3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

第三章导数与微分第三章导数与微分

嘉兴学院嘉兴学院 April 20, 2023April 20, 2023

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3.4 隐函数及由参数方程所确定的

函数的导数



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一、隐函数的导数

.0),( ，称为隐函数所确定的函数由方程定义 yxF

.)( 形式的函数称为显函数xfy

0),( yxF )(xfy 隐函数的显化

问题 : 隐函数不易显化或不能显化如何求导 ?

隐函数求导法则 :

用复合函数求导法则直接对方程两边求导 .



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例 1

.,

0

0

x

yx

dx

dy

dx

dyy

eexy

的导数

所确定的隐函数求由方程

注意：现在 y 是 x 的函数，因此，由复合函数的求导法则可知：

dx

dye

dx

dy

dy

de

dx

de yyy



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例 2

.

,)23

,23

(

,333

线通过原点

在该点的法并证明曲线的切线方程点

上求过的方程为设曲线

C

CxyyxC

解 ,求导方程两边对x yxyyyx 3333 22

)2

3,

2

3(

2

2

)2

3,

2

3( xy

xyy

.1

所求切线方程为 )23

(23

xy .03 yx即

23

23

xy法线方程为 ,xy 即显然通过原点 .



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.

0sin2

13

2

2

dx

yd

yyx

隐函数的二阶导数

所确定的求由方程例



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二、由参数方程所确定的函数的导数

.

,)(

)(

定的函数称此为由参数方程所确

间的函数关系与确定若参数方程 xyty

tx

问题 : 消参困难或无法消参如何求导 ?

,

,22ty

tx例如2x

t

22 )2

(x

ty 4

2x xy

21

消去参数 t



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,)(

)(二阶可导若函数

ty

tx

.)(

)()()()(32

2

t

tttt

dx

yd

有

,)(

)(中在方程

ty

tx

dtdxdtdy

dx

dy有



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。相应的点处的切线方程

导数，并求椭圆在函数的一阶导数及二阶

所确定的在求方程例

4

)20(sin

cos6

t

ttby

tax

.,1

1

72

2

dx

yd

dx

dy

tty

ttx

，求设例



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三、对数求导法

观察函数 .,)4(

1)1( sin2

3x

xxy

ex

xxy

方法 :先在方程两边取对数 , 然后利用隐函数的求导方法求出导数 .

-------- 对数求导法适用范围 :

.)( )( 的情形数多个函数相乘和幂指函 xvxu



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.,)4(

1)1(4

2

3

yex

xxy

x

求设例

注意：在对数求导法中，总是要遇到 lny 对 x

的导数。

y

y

dx

dy

dy

yd

dx

yd

lnln



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.),0(5 sin yxxy x 求设例

.,)(ln6 ln yexxy xxx 求设例



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例 9

?

,500./140,

500

率是多少观察员视线的仰角增加米时当气球高度为秒米其速率为上升

米处离地面铅直一汽球从离开观察员

解则的仰角为

观察员视线其高度为秒后设气球上升,

,,

ht

500tan

h

求导得上式两边对 tdtdh

dtd

5001

sec2

,/140 秒米dt

dh 2sec,500 2 米时当 h

)/(14.0 分弧度dtd 仰角增加率

米500

米500



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五、小结隐函数求导法则 : 直接对方程两边求导 ;

对数求导法 : 对方程两边取对数 , 按隐函数的求导法则求导 ;

参数方程求导 : 实质上是利用复合函数求导法则 ;



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2. 设 ,)2(

2)(sin 3 2ln

tan

x

x

x

xxy

xx

求 .y

1y2y

提示 : 分别用对数微分法求

., 21 yy

答案 :21 yyy

)1sinln(sec)(sin 2tan xxx x

3 2ln )2(

31

x

x

x x

)2(32

)2(3ln21

xx

xx

x



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3. 设由方程确定 ,

解 : 方程两边对 x 求导 ,

得0e yxyyy

再求导 , 得2e yy yxy )(e 02 y ②

当 0x 时 , ,1y 故由 ① 得

e1

)0( y

再代入 ② 得 2e

1)0( y

求

①

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