§4 － 2 布洛赫（ Bloch ）定理求晶体中的电子态，要解定态薛定谔方程 2 (k,r) ＋ E － V(r) (k,r) ＝0其中势能函数 V(r) 具有晶格周期性，即

V(r) ＝ V （ r＋ Rn ） ＝ V （ r+n1a1+n2a2+n3a3 ）

m2

2

一．布洛赫定理

即（以一维为例） （ k ,x ）＝ u （ k ， x ） eikx

其中 u （ k ， x ）＝ u （ k ,x+na ）晶体中的电子波又称为 Bloch 波。

晶体中的电子波函数是按照晶格周期性进行的调幅平面波 .

讨论： ∣ （ k ,x ）∣ 2 ＝∣ u （ k ， x ）∣ 2

∣ （ k ,x ＋ na ）∣ 2= u∣ （ k ,x+na ）∣ 2

∵ u （ k ， x ） = u （ k ,x+na ）∴∣ （ k ,x ）∣ 2=∣ （ k ,x ＋ na ）∣ 2

1 ．电子出现的几率具有正晶格的周期性。

2. 布洛赫定理的另一种表示 （ k ,x+na ）＝（ k ,x ） ei

kna

以上证明各步均可逆，故 Bloch 定理的两种表示等价。

证明 :∵ （ k ,x ）＝ u （ k ， x ） eikx

u （ k ， x ）＝ u （ k ,x+na ）

比较（ A ）（ B ）二式，左右分别相等∴ （ k ,x+na ）＝（ k ,x ） eikna

得： u （ k ， x ）＝（ k,x ） e-ikx (A) u （ k ,x+na ） = （ k ,x+na ） e-ik(x+na)

= e-ikx [e-ikna （ k ,x+na ） ] (B)

3 ．函数（ k ,x ）本身并不具有正晶格的周期性。

∴ （ k ,x ＋ na ）≠ （ k ,x ）

（ k ,x ＋ na ）＝ u （ k ， x+na ） eik(x+na) = u （ k ， x+na ） eikx× eikna

= u （ k ， x ） eikx× eikna = （ k ,x ） eikna

而一般情况下 ∵ k 不是倒格矢 eikna≠1

（ k ,x ＋ na ）≠ （ k ,x ）

讨论：波函数的物理意义

∣ （ k ,x ）∣ 2=∣ （ k ,x ＋ na ）∣ 2

二． Bloch 定理的证明 1 ．  由于势能函数 V(x) 具有晶格周期性，适当选取势能零点，它可以作如下的付里叶级数展开：

n

nxai

neVxV2

)( ＝

dxexVa

Vnx

aia

n

2

0

)(1

＝

说明： 0)()(1

00 consxVdxxVa

Va

＝＝

∴0

2

)(n

nxai

neVxV

＝

0

)(n

xiGn neVxV ＝ (1)

2. 将待求的波函数 ψ （ r ）向动量本征态――平面波 eik•x 展开

'

)(),( '

K

xikekCxk‘

＝ (2)

求和是对所有满足波恩－卡曼边界条件的波矢 k’ 进行的。 ( 讨论）

将（ 1 ）式和（ 2 ）式

2 (k,x) ＋ E － V(x) (k, x) ＝ 0

'

)(),( '

K

xikekCxk‘

＝

0

)(n

xiGn neVxV ＝

代入薛定谔方程m2

2

得 :

' '

''

0

)(''2'2

)()(2K n K

xGKin

xik hekCVekCKm

＋

'

'

)( '

K

xikeKCE＝ (3)

将此式两边乘 e － ik.x, 然后对整个晶体积分。并利用平面波的正交归一性'

'

)(KK

xKKil Ldxe ＝

‘

KGKxKGKi

Ln

n Ldxe,

)(

‘’

＝

得到

' ''

,0)()(

2 0,

''2'2

K nKGK

KnkK n

LKCVLKCEmK

＝＋ ’

利用 δ 函数的性质，得（ 4 ）式 0)()

2 0

22

＝（

nnn GKCVKCE

mK

该方程实际上是动量表象中的薛定谔方程，称作中心方程。

K 态与其相差不是一个倒格矢的态之间无耦合方程（ 4 ）说明，与 K 态系数 C(K) 的值有关的态是与 K 态相差任意倒格矢 Gn 的态的系数 C(K － Gn)……. 与 K 相差不是一个倒格矢的态不进入方程（ 4 ）。

该结论也应适用于波函数 (k,x) 。

因此波函数

xGki

Gn n

n

eGkCxk )()(),( ＝

xiG

Gn

xiK n

n

eGKCe )(＝

应当可写成

'

)(),( '

K

xikekCxk‘

＝

与 Bloch 定理比较 （ k ,x ）＝ u （ k ， x ） eikx

需证明 n

n

G

xiGn eGKCxKu )()＝，（

=u(K,x+na) ∵Gh·Rn ＝ 2m ，一维情况 Rn=na, Ghna=2m

1niG nae

naiG

G

xiGn

n

n

n eeGKCxKu )()＝，（

),()( )( naxKueGKCn

n

G

naxiGn ＝

于是布洛赫定理得证。

三． 布洛赫定理的一些重要推论（ 1 ） K 态和 K ＋ Gh 态是相同的状态，这就是说：（ A ）（ K ＋ Gh,r ）＝ （ K ， r ） （ B ） E （ K ＋ Gh ）＝ E(K)

下面分别证明之。∵ （ k ,x ）求和遍取所有允许的倒格矢

xGKi

Gn

n

n

eGKC )()(＝

xGGKi

Gnnn

nn

n

eGGKCxGk )('' '

)(),( ＝

令 G‘n － Gn=Gn

’’, 则 ),()( )('' ''

''

xkeGKC xGKi

Gn

n

n

＝

即相差任意倒格矢的状态等价。 因为求和也是遍取所有允许的倒格矢

由薛定谔方程 (k,r)=E(k)(k,r)

∴ E （ k ） =E(k+Gn) 可见，在波矢空间，布洛赫电子态具有倒格子周期性，为了使波矢 K 和状态一一对应，通常限制 k 在第一 B.Z. 内变化。第一 B.Z. 内的波矢又叫简约波矢。

),( ' xGk n ),( xk

Hˆ

与 等价),()(),(),(

^^rkGkErGkHrkH hh ＝＝

（ 2 ） E （ k ）＝ E （－ k ） 即能带具有 k=0 的中心反演对称性。（ 3 ） E （ k ）具有与正晶格相同的对 称性。