3강 유한요소법

3강 목차

3.1 미분방정식의 근사해법-Ritz법

3.2 미분방정식의 근사해법 –가중오차법

3.3 유한요소법 개념

3.4 편미분방정식의 유한요소법

1.

전처리 프로그램(Preprocessor)

출력데이타

자연법칙 지배방정식 유한요소방정식 파생변수의 계산

뉴톤의 운동법칙 평형방정식 대수방정식(속도, 정수압)

변형 형상, 하중,

응력, 변형률속도,

유효변형률, 손상도.

소성유동선도 등등

에너지보존법칙 열전도방정식 대수방정식(온도변화율) 온도, 열전달율

유한요소솔버(Finite Element Solver)

후처리 프로그램(Postprocessor)

CAD

DXF, STL 파일

질량보존법칙 연속방정식

입력데이타

비실용적!

-컴퓨터(단순충실, 빠른계산)-유한요소기교 = 유한요소보간

단조시뮬레이션

실용적근사해법

* 41( )

12x x x

Prob. 1

Prob. 2

1k

○ 정해 :

22

2, 0 1

0 0, 1 0

dx x

dx

212

0

1( 2 ( )

2

(0) 0, (1) 0

dExtremize F x x dx

dx

subject to

2 4

1 2

1( ) ( )

12x x x x C x C

0 0 , 1 0

* x

*F F x

2

1x x

1x x

2 1x x

41

12x x

범함수(Functional)

미분방정식

경계조건

1

3

0

1 1( ) 1 2

2 4F x dx x

( 1)(2 1) 0y x x x 2 2( 1)Extremize y x x

22

2, 0 1, (0) 0, (1) 0

dx x

dx

212

0

1( ) 2 ( )

2

dExtremize F x x dx

dx

(0) 0, (1) 0

3 22 3 0x x x

0 0 , 1 0

* x

*F F x

2

1x x

1x x

2 1x x

41

12x x

2

1 2( ) 1 1x C x x C x x

1 2

2 3 4

1 2 1 20

1( ) 1 2 2 3 2 1 2 1

2F C x C x x C x x C x x dx

1 122 2 2 2

1 200

1 11 2 2 3

2 2x dx C x x dx C

1 1 1

2 3 4

1 2 1 20 0 0

1 2 2 3 1 1x x x dx C C x x dx C x x dx C

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1( , ) ( )

6 15 6 20 30F C C F C C C C C C ○

21

2

0

1( 2 ( )

2

(0) 0, (1) 0

dExtremize F x x dx

dx

subject to

시도함수(Trial function)

○

기초함수(Basic function)

○

함수장=무한차원 벡터장

유한차원 벡터장

1C

2C

(0) 0, (1) 0

함수장(Function space) ⇒ 유한차원 벡터장(Finite dimensional vector space)

0 0 , 1 0

* x

*F F x

2

1x x

1x x

2 1x x

41

12x x

( ) ( )i ii

x C x

•

•

○ 함수 가 극값을 가질 조건:

2

1 2( ) 1 1x C x x C x x

1 2

0, 0F F

C C

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1( , ) ( )

6 15 6 20 30F C C F C C C C C C

○ 선형방정식 : 11 2

2

1 1 1 110 5 3 ,

5 4 230 60 15 6

CC C

C

2 31( ) 2 3 - 5

30x x x x ○ 근사해 : * 41

( )12

x x x 정해

21

2

0

1( 2 ( )

2

(0) 0, (1) 0

dExtremize F x x dx

dx

subject to

1 2( , )F C C F 0

1 2

1 1 1

3 6 20C C

(0) 0, (1) 0

Extremize

1 2

1 2 1

6 15 30C C

○ 정확도 정확도

○

1

1 1

( ( )) ( ( ))n n

i i i ii i

C x C x

*

1

lim ( ) ( )n

i ini

x C x x

○ ⇒ 오차 2.2%

○ * 1 10 , 0 ,

12 15 * 1 7

1 , 14 30

*

max max0.029165, 0.029799 x x

<근사해와 정해의 비교>

정해 = 4차 함수

근사해 = 3차 함수

maxx

⇒ 오차 20%

( ) ( )i ii

x C x

2 2 2

2 1 2 3( ) (1 ) (1 ) (1 )x C x x C x x C x x

2

1 1 2( ) (1 ) (1 )x C x x C x x

1 2 3( ( )) ( ( )) ( ( ))Accuracy x Accuracy x Accuracy x

2 2 2

3 1 2 3 4( ) (1 ) (1 ) (1 ) sin{ (1 )}x C x x C x x C x x C x x

( ) ( )i ii

x C x 시도함수 가 정답을 표현할 수 있다면, 근사해=정해○

2.

12

0[ ( ) ( ) ( )] 0

(0) 0, (1) 0

( )

(0) 0 (1) 0

where is arbitrary exc

x x x x

ept t

d

h

x

a

an

tx

d

22

20, 0 1

0 0, 1 0

dx x

dx

0 0 , 1 0

* x

2

1x x

1x x

2 1x x

41

12x x

21

2

20( ) 0

0 1 0

dx x dx

dx

11 2

0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

(0) (1) 0

Assume (0) (1) 0

x x x x x x dx

( ) is arbitrary.x

약형(Weak form)

sin x

tan x

cos x

logxe x

2x

0 0 , 1 0

2

1x x

1x x

2 1x x

41

12x x

sin x

tan x

cos x

logxe x

2x

b bb

aa au v uv uv

where is arbitrary except that

Prob. 1 Prob. 2

함수 집합( )x : 가중함수(Weighting function)

2

1 2 1 2( ) 1 1 ; and are unknownx C x x C x x C C

1 2 2 3 4

1 2 1 2 1 20(1 2 ) (2 3 ) (1 2 ) (2 3 ) (1 ) (1 ) 0C x C x x W x W x x dx W x x W x x dx

12

2

( ) (1 )

( ) (1 )

x x x

x x x

기초함수(Basic function)

근사가중함수

1x x

2 1x x

41

12x x

sin x

logxe x

0 0 , 1 0

2

1x x

근사가중함수와시도함수를 위한 기초함수의 집합

( )x ( )x

= 미지의 상수

= 임의의 상수

1 2,C C

1 2,W W

12

0[ ( ) ( ) ( )] 0

(0) 0, (1) 0

( )

(0) 0 (1) 0

where is arbitrary exc

x x x x

ept t

d

h

x

a

an

tx

d

where is arbitrary except that

2

1 2( ) (1 ) (1 ) ;x W x x W x x

(0) (1) 0 1

2

0[ ( ) ( ) ( )] 0

(0) 0, (1) 0

( )

(0) 0 (1) 0

where is arbitrary exc

x x x x

ept t

d

h

x

a

an

tx

d

미지함수 와 가중함수 를동일한 기초함수로 근사화시키는 방법

( )x( )x

2 31( ) 2 3 5

30x x x x

1 2 2 3 4

1 2 1 2 1 20(1 2 ) (2 3 ) (1 2 ) (2 3 ) (1 ) (1 ) 0C x C x x W x W x x dx W x x W x x dx

1 1 12 3

1 1 20 0 0

1 1 12 2 2 4

2 1 20 0 0

(1 2 )(1 2 ) (1 2 )(2 3 ) (1 )

(2 3 )(1 2 ) (2 3 )(2 3 ) (1 ) 0

W x x dx C x x x dx C x x dx

W x x x dx C x x x x dx C x x dx

2

1 15 4

0 0

1 1, , etc.

6 5x dx x dx

1

1 1 2 2 0W W

W1와 W2는 임의의 상수

11 2

2

1 1 1 110 5 3 ,

5 4 230 60 15 6

CC C

C

Ritz법과 동일 <근사해와 정해의 비교>

정해 = 4차 함수

근사해 = 3차 함수 2

1 2 1 2( ) 1 1 ; and are unknownx C x x C x x C C

3.

<기초함수 = 보간함수(Interpolation function)>

• 시도함수 : 1

1

1

12 for 01 21 2

12 2 (1 ) for 12

C x xx C x

C x x x

7 7 1( )

192 96 2x x • 근사해 :

정답

유한요소해

<유한요소해와 정해의 비교>

1

11 2

2x x

1 x 초수렴(Superconvergence)

21

2

0

1( 2 ( )

2

(0) 0, (1) 0

dExtremize F x x dx

dx

subject to

2

1 2( ) 1 1x C x x C x x

단순화

요소(Element)

1?C

1(0.5) C

절점(Node)1 32 ②①

2 1( ) ( )N x x

1

7

192C

4절점 유한요소모델

Δ 1Q Δ 4Q

2 3 4

13 190, , , 0

486 486

○ 요소 ③

4

2

3 3 331

3 3 434 3

③

③

2

53

12 1 14

1 2 504 3

○ 요소 ①

4

2

3 3 11

3 3 34 3

①

①

4

2

3 3 111

3 3 174 3

②

②

○ 요소 ②

요소방정식

유한요소방정식근사해와

정해의 비교

보간함수

2 2 3 3( ) ( ) ( ) in Finite Element Methodx N x N x

절점치

40, 0

경계조건

(0) 0, (1) 0

1 1 2 2 3 3 4 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )x N x N x N x N x

FEM(유한요소법)= Ritz 법/ Galerkin 법(미분방정식의 근사해법) + FE 이산화와 FE 보간(근사화)

FE 보간함수 :

정답

유한요소해

( )iN x

3 ( )N x

1 2 3 4① ② ③

2 ( )N x

2 2 3 3( ) ( ) ( ) in Finite Element Methodx N x N x

1 2 2( ) ( ) ( ) in Ritz or Galerkin methodx C x C x

기초함수를 만드는 방법 = 유한요소기교(Finite element technique)

( )iN x( )iN x

1 1

( )iN x

1

0 1 01

요소(Element)절점(Node)

Ritz 법과 Galerkin 법

유한요소법

기초함수

시도함수

보간함수유한요소해

해석영역 미지함수

4.

Poisson 방정식

TT T on S

( , ) 0

k k f x yx x x y

22

2, 0 1

0 0, 1 0

dx x

dx

212

0

1( 2 ( )

2

(0) 0, (1) 0

dExtremize F x x dx

dx

subject to

221

( ) 2 ( , ) ( , )2

Extremize F k k f x y x y dxdy

x y

subject toTT T on S

1 1 2 2( , ) ( , ) ( , ) J J

J

x y N x y N x y N ?, ? J J

N

2차원

1차원

= 3차원

절점치

요소망

J

보간함수 ( , )JN x y

1

1

-1

-1ξ

η

사각형요소망의 지능적 재구성

육면체요소망의 지능적 재구성

작은 요소 수로 형상을 정확하게!요소 수 많아지면 요소망재구성 많아져 수치적 순화가 커짐