovori…
1. Da, jer je skup vektora linearno nezavisan i ima ih 3.
2. A0=3A1 +2A2 +U3
3. Linearna kombinacija je nenegativna pa je dobiveno rješenje (x,u)=(3,2,0,0,1) bazično moguće
4. x=(3,2) je vrh u S.
![Page 29: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Ovaj dio pokazuje gdje smo i pitamo se dalje…
Da li je dobiveni vrh optimalan?
Ako je, da li je on jedino optimalno rješenje?
Ako dobiveni vrh nije optimalan, kako postupiti dalje?
![Page 30: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/30.jpg)
30
Smjer kretanja
U dodatni redak tablice upisuje se i računa c(j)-z(j)
Ako je c(j)-z(j)>0 ulazom vektora j u bazu vrijednost funkcije cilja raste.
Ako je c(j)-z(j)<0 ulazom vektora j u bazu vrijednost funkcije cilja pada.
Ako je c(j)-z(j)=0 ulazom vektora j u bazu vrijednost funkcije cilja se ne mijenja.
![Page 31: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/31.jpg)
31
U primjeru dobivamo c(1)-z(1)=2>0 pa je aktiviranje varijable
x1 po bridu poliedra iz vrha (0,0) smjer rasta funkcije cilja.
Interpretacija : ako varijabla x1 s vrijednosti 0 naraste na vrijednost 1 na bridu funkcija cilja s vrijednosti 0 naraste na vrijednost 2.
![Page 32: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/32.jpg)
32
…
c(2)-z(2)=1>0 pa je aktiviranje varijable x2 po bridu poliedra iz vrha (0,0) smjer rasta funkcije cilja.
Interpretacija : ako varijabla x2 s vrijednosti 0 naraste na vrijednost 1 funkcija cilja s vrijednosti 0 naraste na vrijednost 1.
![Page 33: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/33.jpg)
33
Ocjena z(j)-c(j) bazičnih varijabli je 0.
Dakle imamo ocjena varijable u1 je
c(3)-z(3)=0 ocjena varijable u2 je
c(4)-z(4)=0 ocjena varijable u3 je
c(5)-z(5)=0
![Page 34: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Dobiveni vrh nije optimalan jer postoji veća vrijednost funkcije cilja od vrijednosti 0.
Bira se ˝najbrži˝ smjer rasta po bridu iz vrha (0,0) radi dobivanja boljeg vrha.
Kriterij ulaza vektora u bazu je max{c(j)-z(j): c(j)-z(j)>0, j=1,2} Dakle imamo max{2,1}=2, pa u
slijedećoj tablici varijabla x1 biti će bazična.
Ključni element bira se u stupcu x1.
![Page 35: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/35.jpg)
35
Kriterij zaustavljanja Za problem maksimuma c(j)-z(j) ≤ 0 j=1,…,n+m odnosno nalazimo
se u vrhu iz kojeg niti jedan brid nije smjer rasta.
Za problem minimuma c(j)-z(j) ≥ 0 j=1,…,n+m
odnosno nalazimo se u vrhu iz kojeg niti jedan brid nije smjer pada.
![Page 36: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/36.jpg)
36
Pivotiranje ili izbor ključnog elementa, izbor vektora koji izlazi iz baze
Ključni element može biti samo pozitivan broj za koji je najmanji kvocijent, (odnosno
desna strana RHS podijeli se() s kandidatom za ključni element). Označimo ključni element.
Provodi se Gauss-Jordanov postupak.
Dobiva se nova tablica koja generira bolji vrh .
![Page 37: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/37.jpg)
37
Za primjer dan je niz tablica simpleks metode za primjer proizvodnje (fosfati).
U stupcu koji ima
max {c(j)-z(j):c(j)-z(j)>0}
odnosno najbrži smjer rasta bira se ključni element.
![Page 38: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/38.jpg)
Fosfati
Sirovine
Količina sirovina u tonama potrebna za proizvodnju jedne tone
Mjesečno raspoložive količine sirovina u tonama
Fosfata 1 Fosfata 2
S1 2 1 1500
S2 1 1 1200
S3 1 0 500
Dobit u dolarima 15 10
![Page 39: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/39.jpg)
39
![Page 40: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/40.jpg)
40
![Page 41: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/41.jpg)
41
![Page 42: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/42.jpg)
42
![Page 43: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/43.jpg)
Postojanje više optimalnih rješenja
Ako u optimalnoj tablici barem jedan nebazični vektor (varijabla) ima ocjenu
c(j)-z(j)=0 onda ulazom tog vektora u bazu dobivamo alternativno optimalno bazično rješenje, susjedni optimalni vrh.
Konveksna kombinacija dva vrha je brid koji ih spaja i sve točke brida su optimalna rješenja.
![Page 44: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/44.jpg)
Maksimalno iskorištenje raspoloživih sirovina
Sirovine
Količina sirovina u tonama potrebna za proizvodnju jedne tone
Mjesečno raspoložive količine sirovina u tonama
Fosfata 1 Fosfata 2
S1 2 1 1500
S2 1 1 1200
S3 1 0 500
ukupno 4 2
![Page 45: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/45.jpg)
Matematički model
max (4x1 + 2x2)
2x1+ x2 ≤ 1500
x1+ x2 ≤ 1200
x1 ≤ 500
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
![Page 46: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/46.jpg)
Optimalno rješenje
Ovaj problem ima dva optimalna vrha
x* =(300,900) i x’ =(500,500).
Optimalna vrijednost funkcije cilja je
z* =3000.
Skup optimalnih rješenja su sve točke brida
x(α)=(1- α)(300,900)+ α(500,500),
0 ≤ α ≤ 1.
![Page 47: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/47.jpg)
47
Tehnika umjetne baze
Simpleks metodom riješiti ćemo dual problema proizvodnje fosfata
min(1500y1+1200y2+500y3)2y1+ y2+y3 ≥ 15 y1+ y2 ≥ 10 y1,y2,y3 ≥0
![Page 48: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/48.jpg)
48
Kanonski oblik standardnog problema minimuma
Uvode se dodatne varijable v1 i v2 pa imamo
min(1500y1+1200y2+500y3)2y1+ y2+ y3 - v1 = 15 y1+ y2 - v2 = 10 y1,y2,y3 ≥0
![Page 49: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/49.jpg)
49
Kako je RHS≥0, traži se baza jediničnih vektora u kanonskom obliku.
Uvodi se umjetna baza jediničnih vektora.
Koeficijenti u funkciji cilja uz umjetne varijable su veliko M (Big M), veliki pozitivan broj za problem minimuma,
-M, mali negativan broj za problem maksimuma.
![Page 50: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/50.jpg)
Big M
Definira se kao velik pozitivan broj.
![Page 51: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/51.jpg)
51
Metoda sada ima dvije faze…
Prva faza je niz tablica u kojima bar jedan bazični vektor je vektor umjetne baze. Dobivena rješenja nisu moguća rješenja, odnosno ne zadovoljavaju ograničenja dana u problemu.
Nizom tablica prve faze nastoji se doći do vrha skupa mogućih rješenje.
![Page 52: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/52.jpg)
52
Druga faza…
Druga faza počinje kada je dobivena tablica u kojoj bazu tvore samo vektori uz strukturne ili dodatne varijable kanonskog oblika problema. Dobiveno rješenje je vrh skupa mogućih rješenje.
Nakon što je generiran početni mogući vrh, put se nastavlja po boljim mogućim vrhovima dok ne dođemo u optimalno rješenje.
![Page 53: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/53.jpg)
53
Problem nema optimalno rješenje u dva slučaja
Prvi slučaj Skup mogućih rješenja
je prazan jer su ograničenja
kontradiktorna, odnosno sustav nejednadžbi nema rješenje.
Postupak staje u prvoj fazi.
Drugi slučaj Skup mogućih rješenje
je neograničen. Funkcija cilja
neograničeno raste na S u problemu maksimuma ili neograničeno pada na S u problemu minimuma. Kažemo da problem nema optimalno rješenje u konačnosti.
![Page 54: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/54.jpg)
54
Dualni problem
![Page 55: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/55.jpg)
55
![Page 56: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/56.jpg)
56
![Page 57: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/57.jpg)
57
![Page 58: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/58.jpg)
58
Kraj …
![Page 59: 3. Simpleks metoda](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061612/56815188550346895dbfc039/html5/thumbnails/59.jpg)
59
()…
()