CQU1.7 赫姆霍兹定理

1 、标量场

标量场由其梯度 ( 矢量 ) 场和边界唯一确定。( ) ( )u r F r

则：

0 0

( ) ( ) ( )P P

P Pu u d d r r l F r l

2 、矢量场的类型

无旋场、无散场、调和场和一般矢量场

实际工程中，如何唯一确定一个场？

CQU1.7 赫姆霍兹定理

（ 1 ）无旋场0 F

旋度恒为零，但散度并不为零的矢量场。无旋场仅由通量源产生的，静电场是其一例。

由斯托克斯定理有

1( ) d d 0

S F S F l

即在定义域内无旋场沿任意闭合路径 l 的环量恒为零，可见无旋场就是守恒场。

CQU

d d d

d d 0

PnQmp PnQ QmP

PnQ PmQ

F l F l F l

F l F l

d dPmQ PmQ

F l F l即

P

Q

m

n

两点间的任意两条积分路径

由图中 P 、 Q 两点间的两条路径 PnQ 和 PmQ ，构成回路PnQmP ，其上 F(r) 的环量可以写成

无旋场的线积分与积分路径无关，仅与线积分起点和终点的位置有关。

1.7 赫姆霍兹定理

CQU

由 可以定义一个标量场× = 0 ( ) = 0f F ( ) r

这种形式的二阶偏微分方程称为泊松方程。

得 的微分方程

( ) r

令 ( ) ( )b F r r

负号意指某点 的方向为该处 取得最大减小率的方向。

( )F r ( ) r

1.7 赫姆霍兹定理

在一定附加条件下（边界条件），由上式可求得 (r) 的解，再按 (1.7.1) 式解得 F(r) ，这是求解无旋场的基本方法。

( ) ( ) F r r (1.7.1)

2 = b (1.7.2)

CQU

（ 2 ）无散场

0 F

1.7 赫姆霍兹定理

散度恒为零，而旋度并不为零的矢量场。无散场是仅由旋涡源产生的，恒定磁场即是一例。

由高斯散度定理，有 ( )d d 0V S

V F F S

即无散场在任意闭面 S 上的净通量恒等于零。

CQU

可得无散场的二阶偏微分方程

)()( rcrF )(rcA

称为矢量场的旋度旋度方程。求解此类场的基本方法是：先解这个旋度旋度方程可得 A(r) 的通解，在一定附加条件下可得到特解，再按 (1.7.3) 式求出无散场 F(r).

F = A令 (1.7.3)

由 可定义一个矢量位函数 A(r)0 ( ) 0 F A

CQU

（ 3 ）调和场

2 = 0

调和场的二阶偏微分方程称为拉普拉斯方程。

（ 4 ）一般矢量场的旋度和散度均不为零。它由旋涡源和通量源共同产生。通常时变电磁场都是一般矢量场，而无旋场、无散场以及调和场都是它的特例。

1.7 赫姆霍兹定理

在定义域内矢量场的旋度与散度均为零。显然，调和场的场源是在定义域之外。恒定电场即是一例。

由无旋性 0 F ，引入标量位函数 ( ) ( ) F r r

再由 ( ) 0 F r ，可得

CQU

3 、赫姆霍兹定理

在闭面 S 所包围的有限区域 ( 单连域或多连域 )V 内 ，若给定了矢量场的旋度和散度，同时还给定了该矢量场在边界 S 上的法向分量 Fn 或切向分量 Ft ，则 V 内是唯一确定的。

(1)唯一性定理：

用反证法证明，假定满足给定条件的矢量场有两个 和 ，然后再论证这两个矢量场是相同的，即 。令

1( )F r

2 ( )F r

1 2( ) ( )F r F r

*1 2 F F F

1.7 赫姆霍兹定理

赫姆霍兹定理包括矢量场的唯一性定理和矢量场的分解定理。

CQU

在边界 S 上，则有

1 2| | | 0n S n S n S F F F 或 1 2| | | 0t S t S t S

F F F

由 可引入标量函数 (r) * 0 F

F

且有 2 = 0 ( 在 V 内）

0)(

S

Sn n

0)(

S

St t

①

②或

1.7 赫姆霍兹定理

S 为 φ 的等值面

在 V 内，有 *1 2 0 F F F

*1 2 0 F F F

CQU

根据条件① ，可得 2| | d 0V

V

对矢量函数 应用格林第一公式，并考虑到在 V 内有 2 = 0 ，

2d | | dS V

S Vn

( ) d ( )dS V

V S

2d ( )dS V

S Vn

1.7 赫姆霍兹定理

CQU

对于条件② ，因

d dS S

S Sn n

2| | d 0V

V 故同样得到

由于 的非负性， 意味着 = 0 ，

即

22| | d 0

VV

2112 0 FFFFF 或

S 面上 φ 相等

2d d 0S V

V S

CQU

（ 2 ） 分解定理：任意一个满足唯一性定理的一般矢量 F(r) ，可以分解为无旋的 Fi(r) 和无散或管形的 Fs(r) 两个部分，即

F(r) = Fi(r) + Fs(r)

设矢量场 F(r) 的旋度和散度分别为

( ) 0

( )i

i b

F r

F r可得

1.7 赫姆霍兹定理

( ) ( ) F r c r ( ) ( )b F r r和

( ) ( )

( ) 0S

S

F r c r

F r

( ) ( ) ( ) F r r A r

引入 和 ，)(r )(rA S F A分别满足 和 i F

因此，一般矢量场可用 和 表示为)(r ( )A r

CQU

已知

在电磁场中

电荷密度

电流密度 J场域边界条件

矢量 F 的通量源密度

矢量 F 的旋度源密度

场域边界条件

（矢量 F 唯一地确定）

1.7 赫姆霍兹定理

( ) ( ) ( )u F r r A r