40.1 vzorce pro dvojčleny

Elektronická učebnice – II. stupeň MatematikaZákladní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace

40.1 Vzorce pro dvojčleny

Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika

Autor: Mgr. Hana Jirkovská

Nejjednodušší dvojčlen

Jak?

Můžeme si počítání s nimi nějak zjednodušit?

nebo

Ano, v těchto třech případech:

a - b

a + b

1. (a + b) . (a + b)2. (a – b) . (a – b)3. (a + b) . (a – b)


40.2 Co už umíme


1) Poznat typ mnohočlenuNapř. y2x

z63 22 b3a

2b4a23 7y3x9 3

2) Sčítat a odčítat mnohočlenyNapř. )17x9x4()9x3x( 22 8x6x517x9x49x3x 222

)10b2()7b3( 22 3b10b27b3 222

3) Násobit mnohočlenyNapř. )x24).(1x3( 4x6x10x24x6x12 22

)5a2a3.(a2 2 a10a4a6 23

2ababb16 Dvojčleny Trojčleny

4) Počítat s mocninamiNapř. 5a7a33a4a5 22

32 x5,0.x3.x22)xy2(

2

2yx2

1

62 )x3(

8a3a2 2 6x3

22yx4

24yx4

1

126 x.3


40.3 Nové pojmy


)2a.(6a4.2a )3a2.(2).2a()6a4).(2a(

)b3.(3b2).3b(

Např:

)3b2).(3b()3b.(3b2).3b()3b).(1.(3b2).3b(

)ba).(ba(

)ba).(ba(

1) Úprava součtu na součin vytýkáním

2)ba(

2)ba(

Opačné mnohočleny Vytkneme (-1)

2) Místo součinů hovoříme o druhé mocnině dvojčlenů


40.4 Výklad nového učiva


Odvodíme vzorce pro druhou mocninu dvojčlenů:

16y8y44.y.2y 222

1x6x911.x3.2)x3( 222

)d1).(d1(

22 yx

2)4y(

2)1x3(

2222 bab2abababab.ba.bb.aa.a)ba).(ba(

2)5( x2)1x2(

223 )x3x(

2)2b5,0(

25x10x55.x.2x 222

)5x3).(5x3(

)yx).(yx(

456222323 x9x6x)x3(x3.x.2)x( 1x4x411.x2.2)x2( 222

• Členy dvojčlenů vyjádříme písmeny a, b• Provedeme násobení jednoho dvojčlenu stejným dvojčlenem

222 bab2a)ba( 2222 bab2abababab.ba.bb.aa.a)ba).(ba( 222 bab2a)ba(

Podobně odvodíme vzorec pro třetí součin:2222 babababab.ba.bb.aa.a)ba).(ba( 22 ba)ba).(ba(

Tyto vzorce je třeba umět používat zleva doprava i zprava doleva. Bude to třeba v dalším probíraném učivu.

Řešené příklady:

1)

2)

3)

1)

2)

3)

4b2b25,022.b5,0.2)b5,0( 222

222 d1d1 25x95)x3( 222


40.5 Procvičení a příklady


1) 2)2k( 22 p9mp6m

4k4k 2

22 d16cd16c4

)2a).(2a(

2) 2)p3m(

1x6x9 24

2)d4c2(

22 )xxy2(

22 )1x3( 4322 xyx4yx4

2)5y4(

4a2 )1b4).(1b4(

ba

2

1.ba

2

1

1b16 2

2)v1,0u2,0( 64s64s16 2

2)3k(

22 ba4

1

9x12x433).x2.(2)x2()3x2( 2222 2222 x4x129)x2(x2).3.(2)3()x23(

9k6k 2 2)u5t2(

4236 qqp4p4

22 u25tu20t4 2)8s4(

22 v01,0uv04,0u04,0 223 )qp2(

222 )b3a4(

234 )yy3(

22 )x23()3x2(

22 )5,0a2()2,0a3(

3) )7m2).(7m2( 49m4 2 )6,0t).(6,0t(

x4,0

5

3.x4,0

5

3

36,0t2

2x16,025

9

4) Obtížnější úlohy:22 y16y4025)y45(

678233424 yy6y9)y(y).y3.(2)y3( 4224222222 b9ba24a16)b3(b3).a4.(2)a4(

2222 5,05,0.a2.2)a2(2,02,0.a3.2)a3(

25,0a2a404,0a2,1a9)25,0a2a4(04,0a2,1a9 2222

21,0a2,3a5 2

? Je pravda, že ?22 x4x1299x12x4

Ano, je to pravda.


40.6 Něco navíc pro šikovné


1) Vypočítej:)a3).(a3.(2)3a).(3a( 222222 a99aa2189a)a9.(29a

2) Vypočítej:)x1,0).(x101,0()x101,0( 2 x.x101,0.x10x.1,01,0.1,0)x10(x10.1,0.21,0 22

222 x90x9,202,0x10xx1,001,0x100x201,0 3) Vypočítej: 2)2yx(

Nápověda: yxa 2b 4y4x4yxy2x22.yx.2yx2yx)2yx( 222222

4) Vypočítej: 2)zyx3(

Nápověda: yx3a zb 2222222 zyz2xz6yxy6x9zz.yx3.2yx3zyx3)zyx3(

5) Odvoďme vzorce pro třetí mocninu dvojčlenů:

)ba).(bab2a()ba.()ba()ba).(ba).(ba()ba( 2223

3223322223 bab3ba3abab2baabba2a 32233 bab3ba3a)ba(

)ba).(bab2a()ba.()ba()ba).(ba).(ba()ba( 2223

3223322223 bab3ba3abab2baabba2a 32233 bab3ba3a)ba(


40.7 CLIL – Square of sum and differenceVocabulary

Druhá mocnina součtu – Square of sum Upravený vzorec – a modified formulaDruhá mocnina rozdílu – Square of difference Výsledek – resultČtverec – a square Kontrola – controlRozloha zahrady – an area of a garden Dvojčlen – binomialDosadit – substitute Zadání – An assignment

Exercise

Answer1) Generally the area of this garden is (x2-8x+16) metres.

The garden has a shape of a square. Its side measures (x-4) metres. 1) What is the area of this garden?2) What would its area be if x is 16 metres?

Solution

12416a

2)4x(S

2aS

16x

Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematics

An area of a square:

In our exercise:16x8xS 2

1) 2)

14412S 2 144161282561616.816S 2 Proof

2) If we substitute x = 16, the area of this garden is 144 m2.

If we substitute into an assignment or into the modified formula, results must be the same.


40.8 Test


Řešení: 1. d), 2. b), 3. d), 4. b), 5.b), 6.a), 7.a)

a) a2 + ab + b2 b) a2 + 2ab – b2 c) a2 – 9 d) 1 – 4x + 4x2

1. Který z následujících trojčlenů je druhou mocninou nějakého dvojčlenu?

3. Který výsledek je správný? (a + 3).(a – 3) – (a + 3)2 =

4. Který příklad má stejný výsledek jako (–a – b)2 ?

a) (a – b)2 b) (a + b)2 c) (– a + b)2 d) (a + b).(a – b)

5. Který výsledek je správný? (z4 – 0,1).(z4 + 0,1) =

a) z4 – 0,1 b) z8 – 0,01 c) z8 – 0,1 d) z4 – 0,01

2. Doplňte výraz tak, aby byl druhou mocninou dvojčlenu: ? + 12xy + 9y2

a) 4x b) 4x2 c) 2y2 d) 2x

6. Vyber výsledek příkladu:

7. Kolik je v kině celkem sedadel, když je v něm (x – 7) řad a v každé řadě (x + 7) sedadel?

a) b) c) d)

a) x2 – 49 b) x2 – 7 c) x – 7 d) x2 + 49

a) 6a – 18 b) 2a2 – 18 c) –6a + 18 d) –6a – 18

3

b

2

a.

3

b

2

a

9

b

4

a 22

3

b

2

a 22

9

b

4

a 22

3

b

2

a 22

Elektronická učebnice – II. stupeň Matematika

• http://rvp.cz/• F. Běloun a kol.: SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY PRO ZŠ, SPN 1993• Odvárko, Kadleček: MATEMATIKA 1 PRO 8. ROČNÍK ZŠ, Prometheus, 2000• Šarounová a kol.: MATEMATIKA 8 II. díl, Prometheus, 1999• Obrázky: http://www.google.cz/imghp?hl=cs&tab=wi


40.9 Použité zdroje, citace

http://rvp.cz/

http://rvp.cz/


Autor Mgr. Hana Jirkovská

Období 07 – 12/2011

Ročník 8. ročník

Klíčová slova Dvojčlen, vytýkání, druhá mocnina dvojčlenu

Anotace Prezentace popisující úpravu výrazů pomocí vzorců pro druhou mocninu dvojčlenu

40.10 Anotace

40.1 vzorce pro dvojčleny

Documents