4 Massegeometri (lectures notes)

side 1

Massegeometri Vi skal her se på noen begreper og utregninger som vi får stor bruk for videre i mekanikken. ► Tyngdepunktets plassering i ulike legemer og flater.

Viktig for å kunne regne ut andre størrelser. (Se under.) ► Statisk moment for en flate (første ordens aksialt arealmoment).

En størrelse som har størst nytte av når vi skal utlede andre formler. ► Arealmoment, aksialt arealmoment, treghetsmoment. (3 betegnelser på samme størrelse)

Mye brukt ved alle slags bøyingsberegninger. ► Motstandsmoment eller tverrsnittsmodul. (en følge av arealmoment)

Også mye brukt ved bøyingsberegninger. ► Polart arealmoment og polart motstandsmoment.

Brukes ved beregning av vridning.

4 Massegeometri (lectures notes)

side 2

TYNGDEPUNKTET TIL LEGEMER Den totale tyngden G av legemet er lik summen (”resultanten”) av alle enkeltkomponentenes tyngder. Legemets tyngdepunkt er det punktet som denne ”resultanttyngden” angriper i.

4 Massegeometri (lectures notes)

side 3

4 Massegeometri (lectures notes)

side 4

Eksempel. Bestem felles tyngdepunkt.

4 Massegeometri (lectures notes)

side 5

TYNGDEPUNKTET TIL FLATER I mekanikken har vi ofte bruk for å vite hvor tyngdepunktet til en flate er plassert. En flate kan vi se på som en tynn plate med konstant tykkelse. Volum V = Areal · tykkelse = A · t → Tyngdepunktsformlene for en sammensatt flate:

4 Massegeometri (lectures notes)

side 6

Eksempel.

4 Massegeometri (lectures notes)

side 7

STATISK MOMENT FOR EN FLATE Vi har tidligere regnet ut det statiske momentet for en kraft. Definisjonen for statisk moment for en flate: Statiske momentet for et flateelement om en akse er lik arealet av flateelementet multiplisert med avstanden fra aksen. Statiske momentet for en flate om en akse er lik summen av de statiske momentene til hvert enkelt flateelement om aksen.

Det statiske momentet for en flate om sin egen tyngdepunktsakse er lik null.

4 Massegeometri (lectures notes)

side 8

Eksempel.

4 Massegeometri (lectures notes)

side 9

AKSIALT AREALMOMENT, TREGHETSMOMENT En annen størrelses om ikke viser til noen fysisk synlig størrelse (som statiske momentet for en flate). Arealmomentet er en definert størrelse: Aksiale arealmomentet for et flateelement om en akse er lik arealet av flateelementet multiplisert med kvadratet av avstanden fra aksen. Aksiale arealmomentet for en flate om en akse er lik summen av de aksiale arealmomentene til hvert enkelt flateelement om aksen.

4 Massegeometri (lectures notes)

side 10

Arealmoment for enkle flater

Ved eksakt utregning av arealmomentet må vi dele arealet opp i uendelig mange flateelementer, hvert flateelement blir uendelig smalt. Hvis vi deler opp i 4 flateelementer som er en grov inndeling får vi:

Dette svaret er unøyaktig.

4 Massegeometri (lectures notes)

side 11

For helt nøyaktig beregning må vi bruke integrasjon. Vi definerer et lite element av rektanglet med bredde b og høyde dy. Elementet ligger i avstand y fra tyngdepunktsaksen og får arealmomentet b ·dy · y2 om tyngdepunktsaksen x0.

Innsatte verdier gir:

Nøyaktig.

4 Massegeometri (lectures notes)

side 12

Tabell som viser arealmomentene om tyngdepunktsaksene for en del vanlige arealer.

4 Massegeometri (lectures notes)

side 13

Eksempel.

4 Massegeometri (lectures notes)

side 14

Steiners formel I mange tilfeller har vi behov for å finne arealmomentet om andre akser enn tyngdepunktsaken.

Arealmoment om x-aksen:

Dette gir: Ix = Ix0 + A · y02 Arealmomentet til en flate om en vilkårlig akse er lik arealmomentet om en parallell tyngdepunktsakse pluss flatearealet multiplisert med kvadratet av avstanden mellom aksene. Tilsvarende om en y-akse: Iy = Iy0 + A · x02

4 Massegeometri (lectures notes)

side 15

Eksempel.

4 Massegeometri (lectures notes)

side 16

Hvis vi har en flate som består av sammensatte flater, kan vi finne arealmomentet om felles tyngdepunktsakse ved å bruke Steiners formel. Eksempel.

Felles tyngdepunktsakser:

4 Massegeometri (lectures notes)

side 17

MOTSTANDSMOMENT eller tverrsnittsmodul Denne størrelsen er heller ikke relaterer til noe fysisk. I fasthetslæren får vi bruk for motstandsmomentet når vi skal studere bøyespenninger i for eksempel en bjelke. Motstandsmomentet om en tyngdepunktsakse er lik arealmomentet om tyngdepunktsaksen dividert med avstanden ut til kanten av flaten. Eksempel, rektangel.

For sammensatte flater, må vi først finne arealmomentene for de sammensatte flatene og så dividere med avstanden ut til kanten. Vi kan ikke bruke ferdige formler for motstandsmomentene til de enkelte flatedelene.