-4 -2 2 4 6 -2¸šทที่ 2... · นั่นคือ 2 ภาพที่ .6 กราฟ f...

บทท 2

ลมตและความตอเนอง

การศกษาวชาแคลคลส จ าเปนตองมความรเรองลมตและความตอเนอง (Limits and

Continuity of Functions) เนองจากเปนพนฐานส าคญ ในการศกษาเรองตอไป เชน เรองการหาอนพนธของฟงกชนพชคณตและฟงกชนอดศย เปนตน ดงนนจงจ าเปนตองท าความเขาใจ อยางละเอยดในเรองบทนยามของลมตและความตอเนอง และทฤษฎบททส าคญตางๆ

2.1 ความหมายของลมต ลมตทางซายและขวาของฟงกชน

ลมต (Limits) หมายถง ขดจ ากด ในทนจะยกตวอยางประกอบเพอความเขาใจมาก

ยงขน พจารณาฟงกชน 2 16

4

xf x

x

จากฟงกชนทก าหนดใหจะพบวาคาของ f x จะ

ขนอยกบคา x ในกรณท 4x จะเหนไดวาไมสามารถหาคา f x ไดทงนเพราะ 4 ไมอยใน

โดเมนของ f x เพราะ 0

40

f ไมมความหมาย

แตสงทท าไดคอ พยายามหาคาใกลเคยงทสดทจะหาคาของ f x เมอ x มคาเขาใกล 4 มากทสด 4x

-4 -2 2 4 6

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

x

y

ภาพท 2.1 กราฟ 2 16

4

xf x

x

24

ทางแรก x เขาใกล 4 ทางซาย 4x

x

2 16

4

xf x

x

3.0000 7

3.5000 7.5

3.7000 7.7

3.9000 7.9

3.9900 7.99

3.9990 7.999

3.9999 7.9999

ตารางท 2.1 ตารางแสดงคาของฟงกชน 2 16

4

xf x

x

เมอ x เขาใกล 4 ทางซาย

ทางทสอง x เขาใกล 4 ทางขวา 4x

x

2 16

4

xf x

x

5.0000 9

4.5000 8.5

4.3000 8.3

4.1000 8.1

4.0100 8.01

4.0010 8.001

4.0001 8.0001

ตารางท 2.2 ตารางแสดงคาของฟงกชน 2 16

4

xf x

x

เมอ x เขาใกล 4 ทางขวา

แสดงวาไมวา x จะเขาใกล 4 ทางซายหรอขวากตาม f x จะมคาเขาใกล 8 เสมอ นนคอ ถา x มคาเขาใกล 4 แลว f x มคาเขาใกล 8 หรอจะกลาวอกอยางหนงวา ลมตของ

f x เทากบ 8 ขณะท 4x เขยนแทนดวย

4

lim 8x

f x

นนคอ 2

4

16lim 8

4x

x

x

ส าหรบฟงกชน y f x ใดๆ ทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจ านวนจรง 1. ลมตทางซายของ f ท a คอคาของ f x เมอ x มคาเขาใกล a ทางซาย

เขยนแทนดวย limx a

f x

2. ลมตทางขวาของ f ท a คอคาของ f x เมอ x มคาเขาใกล a ทางขวา

เขยนแทนดวย limx a

f x

25

ลมตของฟงกชน f x เมอ x a จะหาคาไดกตอเมอ

1. limx a

f x

หาคาได

2. limx a

f x

หาคาได

3. lim limx a x a

f x f x

หรอกลาววา

limx a

f x L

กตอเมอ lim limx a x a

f x L f x

ตวอยางท 2.1 ก าหนดให 2

9f x x จงหาคาของ f x เมอ x มคาเขาใกล 3

วธท า หาคา f x เมอ x เขาใกล 3 ทงทางซายและทางขวาดงตารางตอไปน

5 10 15 20

20

40

60

80

100

120

x

y

ภาพท 2.2 กราฟ 2

9f x x

ทางแรก x เขาใกล 3 ทางซาย 3x ทางสอง x เขาใกล 3 ทางขวา 3x

x

29f x x

x

29f x x

2 49 4 25

2.5 42.25 3.5 30.25

2.9 37.21 3.1 35.8801

2.99 36.1201 3.01 35.988

2.999 36.012 3.001 35.9988

2.9999 36.0012 3.0001 35.99988

2.99999 36.00012 3.00001 35.999988

ตารางท 2.3 ตารางแสดงคาของฟงกชน

29f x x เมอ x เขาใกล 3

3

lim 36x

f x

3

lim 36x

f x

เนองจาก 3 3

lim limx x

f x f x

ดงนน 3

lim 36x

f x

26

ตวอยางท 2.2 ก าหนดให f x เปนฟงกชนโดยท 2

1

1

xf x

x

; 1 1

; 1 1

x

x or x

จงหาคา 1

limx

f x

วธท า จาก 2

1

1

xf x

x

; 1 1

; 1 1

x

x or x

พจารณาจากรปจะเหนวา

2

1

lim 1x

x

0

1

lim 1x

x

0

ดงนน 1

limx

f x

0


1

1

xf x

x

; 1 1

; 1 1

x

x or x

สามารถพจารณาคา 1

limx

f x

จากตารางไดดงนคอ

x 2 1 ; 1f x x x

x 1 ; 1f x x x

-1.1 0.4582 -0.9 0.1

-1.01 0.1417 -0.99 0.01

-1.001 0.0447 -0.999 0.001

-1.0001 0.0141 -0.9999 0.0001

: : : :

-1.000..1 0 -0.999..9 0

ตารางท 2.4 ตารางแสดงคาของฟงกชน 2

1

1

xf x

x

; 1 1

; 1 1

x

x or x

เมอ x เขาใกล -1

จะไดวา 1 1

lim lim 0x x

f x f x

ดงนน 1

lim 0x

f x

-2 -1 1 2

0.5

1

1.5

2

2.5

x

y

27


7

xf x

x

จงหา

1limx

f x

และ 7

limx

f x

วธท า พจารณาฟงกชนจะได

77

7

xx

x

; 7 0 ; 7

; 7 0 ; 7

x x

x x

นนคอ

7

7

7

7

x

xf x

x

x

; 7

; 7

x

x

1

1f x

; 7

; 7

x

x


7

xf x

x

จากรปจะเหนไดวา เมอ x มคาเขาใกล 7 โดยท 7x แลว f x จะมคาเขาใกลคาคงตวสองคาคอ 1 และ -1 ในกรณนจะกลาววาฟงกชน f นไมมลมตท x ลเขาส 7

พจารณาจาก 7 7

lim 1 lim 1x x

f x f x

ดงนน 7

limx

f x

หาคาไมได

หาคา 1

limx

f x

พจารณาจาก 1 1

lim lim 1 1x x

f x

1 1

lim lim 1 1x x

f x

จะไดวา 1 1

lim limx x

f x f x

ดงนน 1

lim 1x

f x

บทนยามท 2.1 ก าหนดให f เปนฟงกชนและก าหนดให a และ L เปนคาคงททเปนจ านวนจรง

,a L R จะกลาววา ลมตของ f เมอ x เขาใกล a เทากบ L เขยนแทนดวย

limx a

f x L

กตอเมอ ส าหรบทกๆ จ านวนจรง 0 จะมจ านวนจรง 0 ซงมคณสมบต

วา ถา fx D และ 0 x a แลว f x L

2 4 6 8 10 12

-1

-0.5

0.5

1

x

y

28

ในท านองเดยวกนกบการพจารณาเมอ x เขาใกล a ทางซาย x a หรอทางขวา x a

นยามของลมตทางซายและลมตทางขวามดงน

บทนยามท 2.2

ลมตทางซาย ลมตของ f เมอ x เขาใกล a ทางซาย เทากบ L เขยนแทนดวย

limx a

f x L

กตอเมอ ส าหรบทกๆ จ านวนจรง 0 จะมจ านวนจรง 0 ซงมคณ

สมบตวา ถา fx D และ 0 a x แลว f x L

ลมตทางขวา ลมตของ f เมอ x เขาใกล a ทางขวา เทากบ M เขยนแทนดวย

limx a

f x M

กตอเมอ ส าหรบทกๆ จ านวนจรง 0 จะมจ านวนจรง 0 ซงมคณ

สมบตวา ถา fx D และ 0 x a แลว f x M

ตวอยางท 2.4 จงแสดงวา lim 3 3x c

x c

โดยใชนยามของลมต

พสจน จะตองแสดงวา ส าหรบทกๆ 0 จะมจ านวนจรง 0 ซงถา 0 x c แลว 3 3x c

ให เปนจ านวนจรงบวกใดๆ เลอก ให 0 x c พจารณา 3 3x c x c

<

=

นนคอ 3 3x c

จะไดวา lim 3 3x c

x c

ภาพท 2.5 กราฟ 3f x x

ตวอยางท 2.5 จงแสดงวา 2

lim 6 5 16x

x


พสจน จะตองแสดงวา ส าหรบทกๆ 0 จะมจ านวนจรง 0 ซงถา 0 2x แลว 6 5 16x

ให เปนจ านวนจรงบวกใดๆ เลอก 5

ให 0 2x

พจารณา 6 5 16x 5 10x = 5 1x < 5

= 55

=

นนคอ 6 5 16x ภาพท 2.6 กราฟ 6 5f x x

จะไดวา 2

lim 6 5 16x

x

-8 -6 -4 -2 2

2

4

6

8

x

y

-2 -1 1 2

-4

4

8

12

16

x

y

29

ตวอยางท 2.6 จงแสดงวา 2

2lim 2 1 1x

x x


พสจน จะตองแสดงวา ส าหรบทกๆ 0 จะมจ านวนจรง 0 ซงถา 0 2x แลว

2 2 1 1x x

ให เปนจ านวนจรงบวกใดๆ เลอก เปนจ านวนจรงบวกใดๆ ทนอยกวา 1 และ 3

min 1,3

ให 0 2x

พจารณา 2 2 1 1x x = 2 2x x

= 2x x

จาก 2 1x จะไดวา

1 2 1x

1 3x ภาพท 2.7 กราฟ 2 2 1f x x x

ซงไดวา 3 3x หรอ 3x

2 2 1 1x x = 2x x

< 3

= 33

=

นนคอ เลอก จาก min 1,3

จงจะท าให 2 2 1 1x x


2lim 2 1 1x

x x

2.2 ทฤษฎบทของลมต

การหาลมตจากหวขอทแลว มความยงยาก และใชเวลาในการหาค าตอบนาน ทฤษฎบทของลมต (Theorems on Limits) ตอไปนจะท าใหการหาค าตอบงายขน

ทฤษฎบทท 2.1 ถาฟงกชน f มลมตทจด x a แลวจะไดวา ลมตของ f มเพยงคาเดยวเทานน

ถา limx a

f x L

และ limx a

f x M

แลว L M

ทฤษฎบทท 2.2 ถาฟงกชน ,f x c c R (คาคงทใดๆ) แลว limx a

c c

(ลมตของคาคงท

เทากบคาคงทนน) เชน

2lim 5 5x

, 2

limx

-2 -1 1 2 3 4

2

4

6

8

x

y

30

ทฤษฎบทท 2.3 ถาฟงกชน f x x แลว limx a

x a

เชน 3

lim 3x

x

, 7

lim 7x

x

ทฤษฎบทท 2.4 ก าหนดใหฟงกชน f และ g มลมตท x a โดยท limx a

f x L

และ

limx a

g x M

จะไดวา , ,f

f g f gg

(เมอ 0M ) มลมตท x a และ

1. limx a

f g x

= lim limx a x a

f x g x

= L M

2. limx a

f g x

= lim limx a x a

f x g x

= L M

3. limx a

fx

g

=

lim

lim

x a

x a

f x

g x

= , 0L

MM

ทฤษฎบทท 2.5 ก าหนดใหฟงกชน if โดยท 1,2,..,i n มลมตท x a และ lim i ix a

f x L

1,2,..,i n จะไดวา

1. 1limx a

cf x

= 1limx a

c f x

= 1 ,cL c R

2. 1lim n

x af x

= 1lim

n

x af x

= 1 ,nL n Z

( Z จ านวนตรรกยะบวก)

3. 1 2lim ... nx a

f f f x

= 1 2lim lim ... lim nx a x a x a

f x f x f x

= 1 2 ... nL L L

4. 1 2lim ... nx a

f f f x

= 1 2lim lim ... lim nx a x a x a

f x f x f x

= 1 2 ... nL L L

5. 1lim ( )x a

f x

= 1lim ( )x a

f x

= 1 , , 1n L n Z n

6. 1limx a

f x

= 1L

พสจน (ทฤษฎบทท 2.1) ให เปนจ านวนจรงบวกใดๆ

จาก limx a

f x L

จะม 1 0 ซงถา 10 x a แลว 2

f x L

จาก limx a

f x M


f x M

31

เลอก 1 2min , ส าหรบ x ซงสอดคลองกบ 0 x a จะไดวา 2

f x L

และ

2

f x M

พจารณา L M = f x M L f x

f x M L f x

= f x M f x L

< 2 2

=

นนคอ L M ส าหรบทก 0 เนองจาก เปนตวก าหนดไมเจาะจง ดงนน L M จะได L M

พสจน (ทฤษฎบทท 2.2) ให เปนจ านวนจรงบวกใดๆ เพราะวา 0f x c c c

ดงนน f x c เสมอไมวาเลอก เปนจ านวนจรงบวกใดๆ

พสจน (ทฤษฎบทท 2.5.1) ให เปนจ านวนจรงบวกใดๆ

จาก limx a

f x L


f x L

จาก limx a

g x M


g x M

เลอก 1 2min , ส าหรบ x ซงสอดคลองกบ 0 x a พจารณา ( )f x g x L M = f x L g x M

( )f x L g x M

< 2 2

=

นนคอ ( )f x g x L M <

ดงนน lim ( )x a

f x g x L M

พสจน (ทฤษฎบทท 2.5.2) ให เปนจ านวนจรงบวกใดๆ

จาก limx a

f x L

จะม 1 0 ซงถา 10 x a แลว 1f x L ดงนน

1f x L

จาก limx a

g x M

จะม 2 0 ซงถา 20 x a แลว 2 1

g x ML

32

จะม 3 0 ซงถา 30 x a แลว 2 1

f x LM

เลอก 1 2 3min , , ส าหรบ x ซงสอดคลองกบ 0 x a พจารณา ( )f x g x L M f x g x f x M f x M LM

= ( )f x g x M M f x L

<

1 12 1 2 1

L ML M

= 2 2

=

นนคอ ( )f x g x L M <

ดงนน lim ( )x a

f x g x L M

พสจน (ทฤษฎบทท 2.5.3) ให เปนจ านวนจรงบวกใดๆ จาก

1

( )

f xf x

g x g x ดงนน

จะตองแสดงวา ถา lim , 0x a

g x M M

แลว 1 1lim

( )x a g x M

กอน

จาก limx a

g x M


Mg x M

ดงนน 2

Mg x จะได

1 2

Mg x


2

Mg x M

เลอก 1 2min , ส าหรบ x ซงสอดคลองกบ 0 x a เมอ 0g x

พจารณา 1 1

g x M =

g x M

M g x

2

2g x M

M

<

2

2

2

2

M

M

=

นนคอ 1 1

g x M <

ดงนน 1 1lim

( )x a g x M

33

พจารณา lim

( )x a

f x

g x

= 1

lim( )x a

f xg x

= 1

lim lim( )x a x a

f xg x

= L

M

ตวอยางท 2.7 จงหาคาลมตของฟงกชนตอไปน

วธท า 1. 7 3

2lim 2 1x

x x

= 7 3

2 2 2lim 2 lim lim 1x x x

x x

= 7 3

2 2 2lim 2 lim lim 1x x x

x x

= 7 3

2 2 2 1

= 111

2. 3

20

2 1lim

2x

x

x

=

3

0 0

2

0 0

2 lim lim 1

lim lim 2

x x

x x

x

x

=

3

0 0

2

0 0

2 lim lim1

lim lim 2

x x

x x

x

x

= 1

2

3. 2

1

lim 2 3x

x x

= 2

1 1

lim 2 lim 3x x

x x

=

2

1 1 1 1

lim lim 2 lim 3 limx x x x

x x

= 1 2 3 1

= 2

4. 3 2

5

2lim

7x

x

x

=

3 2

5

5

lim 2

lim 7

x

x

x

x

=

23

5 5

5 5

lim lim 2

lim lim 7

x x

x x

x

x

= 3 23

12

34

5. 3

3

27lim

3x

x

x

ในกรณทน า 3x ไปแทนใน

3 27

3

x

x

แลวปรากฎวาผลลพธอยในรป

0

0 จะใชทฤษฎบทผลหารของลมตไมได

3lim 3 0x

x

ตองใชวธการทางพชคณต

ในการแยกตวประกอบของ 3 27

3

x

x

และพยายามขจดตวประกอบทท าใหสวนเปน 0

ออก ถา 3x แลว

3 27

3

x

x

=

23 3 9

3

x x x

x

3

3

27lim

3x

x

x

=

2

3

3 3 9lim

3x

x x x

x

= 2

3lim 3 9x

x x

= 2

3 3 3lim 3lim lim 9x x x

x x

= 27

6. 2

1 1lim

2x

x

x

ในกรณทน า 2x ไปแทนใน 1 1

2

x

x

แลวปรากฎวาผลลพธ

อยในรป 0

0 จะจดรปโดยน าสงยค ของ 1 1x มาคณเขาทงเศษและสวน ถา

2x แลว

1 1

2

x

x

=

1 1 1 1

2 1 1

x x

x x

=

2

2 1 1

x

x x

=

1

1 1x

2

1 1lim

2x

x

x

=

2

1lim

1 1x x

=

2 2 2

1

lim lim1 lim1x x x

x

= 1

2

35

7. 2

3

25 4lim

3x

x

x

ท านองเดยวกบขอ 6 ถา 3x แลว

225 4

3

x

x

=

2 2

2

25 4 25 4

3 25 4

x x

x x

=

2

2

25 16

3 25 4

x

x x

=

2

3 3

3 25 4

x x

x x

=

2

3

25 4

x

x

2

3

25 4lim

3x

x

x

=

23

3lim

25 4x

x

x

=

3 3

2

3 3 3

lim 3 lim

lim 25 lim lim 4

x x

x x x

x

x

= 3

4

ตวอยางท 2.8 จงหาคาของ 2

11

11lim

11x

x

x

วธท า 2

11

11lim

11x

x

x

=

11

11lim

11x

x

x

=

11

11lim

11x

x

x

= 11

lim 1x

= 1

36

ตวอยางท 2.9 ก าหนดให

1

1

1

1

x

xf x

x

x

; 1

; 1

x

x

จงหาคา 1 1

lim limx x

f x f x

วธท า พจารณา 1

limx

f x

= 1

1lim

1x

x

x

= 1

1lim

1x

x

x

=

1

1lim

1x

x

x

= 1

lim 1x

x

= 0

พจารณา 1

limx

f x

= 1

1lim

1x

x

x

จาก 1x ดงนน 1 0x

จะได 1

1lim

1x

x

x

=

1

1lim

1x

x

x

=

1

1 1lim

1x

x x

x

= 1

lim 1x

x

= 2

ดงนน 1 1

lim lim 0 ( 2) 2x x

f x f x

ตวอยางท 2.10 จงหา 0

1

lim1

1x

xx

x

วธท า 0

1

lim1

1x

xx

x

=

2

0

1

lim1x

x

xx

x

= 2

0

1lim

1x

x

x

= 1

37


3

9lim

12 3x

x

x

วธท า 2

3

9lim

12 3x

x

x

=

2

3

9lim

12 3x

x

x

= 2

3

9lim

12 3x

x

x

= 2

3

12 39lim

12 3 12 3x

xx

x x

=

3

3 3 12 3lim

3x

x x x

x

= 3

lim 3 12 3x

x x

= 36


10

2 2lim

5 2

x

xx

วธท า ถา 0x จะได 1

2 0x

ดงนน 1

10

2 2lim

5 2

x

xx

= 2

5

ถา 0x จะได 1

2 x

ดงนน 1

10

2 2lim

5 2

x

xx

=

1

1

10

1

2 2

2lim

5 2

2

x

x

xx

x

= 1

10

2 2 1lim

5 2 1

x

xx

เนองจาก 1

0

lim 2 0x

x

จะได 1

10

2 2 1lim

5 2 1

x

xx

= 0

38

จะเหนวา 1 1

1 10 0

2 2 2 2lim lim

5 2 5 2

x x

x xx x

ดงนน 1

10

2 2lim

5 2

x

xx



lim 3x

f x

1

, lim 2x

g x

และ 1

lim 5x

h x

จงหา 1.

3

1lim

3x

f x g x

h x

2.

4

1

6limx

f x

g x

วธท า 1.

3

1lim

3x

f x g x

h x

=

3

1 1

1

lim lim

3 lim

x x

x

f x g x

h x

=

33 2

3 5

= 4

5

2.

4

1

6limx

f x

g x

=

4

1

1

6 lim

lim

x

x

f x

g x

=

4

6(3)

2

= 49

= 81

39

ทฤษฎบทท 2.6 0

sinlim 1

พสจน ให P เปนจดบนวงกลม รศมหนงหนวย พจารณาคา ซงมคาบวกแตนอยกวา 2

-2 -1 1 2

-1

1

2

x

y

P

O

Q

BA

ภาพท 2.8 แสดง 0

sinlim 1

สวนโคง PA รองรบมม ทจด O ลากเสนตงฉาก PB และ QA ดงรปดานบน

จากรปจะพบวา พท. OPA < พท.เซกเตอร OPA < พท. OPQ

1

2OA PB <

211

2 <

1

2AQ OA

PB < < AQ 1OA

PB

OP < <

AQ

OA 1OP OA

sin < < tan

1 < sin

<

1

cos (น า sin หารตลอด)

cos < sin

< 1 (กลบเศษเปนสวน)

จากทฤษฎบทท ส าหรบ g x f x h x ถา lim lim

x a x ag x L h x

แลว lim

x af x L

จาก 0

lim cos 1

และ 0

lim 1 1


sinlim 1

40

ขอสงเกต 02

เปนมมทอยในจตภาคท 1

sinf

เปนฟงกชนค เมอแทน

ดวย จะไดวา 0 0 0

sin sin sinlim lim lim 1


1 coslimx

x

x

โดยใช 0

sinlim 1

วธท า 0

1 coslimx

x

x

=

0

1 cos1 coslim

1 cosx

xx

x x

=

2

0

1 coslim

1 cosx

x

x x

=

2

0

sinlim

1 cosx

x

x x 2 2sin cos 1x x

= 0 0

sin sinlim lim

1 cosx x

x x

x x

= 0

11 1

= 0


sin 7lim

9x

x

x

วธท า 0

sin 7lim

9x

x

x =

0

7 sin 7lim

9 7x

x

x

= 7 0

7 sin 7lim

9 7x

x

x

= 7

9


0

cos h 1limh h

วธท า 2

0

cos h 1limh h

=

0

cos h 1 cos h 1limh h

=

0

1 cos h cos h 1limh h

=

0 0

1 cos hlim lim cos h 1h hh

= 0

41


1 coslim

cotx

x

x

วธท า 0

1 coslim

cotx

x

x

= 0

sinlim 1 cos

cosx

xx

x

= 2

0

1 cos sinlim

cosx

x x x

x x x

= 2

0 0 0

1 cos sinlim lim lim

cosx x x

x x x

x x x

= 0


30

tan 3lim

tan 5x

x

x

วธท า 3

30

tan 3lim

tan 5x

x

x

=

3

30

sin 3

cos3lim

sin 5

cos5

x

x

x

x

x

=

3 3

0

sin 3 cos5lim

cos3 sin 5x

x x

x x

=

3

0

sin3 5 3 cos5lim

3 sin5 5 cos3x

x x x x

x x x x

=

3

3 0 0 0 0

sin 3 1 3 cos5lim lim lim lim

sin 53 5 cos3

5

x x x x

x x

xx x

x

=

33

1 1 15

= 27

125

42

2.3 ลมตทเกยวของกบอนนต

อนนต (Infinity) เขยนแทนดวยสญลกษณ ใชแทนจ านวนทมคามากกวาทกจ านวนจรงใดๆ นนคอ ส าหรบทกๆจ านวนจรงบวก ,a R a

ในทางตรงกนขามลบอนนต ใชแทนจ านวนทมคานอยกวาทกจ านวนจรงใดๆ นนคอ ส าหรบทกๆจ านวนจรงลบ ,b R b

ขอก าหนดพนฐานเกยวกบอนนต

1. a เปนจ านวนจรงใดๆ a R

a a

a a

2.

แตสามารถก าหนดคาของ

3. a เปนจ านวนจรงบวกใดๆ

a a

a a

0a

a

0a

a

4. a เปนจ านวนจรงลบใดๆ

a a

a a

0a

a

0a

a

แตไมสามารถก าหนดคาของ 0 , 0 , 0 , 0 5. n เปนจ านวนเตมบวกใดๆ

n

; 2,4,6,...

; 1,3,5,...

n n

n

ถา n เปนจ านวนเตมบวก แลว n ถา n เปนจ านวนเตมบวก แลว n

43

2.3.1 ลมตของฟงกชนเมอ x มคาเขาใกลอนนต

พจารณา ฟงกชน 2

2

6 1

3 2

xy f x

x


2

6 1

3 2

xf x

x

x … -1,000 -100 0 100 1,000 …

f x 2 … 1.99999 1.99983 -1/2 1.99983 1.99999 … 2


2

6 1

3 2

xf x

x

เมอ x เขาใกล

จากรปและตารางแสดงใหเหนวาคาของฟงกชนมคาเขาใกล 2 ขณะท x เพมขนอยางไมมขอบเขต

x ท านองเดยวกน คาของฟงกชนมคาเขาใกล 2 ขณะท x ลดลงอยางไมมขอบเขต

x ลมตเชนนเรยกวาลมตทอนนต (Limit at Infinity) เขยนแทนดวย

lim 2x

f x

และ lim 2x

f x

พจารณา ฟงกชน 1

, 0y f x xx


f xx

-15 -10 -5 5 10 15

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

x

y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

44

x … -10,000 -100 -1 1 100 10,000 …

f x 0 … -0.0001 -0.01 -1 1 0.01 0.0001 … 0


f xx

เมอ x เขาใกล

จากรปและตารางแสดงใหเหนวาเมอ x แลว 10

x นนคอ 1

lim 0x x

ท านองเดยวกน 1lim 0

x x

บทนยามท 2.3 ก าหนดให f เปนฟงกชนใดๆ

1. limx

f x L

กตอเมอ ส าหรบทกๆจ านวนจรง 0 จะตองมจ านวนจรง 0M

ซง ,f x L x M

2. limx

f x L

กตอเมอ ส าหรบทกๆจ านวนจรง 0 จะตองมจ านวนจรง 0M

ซง ,f x L x M

ทฤษฎบทท 2.7 ก าหนดให n Z

1lim 0

nx x

1lim 0

nx x

(ใหพสจนเปนแบบฝกหด)

ตวอยางท 2.19 จงหาคาของ

1. 4

3lim 5x x

= 4

13 lim lim 5

x xx

= 3 0 5

= 5

2. 3 7

lim6 11x

x

x

=

73

lim11

6x

xx

xx

=

1lim 3 7 lim

1lim 6 11 lim

x x

x x

x

x

45

= 3 0

6 0

= 1

2

3. 3 2

5

9 2 1lim

6x

x x

x

=

3

3

5

5

2 19

lim6

1x

xx x

xx

= 3

2

5

2 19

1lim lim

61

x x

x x

x

x

= 0

4. 24 17

lim3x

x

x

=

2

2

174

lim3x

xx

x

= 2

174

lim3

1x

xx

xx

(เนองจาก x ดงนน x x )

=

21

lim 4 17 lim

1lim 1 3 lim

x x

x x

x

x

= 2

ทฤษฎบทท 2.8

ถา 20 1 2( ) ... n

nP x a a x a x a x และ 20 1 2( ) ... m

mQ x b b x b x b x เปนฟงกชนพหนามแลว

0 ,

( )lim ,

( )

,

n

xm

n m

aP xn m

Q x b

undifined n m


46


1. 5

5

2 3 7lim

8 3x

x x

x

ดกรของเศษเทากบดกรของสวน n m น า 5x หารทงเศษและสวน

5

5

2 3 7lim

8 3x

x x

x

=

5

5

5

5

2 3 7

lim8 3x

x x

x

x

x

= 4 5

5

3 72

lim8

3x

x x

x

= 4 5

5

1 1lim 2 3 lim 7 lim

18 lim lim 3

x x x

x x

x x

x

= 2

3

2. 7

9

5 7lim

6x

x

x

ดกรของเศษนอยกวาดกรของสวน n m น า 9x หารทงเศษและสวน

7

9

5 7lim

6x

x

x

=

7

9

9

9

5 7

lim6x

x

x

x

x

= 9 2

5 7

lim6x

x x

= 9 2

1 15 lim 7 lim

lim 6

x x

x

x x

= 0

3.

1 2 3lim

2 3x

x x x

x x

1 2 3lim

2 3x

x x x

x x

=

3 2

2

6 11 6lim

5 6x

x x x

x x

ดกรของเศษมากกวาดกรของสวน n m น า 3x หารทงเศษและสวน

47

3 2

2

6 11 6lim

5 6x

x x x

x x

=

3 2

3

2

3

6 11 6

lim5 6x

x x x

x

x x

x

= 2 3

2 3

6 11 61

lim1 5 6x

x x x

x x x

= 2 3

2 3

1 1 1lim 1 6 lim 11 lim 6 lim

1 1 1lim 5 lim 6 lim

x x x x

x x x

x x x

x x x

=

4. 2

11 9lim

5 8x

x

x

เนองจาก , 0x x สามารถเขยน 2x x ดงนนน า x หารทงเศษและสวน

2

2

11 9

lim5 8x

x

x

x

x

=

2

911

lim8

5x

x

x

=

2

1lim 11 9 lim

1lim 5 8 lim

x x

x x

x

x

= 11

5

5. 5 5

lim5 5

x x

x xx

น า 5x หารทงเศษและสวน

5 5lim

5 5

x x

x xx

=

5 5

5lim5 5

5

x x

x

x xx

x

= 2

2

11

5lim1

15

x

x

x

48

5 5lim

5 5

x x

x xx

=

2

2

1lim 1 lim

51

lim 1 lim5

xx x

xx x

= 1

6. 2

52

4lim

2 3x

x

x

2

52

4lim

2 3x

x

x

=

2

2

5 2

2

4

lim2 3x

x

x

x

x

= 2

5

2

1lim 1 4 lim

1lim 2 3 lim

x x

x x

x

x

= 51

2

7. 2limh

h h h

น า 2h h h คณทงเศษและสวน

2limh

h h h

=

2

2

2limh

h h h

h h h

h h h

= 2 2

2limh

h h h

h h h

= 2

limh

h

h h h

= 2

lim1

1h

h

h

h hh

h

= 1

lim1

1 1h

h

= 1

2

49

2.3.2 ลมตคาอนนตทจด x a

พจารณาฟงกชน 1

y f xx

เมอ x เขาใกล 0 ทางขวา 0x คา

1

f xx

ลเขาสอนนต

และเมอ x เขาใกล 0 ทางซาย 0x คา 1

f xx

ลเขาสลบอนนต

0

1lim

x x

และ 0

1lim

x x

ท านองเดยวกนจะไดวา

0

1lim

x x

และ 0

1lim

x x

2

0

1lim

x x

และ 2

0

1lim

x x

หรอ 20

1limx x

ทฤษฎบทท 2.9 ก าหนดให n Z และ a R จะไดวา

1.

1lim

nx a x a

2.

, 2,4,6,...1lim

, 1,3,5,...nx a

n

nx a



1. 2

4

1lim

16x x =

4

1 1lim

4 4x x x

= 4 4

1 1lim lim

4 4x xx x

= 1

8

=

2.

81

6lim 4

1x x

=

81 1

6lim lim 4

1x xx

= 4

=

50

3. 2

6

20lim

6x x x

=

6

20lim

6x x x

= 6 6

20 1lim lim

6x xx x

= 20

6

=

4. 3

1

8lim

2lnx

x

x


1

lim 8 7x

x

และ 1

lim 2ln 0x

x

3

1

8lim

2lnx

x

x

=

7

0

=

5. 3

0

lim lnx

x

e x


0

lim 1x

x

e

และ 0

lim lnx

x

3

0

lim lnx

x

e x

= 1

=

2.4 ความตอเนองของฟงกชน

การพจารณาความตอเนองของฟงกชน (Continuity of Functions) ทจด x a หมายความวา กราฟของฟงกชนจะไมขาดตอน หรอมชองวางของเสนกราฟทจด x a

บทนยามท 2.4 ก าหนดให y f x เปนฟงกชนใดๆ a R จะกลาววา ฟงกชน f ตอเนองทจด x a กตอเมอ

1. f a หาคาได และ

2. limx a

f x

หาคาได และ

3. limx a

f x f a

ถาขาดคณสมบตขอใดขอหนงแลว จะกลาววา f ไมตอเนองทจด x a

51

ตวอยางท 2.26

1. 3 5f x x ตอเนองทกจด ,x a a R

เนองจาก 1) f a 3 5a หาคาได และ

2) lim 3 5x a

x

3 5a และ

3) f a limx a

f x

ภาพท 2.11 กราฟ 3 5f x x

2. 1g x x ตอเนองทกจด ,x a a R

เนองจาก 1) g a 1a หาคาได และ

2) lim 1x a

x

1a และ

3) g a limx a

g x

ภาพท 2.12 กราฟ 1g x x

3. 1

4h x

x

ไมตอเนองท 4x

เนองจาก 4h หาคาไมได


4h x

x

4. 2

1 ; 2

2

; 23

x

f x x

x

ไมตอเนองท 2x เนองจาก

2limx

f x

(หาคาไมได)


1 ; 2

2

; 23

x

f x x

x

-4 -2 2 4

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

-6 -4 -2 2 4 6 8

2

4

6

8

x

y

-2 2 4 6 8 10

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

-4 -2 2 4 6 8

2

4

6

8

x

y

52

5.

2 ; 416

4

4 ; 4

xx

g x x

x


เนองจาก 1) 4g 4 หาคาได และ

2) 2

4

16lim

4x

x

x

4

4 4lim

4x

x x

x

8

แต 3) 4g 4

limx

g x

ภาพท 2.15 กราฟ

2 ; 416

4

4 ; 4

xx

g x x

x

6.

; 0

1 ; 0

xx

h x x

x

จะได 1 ; 0

1 ; 0

xh x

x


เนองจาก

0

lim 1x

h x

และ 0

lim 1x

h x

แต 0

limx

h x

0

limx

h x

ภาพท 2.16 กราฟ

; 0

1 ; 0

xx

h x x

x

ดงนน 0

limx

h x


ตวอยางท 2.27 ก าหนดให cos , 0

0 , 0

x xf x

x

จงตรวจสอบวา f x ตอเนองท 0x

และ 2

x

หรอไม

วธท า พจารณาท 0x พจารณาท 2

x

1) 0f cos0 1 1) 2

f

0

2) 0

limx

f x

0 2)

2

limx

f x

0

3) 0f 0

limx

f x

3) 2

f

2

limx

f x

ดงนน f x ไมตอเนองท 0x ดงนน f x ตอเนองท 2

x

-4 -2 2 4 6 8

2

4

6

8

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

53


, 11

1

, 1

xx

g x x

a x

g x เปนฟงกชนตอเนองท 1x ก

ตอเมอ a มคาเทาไร

วธท า 1

limx

g x

= 1

1lim

1x

x

x

=

1

1 1lim

1x

x x

x

= 1

lim 1x

x

= 2

g x จะเปนฟงกชนตอเนองท 1x เมอ 1

lim 1 2x

g x g

ดงนน 2a


2 2 ,2 3

16 ,

x kx kx k

h x x k

x k

g x เปนฟงกชนตอเนองท

x k กตอเมอ k มคาเทาไร

วธท า limx k

h x

= 2 22 3

limx k

x kx k

x k

= 3

limx k

x k x k

x k

limx k

h x

= lim 3x k

x k

= 4k

เนองจาก h x เปนฟงกชนตอเนองท x k lim 4 16

x kh k h x k

ดงนน 4k

54


4 3 2 1,

2 1 4

11,

43 4

xx

xf x

xx

จงพจารณาวา f เปนฟงกชน

ตอเนองท 1

4x และ 1

4x หรอไม

วธท า พจารณาท 1

4x

1) 1

4f

= 1

13 4

4

= 1

2

2) 1

4

lim

x

f x

= 1

4

1lim

3 4x

x

=

1

2

1

4

lim

x

f x

= 1

4

4 3 2lim

2 1x

x

x

=

1

4

2 1 4 3 24 3 2lim

2 1 2 1 4 3 2x

x xx

x x x

=

1

4

2 14 1lim

4 1 4 3 2x

xx

x x

=

1

4

2 1lim

4 3 2x

x

x

= 1

2

ได 1

4

limx

f x

= 1

2

3) 1

4f

= 1

4

limx

f x

เพราะฉะนน f ตอเนองทจด 1

4x

พจารณาท 1

4x

1) 1

4f

= 1

13 4

4

= 1

2

55

2) 1

4

lim

x

f x

= 1

4

1lim

3 4x

x

=

1

2

1

4

lim

x

f x

= 1

4

1lim

3 4x

x

=

1

2

3) 1

4f

= 1

4

limx

f x

เพราะฉะนน f ตอเนองทจด 1

4x


2

4 2 , 4

2

1 , 4

, 4

x x a x

x

f x x

xx b

ถา f ตอเนองทจด 4x

จงหา 240af

b

วธท า ถา f ตอเนองทจด 4x จะได 4f = 4

limx

f x

= 4

limx

f x

ดงนน 4f = 4

limx

f x

1 = 2

4

limx

x b

1 = 24 b

15 = b

และ 4f = 4

limx

f x

1 =

4

4 2lim

2x

x x a

x

1 =

2

4

4 2lim

2 2x

x x a

x x

1 = 2

4

lim 2x

x a

1 = 2

4 2 a

a = 1

16

ดงนน 240af

b

= 1f = 14

56

บทนยามท 2.5 ฟงกชน f ตอเนองทางซายทจด x a ถา limx a

f x f a

ฟงกชน f ตอเนองทางขวาทจด x a ถา limx a

f x f a

ฟงกชน f ตอเนองทจด x a กตอเมอ f ตอเนองทงทางซายและทางขวาทจด x a เนองจาก lim

x af x f a

กตอเมอ lim lim

x a x a

f x f a f x

ตวอยางท 2.32

1. 2

7f x x ตอเนองทกจด ,x a a R ดงนน f จงตอเนองทงทางซายและ

ทางขวา ทจด x a

2. g x x ตอเนองทางขวาทจด 0x เนองจาก 0

lim 0 0x

x g

ไมตอเนองทงทางซายทจด 0x เนองจาก 0

limx

x


3. 24h x x

ตอเนองทางซายทจด 2x เนองจาก 24 0x จะได 2 2x

และ 2

2 2

lim lim 4 0 2x x

h x x h

แต h x ไมตอเนองทางขวาทจด 2x เนองจาก 2

2

lim 4x

x


ตอเนองทางขวาทจด 2x เนองจาก 2

2

lim 4 0 2x

x h

แต h x ไมตอเนองทางซายทจด 2x เนองจาก 2

2

lim 4x

x


ตวอยางท 2.33 ก าหนดใหกราฟของ f เปนดงรป จงพจารณาวา เมอ 1, 0,1, 2, 3x ตอเนองหรอไม

ภาพท 2.17 กราฟของ f x

-1 1 2 3

-1

1

2

3

x

y

57

วธท า พจารณาท 1x

f ไมตอเนองทางซาย เนองจาก 1

limx

f x


f ตอเนองทางขวา เนองจาก 1

1 lim 0x

f f x


พจารณาท 0x

f ตอเนองทางซาย เนองจาก 0

0 lim 1x

f f x

f ไมตอเนองทางขวา เนองจาก 0

0 limx

f f x

1 1


f ตอเนองทางซาย เนองจาก 1

1 lim 0x

f f x

f ตอเนองทางขวา เนองจาก 1

1 lim 0x

f f x


f ไมตอเนองทางซาย เนองจาก 2

2 limx

f f x

3 0

f ไมตอเนองทางขวา เนองจาก 2

2 limx

f f x

3 0 พจารณาท 3x

f ไมตอเนองทางซายและทางขวา เนองจาก 3f หาคาไมได

บทนยามท 2.6 ความตอเนองบนชวง ก าหนดให y f x เปนฟงกชน ,a b R ซง a b จะกลาววา

1. f ตอเนองบนชวง ,a b เมอ f ตอเนองททกจด ,x a b

2. f ตอเนองบนชวง ,a b เมอ f ตอเนองททกจด ,x a b และ f ตอเนองทางซายท x b

3. f ตอเนองบนชวง ,a b เมอ f ตอเนองททกจด ,x a b และ f ตอเนองทางขวาท

x a 4. f ตอเนองบนชวง ,a b เมอ f ตอเนองททกจด ,x a b และ f ตอเนองทางขวาท

x a และ f ตอเนองทางซายท x b

58

บทนยามท 2.7 ถา f ตอเนองทกจดบนโดเมนของ f แลวฟงกชน y f x เปนฟงกชนตอเนอง

ตวอยางท 2.34 จงพจารณาฟงกชนตอไปนวาตอเนองบนชวงใด พรอมทงหาจดทไมตอเนอง

1. 223 51 7f x x x f ตอเนองทกจด ,x

2. 6 21

3 2

xg x

x

g ตอเนองทกจด ยกเวนตวทท าใหสวนเปนศนย 3 2 0x

3,

2x

นนคอ 3

2x R

หรอ 3 3

, ,2 2

3. 4 22h x x h ตอเนองทกจด ,x

ตวอยางท 2.35 จงแสดงวา 2f x x เปนฟงกชนตอเนองบนชวง 2,

วธท า จาก 2x จะหาคาไดเมอ 2 0 , 2x x

2,fD ดงนนตองแสดงวา f ตอเนองบนชวง 2,

จะตองแสดงวา

1) f ตอเนองบนชวง 2,

2) f ตอเนองทางขวาทจด 2x

จะแสดงวา 1) f ตอเนองบนชวง 2, ให a เปนจดใดๆ ในชวง 2, จะเหนวา

2f a a หาคาได เพราะ 2 0a

lim lim 2 2x a x a

f x a a

หาคาได

และ lim 2x a

f x a f a

ดงนน f ตอเนองททกจด a แตเนองจาก a เปนจดใดๆบนชวง 2, เพราะฉะนน f ตอเนองบนชวง 2,

จะแสดงวา 2) f ตอเนองทางขวาทจด 2x

จะเหนวา 2 2 2 0f

2 2

lim lim 2 0x x

f x a

2

2 limx

f f x

เพราะฉะนน f ตอเนองบนชวง 2,

59

ตวอยางท 2.36 จงแสดงวา 23 9f x x เปนฟงกชนตอเนองบนชวง 3,3

วธท า จาก 23 9 x จะหาคาไดเมอ 2 29 0 , 9 0 , 3,3x x x

3,3fD ดงนนตองแสดงวา f ตอเนองบนชวง 3,3

1) จะตองแสดงวา f ตอเนองบนชวง 3,3

2) f ตอเนองทางซายทจด 3x ตอเนองทางขวาทจด 3x

จะแสดงวา 1) f ตอเนองบนชวง 3,3 ให a เปนจดใดๆ ในชวง 3,3

จะเหนวา 23 9f a x หาคาได เพราะ 3,3a

2 2lim lim 3 9 3 9x a x a

f x x a

หาคาไดและ

2lim 3 9x a

f a x f a

ดงนน f ตอเนองททกจด a แตเนองจาก a เปนจดใดๆบนชวง 3,3 เพราะฉะนน f

ตอเนองบนชวง 3,3

จะแสดงวา 2) f ตอเนองทางซายทจด 3x ตอเนองทางขวาทจด 3x

f ตอเนองทางซายทจด 3x f ตอเนองทางซายทจด 3x

จะเหนวา 23 3 9 3 0f จะเหนวา 2

3 3 9 3 0f

2 2

3

lim 3 9 3 9 3 0x

x

22

3

lim 3 9 3 9 3 0x

x

3

3 limx

f f x

3

3 limx

f f x

เพราะฉะนน f ตอเนองบนชวง 3,3


ถาฟงกชน f และ g ตอเนองท x a ซงอยในโดเมนของ f และ g จะไดวาฟงกชนตอไปนจะตอเนองท x a

1. f x g x

2. f x g x

3. cf x

4.

, 0

f xg a

g x

60

พสจน จาก f และ g ตอเนองท x a จะไดวา

limx a

f x f a

และ limx a

g x g a

จากคณสมบตของลมตจะไดวา

1. limx a

f x g x

lim limx a x a

f x g x

f a g a ตอเนองท x a

2. limx a

f x g x

lim limx a x a

f x g x

f a g a ตอเนองท x a

3. limx a

cf x

limx a

c f x

cf a ตอเนองท x a

4.

limx a

f x

g x

lim

lim

x a

x a

f x

g x

, 0

f ag a

g a ตอเนองท

x a

ตวอยางท 2.37 ก าหนดให 2 4 1f x x x และ 34g x x เปนฟงกชนตอเนองทกๆคาของ x จะไดวา

1. limx a

f x g x

2 3lim 4 1 4x a

x x x

3 2lim 4 5x a

x x x

ตอเนองทกคาของ x a

2. limx a

f x g x

2 3lim 4 1 4x a

x x x

3 2lim 4 3x a

x x x


3. limx a

f x g x

2 3lim 4 1 4x a

x x x

5 4 3 2lim 4 4 16 4x a

x x x x x


4. 1

lim2x a

f x

21lim 4 1

2x ax x

2 1lim 2

2x ax x


61

5.

limx a

f x

g x

2

3

4 1lim

4x a

x x

x

ตอเนองทกคาของ x a ยกเวน 3 4a


ฟงกชนพหนาม ก าหนดให 20 1 2( ) ... n

nP x a a x a x a x และ 2

0 1 2( ) ... mmQ x b b x b x b x

1. ถา P x เปนฟงกชนพหนามและฟงกชน P เปนฟงกชนตอเนอง

2. ถา

P xf x

Q x เปนฟงกชนตรรกยะแลว ฟงกชน f ตอเนองทกจดยกเวนจด x ทท า

ให 0Q x

พสจน 1. limx a

P x

20 1 2lim ... n

nx a

a a x a x a x

20 1 2lim lim lim ... lim n

nx a x a x a x a

a a x a x a x

20 1 2 ... n

na a a a a a a P a

ดงนน P ตอเนองทกจด a

พสจน 2. เนองจาก P และ Q เปนฟงกชนพหนาม ดงนน lim

x aP x

P a และ lim

x aQ x

Q a เมอ a R

จะได limx a

f x

limx a

P x

Q x

lim

lim

x a

x a

P x

Q x

limx a

f x

P a

Q a

f a เมอ 0Q a

ดงนน f ตอเนองทกๆจดยกเวน 0Q x

62

ตวอยางท 2.38 ก าหนดให 6 4 33 5 2 9f x x x x จงพจารณาวา f ไมตอเนองทจดใดบาง วธท า จาก 6 4 33 5 2 9f x x x x เปนฟงกชนพหนาม

ดงนนฟงกชน f ตอเนองทกจด

ตวอยางท 2.39 ก าหนดให 7 4

4

9

8

x xf x

x x

จงพจารณาวา f ไมตอเนองทจดใดบาง

วธท า จาก 4 8x x 0

3 8x x 0

x 0 , 2 ดงนน f ตอเนองทกจด ยกเวน 0 , 2x

บทสรป

บทท 2 กลาวถงเรองลมต รวมไปถงบทนยามของลมตซายและลมตขวา ลมตทเกยวของกบอนนต และความตอเนองของฟงกชน การพจารณาวาฟงกชนทก าหนดใหตอเนอง ณ จดทก าหนดใหหรอไม ตองอาศยการเขาใจในเรองคณสมบตของลมตและความตอเนองใหชดเจน หรอสามารถพจารณาฟงกชนตางๆ โดยการวาดกราฟ การศกษาเรองลมตและความตอเนองเปนพนฐานในการน าไปสการศกษาในบทตอไปคอเรองการหาอนพนธของฟงกชนซงเปนการหาลมตของฟงกชนอกรปแบบหนง

แบบฝกหด

1. จงหาคาของ

1.1.ก าหนดให 2 1( ) 2

3f x x จงหา

3limx

f x

และ 3

limx

f x

1.2.ก าหนดให3

6 9( )

12 3

xf x

x x

จงหา

0limx

f x

0

limx

f x

และ 0f

1.3.ก าหนดให 2( ) 4f x x จงหา 2

limx

f x

2

limx

f x

และ 2f

แนวคด , 0

, 0

x xx

x x

2. จงหาคาลมตตอไปนโดยใชนยาม 2.1.

5lim5 7x

x

2.2. 2

2lim

3x x

2.3. 1

5lim

3x

x

x

63

3. จงหาคาลมตตอไปน

3.1. 3

5lim 3 1x

x x

3.2. 3

1lim

1x

x

x

3.3. 23

2 6lim

9x

x

x

3.4. 0

5 5lim

5 5

x x

x xx

3.5. 2

10

100lim

10x

x

x

3.6. 3

5

125lim

5x

x

x

3.7. 7

7lim

7 7x

x

x x

3.8. 29

3lim

81x

x

x

3.9. 3

0

1 1limx

x

x

4. จงหาคาลมตตอไปน

4.1. 3 2

31

5 3lim

3 2t

t t t

t t

4.2. 3

22

8lim

4x

x

x

4.3. 0

4 2limx

x

x

4.4. 20

lim9 3x

x

x x

4.5. 0

lim4 2x

x

x

5. จงหาลมตทคาอนนตของฟงกชนตอไปน 5.1. lim 5 2

xx

5.2. 2 1

lim5 3x

x

x

5.3. 2lim 3 5 8x

x x

5.4. 2 7lim x

xe

64

5.5. 2

7lim

3 8x

x

x x

5.6. 9 3

5 7

2lim

2x

x x

x x

6. จงหาลมตทคาอนนตของฟงกชนตอไปน

6.1.

2 1

3 6

2 1

3 6

8 11lim

2x

x x

x x

6.2. 1

1 3

2 2lim

2 2

x x

x xx

6.3. 5 5

lim5 5

x x

x xx

6.4. 6

3lim 3 2x

x

7. จงพจารณาวาฟงกชนตอไปนตอเนองท a ทก าหนดใหหรอไม 7.1. 2( ) 3 5, 0f x x a

7.2. 2

3( ) , 3

9

xf x a

x

7.3. ( ) , 0f x x a

8. จงพจารณาวาฟงกชนตอไปนตอเนองทจดทก าหนดใหหรอไม

8.1. 3 , 0

( ) , 03 2, 0

x xf x a

x x

8.2. 1, 3

( ) , 33 7, 3

x xf x a

x x

8.3. 2 1, 2

( ) , 21, 2

x xf x a

x

8.4. 2 3, 3

( ) , 32 3, 3

x xf x a

x x

8.5. 0, 2

( ) , 22, 2

xf x a

x x

8.6. 2

5, 3( ) , 3

9 , 3 3

x xf x a

x x

8.7. 1

( ) , 11

xf x a

x

65

8.8.

2 1, 0

( ) 11, 0

2

x x

f xx x

, 0a

8.9.

2 4, 2

( ) 2

1, 2

xx

f x x

x

, 2a

9. จงหาจดทท าใหฟงกชนไมตอเนอง เมอก าหนดฟงกชนดงแตละขอ

9.1 2

( )1

xf x

x

9.2 2

4( )

16

xf x

x

9.3 ( )3

xf x

x

9.4 5 2

( )4

xf x

x x

9.5 2

3( )

3

xf x

x x

10. จงหา k ทท าใหฟงกชนทก าหนดใหในแตละขอเปนฟงกชนไมตอเนอง

10.1 2

7 2, 1( )

, 1

x xf x

kx x

10.2 2 , 2

( )2 , 2

kx xf x

x k x

11. ก าหนด 2 , 1

( )5, 1

x xf x

Ax x

จงหาคา A ทท าให f ตอเนองท 1x

-4 -2 2 4 6 -2¸šทที่ 2... · นั่นคือ 2 ภาพที่ .6 กราฟ f...

Documents