제 5 장 이산 푸리에 변환 (A)

3 장과 4 장에서 이산 신호의 시간-영역 표현을 공부했다. 푸리에 변환은 절대 가합인 신호에 대해 주파수-영역(w) 표현을 제공하였다. z-변환은 임의의 신호에 대해 일반화된 주파수-영역(w) 표현을 제공하였다. 이 변환들은 두 가지 공통의 특징을 가지고 있다. 첫째, 변환이 무한 신호에 대해 정의된다. 둘째 그리고 가장 중요한 변환이 연속 변수(w 또는 z)의 함수이다. 수치 계산 관점에서, 셀 수 없을 정도로 무한한 주파수에서 무한 합을 계산해야 하므로 이 두 가지 특징은 문제가 많다. 이전의 두 장의 많은 예제에서 이와 같은 작업을 수행하였다. 계산은 분명히 정확한 계산값의 근사치이다. 즉, 이산시간 푸리에 변환과 z-변환은 수치적으로 계산될 수 있는 변환이 아니다. 그러므로 수치적으로 계산할 수 있는 변환에 주의를 기울이기로 한다. 이는 주파수 영역에서 이산시간 푸리에 변환(또는 단위 원위에서 z-변환)을 샘플링함으로써 얻을 수 있다. 먼저 주기적 신호를 분석함으로써 이 변환을 개발하려고 한다. 푸리에 해석으로부터 주기적 함수(또는 신호)가 항상 조화적인 관계가 있는 복소 지수함수(이것이 샘플링의 형태이다.)의 선형 조합으로 표현될 수 있는 것을 알고 있다. 이것은 이산 푸리에 급수(또는 DFS) 표현을 제공한다. 이 DFS에서는 신호의 푸리에 변환이나 z-변환에는 없는 정확한 쌍대성이 존재한다. 샘플링가 주파수 영역에 있는 것이므로, 시간 영역에서 샘플링의 영향과 z-영역에서 복원의 문제를 공부한다. 그리고 나서 DFS를 무한 신호로 확장하는데, 이는 이산 푸리에 변환(또는 DFT)이라고 불리는 새로운 변환으로 연결된다. DFT는 위에서 언급한 두 가지 문제를 피하고 컴퓨터로 구현하기에 적합한, 수치적으로 계산 가능한 변환이다. 우리는 이의 성질과 시스템 해석에서의 사용을 자세히 공부할 것이다. 긴 신호에 대한 DFT의 수치적 계산은 엄청난 시간이 걸린다. 그러므로 여러 가지 알고리즘이 효율적으로 DFT를 계산하기 위해 개발되어 왔다. 이들은 하나로 묶어서 고속 푸리에 변환(또는 FFT) 알고리즘으로 부른다. 이 중에서 두 가지 알고리즘을 자세히 공부할 것이다. 이 장의 마지막 부분에서는 CEMTool을 이용하여 이산시간 푸리에 변환을 표현하고 구현하였다.

5.1 이산 푸리에 급수

2장에서 주기적 신호를 다음 조건을 만족하는 로 정의했다.

여기서 N은 신호의 기본 주기이다. 3장에서는 주기성이 없는 임의의 신호에 관하여 이산 시간 푸리에 변환을 다루었다. 만약 신호에 (5.1)과 같은 주기성이 있으면 더 쉽게 다룰 수가 있다. 주기 신호에 대해서는 한주기의 신호를 알면 전부알 수 있으므로 한주기의 N개만의 신호가 반복

되는 것이다. 이 경우 주파수가 기본주파수 의 배수인 복소지수함수 신호의 선형합으로 합성될 수 있다는 사실을 쉽게 보여줄 수가 있다.

여기서 c(k)는 임의의 계수이다. 그런데 복소지수함수 신호는 k에 대하요 주기성 (이 경우 주기 N)이 있으므로 위의 식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 는 아직 미지의 함수라고 가정할 수 있으며 다음과 같이 구할 수

있다. 주기수열 으로부터 미지의 계수 를 계산하기 위해서, 지수수열의

직교성을 알아야한다. 식 (5. 2)의 양변에 정수 r에 대해 을 곱하고 n=0부터 N-1까지 합을 취하면 다음을 얻는다.

위식에서 오른쪽항의 합산 순서를 바꾸면 다음과 같이 표현된다.

복소 지수수열의 직교성은 다음과 같이 알려져있다.

이것을 식 (5.3)에 적용하면 을 다음과 같이 구할 수 있다.

를 이산 푸리에 급수(Discrete Fourier Series : DFS)라 부르고 으로부터 다음과 같이 주어진다.

은 자체가 다음과 같이 N와 같은 기본 주기를 가진 (복소수) 주기적 신호임을 주목하라.

식 (5.2)과 (5.4) 은 같이 주기적 신호의 이산 푸리에 급수 표현이라고 불린다. 복소

지수함수 항을 표시하기 위해 을 사용하여, (5.4)를 다음과 같이 표현하였다.

식 (5.2)를 역 이산 푸리에 급수 (Inverse Discrete Fourier Series : IDFS)라고 부르며 다음과 같이 표현된다.

푸리에 급수 계산시 유한 개수가 있어 계산이 용이함을 주목하라. ? 예제 5.1 아래에 주어진 주기적 신호의 DFS 표현을 구하라.

위 신호의 기본 주기는 N=4 이다. 따라서 이다. 이제

따라서

마찬가지로,

(5.6), (5.7)를 자세히 보면 DFS가 수치적으로 계산할 수 있는 표현임을 알 수 있다.

각각 x(n)와 X(k) 신호의 기본 주기에 해당하는 열 벡터를 표시한다고 하자. 그러면 (5.6), (5.7)는 다음과 같이 주어진다.

여기서 행렬 다음과 같이 주어진다.

행렬 정방형 행렬이고 DFS 행렬이라 불린다. ? 예제 5.2 주기적 "구형파" 신호가 다음과 같이 주어진다. 다음은 CEMTool 로 계산된 결과입니다. 예제 5.2의 해답 CEMTool>> L = 5; N = 20; k = [ -N/2:N/2]; /* Sq wave parameters */ CEMTool>> xn = [ones(1,L), zeros(1,N-L)]; /* Sq wave x(n) */ CEMTool>> Xk = dfs(xn,N); /* DFS */ CEMTool>> magXk = abs([Xk(N/2+1:N) Xk(1:N/2+1)]); /* DFS magnitude */ CEMTool>> subplot(2,2,1); stem(k,magXk); CEMTool>> xtitle("k"); ytitle("Xtilde(k)"); CEMTool>> title("DFS of SQ. wave: L=5, N=20");

여기서 m=0, ±1, ±2, … 이고 N은 기본 주기이고 L/N은 의무 주기(duty cycle)이다.

L=5, N=20 에 대한 이 신호는 그림 5.1과 같이 도시된다.

그림 5.1 주기적 구형파 신호 a. 분석 식 (5.4) 을 적용하여

마지막 단계는 2장의 기하 신호의 합 공식 (2.5)에서 나온다. 마지막 표현은 다음과 같이 간단히 간략화된다.

또는 의 크기는 다음과 같이 주어진다.

b. L=5, N=20이 아닌 모든 경우의 그림은 그림 5.2에 도시하였다. 가 주기적이므로 그림은 -N/2부터 N/2까지 도시되어 있음을 주목하라. c. 그림 5.2 로부터 여러 가지 흥미로운 관찰을 할 수 있다. 구형파의 DFS 계수의 포락선(envelop)은 "sinc" 함수처럼 보인다. k=0에서 크기는 L와 같은 반면, 함수의 영점은 N/L의 배수에 있는데, 이는 의무 주기의 역수이다. 이 함수를 이 장의 뒷부분에서 공부할 것이다. ¦

그림 5.2 다양한 L과 N에 대한 주기적 구형파의 DFS 그림

다음은 MatLab 으로 계산된 결과입니다. 예제 5.2의 해답

>> L = 5; N = 20; k = [-N/2:N/2]; % Sq wave parameters >> xn = [ones(1,L), zeros(1,N-L)]; % Sq wave x(n) >> Xk = dfs(xn,N); % DFS >> magXk = abs([Xk(N/2+1:N) Xk(1:N/2+1)]); % DFS magnitude >> subplot(2,2,1); s tem(k,magXk); axis([-N/2,N/2,-0.5,5.5])

>> xlabel('k'); ylabel('Xtilde(k)') >> title('DFS of SQ. wave: L=5, N=20')

그림: 다양한 L 과 N 에 대한 주기적 구형파의 DFS 그림

z-변환과의 관계

x(n)이 다음과 같은 N만큼 지속되는 유한 신호라 하자.

식 (5.10)은 주기 신호가 아님을 주목하다. 그러면 이의 z-변환을 구할 수 있다.

이제 식 (5.10)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

의 DFS는 다음과 같이 주어진다.

이것을 (5.12)와 비교하여 다음을 얻는다.

이는 DFS 가 단위원 위에서 z-변환 X(z)의 N개의 같은 간격을 가진 샘플을 표현한다는 것을 의미한다.

DTFT 와의 관계

(5.10)의 x(n)이 길이 N의 유한 신호이므로, 이것 역시 절대 가합이다. 따라서 이의 DTFT는 존재하고 다음과 같이 주어진다.

(5.15)을 (5.13)과 비교하여, 다음을 얻는다.

다음을 가정하면,

DFS 이고, 이는 DFS가 의 간격을 가지고 DTFT를 균일하게 샘플링함으로써 얻어진다는 것을 의미한다. (5.14)와 (5.16)로부터 관찰할 수 있는 것은 DFS 표현은 우리에게 주파수 영역에서의 샘플링 기법을

제공하는데, 이는 원칙적으로 시간 영역에서의 샘플링과 비슷하다. 간격 은 주파수 영역에서의 샘플링 간격이다. 이는 주파수 샘플(또는 측정치)이 얼마나 가까이 있는지 알려주므로 또한 주파수 분해능(resolution)이라고도 부른다. ? 예제 5.3 x(n) = {0,1,2,3}. 라 하자. ?

a. 이의 이산시간 푸리에 변환 을 계산하라.

신호 x(n)은 주기적이 아니지만 유한 신호이다. a. 이산시간 푸리에 변환은 다음과 같이 주어진다.

b. k=0,1,2,3 에서 샘플링하여 예상한 것처럼 다음을 얻는다.

이산 푸리에 급수의 성질 서 기본적인 중요성을 가지고 있다. 기본적인 여러 특성들이 z변환과 푸리에 변환등의 특성과 거의 동일하다는 점은 그다지 놀라운 사실은

아니지만 과 의 주기성이 중요한 특징을 나타낸다는 점에 유의해야한다. 게다가, 신호의 푸리에 변환이나 z변환에 없는 정확한 쌍대성이 DFS쌍에는 존재한다. 1. 선형성: DFS는 선형 변환이다. 즉 모든 a₁,a₂,x₁(n), x₂(n)에 대하여 다음을 만족한다. 두 개의 신호 x₁(n)과 x₂(n)을 선형결합한 DFS는 각각의 DFS의 선형결합과 같다.

위의 결과는 다음 증명으로 설명된다.

이러한 선형성은 식 (5.6)과 (5.7)로부터 쉽게 확인된다.

2. 신호의 이동: 주기 신호 의 푸리에 계수가 라고 하면, 의

푸리에 계수는 가 주파수 영역에서 이동(shift)한 것이 되며 다음과 같다.

위의 결과는 다음 증명으로 설명된다.

에서 r=n-m 로 치환하면

을 얻는다. 여기서 역시 주기 N인 주기수열 이므로, 이전의 합에서 얻은 값들은 정확하게 r=0,1, … ,N-1일 때 얻은 합과 같다. 합에 이들을 사용하면

3. 주파수 이동: 주기신호의 푸리에 계수도 주기신호를 이루기 때문에 비슷한 결론이 푸리에 계수에 적용된다. 이를 정수 l을 사용하여 수식으로 표시하면 다음과 같다.

위의 결과는 다음 증명으로 설명된다.

식 (5.17)과 식 (5.18)에서 지수부분의 부호는 서로 반대이다.

4. 쌍대성: 식 (5.6) 과 식 (5.7)로부터, DFS 해석방정식과 합성방정식이 서로 다른

점은 비례상수 1/N과 의 지수의 부호이다. 이와 더불어, 주기신호와 그의 DFS계수는 서로 같은 종류의 함수 형태이다. 즉 그들은 모두 주기신호이다. 식(5.6)과 식

(5.7)에서 1/N과 의 지수의 부호를 고려할 때 식 (5.7)로부터 다음과 같이 쓸수 있다.

여기서 n과 k를 교환하면,

식 (5.20)는 식 (5.6)과 대단히 비슷한 형태이다. 다른 말로 표현하면, 주기신호

의 DFS계수는 역시 주기신호로서 이며 원래의 신호를 반대의 순서

로 배열하고 N을 곱한 결과와 같다. 이 쌍대성을 요약하면 다음과 같다. 만약 에 관해서

이면,

이다. 5. 복소 켤레성:

위의 결과는 다음 증명으로 설명된다.

이 성질로부터 다음과 같은 두 가지 식을 유도할 수 있다.

6. 실수 신호의 대칭성: x(n)가 실수 신호라 하자. 그러면 이다. 위 성질을 이용하여

이 대칭은 켤레 대칭성이라 부른다. 이는 다음을 암시한다.

이들은 다음과 같이 정의되는 순환-우함수와 순환-기함수 성분으로 부른다. 또한 실수 신호은 다음과 같이 우함수 부분과 기함수 부분으로 분해될 수 있다.

여기에서

그러면, 다음의 푸리에 급수식이 성립한다.

위의 결과는 다음 증명으로 설명된다.

를 다음과 같이 실수부와 허수부로 나타낼 수 있다.

그러면 로부터 다음과 같은 식이 성립한다.

따라서

다시말하면, 실수 신호일 경우 그 푸리에 변환의 실수부는 우함수 이고 허수부는 기

함수이다. 같은 방법으로 를 극좌표형식으로 표현하면

따라서

이는 크기 는 ? 의 우함수이고 위상 는 ? 의 기함수이다. 따라서, 다음의 푸리에 급수식이 성립한다.

7. 주기적 콘벌루션: 주기가 인 두 개의 주기신호 에 대한 주기적 콘벌루션의 DFS는 다음과 같다.

위의 결과는 다음 증명으로 설명된다.

다음과 같이 의 주기적 콘벌루션으로 표시되는 주기신호 을 생각한다.

변환에 관한 앞에서의 경험으로부터, 주파수 함수를 곱하는 것은 시간영역에서 콘벌

루션하는 것에 대응한다는 사실을 알기 때문에 위의 결과를 새롭게 보이는 것이 아

니며, 또한 식 (5.22)는 콘벌루션합과 똑같게 보이는 것이다. 식 (5.22)는 과

을 곱해서 다시 합하는 것이다. 여기서, 은 비주기 이산 콘벌

루션에서와 같이 을 시간에 따라 반대순서로 한 다음 이동시킨 신호이다. 그렇지만, 식 (5.22)에서 모든 신호는 주기를 N으로 갖는 주기신호이고 합은 한 주기에 걸쳐 행하여 진다. 식 (5.22)의 형태인 콘벌루션을 주기 콘벌루션 (periodic convolution)이라고 부른다. 비주기 콘벌루션과 같이, 주기 콘벌루션도 교환법칙이 성립한다. 즉,

식 (5.21)로 주어진 가 식 (5.22)로 주어진 의 푸리에 계수임을 증명하기 위해서, 먼저 식 (5.5)에 있는 DFS해석 방정식을 식 (5.7)에 적용한다. 즉,

여기서 덧셈의 순서를 바꾸어 표시하면 다음과 같다.

안쪽의 합은 n에 관한 것으로서 이동된 신호 의 DFS이다. 앞에서 설명한 신호의 이동성질에 의하면

이고, 이것을 식 (5.23)에 대입하면

을 얻는다. 따라서 다음과 같은 결론을 얻는다.

주기신호의 주기 콘벌루션은 각각의 푸리에 급수의 계수로 이루어지는 신호의 곱에 대응한다. 8. 곱셈: 이는 위에서 설명한 주기적 콘벌루션 성질의 쌍대(dual)이다.

이미 설명한 쌍대성 정리에 의하면, 시간변수와 주파수 변수의 역할을 서로 교환하였을 대 앞에서 얻은것과 같은 결과를 얻을 수 있음을 알 수 있다. 식 (5.25)는

의 주기적 콘벌루션에 1/N을 곱한 것이다. 9. 파시발(Parseval's)의 관계: 이 관계는 주파수 영역에서 에너지를 계산한다.

은 전력(power) 스펙트럼이라 불린다. 위에서 설명한 이산 푸리에 급수 표현의 성질을 표 5.1에 요약해서 나타내었다.

표 5.1 DFS의 특성