operaciona istraŽivanja · simpleks metoda simpleks metoda je tehnika koja sistematizuje postupak...

Gordana Savic, [email protected]/19/2020

1

OPERACIONA ISTRAŽIVANJA

GORDANA SAVIĆ

UNIVERZITET U BEOGRADU, FAKULTET ORGANIZACIONIH NAUKALABORATORIJA ZA OPERACIONA ISTRAŽIVANJA ”JOVAN PETRIĆ”

CENTAR ZA MERENJE EFIKASNOSTI

Sadržaj

Linearno programiranje -obnavljanje Geometrijska interpretacija - obnavljanje Algebarska interpretacija Simpleks metoda Metoda velikog M

2

Simpleks metoda3

Simpleks metoda

Simpleks metoda je tehnika koja sistematizuje postupak pretraživanja baznih rešenja i nalaženja optimalnog rešenja zadatka LP.

Razvijena je 1947. godine od strane Džordža Danciga (George Dantzig), ali je i danas široko zastupljena i sa uspehom se primenjuje uz pomoć računara.

4

Simpleks metoda – osnovna ideja

Pretraživanje baznih rešenja tj. geometrijski posmatrano pretraživanje temena konveksnog poliedra

5

Simpleks metoda

Osnovni koraci1. Inicijalizacija: naći početno bazno dopustivo rešenja.

Ovo rešenje se smatra tekućim. 2. Test optimalnosti: da li je tekuće bazno rešenje

optimalno? Ako jeste, KRAJ. Ako nije 3.3. Nalaženje “boljeg” rešenja: naći susedno bazno

dopustivo rešenje za koje je vrednost funkcije cilja veća i usvojiti ga kao tekuće rešenje. Vratiti se na korak 2.

6

Simpleks metoda - geometrijska interpretacija

1. Inicijalizacija: generisati neko početno teme X0 dopustiveoblasti. Ovo teme se smatra tekućim, tj. k = 0.

2. Test optimalnosti: ako teme Xk nema boljih susednihtemena, ono je optimalno. Ako jeste, KRAJ. Ako nije 3.

3. Nalaženje “boljeg” temena: generisati susedno teme Xk +1za koje je vrednost funkcije cilja veća i usvojiti ga kaotekuće. Vratiti se na korak 2.

7

Kanonski oblik problema8

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

1 20, 0,..., 0

n n

n n

m m mn n m

n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

x x x

+ + + ≤

+ + + ≤

+ + + ≤

≥ ≥ ≥

( ) 1 1 2 2max ( ). .

n nf x c x c x c xp o

= + + +

Simetričan oblik


11 1 12 2 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2

1 1 2 2

1 20, 0,..., 0

n n n

n n n

m m mn n n m m

n

a x a x a x x b

a x a x a x x b

a x a x a x x b

x x x

+

+

+

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + =

≥ ≥ ≥

( ) 1 1 2 2max ( ). .


= + + +

Pretpostavka:svi slobodni članovi bi, i=1,...,m su nenegativni;

Standardni

oblik


11 1 12 2 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2

1 1 2 2

1 20, 0,..., 0

n n n

n n n

m m mn n n m m

n

a x a x a x x b

a x a x a x x b

a x a x a x x b

x x x

+

+

+

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + =

≥ ≥ ≥

( ) 1 1 2 2max ( ). .


= + + +

Pretpostavke:svi slobodni članovi bi, i=1,...,m su nenegativni;u svakom ograničenju i=1,...,m se nalazi po jedna promenljiva sa koeficijentom 1 i ne pojavljuje se nigde više (ni u funkciji cilja).

Kanonski

oblik

( )n ix +

Kanonski oblik problema

Vektorsko-matrična forma

11

(max) Tc x

.

0N B

p oAx IX bx

+ =

≥0

N Bx x xb

= ∪

≥

{ }1 2 1 2, ,..., ( , ,...., )B n n n m mX x x x b b b+ + += =

Simpleks algoritam

Početni korak: Nalaženje početnog baznog rešenja

Iterativno korak:

Test optimalnosti Pronalaženje boljeg susednog baznog rešenja

12

Kanonski oblik problema-značaj

Na osnovu kanonskog oblika problema LP se direktno može dobiti početno bazno rešenje.

13

{ } ( )1 2 1 2, ,..., , ,...,B n n n m mx x x x b b b+ + += =

0N BX x x

b= ∪

≥

{ } ( )1 2, ,..., 0,0,...,0N nx x x x= =

0 0( )F f x=

Početno bazo rešenje

Vrednost početnog baznog rešenja

Početna vrednost funkcije cilja


11 1 12 2 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2

1 1 2 2

1 20, 0,..., 0

n n n

n n n

m m mn n n m m

n

a x a x a x x b

a x a x a x x b

a x a x a x x b

x x x

+

+

+

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + =

≥ ≥ ≥

( ) 1 1 2 2max ( ). .


= + + +

Pretpostavke:svi slobodni članovi bi, i=1,...,m su nenegativni;u svakom ograničenju i=1,...,m se nalazi po jedna promenljiva sa koeficijentom 1 i ne pojavljuje se nigde više (ni u funkciji cilja).

Kanonski

oblik

( )n ix +

( ) 1 1 2 2max ( ). .

j j n nf x c x c x c x c xp o

= + + + + + Simpleks metoda –tabelarni oblik(k-ta iteracija, k=0,1,...)

15

Baza KSČ c1 c2... cj

... cn cn+1 cn+2 cn+m

ci (XB) (b) x1 x2... xj

... xn xn+1 xn+2 ... xn+m

cn+1 xn+1k b1

k a11k a12

k a1jk a1n

k 1 0 ... 0

cn+2 xn+2k b2

k a21k a22

k a2jk a2n

k 0 1 ... 0

... ... ... ...

cn+i xn+ik bi

k

... ... aijk ...

... ... ... ...cn+m xn+m

k bmk am1

k am1k amj

k amnk 0 0 1

- f -f(x) c1k c2

k ... cjk ... cn

k 0 0 ... 0

11 1 12 2 1 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

1 20, 0,..., 0, , 0

j j n n n

j j n n n

i i ij j in n n i i

m m mj j mn n n m m

j n m

a x a x a x a x x b

a x a x a x a x x b

a x a x a x a x x b

a x a x a x a x x b

x x x x

+

+

+

+

+

+ + + + + + =

+ + + + + =

+ + + + + =

+ + + + + =

≥ ≥ ≥ ≥

Vrednosti baznih

promenljivihBazne

promenljive

Promenljive

Keoficijenti f-je cilja u nultoj iteraciji (k=0)

( ) 1 1 2 2max ( ). .



16



ci (XB) (b) x1 x2... xj

... xn xn+1 xn+2 ... xn+m

cn+1 xn+1k b1

k a11k a12

k a1jk a1n

k 1 0 ... 0

cn+2 xn+2k b2

k a21k a22

k a2jk a2n

k 0 1 ... 0

... ... ... ...

cn+i xn+ik bi

k

... ... aijk ...

... ... ... ...cn+m xn+m

k bmk am1

k am1k amj

k amnk 0 0 1

- f -f(x) c1k c2

k ... cjk ... cn

k 0 0 ... 0

11 1 12 2 1 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

1 20, 0,..., 0, , 0

j j n n n

j j n n n

i i ij j in n n i i

m m mj j mn n n m m

j n m

a x a x a x a x x b

a x a x a x a x x b

a x a x a x a x x b

a x a x a x a x x b

x x x x

+

+

+

+

+

+ + + + + + =

+ + + + + =

+ + + + + =

+ + + + + =

≥ ≥ ≥ ≥

Redosled se može menjati u zavisnosti od bezne promenljive u odgovarajućem

ograničenju

( ) 1 1 2 2max ( ). .



17



ci (XB) (b) x1 x2... xj

... xn xn+1 xn+2 ... xn+m

cn+1 xn+1k b1

k a11k a12

k a1jk a1n

k 1 0 ... 0

cn+2 xn+2k b2

k a21k a22

k a2jk a2n

k 0 1 ... 0

... ... ... ...

cn+i xn+ik bi

k

... ... aijk ...

... ... ... ...cn+m xn+m

k bmk am1

k am1k amj

k amnk 0 0 1

- f -f(x) c1k c2

k ... cjk ... cn

k 0 0 ... 0

11 1 12 2 1 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

1 20, 0,..., 0, , 0

j j n n n

j j n n n

i i ij j in n n i i

m m mj j mn n n m m

j n m

a x a x a x a x x b

a x a x a x a x x b

a x a x a x a x x b

a x a x a x a x x b

x x x x

+

+

+

+

+

+ + + + + + =

+ + + + + =

+ + + + + =

+ + + + + =

≥ ≥ ≥ ≥

Koeficijenti u ograničenjima uz odgovarajuću promenljivu (Amn)

( ) 1 1 2 2max ( ). .



18



ci (XB) (b) x1 x2... xj

... xn xn+1 xn+2 ... xn+m

cn+1 xn+1k b1

k a11k a12

k a1jk a1n

k 1 0 ... 0

cn+2 xn+2k b2

k a21k a22

k a2jk a2n

k 0 1 ... 0

... ... ... ...

cn+i xn+ik bi

k

... ... aijk ...

... ... ... ...cn+m xn+m

k bmk am1

k am1k amj

k amnk 0 0 1

- f -f(x) c1k c2

k ... cjk ... cn

k 0 0 ... 0

11 1 12 2 1 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

1 20, 0,..., 0, , 0

j j n n n

j j n n n

i i ij j in n n i i

m m mj j mn n n m m

j n m

a x a x a x a x x b

a x a x a x a x x b

a x a x a x a x x b

a x a x a x a x x b

x x x x

+

+

+

+

+

+ + + + + + =

+ + + + + =

+ + + + + =

+ + + + + =

≥ ≥ ≥ ≥

Kriterijumski red (izračunati kasnije)Jedinični priraštaj 1

m

kjk j i ij

ic c c a

=

= + ∑

Nalaženje početnog baznog rešenja Primer

19

1 2(max) ( ) 5 2. .

f x x xp o

= +

1 6x ≤

22 18x ≤

1 23 2 24x x+ ≤

1 20, 0x x≥ ≥

Nalaženje početnog baznog rešenja20

1 2(max) ( ) 5 2. .

f x x xp o

= +

1 3

2 4

1 2 5

1 5

62 18

3 2 240, ..., 0

x xx x

x x xx x

+ =

+ =+ + =

≥ ≥

Kanonski oblik modela

Nalaženje početnog baznog rešenja21

1 2(max) ( ) 5 2. .

f x x xp o

= +

1 3

2 4

1 2 5

1 5

62 18

3 2 240, ..., 0

x xx x

x x xx x

+ =

+ =+ + =

≥ ≥

{ } ( )03 4 5, , 6,18,24BX x x x= =

{ } ( )01 2, 0,0NX x x= =

0 0F =

1 2(max) ( ) 5 2. .

f x x xp o

= +

Simpleks metoda – tabelarni oblik(Početno rešenje – k=0)

22

T0 Baza KSČ 5 2 0 0 0

ci (XB) (b) x1 x2 x3 x4 x5

0 x3 6 1 0 1 0 0

0 x4 18 0 2 0 1 0

0 x5 24 3 2 0 0 1

- f 0 5 2 0 0 0

1 3

2 4

1 2 5

1 5

62 18

3 2 240, ..., 0

x xx x

x x xx x

+ =

+ =+ + =

≥ ≥

-f=0-(0*6+0*18+0*24)=0c1

0=5-(0*1+0*0+0*3)=5c2

0=2-(0*0+0*2+0*2)=2c3

0=c40=c5

0 – jedinični priraštaji za bazne promenljive

{ } ( )03 4 5, , 6,18,24BX x x x= =

{ } ( )01 2, 0,0NX x x= =

0 ( ) 0F f= − − =

Iterativni korakTest optimalnosti

Kanonski oblik problema u k-toj (k=0,1,2,...) iteraciji23

1 1 2 2max ( ). .

k k k k k kn n kf x c x c x c x F

p o= + + + +

11 1 12 2 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2

1 1 2 2

k k k k k k k kn n n


k k k k k k k km m mn n n m m

a x a x a x x b

a x a x a x x b

a x a x a x x b

+

+

+

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + =

1 2, ,..., 0k k kn mx x x + ≥


Kanonski oblik problema u k-toj (k=0,1,2,...) iteraciji

koeficijenti kanonskog oblika, dobijeni nizom odgovarajućih transformacijaproblema u prethodnih k iteracija, pri čemu su slobodni članovi bi≥0 za i=1,…,n.

24

( )max ( )

. .

Tk kN kf x c x F

p o

= +

0, 0

k k k kN B

k kB N

A x x b

x x

+ =

≥ ≥

1 2 1 2( , ,..., ), [ ] , ( , ,..., )k k k k k k k k k kn ij m n mc c c c A a b b b b×= = =

{ } ( )1 2 1 2, ,..., , ,...,k k k k k k kB n n n m mx x x x b b b+ + += = { } ( )1 2, ,..., 0,0,...,0k k k k

n nx x x x= =


Kanonski oblik problema u k-toj (k=0,1,2,...) iteraciji

koeficijenti kanonskog oblika, dobijeni nizom odgovarajućih transformacijaproblema u prethodnih k iteracija, pri čemu su slobodni članovi bi≥0 za i=1,…,n.

25

( )max ( )

. .

Tk kN kf x c x F

p o

= +

0, 0

k k k kN B

k kB N

A x x b

x x

+ =

≥ ≥

1 2 1 2( , ,..., ), [ ] , ( , ,..., )k k k k k k k k k kn ij m n mc c c c A a b b b b×= = =


n nx x x x= =

Bazno rešenje problema u k-toj (k=0,1,2,...) iteraciji (k-ta baza)

Vrednost f-je cilja Fk

Proveriti da li je rešenje xk optimalno!!!


26


n nx x x x= =

{ } ( )1 2 1 2, ,..., , ,...,k k k k k k kn n n m mB x x x b b b+ + += =

Ako bi u nekom dopustivom rešenju nebazna promenljiva xjk,

j∈{1,2,...,n}, dobila neku vrednost ε > 0, dok bi sve ostale nebazne promenljive ostale jenake 0, nova vrednost funkcije cilja bi bila Fk + cj

k ε. Ukoliko nebazna promenljiva xj

k dobije vrednost veću od 0, ona tada postaje bazna, a da bi sledeće rešenje ostalo bazno, neka bazna promenljiva mora da izađe iz baze, tj. da dobije vrednost 0.


27

Ako bi u nekom dopustivom rešenju nebazna promenljiva xjk,

j∈{1,2,...,n}, dobila neku vrednost ε > 0, dok bi sve ostalenebazne promenljive ostale jenake 0, nova vrednost funkcijecilja bi bila Fk + cj

k ε. Ukoliko nebazna promenljiva xj

k dobije vrednost veću od 0, ona tada postaje bazna, a da bi sledeće rešenje ostalobazno, neka bazna promenljiva mora da izađe iz baze, tj. dadobije vrednost 0.


28


Pošto se ove dve baze razlikuju tačno za jednu promenljivu, ova dva rešenja su susedna dopustiva bazna rešenja.

Ulazak promenljive xjk u bazu mogao da ima

sledeći uticaj na vrednost funkcije cilja: ako je cj

k > 0, vrednost funkcije cilja bi se povećala, ako je cj

k < 0, vrednost funkcije cilja bi se povećala, ako je cj

k = 0, vrednost funkcije cilja bi ostala ista.

29


Kriterijum optimalnosti:

Ako je cjk≤0 za svako j = 1, 2, ..., n, tada je xk

optimalno rešenje problema, a Fk maksimalnavrednost funkcije cilja.

xk je optimalno rešenje ako se nikakvim povećanjem vrednostinebaznih promenljivih ovog rešenja ne može povećati vrednostfunkcije cilja

tj. ako nijedno susedno bazno rešenje nije bolje od xk .

30

Iterativni korakTest optimalnosti - primer

31

1 2(max) ( ) 5 2. .

f x x xp o

= +

1 3

2 4

1 2 5

1 5

62 18

3 2 240, ..., 0

x xx x

x x xx x

+ =

+ =+ + =

≥ ≥

{ } ( )01 2 3 4 5, , , , 0,0,6,18, 24x x x x x x= =

0 01 20, 0c c> > Rešenje nije optimalno

1 2(max) ( ) 5 2. .

f x x xp o

= +

Simpleks metoda – tabelarni oblik(Test optimalnosti)

32

T0 Baza KSČ 5 2 0 0 0

ci (XB) (b) x1 x2 x3 x4 x5

0 x3 6 1 0 1 0 0

0 x4 18 0 2 0 1 0

0 x5 24 3 2 0 0 1

- f 0 5 2 0 0 0

1 3

2 4

1 2 5

1 5

62 18

3 2 240, ..., 0

x xx x

x x xx x

+ =

+ =+ + =

≥ ≥

{ } ( )03 4 5, , 6,18,24BX x x x= =

{ } ( )01 2, 0,0NX x x= =

0 ( ) 0F f= − − =

0 01 25 0, 2 0c c= > = > Rešenje nije optimalno

Iterativni korakNalaženje boljeg susednog baznog dopustivog rešenja

Ako xk nije optimalno rešenje potrebno je odreditinovo bazno rešenje xk+1 koje je susedno u odnosu na rešenje xk.

Potrebno je odrediti: koja nebazna promenljiva xs

k, s∈{1,2,...,n}, treba dauđe u bazu,

koja bazna promenljiva xn+rk, r∈{1,2,...,m}, treba da

izađe iz baze.

33


Prilikom izbora promenljive koja će da uđe u bazu, bira se ona nebazna promenljiva za koju se pretpostavlja da će najviše popraviti vrednost funkcije cilja.

Kriterijum ulaska promenljive u bazuU bazu Bk+1 ulazi ona promenljiva xs

k, s∈{1,2,...,n} za čiji indek s važi

34

{1,2,..., }max { : 0}k k k

s j jj nc c c

∈= >

Iterativni korakKriterijum za ulazak promenljive u bazu - primer

35

1 2(max) ( ) 5 2. .

f x x xp o

= +

1 3

2 4

1 2 5

1 5

62 18

3 2 240, ..., 0

x xx x

x x xx x

+ =

+ =+ + =

≥ ≥

{ } ( )01 2 3 4 5, , , , 0,0,6,18, 24x x x x x x= =

0 01 2max{ , } max{5,2}c c = x1 ulazi u bazu

1 2(max) ( ) 5 2. .

f x x xp o

= +

Simpleks metoda – tabelarni oblik(Kriterijum za ulazak promenljive u bazu)

36

T0 Baza KSČ 5 2 0 0 0

ci (XB) (b) x1 x2 x3 x4 x5

0 x3 6 1 0 1 0 0

0 x4 18 0 2 0 1 0

0 x5 24 3 2 0 0 1

- f 0 5 2 0 0 0

1 3

2 4

1 2 5

1 5

62 18

3 2 240, ..., 0

x xx x

x x xx x

+ =

+ =+ + =

≥ ≥

{ } ( )03 4 5, , 6,18,24BX x x x= =

{ } ( )01 2, 0,0NX x x= =

0 ( ) 0F f= − − =

0 01 2max{ , } max{5,2}c c = x1 ulazi u bazu (s=1)

max


Prilikom izbora promenljive koja će da izađe iz baze, bira se ona koja će obezbediti da sledeće bazno rešenje ostane dopustivo.

37

1 1 1

2 2 2

1, ,..., 0

k k k ks s n

k k k ks s n

k k k kms s n m mk k ks n n m

a x x b

a x x b

a x x b

x x x

+

+

+

+ +

+ =

+ =

+ =

≥


Prilikom izbora promenljive koja će da izađe iz baze, bira se ona koja će obezbediti da sledeće bazno rešenje ostane dopustivo.

38

0, 1,2,..., , 0k k k k kn i i is s sx b a x i m x+ = − ≥ = ≥

0 / , 1, 2,...,k k k k k ki is s s i isb a x x b a i m− ≥ ⇒ ≤ =

min{ / }k k ks i isi

x b a=


Kriterijum izlaska promenljive iz bazeIz baze Bk izlazi ona promenljiva za izlazi onapromenljiva xn+r

k, r∈{1,2,...,n} za čiji indeks r važi

Nova baza i nova f-ja cilja

39

{1,2,..., }min : 0

kkkirisk ki m

rs is

bb aa a∈

= >

1k k k ks sF F c x+ = + ⋅1 \k k k k

s n rB B x x++= ∪

Iterativni korakKriterijum za izlazak promenljive iz baze - primer

40

1 2(max) ( ) 5 2. .

f x x xp o

= +

1 3

2 4

1 2 5

1 5

62 18

3 2 240, ..., 0

x xx x

x x xx x

+ =

+ =+ + =

≥ ≥

{ } ( )01 2 3 4 5, , , , 0,0,6,18, 24x x x x x x= =

x1 ulazi u bazu

x3 izlazi iz baze

3 1

4

5 1

1

6 01824 3 00

x xxx xx

= − ≥

== − ≥

≥

1

1

1

6

80

x

xx

⇒ ≤

⇒ ≤≥

11 min{6,8} 6x⇒ = =

Iterativni korakNalaženje boljeg susednog baznog dopustivog rešenja - primer

41

{ }( )

11 2 3 4 5

1

, , , ,

6,0,0,18,6

x x x x x x

x

=

=

{ }( )

11 4 5

1

, ,

6,18,6B

B

x x x x

x

=

=1 5*6F =

Iterativni korakNovi kanonski oblik

42

1 2(max) ( ) 5 2. .

f x x xp o

= +

1 3

2 4

1 2 5

1 5

62 18

3 2 240, ..., 0

x xx x

x x xx x

+ =

+ =+ + =

≥ ≥

{ }( )

11 4 5

1

, ,

6,18,6B

B

x x x x

x

=

=

Model je u standardnom oblikuModel nije u kanonskom obliku

Iterativni korakNovi kanonski oblik –Transformisanje standardnog u kanonski oblik

43

1

kk r

k k s krs

bF F ca+ = + ⋅

1

, {1,2,..., },

, za

kk kri isk

rski k

rkrs

bb a za i m i ra

bb i ra

+

− ⋅ ∈ ≠

= =

1

, {1,2,..., },

, za

kk kirij isk

rskij k

irkrs

aa a za i m i r

aa

ai r

a

+

− ⋅ ∈ ≠

= =

Iterativni korakTransformisanje standardnog u kanonski oblik (pivotiranje)

1. r-to ograničenje iz se deli sa arsk ;

2. Ako je aisk ≤0, tada se i-to ograničenje,

transformisano u koraku (1), množi sa -aisk i

dodaje i-tom, i∈{1,2,...,n}, i≠r ;3. Ako je cs

k ≠0 tada se i-to ograničenje, transformisano u koraku (1), množi sa -cs

k, pa se njegova leva strana dodaje funkciji cilja, dok se njegova desna strana oduzima od ove funkcije.

44

Iterativni korakNovi kanonski oblik –

Kanonski oblik problema u k+1-toj (k=0,1,2,...) iteraciji

Provera optimalnosti

45

1 1 1 1 1 11 1 2 2 1max ( )

. .


p o

+ + + + + ++= + + + +

1 1 1 1 1 1 1 111 1 12 2 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 121 1 22 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 2




a x a x a x x b

a x a x a x x b

a x a x a x x b

+ + + + + + + ++

+ + + + + + + ++

+ + + + + + + ++

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + =

1 1 11 2, ,..., 0k k k

n mx x x+ + ++ ≥

Iterativni korakNovi kanonski oblik k=1

46

2 3(max) ( ) 2 5 30. .

f x x xp o

= − +

1 3

2 4

2 3 5

1 5

62 182 3 6

0, ..., 0

x xx xx x x

x x

+ =

+ =− + =

≥ ≥

02 0c > Rešenje nije optimalno


47

2 3(max) ( ) 2 5 30. .

f x x xp o

= − +

1 3

2 4

2 3 5

1 5

62 182 3 6

0, ..., 0

x xx xx x x

x x

+ =

+ =− + =

≥ ≥

22 min{9,3}x = x2 ulazi u bazu

x5 izlazi iz baze

1

4 2 2

5 2 2

1 5

618 2 0 9

6 2 0 30, ..., 0

xx x xx x xx x

== − ≥ ⇒ ≤

= − ≥ ⇒ ≤

≥ ≥


48

3 5(max) ( ) 2 36. .

f x x xp o

= − − +

1 3

3 4 5

2 3 5

1 5

63 123 12 32 2

0, ..., 0

x xx x x

x x x

x x

+ =

+ − =

− + =

≥ ≥{ } ( )2

1 2 4, , 6,12,3Bx x x x= =

{ } ( )23 5, 0,0Nx x x= =

2 36F =

Rešenje je optimalno (c3<0, c5<0)

1 2(max) ( ) 5 2. .

f x x xp o

= +

Simpleks metoda – tabelarni oblik(Novi kanonski oblik T1 na osnovu T0)

49

T0 Baza KSČ 5 2 0 0 0ci (XB) (bi) x1 x2 x3 x4 x50 x3 6 1 0 1 0 00 x4 18 0 2 0 1 00 x5 24 3 2 0 0 1

- f 0 5 2 0 0 0

1 3

2 4

1 2 5

1 5

62 18

3 2 240, ..., 0

x xx x

x x xx x

+ =

+ =+ + =

≥ ≥

T1 Baza KSČ 5 2 0 0 0ci (XB) (bi) x1 x2 x3 x4 x55 x10 x40 x5

- f

1. Formiranje novog baznogrešenja (XB

1)

1 2(max) ( ) 5 2. .

f x x xp o

= +


50

T0 Baza KSČ 5 2 0 0 0ci (XB) (bi) x1 x2 x3 x4 x5

0 x3 6 1 0 1 0 00 x4 18 0 2 0 1 00 x5 24 3 2 0 0 1

- f 0 5 2 0 0 0

1 3

2 4

1 2 5

1 5

62 18

3 2 240, ..., 0

x xx x

x x xx x

+ =

+ =+ + =

≥ ≥


5 x1 6/1=6 1/1=1 0/1=0 1/1=1 0/1=0 0/1=0

0 x40 x5

- f


1)2. Izračunavanje vrednosti

elemenata vodećeg reda

ais= ai1

arj= a1j

ars= a11

1 , zak

k irij k

rs

aa i r

a+ =

1 2(max) ( ) 5 2. .

f x x xp o

= +


51


0 x3 6 1 0 1 0 00 x4 18 0 2 0 1 00 x5 24 3 2 0 0 1

- f 0 5 2 0 0 0

1 3

2 4

1 2 5

1 5

62 18

3 2 240, ..., 0

x xx x

x x xx x

+ =

+ =+ + =

≥ ≥


5 x1 6 1 0 1 0 0

0 x418-6*0/1

=180 2-0*0/1

=20-0*1/1

=01 0

0 x5 24-6*3/1=6 0 0 1- f 0 0 0




3. Izračunavanje vrednosti svihostali elemenata

ais= ai1

arj= a1j

ars= a11

1 , zak

k irij k

rs

aa i r

a+ =

1 , {1,2,..., },k

k k kirij ij isk

rs

aa a a za i m i r

a+ = − ⋅ ∈ ≠

1 2(max) ( ) 5 2. .

f x x xp o

= +


52


0 x3 6 1 0 1 0 00 x4 18 0 2 0 1 00 x5 24 3 2 0 0 1

- f 0 5 2 0 0 0

1 3

2 4

1 2 5

1 5

62 18

3 2 240, ..., 0

x xx x

x x xx x

+ =

+ =+ + =

≥ ≥


5 x1 6 1 0 1 0 0

0 x4 18 0 2 0 1 00 x5 6 0 2 -3 0 1

- f -30 0 2 -5 0 0




3. Izračunavanje vrednosti svihostali elemenata

4. Odrediti vrednosti ukriterijumskom redu

ais= ai1

arj= a1j

ars= a11

1 , zak

k irij k

rs

aa i r

a+ =

1 , {1,2,..., },k

k k kirij ij isk

rs

aa a a za i m i r

a+ = − ⋅ ∈ ≠

1 2(max) ( ) 5 2. .

f x x xp o

= +


53


0 x3 6 1 0 1 0 00 x4 18 0 2 0 1 00 x5 24 3 2 0 0 1

- f 0 5 2 0 0 0

1 3

2 4

1 2 5

1 5

62 18

3 2 240, ..., 0

x xx x

x x xx x

+ =

+ =+ + =

≥ ≥


5 x1 6 1 0 1 0 0

0 x4 18 0 2 0 1 00 x5 6 0 2 -3 0 1

- f -30 0 2 -5 0 0

ais= ai1

arj= a1j

ars= a11

1 , zak

k irij k

rs

aa i r

a+ =

1 , {1,2,..., },k

k k kirij ij isk

rs

aa a a za i m i r

a+ = − ⋅ ∈ ≠

1. Formiranje novog baznog rešenja(XB

1)2. Izračunavanje vrednosti elemenata

vodećeg reda

3. Izračunavanje vrednosti svih ostalielemenata

4. Odrediti vrednosti u kriterijumskomredu (novo bazno rešenje)

1 2(max) ( ) 5 2. .

f x x xp o

= +


54

1 3

2 4

1 2 5

1 5

62 18

3 2 240, ..., 0

x xx x

x x xx x

+ =

+ =+ + =

≥ ≥


5 x1 6 1 0 1 0 0

0 x4 18 0 2 0 1 0

0 x5 6 0 2 -3 0 1- f -30 0 2 -5 0 0

1 , zak

k irij k

rs

aa i r

a+ =

1 , {1,2,..., },k

k k kirij ij isk

rs

aa a a za i m i r

a+ = − ⋅ ∈ ≠

02 2 0c = > Rešenje nije optimalno

{ }( )

11 4 5

1

, ,

6,18,6B

B

x x x x

x

=

=1. Formiranje novog baznog rešenja

(XB1)

2. Izračunavanje vrednosti elemenatavodećeg reda



5. Test optimalnosti cj≤0

1 2(max) ( ) 5 2. .

f x x xp o

= +


55

1 3

2 4

1 2 5

1 5

62 18

3 2 240, ..., 0

x xx x

x x xx x

+ =

+ =+ + =

≥ ≥


5 x1 6 1 0 1 0 0

0 x4 18 0 2 0 1 0

0 x5 6 0 2 -3 0 1- f -30 0 2 -5 0 0

1 , zak

k irij k

rs

aa i r

a+ =

1 , {1,2,..., },k

k k kirij ij isk

rs

aa a a za i m i r

a+ = − ⋅ ∈ ≠

02 2 0c = > Rešenje nije optimalno

{ }( )

11 4 5

1

, ,

6,18,6B

B

x x x x

x

=

=1. Formiranje novog baznog rešenja

(XB1)

2. Izračunavanje vrednosti elemenatavodećeg reda




6. Kriterijum ulaska u bazu (s=2)

1 2(max) ( ) 5 2. .

f x x xp o

= +


56

1 3

2 4

1 2 5

1 5

62 18

3 2 240, ..., 0

x xx x

x x xx x

+ =

+ =+ + =

≥ ≥

T1 Baza KSČ 5 2 0 0 0 KSČci (XB) (bi) x1 x2 x3 x4 x5 X2

5 x1 6 1 0 1 0 0 /

0 x4 18 0 2 0 1 0 9

0 x5 6 0 2 -3 0 1 3- f -30 0 2 -5 0 0



vodećeg reda





7. Kriterijum izlaska iz baze (r=3)

1 , zak

k irij k

rs

aa i r

a+ =

1 , {1,2,..., },k

k k kirij ij isk

rs

aa a a za i m i r

a+ = − ⋅ ∈ ≠

22 min{9,3} 3x = = x2 ulazi u bazu

x5 izlazi iz baze

1 2(max) ( ) 5 2. .

f x x xp o

= +


57

1 3

2 4

1 2 5

1 5

62 18

3 2 240, ..., 0

x xx x

x x xx x

+ =

+ =+ + =

≥ ≥


5 x1 6 1 0 1 0 0

0 x4 12 0 0 3 1 -1

2 x2 3 0 1 -3/2 0 1/2

-3 -36 0 0 -2 0 -1

ais= ai2

arj= a3j

ars= a32

1 , zak

k irij k

rs

aa i r

a+ =

1 , {1,2,..., },k

k k kirij ij isk

rs

aa a a za i m i r

a+ = − ⋅ ∈ ≠

T1 Baza KSČ 5 2 0 0 0Ci (XB) (bi) x1 x2 x3 x4 x5

5 x1 6 1 0 1 0 0

0 x4 18 0 2 0 1 0

0 x5 6 0 2 -3 0 1- f -30 0 2 -5 0 0



vodećeg reda



1 2(max) ( ) 5 2. .

f x x xp o

= +

Simpleks metoda – tabelarni oblik(Novi kanonski oblik T2)

58

1 3

2 4

1 2 5

1 5

62 18

3 2 240, ..., 0

x xx x

x x xx x

+ =

+ =+ + =

≥ ≥


5 x1 6 1 0 1 0 0

0 x4 12 0 0 3 1 -1

2 x2 3 0 1 -3/2 0 1/2

-f -36 0 0 -2 0 -1

1 , zak

k irij k

rs

aa i r

a+ =

1 , {1,2,..., },k

k k kirij ij isk

rs

aa a a za i m i r

a+ = − ⋅ ∈ ≠



vodećeg reda




{ } ( )* 21 2 4, , 6,12,3B BX X x x x= = =

{ } ( )23 5* , 0,0NX X x x= = =

2* 36F F= =


Iterativni korak - dodatakProšireni kriterijum ulaska i izlaska promenljive iz baze

Prilikom izbora promenljive koja će da uđe u bazu, bira se ona nebazna promenljiva najviše popraviti vrednost funkcije cilja u ukupnoj vrednosti.

Kriterijum ulaska promenljive u bazuU bazu Bk+1 ulazi ona promenljiva xs

k, s∈{1,2,...,n} za čiji indek s važi

59

{1,2,..., }max { : 0}k k k k k

s s j j jj nc d c d c

∈= >

Iterativni korak - dodatakProšireni kriterijum ulaska i izlaska promenljive iz baze

Kriterijum izlaska iz bazeIz baze Bk izlazi ona promenljiva za izlazi onapromenljiva xn+r

k, r∈{1,2,...,n} za čiji indeks r važi

Nova baza i nova f-ja cilja

60

{1,2,..., }min : 0

k kk ki is isk ki m

is is

b bd a

a a∈

= = >

1k k k ks sF F c d+ = + ⋅1 \k k k k

s n rB B x x++= ∪

Veštačka početna baza

Razmatra se sledeći problem61

1 1 2 2max ( ). .

n nf x c x c x c x Fp o= + + + +

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n nkn n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

+ + + =

+ + + ≥

+ + + ≤

1 2, ,..., 0nx x x ≥

Veštačka početna baza

Transformisaniproblem će biti standardnom ali ne i u kanonskom obliku

matrica A je dimenzija m x n, rangA = m < n i b>0.

62

1 1 2 2max ( ). .


p o= + + + +

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2 2

1 1 2 2

k k k k k k kn n



a x a x a x b

a x a x a x x b

a x a x a x x b

+

+

+ + + =

+ + + − =

+ + + + =

1 2, ,..., 0k k kn mx x x + ≥

Veštačka početna baza -metoda velikog M

Da bi odredili početno bazno rešenje za simpleks metodu potreban nam je problem LP u kanonskom obliku.

Algebarska transformacija običnog standardnog oblika u kanonski može biti računski zahtevna.

Zbog toga se u praksi za formiranje početnog baznog rešenja (tj. njemu odgovarajućeg kanonskog oblika) koristi tzv. Metoda velikog M.

63

Veštačka početna bazametoda velikog M

Ideja metode: Svakom ograničenju u standardnom obliku dodati po

jednu veštačku promenljivu.

Ove promenljive čine veštačku početnu bazu problema.

Pošto ovakva baza nije dopustiva u odnosu na zadati problem, obezbediti da veštačke promenljive kroz korake simpleks metode izađu iz baze.

64


Prelaze u oblik65

Ograničenja oblika

1 1 2 2

1

, 1, 2,...,,..., 0

i i in n i

n

a x a x a x b i mx x

+ + + = =

≥

1 1 2 2

1

, 1, 2,...,,..., 0, 0, 1, 2,..,

k k k k k k ki i in n i i

n i

a x a x a x v b i mx x v i m

+ + + + = =

≥ ≥ =


66

11 1 12 2 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n n

m m mn n n m m m

a x a x a x v b

a x a x a x x v b

a x a x a x x v b

+

+

+ + + + =

+ + + − + =

+ + + + + =

1 2 1, ,..., 0, ,..., 0n m mx x x v v+ ≥ ≥

Da li je rešenje dopustivo?

Ograničenja oblika


Iz ovakvog oblika se lako konstruiše večtačka početna baza:

Odnosno početno rešenje:

Da li ovakvo rešenje dopustivo?

67

{ }01 2, ,..., mB v v v=

{ }{ }

01 2 1 2

01 2

, ,..., , , ,...,

0,0,...,0, , ,...,n m

m

X x x x v v v

X b b b

= =

=


Svako bazno rešenje za koje je barem jedno vi > 0,i={1,2,...,n} neće biti dopustivo.

Tj. za zadati model biće dopustivo samo ono rešenje za koje su sve veštačke promenljive vi = 0, i={1,2,...,n} ⇒nebazne

Potrebno je obezbediti mehanizam koji će izbaciti sve veštačke promenljive iz baze.

68

11 1 12 2 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n n

m m mn n n m m m

a x a x a x v b

a x a x a x x v b

a x a x a x x v b

+

+

+ + + + =

+ + + − + =

+ + + + + =

1 2 1, ,..., 0, ,..., 0n m mx x x v v+ ≥ ≥


Gde je M veliki broj

Svaka vrednost vi > 0 za bilo koje i=1,...,m će biti kažnjena velikim smanjenjem vrednosti funkcije cilja.

69

11 1 12 2 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n n

m m mn n n m m m

a x a x a x v b

a x a x a x x v b

a x a x a x x v b

+

+

+ + + + =

+ + + − + =

+ + + + + =

1 2 1, ,..., 0, ,..., 0n m mx x x v v+ ≥ ≥

1 1 2 21

max ( ) ( )

. .

m

n n ii

f x c x c x c x M v

p o=

= + + + − ∑

11 1 12 2 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n n

m m mn n n m m m

a x a x a x v b

a x a x a x x v b

a x a x a x x v b

+

+

+ + + + =

+ + + − + =

+ + + + + =

1 2 1, ,..., 0, ,..., 0n m mx x x v v+ ≥ ≥

1 1 2 2max ( ). .

n nf x c x c x c xp o= + + +


Zadati model nije u kanonskom obliku ali se svodi uvođenje m transformacije:

Smena se ubaci u ograničenja i f-ju cilja

70

1 1 2 21

max ( ) ( )

. .

m

n n ii

f x c x c x c x M v

p o=

= + + + − ∑

11 1 12 2 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n n

m m mn n n m m m

a x a x a x v b

a x a x a x x v b

a x a x a x x v b

+

+

+ + + + =

+ + + − + =

+ + + + + =

1 2 1, ,..., 0, ,..., 0n m mx x x v v+ ≥ ≥

1, 1,...,

ni i ij jj

v b a x i m=

= − =∑

0 0

1 1 1

0 0

1

max ( ) ( )

max ( )

j

n m m

j ij j ij i i

c F

n

j jj

f x c M a x M b

f x c x F

= + +

=

= + −

⇒

= +

∑ ∑ ∑

∑


Simpleks metoda će se odvijati u dve faze:1. Izbacivanje veštaččkih promenljivih iz baze tj

dobijanje kanonskog oblika koji odgovara dopustivom baznom rešenju za zadati problem.

2. Optimizacija polaznog problema tj. dobijanje optimalnog rešenje polaznog problema.

Napomena: Dovoljno je uvoditi veštačke promenljive samo u onaograničenja u kojima ne postoji neka druga promenljiva koja možebiti u početnoj bazi (ograničenja tipa ≥ i =).

71


Kada veštačka promenljiva izađe iz baze, ona se ne može vratiti. Zato se ove promenljive mogu izostaviti iz dalje procedure.

Kod ručne primene simpleks metode, umesto konkretne vrednosti može se koristiti simbol M, dok se kod primene na računaru mora usvojiti neka vrednost koja dominira nad svim ostalim koeficijentima funkcije cilja.

72


Primer u prezentaciji za vežbe73

Mogući ishodi Simpleks metode

Višestruka optimalna rešenja: na ograničenoj optimalnoj strani, na neograničenoj optimalnoj strani;

Neograničena funkcija cilja; Prazna dopustiva oblast; Degenerisano teme.

74

Mogući ishodi Simpleks metode

Jedinstveno optimalno rešenječ Neograničena funkcija cilja; Višestruka optimalna rešenja:

na ograničenoj optimalnoj strani, na neograničenoj optimalnoj strani;

Prazna dopustiva oblast; Degenerisano teme.

75

Jedinstveno optimalno rešenje

Algebarski posmatrano, ovakva situacija nastaje kada u poslednjoj k-toj iteraciji, kada je dobijeno optimalno rešenje Xk , tj. kada su svi koecijenti uz nebazne promenljive u funkciji cilja kanonskog oblika cj

k <0. Primer dat na prethodnom zadatku

76

1 2(max) ( ) 5 2. .

f x x xp o

= +

Simpleks metoda – tabelarni oblik(Novi kanonski oblik T2)

77

1 3

2 4

1 2 5

1 5

62 18

3 2 240, ..., 0

x xx x

x x xx x

+ =

+ =+ + =

≥ ≥


5 x1 6 1 0 1 0 0

0 x4 12 0 0 3 1 -1

2 x2 3 0 1 -3/2 0 1/2

-f -36 0 0 -2 0 -1

1 , zak

k irij k

rs

aa i r

a+ =

1 , {1,2,..., },k

k k kirij ij isk

rs

aa a a za i m i r

a+ = − ⋅ ∈ ≠



vodećeg reda




{ } ( )* 21 2 4, , 6,12,3B BX X x x x= = =

{ } ( )23 5* , 0,0NX X x x= = =

2* 36F F= =


Neograničena funkcija cilja

Ako za neku nebaznu promenljivu xsk važi da je

cjk>0 (nije optimalno rešenje), a ais

k ≤0, ∀i = 1,2,...,m, tada funkcija cilja neograničeno raste dužneograničene ivice dopustive oblasti sa početnom tačkom Xk.

78

1 2(max) ( ) 5 2. .

f x x xp o

= +

Simpleks metoda – tabelarni oblik(Neograničena funkcija cilja)

79

1 3

2 4

1 2 5

1 5

62 18

3 2 240, ..., 0

x xx x

x x xx x

+ =

+ =+ + =

≥ ≥

T1 Baza KSČ 5 2 0 0 0 KSČci (XB) (bi) x1 x2 x3 x4 x5 X2

5 x1 6 1 0 1 0 0 /

0 x4 18 0 -2 0 1 0 -9

0 x5 6 0 -2 -3 0 1 -3- f -30 0 2 -5 0 0



vodećeg reda






1 , zak

k irij k

rs

aa i r

a+ =

1 , {1,2,..., },k

k k kirij ij isk

rs

aa a a za i m i r

a+ = − ⋅ ∈ ≠

22 min{ 9, 3} 0x = − − < ⇒ Neograničena funkcija cilja

Višestruka optimalna rešenja:

Algebarski posmatrano, ovakva situacija nastaje kada u poslednjoj k-toj iteraciji, kada je dobijeno optimalno rešenje Xk , tj. kada su svi koecijenti uz nebazne promenljive u funkciji cilja kanonskog oblika cj

k ≤0 ako je za bar neko j važi cjk =0.

Ovo znači da ako nebazna promenljiva xk dobije vrednost veću od 0, dok ostale nebazne promenljive zadrže vrednost 0, to neće uticati na vrednost funkcije cilja, a dobiće se novo rešenje.

80

Višestruka optimalna rešenja:

Ako promenljiva xsk može da uđe u bazu, tj. ako je

moguće odrediti novo bazno rešenje Xk’, tada to

rešenje predstavlja još jedno teme strane na kome se višestruka rešenja nalaze.

Ako nije moguće formirati novo bazno rešenje sa xsk

(ako su svi koecijenti aisk ≤0), tada se višestruko

rešenje nalazi na neograničenoj optimalnoj strani.

81

Simpleks metoda – tabelarni oblik(Višestruka optimalna rešenja)

82

T1 Baza KSČ 5 0 0 0 0 KSČci (XB) (bi) x1 x2 x3 x4 x5 x2

5 x1 6 1 0 1 0 0 /

0 x4 18 0 2 0 1 0 9

0 x5 6 0 2 -3 0 1 3- f -30 0 0 -5 0 0



vodećeg reda






1 , zak

k irij k

rs

aa i r

a+ =

1 , {1,2,..., },k

k k kirij ij isk

rs

aa a a za i m i r

a+ = − ⋅ ∈ ≠

22 min{9,3} 3x = =

x2 ulazi u bazu

x5 izlazi iz baze

Rešenje je optimalno (c3<0)

Rešenje je višestuko (c2=0, x2 nebazna promenljiva )

{ }*'1 2 3 4 5, , , ,X x x x x x=

( )* 6,0,0,18,6X =

1* 30F F= =

Simpleks metoda – tabelarni oblik(Višestruka optimalna rešenja)

83


5 x1 6

0 x4 12

0 x2 3- f -30

( )*' 6,0,0,18,6X =

* 30F =( )*'' 6,3,0,12,0X =

* *' *''(1 ) , 0 1X X Xα α α= + − ≤ ≤ Beskonačno mnogo rešenja

Prazna dopustiva oblast

U slučaju kada se polazi od veštačke početne baze (metodom velikog M), može se desiti da je dopustiva oblast prazna.

Ovaj slučaj se može algebarski utvrditi kada se u nekoj k-toj iteraciji simpleks metode dobije da su svi cj

k>0, j = 1,2,...,n, a baza Bk sadrži bar jednu veštačku promenljivu čija je vrednost u baznom rešenju Xk veća od 0.

84

Simpleks metoda – tabelarni oblik(prazna dopustiva oblast)

85

T2 Baza KSČ 5 2 0 0 -M

ci (XB) (bi) x1 x2 x3 x5 v2

5 x1 6 1 0 1 0 0

M v2 12 0 0 3 -1 1

2 x2 3 0 1 -3/2 1/2 0

-f -36 0 0 -2 -1 0

{ } ( )* 21 2 4, , 6,12,3B BX X x x x= = =

{ } ( )23 5* , 0,0NX X x x= = =

2* 36F F= =

(c3<0, c5<0)Kriterijum optimalnosti zadovoljen

Veštačka promenljiva je bazna promenljiva ⇒ Rešenje je nedopustivo

Degenerisano teme (rešenje)

je ono teme u kome jedna ili više baznih promenljivih imaju vrednost 0, odnosno za koje postoji više baza. Odgovarajuće rešenje se naziva degenerisano bazno rešenje.

Situacije kada se u simpleks metodi pojavi degenerisano rešenje potrebno je rešavati sa pažnjom jer se u protivnom u radu algoritma može javiti cikliranje, tj. da se proces zaglavi.

86

SistematizacijaSimpleks metoda - tabelarni oblik

87

Baza (xb)

KSČ(b) x1 x2 ... xj… xn xn+1 xn+2 ... xn+m

xn+1k b1

k a11k a12

k ... a1nk 1 0 ... 0

xn+2k b2

k a21k a22

k ... a2nk 0 1 ... 0

xn+ik

...bi

k

...

... aijk

xn+mk bm

kam1

k am1k ... amn

k 0 0 1

- f -f(x) c1k c2

k ...cj

k… cnk 0 0 ... 0

SistematizacijaSimpleks metoda - tabelarni oblik Početni korak: Formirati početnu simpleks tabelu koja odgovara polaznom problemu;

Iterativni korak k=1,2,…(a) Ako je cj

k ≤0 za svako j=1,2,…,n, tada simpleks tabeli Tk odgovara optimalno bazno dopustivo rešenje. STOP.

(b) Ako za neko j za koje je cjk >0 važi da je aij

k ≤0 za sve j=1,2,…,n tada je funkcija cilja neograničena odozgo, pa problem nema rešenja. STOP.

(v) Izabrati neko s∈{1,2,…,n} za koje je csk >0 , a zatim naći r takvo da je (ili koristiti prošireni

kriterijum) .

(g) Generisati novu simpleks tabelu Tk+1 primenom sledećih algebarskih transformacija:

• pomnožiti r-ti red sa aisk/ars

k i dodati i- tom redu tabele Tk za svako i≠r i aisk ≠0;

• podeliti r-ti red sa arsk .

s -ta kolona (koja odgovara promenljivoj koja ulazi u bazu) se naziva vodećom kolonom,

r-ti red (koji odgovara promenljivoj koja izlazi iz baze) vodećim redom,

element ars je stožerni ili pivot element pomoću koga se obavljaju transformacije.

88

min{ / }k k ks i isi

x b a=

Pojmovi Konveksan skup, konveksna kombinacija, ekstremna tačka

Dopustiva tačka

Dopustiva oblast (ograničena, neograničena, prazna )

Opšti, standardni i simetrični oblik LP

Dopustivo teme i rešenje LP

Degenerisno teme i rešenje LP

Nedopustivo teme i rešenje LP

Bazno rešenje LP

Bazne i nebazne promenljive (nezavisne i zavisne)

Kanonski oblik LP

Bazno dopustivo rešenje kanonskog oblika

Simpleks metoda

89

Pojmovi Kriterijum ulaska promenljive u bazu

Kriterijum izlaska promenljive u bazu

Novi kanonski oblik (pivot transformacija)

Meotda velikog M

Višestruko rešenje

Neograničena funkcija cilja

Degenerisano teme (rešenje)

Nedopustivo rešenje

90

Rešenje LP

Optimalno rešenje postoji ako je dopustivi skup konveksan

Konveksan skup ima bar jedno teme Optimalno rešenje se nalazi u temenu ili na ivici

dopustive oblasti Teme prestavlja optimalno rešenje ako ne potoji

bolje susedno teme.

91

Rešenje LP

Rešenje je jedinstveno (singularno) ako se gornja (donja) potporna prava i dopustiva oblast seku u jednom temenu odnosno f-ja cilja postiže najbolju vrednost u jednom temenu

Rešenje je višestruko (nesingularno) ako f-ja cilja postiže optimalnu i jednaku vrednost u više temena. Optimalno rešenje predstavlja njihovu konveksnu kombinaciju.

Ako je skup neograničen odozgo, optimalno rešenje ne postoji ako je i f-ja cilja neograničena odozgo

Ako je dopustivi skup prazan ne postoji optimalno rešenje.

92

Rešenje LP Standardni oblik LP – sva ograničenja su jednačine.

Bazno rešenje - Svako rešenje zadatog sistema jednačina za koje nezavisne promenljive imaju vrednost 0.

Dopustivo bazno rešenje- bazno rešenje u kom su vrednosti promenljivih veće ili jednake 0.

Kanoski oblik – specijalni oblik standardnog problema u kome su desne strane ograničenja nenegativne i u svakom ograničenju postoji bar jedna promenljiva sa keoficijentom jedan i ne pojavljuje se nigde više (postoji jedinična dijagonalna matrica baze).

Značaj kanonskog oblika: Dopustivo bazno rešenje se može pročitati direktno (nezavisne promenljive su jednake 0, a zavisne su jednake desnoj strani ograničenja).

93

Rešenje LP Kriterijum ulaska promenljive u bazu (naveći jedinični priraštaj)

Kriterijum izlaska promenljive iz baze (najmanji količnik b/a)

Prošireni kriterijum ulaska promenljive u bazu (ukupni priraštaj f-je cilja)

Simplek metoda (tabelarni oblik) - algoritam

94

Pitanja

1. Osnovni koraci pri formulisanju LP?2. Opšti oblik LP modela?3. Osobine promenljivih u zadacima LP?4. Šta je konveksan skup?5. Šta je konveksna kombinacija?6. Šta je dopustivi skup?7. Kada je rešenje dopustivo?

95

Pitanja

8. Gde se nalazi optimalno rešenje u dopustivomskupu?

9. Kada postoji optimalno rešenje?10. Kada je optimalno rešenje jedinstveno?11. Kada je optimalno rešenje višestruko?12. Kada je optimalno rešenje neograničeno?13. Kada je optimalno rešenje neograničeno i

višestruko?14. Kada je optimalno rešenje nedopustivo?

96

Pitanja

Odnos između geometrijske i algebarske interpretacije rešenja (dopustivo i nedopustivo teme)?

Odnos između geometrijske i algebarske interpretacije rešenja (degenerisano teme)?

Egzistencija optimalnih rešenja i temena? Odnos između geometrijske i algebarske

interpretacije rešenja (jednistveno i višestruko optimalno rešenje)?

Uslov optimalnosti temena dopustive oblasti ?

97

Pitanja

Standardni oblik LP? Simetrični oblik LP? Bazno dopustivo rešenje standardnog LP? Kanonski oblik problema ? Bazno dopustivo rešenje kanonskog LP? Osnovna ideja Simpleks metode? Osnovni koraci Simpleks metode?

98

Pitanja

Kriterijum optimalnosti? Kriterijum ulaska promenljive u bazu? Kriterijum izlaska promenljive iz baze? Prošireni kriterijum ulaska i izlaska promenljive Pivot transformacija (dobijanje novog kanonskog

oblika)? Metoda velikog M? Ishodi Simepleks metode (jedinstveno optimalno

rešenje)?

99

Pitanja

Ishodi Simpleks metode (jedinstveno optimalno rešenje)?

Ishodi Simpleks metode (neograničena f-ja cilja)? Ishodi Simpleks metode (višestuko optimalno rešenje)? Ishodi Simpleks metode (višestuko neograničeno

rešenje)? Ishodi Simpleks metode (nedopustivo rešenje)? Ishodi Simpleks metode (degenerisano teme)?

100

101

Hvala na pažnji

operaciona istraŽivanja · simpleks metoda simpleks metoda je tehnika koja sistematizuje postupak...

Documents