Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salatić 1

Slika 2.1

2. STATIČKE METODE ODREĐIVANJA KRITIČNOG OPTEREĆENJA

2.1 DIREKTNA METODA - POSTUPAK SA DIFERENCIJALNIM JEDNAČINAMA Posmatranom sistemu zadaje se deformacija koja će se prema obliku pomeranja poklopiti sa očekivanom novom formom ravnoteže sistema posle gubitka stabilnosti, a zatim se određuje intenzitet opterećenja, koje je u stanju da održi sistem novoj formi ravnoteže. Primer 2.1 Odrediti vrednost kritičnog opterećenja na štap oslonjen kao što je prikazano na Slici 2.1. Elastično uklještenje u tački je definisano parametrom , a krutost elastičnog oslonca u tački parametrom .

Rešenje:

Izraz za moment u proizvoljnom preseku može se napisati u obliku:

"  

Ako se uvede oznaka , dobija se diferencijalna jednačina sa konstantnim koeficijentima:

"

čije je rešenje:

 cos  sin  

Potrebno je tri uslova da se odrede nepoznate , i :

0                                                   1                                               2

        3

1        0

2         cos  sin

3         cos  sin        

1 0

 tg  0  

0

Homogen sistem jednačina ima netrivijalno rešenje samo kada je determinanta sistema jednaka nuli.

2 Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salatić

det

1 0 11 tg  0

0

0

pa je jednačina stabilnosti:

tg ω 1 0

ili:

tg 1

Izvršiće se diskusija dobijene jednačine stabilnosti na posebnim slučajevima oslanjanja štapa: 1) Slobodno oslonjen štap na oba kraja

tg 1

   0

∞  · 0 0

odnosno sin 0, što predstavlja karakterističnu jednačinu stabilnosti obostrano slobodno oslonjenog štapa.

2) Uklješten i elastično oslonjen štap

tg 1

   1

0 0

tg  1

3) Uklješten i oslonjen štap

tg 1 0

0 0

tg    4) Elastično uklješten štap na jednom kraju

tg 1 0 1

0 0

tg 

Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salatić 3 Primer 2.2

Odrediti kritičnu silu sistema.

Rešenje:

84 · 2.03

1283

1 3256

tg  1 1 3256

1256 ·3 ·

tg 6

2.672                        0.1116

2.2 DIREKTNA METODA - POSTUPAK SA ALGEBARSKIM JEDNAČINAMA RAVNOTEŽE Oblik deformisane ravnoteže forme određuje se pomeranjima konačnog broja tačaka. Uslovi ravnoteže deformisane konfiguracije daju sistem algebarskih homogenih jednačina po usvojenim pomeranjima. Iz uslova o postojanju netrivijalnih rešenja za pomeranja mogu se odrediti vrednosti kritičnog opterećenja. Od posebnog značaja može biti najmanja vrednost kritičnog opterećenja.

Ovaj postupak odgovara sistemima sa konačnim brojem stepeni slobode pomeranja. Ako je usvojen broj stepeni slobode pomeranja manji od stvarnog broja pomeranja, tada je u pitanju približan postupak, čijom se primenom uprošćava rešenje zadatka stabilnosti.

Sistem algebarskih homogenih jednačina ravnoteže za slučaj sistema sa stepeni slobode pomeranja može se napisati u obliku:

 … 0 … 0

 … 0

                       2.1

U ovim jednačinama predstavlja veličine zavisne od parametra opterećenja. Jednačine (2.1) predstavljaju homogen sistem. Kako gubitak stabilnosti obično nastaje kada su vrednosti

, , … , različiti od nule to jednačinu stabilnosti dobijamo izjednačenjem determinante koeficijenata uz nepoznata pomeranja , , … , , sa nulom:

4 Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salatić

0                   2.2

Forme gubitka stabilnosti određujemo iz sistema jednačina (2.1) normiranjem, odnosno deljenjem svih jednačina sistema sa . Matrična formulacija zadatka:

0          | | 0                             2.3

Primer 2.3 Određivanja stabilnosti sistema sa dva stepena slobode pomeranja.

Rešenje: Data su tri kruta štapa, oslonjena na dva krajnja nedeformabilna i dva srednja elastična oslonca sa koeficijentima krutosti .

Koeficijent krutosti elastičnog oslonca brojno je jednak reakciji oslonca usled jediničnog pomeranja oslonca. Odavde određuju se reakcije i , vodeći računa o oznakama datim na slici:

                                                                                                    a     

Greda 0-1-2-3, nalazi se pod dejstvom aksijalne sile , pa treba odrediti veličinu sile pri kojoj će osim horizontalnog ravnotežnog položaja biti moguće i neko drugo ravotežno stanje sistema u deformisanom položaju. Zadati sistem ima dva stepena slobode pomeranja. Usvajaju se pomeranja zglobova kao parametri pomeranja i .

Vrednosti reakcija i dobijaju se iz uslova o nultim momentima svih sila u odnosu na oslonačke zglobove.

6   4     0         23

16                    

6   5   2   0       56

13

                 b     

Posle unošenja vrednosti za reakcije (a) u izraze (b) dobija se:

 56

13

               16

23

                                c

Za rešenje zadatka primenom postupka sa algebarskim jednačinama, korišćenjem statičke metode, treba napisati onoliko uslova ravnoteže sistema u deformisanoj konfiguraciji, koliko sistem ima stepeni slobode pomeranja.

0                         

2 0                                                                            d       

Ako se u izraze (d) unesu veze (c), dobijaju se dve homogene jednačine po parametrima:

Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salatić 5

56    

13   0                

13

  43    0                                                                e

Trivijalno rešenje jednačina (e) odgovara pravolinijskoj formi ravnoteže horizontalnih štapova. Netrivijalno rešenje dobija se izjednačavanjem determinante koeficijenata uz nepoznate parametre pomeranja sa nulom:

det

56 

13

 

13

43 

0             136

  0         f

Jednačina (f) rešava se po sili :

,23

              ,32

 

Važno je odrediti minimalnu vrednost kritične sile , . Za određivanje formi gubitka stabilnosti sistema, treba određene vrednosti kritičnih sila uneti u jednačine (e).

Tako za slučaj , sledi:

16

  13

  0 ,     za     1,    12

Za slučaj P     , sledi: 13

  16

  0      za     1,     2

Forme gubitka stabilnosti prikazani su na slici.

  2.3 ENERGETSKE METODE Energetska metoda se zasniva na analizi izraza za punu potencijalnu energiju deformacija sistema u pomerenom stanju. Pomereno stanje sistema bira se tako da se poklapa sa očekivanom formom deformacije sistema, posle gubitka stabilnosti.

Ako se pri određivanju izraza za punu potencijalnu energiju deformacije sistema, odredi forma gubitaka stabilnosti sa brojem nezavisnih parametara pomeranja koji je jednak broju stepeni slobode pomeranja sistema, tada će energetska metoda dati tačno rešenje zadatka stabilnosti. Kada je broj nezavisnih parametara pomeranja manji od broja stepeni slobode pomeranja sistema, tada će rešavanje za kritično opterećenje biti približno i nešto veće od stvarne vrednosti kritičnog opterećenja.

6 Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salatić Posle izvođenja sistema iz prvobitnog deformisanog stanja u njemu blisko pomeranje stanja, određuje se rad spoljašnjih sila   , koji se izjednačava sa prirastom potencijalne energije sistema , odnosno sa negativnom vrednošću rada unutrašnjih sila   :

                                                        2.4

Jednakost treba sastaviti sa tačnošću do beskonačno malih veličina prvog reda. Kritična sila se dobija iz stava o stacionarnosti potencijalne energije.

Π 2.3.1 Timošenkov energetski postupak Polazeći od poznatih rešenja analognih zadataka, zadaju se moguće forme gubitaka stabilnosti, uz obavezno zadovoljavanje graničnih uslova. Jednačine izvijanja mogu sadržati jedan ili više nezavisnih parametara pomeranja , , … , .

, , … ,                                           2.5

Polazeći od jednačina oblika (2.5), određuju se izrazi za rad spoljašnjih sila , za prirast potencijalne energije deformacije , odnosno za rad unutrašnjih sila   . Rešenje jednakosti (2.4) daje izraz za silu

.

, , … ,                                          2.6

Veze između parametara , za koje sila dobija minimalne vrednosti, određena su sistemom jednačina:

0        1,2, …

Kako izbor oblika deformacija statičkog sistema pri njegovom gubitku stabilnosti predstavlja unošenje dopunskih veza u razmatrani sistem, to vrednost kritične sile nije identički jednaka stvarnoj vrednosti kritične sile, što ovaj postupak može učiniti približnim.

Primer 2.4

Određivanja kritične sile sistema sa dva stepena slobode

Rešenje: Neka je položaj sistema sa dva stepena slobode posle gubitka stabilnosti isprekidanom linijom.

Priraštaj elastične potencijalne energije sistema nastaje pri deformaciji elastičnih oslonaca, a jednak je negativnoj vrednosti rada unutrašnjih sila:

12

12  

Kako su reakcije elastičnih oslonaca proporcionalne koeficijentima krutosti oslonaca:

Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salatić 7

             to izraz za rad unutrašnjih sila glasi:

2                                                                                             a  

Rad spoljašnjih sila određen je proizvodom . Za proračun veličine pomeranja poprečnog preseka u osloncu , u pravcu sile , usled obrtanja sistema štapova za beskonačno male uglove, razmotriće se prethodno štap opterećen silom   .

cos   1 cos  

Kako se kod malih vrednosti uglova , vrednost cos može približno zameniti izrazom 1 2 2⁄ , to izraz za projekciju pomeranja kraja štapa na prvobitni pravac štapa, usled obrtanja štapa glasi:

2                                           b  

Pomeranja kraja b, sistema štapova na slici 2.1, možemo napisati u skladu sa formulom (b), u zavisnosti od uglova obrtanja ⁄ , 3⁄ i 2⁄ :

222 2

32 3

 

8 5 412

                                                                                     c  

Sada izraz za rad spoljašnjih sila glasi:

 8 5 4

12                                                                                 d  

Ako izraze (a) i (d), unesemo u jednakost     , tada sledi:

68 5 4

                                                                                e  

Izraz (e) daje tačne vrednosti kritičnih sila samo ako su poznate forme gubitaka stabilnosti, to jest veze između parametara pomeranja i .

Kako su forme gubitaka stabilnosti po pravilu nepoznate, veze između parametara i treba odrediti iz uslova o minimumu izraza (e). Kako u pomenutom izrazu figurišu dva parametra, to treba potražiti rešenja jednačina:

6  2 8 5 4 16 4

8 5 40 

6  2 8 5 4 10 4

8 5 40 

Posle sređivanja prve jednačine, dobijamo:

2 3 2 0 

3 9 164

3 54  

Za 2 iz jednačine (e) određuje se vrednost:

8 Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salatić

6  4

8 · 4 5 823

 

2.3.2 Ritz-ov varijacioni postupak Ovaj postupak se zasniva na analizi potpune potencijalne energije deformacija sistema u pomerenom stanju. Kritična opterećenja određuje se iz uslova o minimumu potencijalne energije sistema u početnom stanju.

Kada je pomereno stanje sistema određeno parametrima , , … , , tada će i izraz za potencijalnu energiju biti određen u funkciji od istih parametara pomeranja.

Ako se oblik pomerenog stanja prikaže jednačinom:

 …

gde su sa , , … , , obeleženi oblici pretpostavljenih elastičnih linija izvijanja, koje zadovoljavaju granične uslove zadatka, tada će izraz za potencijalnu energiju deformacije

Π , , … ,

biti kvadratna funkcija nezavisnih parametara pomeranja , , … , . Uslove minimuma potencijalne energije deformacije pišemo u obliku:

Π0        1,2, …

Homogeni sistem jednačina dopušta netrivijalno rešenje u slučaju da je determinanta sistema jednaka nuli.

Primer 2.5

Polazimo od izraza za potpunu potencijalnu energiju deformacije  Π   , sistema sa dva stepena slobode pomeranja, razmatranog u primeru 2.4:

Π12

8 5 42

Uslovi ekstremuma ove funkcije parametara pomeranja , daju sledeće jednačine

Π12 16 4

Π12

10 4

Posle sređivanja dobija se sledeći sistem:

43

0

52

3

Ako se uvede oznaka ⁄ , tada je jednačina stabilnosti:

18 39 18 0    23  

Kritična sila određuje se iz definisane vrednosti za oznaku :

23       

23

Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salatić 9 2.3.3 Slučaj stabilnosti štapa na linearno elastičnoj podlozi Razmatra se problem stabilnosti štapa zglavkasto oslonjenog na krajevima, koji je celom dužinom oslonjen na linearno elastičnu kontinualnu podlogu koeficijenta krutosti . Koeficijent krutosti podloge brojno je jednak reakciji podloge po jedinici dužine štapa, koja se pojavi pri jediničnom pomeranju podloge upravno na nedeformisanu osu štapa.

Kada se štap pod dejstvom aksijalne sile deformiše kao na slici, tada na njegovu ravnotežu utiču i sile reaktivnog pritiska podloge, čija je veličina proporcionalna krutosti podloge i veličini ugiba štapa .

Zadatak se rešava primenom energetske metode, polazeći od zahteva da zbir radova spoljašnjih i unutrašnjih, koji se ostvari na pomeranjima od pravolinijskog do izvijenog položaja štapa, bude jednak nuli.

0                                                                              a

Zadata sila vrši rad na pomeranju kraja štapa - :

 12

                                                 b

Zanemarujući potencijalnu energiju sila smicanja kao i sila pritisaka, rad unutrašnjih sila određuje se kao zbir radova momenata savijanja i reaktivnih pritisaka elastične podloge:

2 2                                           c  

Pri određivanju izraza za rad spoljašnje sile vodili smo računa o tome da sila ostaje u punom iznosu u toku celog procesa deformacije, dok reaktivne sile , kao i momenti savijanja , rastu od nule do svoje pune vrednosti, pa je zato njihov rad na odgovarajućim pomeranjima jednak polovinama proizvoda sila i pomeranja. Ako se izrazi (b) i (c) unesu u (a), dobija se:

2 2 20

Vrednost kritične sile određena je sledećim količnikom:

                                          d  

Iz izraza (5), zaključujemo da postojanje lineano elastične otporne podloge povećava vrednost kritične sile. Za određivanje veličine kritične sile treba prethodno zadati oblik elastične linije . Ako se usvoji oblik elastične linije određen sinusnom funkcijom:

sin                                                                        e  

koja zadovoljava granične uslove:

0        0        0        0 0         0                                                          f  

Tada se lako mogu odrediti vrednost potrebnih integrala:

10 Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salatić

sin 2 

cos2 

     sin2 

Kada se vrednosti određenih integrala unesu u izraz (5) dobija se:

                                               g  

Za određivanje minimalne vrednosti kritične sile potrebno je znati koliki je broj polutalasa . Kako broj polutalasa zavisi od koeficijenata krutosti podloge , to će se potražiti ona vrednost , pri kojoj postoje jednake mogućnosti za izvijanje štapa sa jednim i sa dva polutalasa, dva i tri polutalasa, itd.

          

  1   44

       4

 

          

44

99

                           36

 

Rezultate izražavanja mogu se prikazati na sledeći način:

   4

                               1 

4      

36        2 

36   

144    3 

Posle određivanja broja polutalasa koji odgovara određenoj vrednosti koeficijenata krutosti podloge , za određivanje vrednosti kritične sile    , primenjuje se formula (g).

2.3.4 Slučaj stabilnosti pritisnutog pojasa rešetkastog nosača

Pritisnuti pojas rešetkastog nosača bez spregova za ukrućenje može se izvijati izvan ravni rešetke. Ovakav pojas može se razmatrati kao štap opterećen podužnim silama cos , koje deluju u presecima u kojima su vezane dijagonale. Poluramovi formirani od poprečnih nosača i vertikala pridržavaju pritisnuti pojas sprečavajući pomeranja u ravni upravnoj na ravan rešetke.

Kod rešetkastih nosača sa velikim brojem polja, reakcije poluramova poprečni nosač – vertikale možemo zameniti raspodeljenim reaktivnim pritiscima kontinualne elastične podloge sa koeficijentima krutosti 11⁄ . Sa 11 obeležena je horizontalna sila koja ostvari jedinično pomeranje polurama u

Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salatić 11 visini gornjeg pojasa rešetke. Koncentrisane podužne sile cos zamenjuju se raspodeljenim podužnim opterećenjem, čija je promena određena prema zakonu trougla.

Maksimalni intenzitet podužnog opterećenja određujemo poređenjem površine trougaonog dijagrama opterećenja sa zbirom svih horizontalnih sila na polovini rešetkastog nosača:

4 cos        4 cos

   

Primena energetske metode sastoji se u izjednačavanju zbira radova spoljašnjih i unutrašnjih sila sa nulom.

12

22

 

12 2

 

Iz jednakosti 0 određuje se veličina kritičnog opterećenja

 

2 

Kritična sila u srednjem štapu gornjeg pojasa određena je tada izrazom:

 

4 

Ovaj zadatak rešio je Timošenko polazeći od izraza za elastičnu liniju štapa napisanog u obliku beskonačnog reda:

 sin  

Ako se izraz za kritičnu silu u sredini pritisnutog pojasa rešetke napiše u obliku:

12 Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salatić

 

tada je koeficijent slobodne dužine zavisan od krutosti pojasnog štapa u poprečnom pravcu , raspona rešetke i koeficijenta krutosti elastične podloge . Podaci o koeficijentu slobodne dužine u funkciji od krutosti poluramova dati su u tablici.

16 0 5 10 15 22.8 56.5 100 162.8 200 300 500 1000

  0.696 0.524 0.443 0.396 0.363 0.324 0.290 0.259 0.246 0.225 0.204 0.174

Literatura

1. Đurić M., Stabilnost i dinamika konstrukcija, Građevinski fakultet, Beograd 1977. 2. Ranković S. i Ćorić B., Stabilnost konstrukcija – Zbirka rešenih zadataka sa kraćim izvodima iz

teorije, Naučna knjiga, Beograd 1983.