- 1 -

7.1 라 라스 변환

7.1.1 라 라스 변환 정의

◎ 연속 신호 x(t)에 한 라 라스 변환

: 특정 x( t)에 하여 연속 시간 푸리에 변환에 한 결과가 발산하여

X(f)가 존재하지 않는 경우가 발생

: 이러한 연속 시간 푸리에 변환의 한계를 극복하고 보다 효율 으로 시스템의

동작을 분석하기 하여 라 라스 변환(Laplace transform)을 도입

X(s)=⌠⌡

∞

-∞x(t)e - s tdt (7.1)

여기서, 변수 s는 s=σ+ jΩ로 주어지는 복소 변수이고,

Ω=2πf의 계를 가짐

- 2 -

그림 7.1 라 라스 변환의 그래 s- 역

⇒ X(s)는 σ축과 Ω축을 가지는 2차 공간(복소 공간)에서 정의되는 3차원 그래

⇒ σ축과 Ω축으로 구성된 2차 공간을 s- 역 는 s-평면(s-domain)이라 함

⇒ 식 (7.1)의 라 라스 변환 공식과 연속 시간 푸리에 변환 공식인 식 (4.19)와

비교하면 라 라스 변환 에서 특히 σ=0인 역(즉, s= jΩ)에서의

X(s)값은 x( t)의 연속 시간 푸리에 변환과 동일

◎ x( t)의 라 라스 변환

X(s) = L{x( t)}

x( t) ←→L

X(s)

- 3 -

[ 제 7.1] x( t)=e 2tu(t)의 연속 시간 푸리에 변환과 라 라스 변환을 구하여보자.

그림 7.2 x(t)= e 2tu(t) 신호와 라 라스 변환의 ROC

(풀이) 그림 7.2(a)에서 x( t)를 연속 시간 푸리에 변환 공식에 그 로 입하면

분이 발산을 하여 연속 시간 푸리에 변환이 존재하지 않는다.

X(Ω)=⌠⌡

∞

0e 2te - jΩtdt=⌠

⌡

∞

0e ( 2- jΩ)tdt=

12- jΩ

e 2te - jΩt|∞

0

=∞

동일한 신호에 해서 라 라스 변환을 구하면

- 4 -

X(s) =⌠⌡

∞

0e 2te - stdt=⌠

⌡

∞

0e ( 2- s)tdt

=1

2- se ( 2- σ)te - jΩt|

∞

0=

1s-2

if 2-σ < 0

즉, 2-σ< 0인 조건이 주어지면 X(s)값이 존재하므로

체 s- 역 에서 2< σ 역에서는 x( t)를 분석할 수 있다.

풀이 과정에서 실수 a 에 하여 e at| t=∞ ≠∞일 조건이 a < 0이고,

모든 Ω 에 하여 e jΩt| t=∞ ≠∞인 성질을 이용하 다.

◎ 라 라스 변환의 수렴 역(region of convergence: ROC)

: 라 라스 변환을 구할 때 분이 발산하지 않을 s 의 조건

(특히, Re{s} 는 σ의 조건)

: 그림 7.2(b)와 같이 ROC는 s - 역에서 빗 으로 표시하고

σ=2의 경계선은 ROC에 포함되지 않으므로 선으로 표시

: ROC는 Ω 값에 계없고 항상 σ에 한 조건만으로 주어짐

- 5 -

[ 제 7.2] 그림 7.3(a)의 x( t)=-e 2tu(-t)의 라 라스 변환을 구하여보자.

그림 7.3 x(t)=- e 2tu(-t) 신호와 라 라스 변환의 ROC

(풀이)

X(s) =-⌠⌡

0

-∞e 2te - stdt=-⌠

⌡

0

-∞e ( 2- s)tdt=

-12- s

e ( 2- σ)te - jΩt|0

-∞

=1s-2

if 2-σ>0

- 6 -

제 7.1과 비교하면, 서로 다른 x( t)에 하여 동일한 X(s)가 나온다.

그러나, 각각의 ROC가 σ> 2와 σ< 2로 서로 다르므로 두 라 라스 변환의

결과는 분명히 다른 결과이고, 이로부터 라 라스 변환은 X(s)뿐만 아니라

ROC도 반드시 포함하여야 하는 것을 알 수 있다.

일반 으로 라 라스 변환 결과는 아래와 같은 형태로 표시한다.

X(s)=1s-2

, ROC : Re{ s} < 2

◎ 이상의 제를 일반화하면

e - atu(t) ←→L

1s+a

, ROC : {s} >Re{-a}

-e - atu(-t) ←→L

1s+a

, ROC : {s} <Re{-a}

(7.2)

- 7 -

[ 제 7.3] 그림 7.4(a) x(t)= e -2 | t | 의 라 라스 변환을 구하여보자.

그림 7.4 x(t)= e -2 | t | 신호와 라 라스 변환의 ROC

- 8 -

(풀이) 주어진 신호를 개하면 x( t)=e -2tu(t)+e 2tu(-t)이 되고

X(s) =⌠⌡

0

-∞e 2te - stdt+⌠

⌡

∞

0e -2te - s tdt

=1

2-se ( 2- σ)te - jΩt|

0

-∞+

-12+s

e -( 2+ σ)te - jΩt|∞

o

=-1s-2

+1s+2

if 2-σ> 0 and 2+σ>0

두 분이 모두 수렴하여야 체 X(S)가 존재하므로 ROC는

각 분의 수렴 조건의 공통 역이 되어 -2< σ<2가 되며

그림으로 표시하면 그림 7.4(b) 된다.

- 9 -

[ 제 7.4] 그림 7.5 x(t) = e 2| t | 신호의 라 라스 변환을 구하여보자.

그림 7.5 x(t) = e 2| t | 신호

(풀이)

X(s) =⌠⌡

0

-∞e -2te - stdt+⌠

⌡

∞

0e 2te - s tdt

=1

-2-se (-2- σ)te - jΩt|

0

-∞+

12-s

e ( 2- σ)te - jΩt|∞

o

=-1s+2

+1s-2

if σ<-2 and σ>2

그러나 각 분이 동시에 수렴하는 공통 역이 없으므로 ROC는

공집합이 되고 X(s)는 존재하지 않는다.

- 10 -

7.1.2. 수렴 역의 성질

표 7.1 신호의 존재 역과 ROC의 계

x( t)의 존재 역 ROC의 형태

u< t< v 역에서만 x( t) 존재

(유한 역 신호)모든 s- 역

t>a 역에서만 x( t) 존재

(우측 신호, right-sided signal)

Re{s}> b

(s-평면의 오른쪽 역)

t< c 역에서만 x( t) 존재

(좌측 신호, left-sided signal)

Re{s}<d

(s-평면의 왼쪽 역)

x( t) -∞부터 ∞까지 존재

(양측 신호, two-sided signal)

e<Re{s} <h

(s-평면의 수직띠 역 는 공집합)

- 11 -

그림 7.6 신호의 존재 역과 ROC 계

- 12 -

7.2 라 라스 변환의 성질

(1) 선형성

: X1(s)=L{x1(t)}, X2(s)=L{x2(t)}라 하면, 임의의 상수 a 1, a 2에 하여

x( t)=a 1x 1(t)+a 2x2(t) ←→L

X(s)=a 1X1(s)+a 2X2(s)가 성립한다.

이때, X(s)의 ROC는 X1(s)의 ROC와 X2(s)의 ROC의 교집합을

포함하는 역이 된다.

- 13 -

[ 제 7.5] x( t)= cos(Ω 0t)u( t)의 라 라스 변환을 구하여보자.

(풀이) 오일러 공식에 의하여 x( t)= 12ejΩ 0tu(t)+

12e

- jΩ 0tu(t)와 같이

두 개의 신호로 분해되고 식 (7.2)를 이용하여 각 신호의

라 라스 변환을 구하고 선형 성질을 이용하여 더하면 된다.

12ejΩ otu(t) ←→

L 12

1s-jΩ o

, ROC : Re{s} > 0

12e

- jΩ otu(t) ←→L

12

1s+jΩ o

, ROC : Re{s} > 0

cos(Ω ot)u( t) ←→L

12

1s-jΩ o

+12

1s+jΩ o

=s

s 2+Ω2o

ROC : Re{s}> 0

동일한 방법으로 사인 신호에 한 라 라스 변환은 다음과 같다.

sin(Ω ot)u( t) ←→L

Ωo

s 2+Ω2o

, ROC : Re{s} > 0

- 14 -

(2) 시간 이동 성질

: x( t)를 시간 축에서 a 만큼 이동시킨 x( t-a)의

라 라스 변환은 e-asX(s)가 되고 ROC는 변하지 않는다.

x( t-a) ←→L

e- asX(s), ROC : X( s)의 ROC

- 15 -

[ 제 7.6] 그림 7.7(a)에 주어진 x( t)=e-( t-1)u(t-1)의 라 라스 변환을

두 가지 방법으로 구하여보자.

그림 7.7 x(t)= e -( t-1)u(t-1) 신호와 라 라스 변환의 ROC

- 16 -

(풀이) 먼 , 공식에 직 입하여 구하면

X(s) =⌠⌡

∞

1e-( t-1)e- stdt=⌠

⌡

∞

1e 1e -( 1+ s)tdt

=-e 1

s+1e -( 1+ σ)te - jΩt|

∞

1

=e 1

s+1e -( 1+ s) if 1+σ> 0

=e- s

s+1 if Re{s} >-1

다음, 시간 이동 성질을 이용하면 y( t)= e- tu(t)라 할 때

x( t)= y( t-1) 이므로 동일한 결과가 나온다.

X(s)= e- sY(s)=e- s

s+1, ROC : Re{s} >-1

- 17 -

(3) s- 역 이동 성질

: X(s)를 s- 역에서 a 만큼 이동시킨 X(s-a)에 응하는

시간 역 신호는 다음과 같다.

eatx(t) ←→L

X( s-a), ROC : X( s)의 ROC를 a 만큼 이동

- 18 -

[ 제 7.7] 그림 7.8(a)의 x( t)=e-2tcos(Ω 0t)u(t)의 라 라스 변환을 구하여보자.

(풀이) s- 역 이동 성질을 이용하면

코사인 신호의 라 라스 변환을 s- 역에서 -2 만큼 이동시키면 된다.

cos(Ω ot)u( t) ←→L

s

s 2+Ω2o

, ROC : Re{s} > 0

e-2tcos(Ω ot)u( t) ←→L

s+2

(s+2)2+Ω2o

, ROC : Re{s} >-2

그림 7.8 라 라스 변환을 한 신호

- 19 -

(4) 척도 조

: x( t)에 한 라 라스 변환을 X(s)라 하고 ROC를 R 이라 할 때,

시간 역 s- 역에서의 척도 조 성질은 다음과 같다.

x(at) ←→L

1|a|X(sa), ROC : R을 a 만큼 척도 조절

(5) 미분 성질

: x( t)에 한 라 라스 변환을 X(s)라 할 때, 다음 성질을 가진다.

dx( t)dt

←→L

sX( s), ROC : X( s)의 ROC를 포함

- tx( t) ←→L

dX( s)ds,

ROC : X( s)의 ROC

- 20 -

[ 제 7.8] 그림 7.8(b)의 x( t)= te- tu(t)의 라 라스 변환을 구하여보자.

(풀이) 이 식을 라 라스 변환 공식에 직 입하면 매우 복잡한 분 계산이

필요하지만 미분 성질을 이용하면 쉽게 X(s)를 구할 수 있다.

e- tu(t) ←→L

1s+1

, ROC : Re{s} >-1

te- tu(t) ←→L

-dds

1s+1

=1

(s+1)2, ROC : Re{s} >-1

- 21 -

(6) 컨벌루션 성질

: x1(t), x2(t)의 라 라스 변환이 각각 X1(s), X2(s)이고

ROC를 R1, R2라 할 때,

x 1(t)*x 2(t) ←→L

X 1(s)X 2(s), ROC : R 1∩R 2를 포함

이 성질을 이용하면 그림 7.9와 같이 연속 LTI 시스템의 출력을

쉽게 구할 수 있다.

그림 7.9 라 라스 변환의 컨벌루션 성질을 이용하여 연속 LTI 시스템의 출력을 구하는 과정

- 22 -

◎ 주요 신호의 라 라스 변환 계

표 7.2 주요 신호의 라 라스 변환

x( t) X(s) ROC

δ( t) 1 All s

u( t)1s

Re{s} > 0

-u(- t)1s

Re{s} < 0

e- atu(t)1

(s+a)Re{s} >-a

-e- atu(-t)1

(s+a)Re{s} <-a

tn-1

(n-1)!e- atu(t)

1

(s+a)nRe{s} >-a

-t n-1

(n-1)!e- atu(-t)

1

(s+a)nRe{s} <-a

- 23 -

표 7.2 주요 신호의 라 라스 변환(계속)

x( t) X(s) ROC

cos(Ω ot)u( t)s

s 2+Ω2o

Re{s} > 0

sin(Ω ot)u( t)Ωo

s 2+Ω2o

Re{s} > 0

e- atcos(Ω ot)u( t)s+a

(s+a) 2+Ω2o

Re{s} >-a

e- atsin(Ω ot)u( t)Ωo

(s+a) 2+Ω2o

Re{s} >-a

- 24 -

7.3 라 라스 역변환

◎ 라 라스 역변환 공식

: 이 분은 복소 분으로서 우리가 이해하기 매우 어려운 내용이므로

여기서는 다루지 않음

: 앞에서 구하 던 라 라스 변환 결과를 이용하여 라 라스 역변환을

구하는 방법을 배움

x(s)=1j2π

⌠⌡

σ+ j∞

σ- j∞X(s)estds

- 25 -

[ 제 7.9] X(s)=1

(s+1)(s+2) , Re{s}>-1에 한 x( t)를 구하여보자.

(풀이) 먼 , X(s)=As+1

+Bs+2

가 되도록 상수 A, B를 구하면

As+1

+Bs+2

=A(s+2)+B(s+1)

(s+1)(s+2)=

(A+B)s+(2A+B)(s+1)(s+2)

=1

(s+1)(s+2)

A+B=0, 2A+B=1

연립방정식을 풀면 즉, A=1, B=-1이 되고 X(s)=1s+1

-1s+2

이 된다.

- 26 -

다음, 라 라스 변환의 선형 성질을 이용하면 각 항의 역변환을 구하여

더하면 되고, 주어진 ROC과 표 7.2를 이용하여 각 항의 역변환을 구하면,

1s+1

←──→L-1

e- tu(t)

-1s+2

←──→L-1

-e-2tu(t)

최종 으로, x( t)=e- tu(t)-e-2tu(t)가 된다.

여기서, X(s)를 As+1

과 Bs+2

의 두 개의 항으로 분리시킨 이유는

각 항의 라 라스 역변환을 이미 알고 있기 때문이며, 이와 같이 역변환이

가능한 형태의 합으로 X(s)를 분리시키는 것이 요한 과정이다.

- 27 -

[ 제 7.10] X(s)=s+1

s 2+5s+6, -3<Re{s}<-2에 한 라 라스 역변환을

구하여보자.

(풀이) 제 7.9과 같이 X(s)를 역분해 가능한 형태로 분해하기 하여

먼 분모를 s 에 하여 인수 분해하여 (s+2)(s+3)를 구하고

다음과 같이 개한다.

X(s) =s+1

(s+2)(s+3)=

As+2

+Bs+3

=(A+B)s+(3A+2B)

(s+2)(s+3)

A+B=1, 3A+2B=1

A=-1, B=2가 되고 X(s)=-1s+2

+2s+3

이므로 주어진 ROC인

-3<Re{s}<-2와 표 7.2에 의하여 x( t)=e-2tu(-t)+2e-3tu(t)가 된다.

- 28 -

[ 제 7.11] X(s)=s

s 2-2s+1 , Re{s}> 1일 때 라 라스 역변환을 구하여보자.

(풀이) 분모를 인수 분해하면 (s-1) 2가 되고, 이 경우에 X(s)는

X(s)=A

(s-1)2+

B(s-1)

의 형태가 되어야 한다.

즉, 각 인수에 하여 최고차 항부터 1차 항까지 모두 포함하여야 한다.

A

(s-1)2+

Bs-1

=A+B(s-1)

(s-1)2=Bs+(A-B)

(s-1)2=

s

(s-1)2

B=1, A-B=0 X(s)=1

(s-1)2+

1s-1

ROC가 Re{s}> 1 이므로 x( t)= te tu(t)+etu(t)이다.

- 29 -

[ 제 7.12] X(s)=2s 2+9s+11

s 2+4s+4, Re{s}>-2의 라 라스 역변환을 구하여보자.

(풀이) 먼 , 분자와 분모의 차수가 같으므로 나 기 동작을 통하여

분자의 차수를 작게 하는 과정이 추가로 필요하다.

X(s) =2+s+3

(s+2)2=2+

A

(s+2)2+

Bs+2

=2+Bs+(A+2B)

(s+2)2

B=1, A+2B=3 → A=1, B=1

와 같이 분해되어 x( t)=2δ( t)+ te-2tu(t)+e-2tu(t)가 된다.

- 30 -

[ 제 7.13] X(s)=3s 2-s2+1

(s 2+1)(s-1), 0<Re{s}< 1의 라 라스 역변환을

구하여보자.

(풀이)Ω

0

s 2+Ω20

는 s

s 2+Ω20

의 라 라스 역변환을 이미 알고 있으므로

분모의 (s 2+1)항은 더 이상 인수분해 하지 않고 다음과 같이 개한다.

X(s)=A

s 2+1+

Bs-1

=Bs 2+As+(B-A)

(s 2+1)(s-1)

B=3, A=-2, B-A=1

그러나, 이와 같은 A, B는 존재하지 않으므로 다음 개를 시도한다.

- 31 -

X(s)=As

s 2+1+

Bs-1

=(A+B)s 2-As+B

(s 2+1)(s-1)

A+B=3, A=2, B=1

이것을 만족하는 A와 B가 존재하므로 이로부터 역변환을 구할 수 있다.

주어진 ROC가 0부터 1이므로 첫 항은 우측 신호이고

둘째 항은 좌측 신호가 되어 x( t)=2cos(t)u( t)-etu(-t) 이다.

- 32 -

[ 제 7.14] x( t)= e- tu(t)가 임펄스 응답 h( t)= e-2tu(t)를 가지는 시스템에

입력될 때 출력 신호를 두 가지 방법으로 구하여보자.

(풀이) 먼 두 신호 사이의 컨벌루션을 통하여 출력 신호를 구하면 다음과 같다.

y( t) = x( t)*h( t)=⌠⌡

∞

-∞x(t-τ)h(τ)dτ

=⌠⌡

∞

-∞e-( t- τ)u(t-τ)e-2τu(τ)dτ

= e- t⌠⌡

∞

-∞e-

τu(τ)u(t-τ)dτ

= e- t⌠⌡

t

0e-

τdτ, if t> 0

= e- t(1-e- t ), if t> 0

= e- t-e-2t, if t> 0

= (e- t-e-2t )u( t)

u(τ)u( t-τ)≠0 인

구간만 분하면 된다.

t< 0 이면 항상

u(τ)u( t-τ)=0 이므로

이 조건이 필요하다.

- 33 -

다음 라 라스 변환을 이용하여 출력 신호를 구하면,

각 신호의 라 라스 변환이

X(s)=1s+1

, Re{s} >-1

H(s)=1s+2

, Re{s} >-2

가 되고, 그 결과 Y(s)= 1(s+1)(s+2)

, Re{s})> -1이 되며,

출력 신호는 제 7.9에 의하여 y( t)=e- t u(t)-e-2tu(t)이 된다.

두 결과는 당연히 동일하다.

- 34 -

7.4 라 라스 변환을 이용한 시스템 분석

◎ 연속 LTI 시스템을 정의하고 동작을 분석하는 방법

① 시간 역에서의 시스템 분석 방법

: 임펄스 응답 h( t)로 시스템을 정의하고 입력신호와 h( t)의

컨벌루션 연산으로 출력신호를 구하는 방법

: 임펄스 응답 h( t)와의 컨벌루션 연산은 수학 으로 명확하게 정의되므로

분을 통하여 출력신호를 구할 수 있음

: 단순히 수학 인 계산일 뿐이며 시스템이 구체 으로 어떤 물리 인

동작을 실행하는지 알려주지 못함

: 로써, h( t)= e - tu(t)인 시스템에서 입력신호가 구체 으로 어떠한

동작에 의하여 출력으로 나오는지 알기 어려운 문제 이 있음

- 35 -

② 주 수 역에서의 시스템 분석 방법

: 주 수 응답 H(f)로 시스템을 정의하고 입력신호의 스팩트럼 X(f)와

H(f)의 곱을 통하여 출력신호의 스팩트럼을 구하는 방법

: H(f)는 시스템의 주 수별 이득을 의미하는데 복잡한 H(f) 식이

주어질 때 |H(f)|의 주 수별 이득 분포를 구하는 것이 쉽지 않음

- 36 -

7.4.1 시간 역에서의 시스템 분석

◎ 시간 역에서의 연속 시스템 분석

: 라 라스 변환을 이용하여 연속 시스템을 분석하면 보다 구체 으로

시간 역에서의 동작을 볼 수 있음

: 시스템의 임펄스 응답이 h( t)= e- tu(t)일 때, H(s)=1s+1

, Re{s} >-1이 되며

라 라스 변환의 컨벌루션 성질에 따라 Y(s)=X(s)H(s)가 됨

Y(s) =X(s)s+1

(s+1)Y(s) =X(s)

sY(s)+Y(s) =X(s)

(7.3)

- 37 -

: 식 (7.3) 체에 라 라스 역변환을 용하고 미분 성질을 이용하면

L-1{sY(s)+Y(s)} =L-1{X(s)}

L-1{sY(s)}+L-1{Y(s)} = x( t)

dy( t)dt

+y( t) = x( t)

: 최종 으로 미분 방정식으로 입출력 계가 설명되고

시간 역에서의 시스템 블럭도(block diagram)는 그림 7-10(a)가 됨

y( t)= x( t)-dy( t)dt

(7.4)

- 38 -

◎ 그림 7-10(b)와 같이 컨벌루션으로 출력을 구하면

: 이론 으로 이 식은 식 (7.4)와 동일한 의미를 가지지만 식 (7.4)가 의미하는

시스템 동작을 알려주지는 못한다.

y( t) = x( t)*h( t)=⌠⌡

t

-∞x(τ)e-( t- τ)dτ= e- t⌠⌡

t

-∞x(τ)e

τdτ

◎ 시간 역에서의 시스템의 블럭도(block diagram)

그림 7.10 연속 LTI 시스템 동작을 표 하는 두 가지 방법

- 39 -

[ 제 7.15] 달 함수 H(s)=s+2

s 2+s-1를 가지는 시스템의 입출력 계를

미분 방정식으로 표 하고 체 시스템 동작을 블럭도로 그려보자.

(풀이)

Y(s)=X(s)( s+2

s 2+s-1 ), (s 2+s-1)Y(s)=(s+2)X(s)

d 2y(t)

dt 2+dy( t)dt

-y( t)=dx( t)dt

+2x( t)

y( t)=-dx( t)dt

-2x( t)+d 2y(t)

dt 2+dy( t)dt

그림 7.11 제 7.15 시스템 동작의 블럭도

- 40 -

◎ 시스템의 입출력 계가 미분 방정식으로 주어질 때,

시스템의 달 함수 임펄스 응답을 구하는 문제를 다루어보자.

: 만일 연속 LTI 시스템의 입력 신호 x( t)와 출력 신호 y( t)의 계가

d 2y(t)

dt 2-2

dy( t)dt

+y( t)=dx( t)dt로 정의될 때, 양변에 라 라스 변환을

용하고 미분 성질을 이용하면

L{ d2y(t)

dt 2 }-L{2 dy( t)dt }+L{y( t)} =L{ dx( t)dt }s 2Y(s)-2sY(s)+Y(s) = sX(s)

(s 2-2s+1)Y(s) = sX(s)

Y(s) =X(s)( s

s 2-2s+1 )

- 41 -

가 되어 H(s)=s

s 2-2s+1이 되고, 제 7.11로부터 h( t)= te tu(t)+etu(t)

이 된다. 이와 같이 라 라스 변환을 이용하면 미분 방정식으로 표 되는

시스템의 임펄스 응답을 구할 수 있다.

- 42 -

7.4.2 주 수 역에서의 시스템 분석

◎ 주 수 역에서의 연속 시스템 분석

: 시스템의 동작을 주 수별 이득의 분포 개념으로 분석하는 것

: 시스템의 주 수 응답에 하여 |H(Ω)|의 그래 를 통하여 쉽게 이루어짐

그림 7.12 시스템의 주 수 응답

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◎ 라 라스 변환을 이용하여 략 인 |H(Ω)| 모양을 구하는 방법

: 일반 으로 H(s)는 H(s)=N(s)D(s)

와 같이 s 의 다항식인 N(s)와 D(s)의

유리 함수 형태를 가진다. 만일 분모와 분자를 각각 s 에 하여

1차항으로 인수 분해를 하면

H(s)=G∏R

i=1(s-β i)

∏P

k=1(s-α k)

(7.5)

여기서, R 과 P 는 각각 N(s)와 D(s)의 차수이고, G 는 N(s)와 D(s)의

최고차 항 계수의 비이며, αk 와 β

i 는 각 다항식의 근(root)이다.

특히, αk 를 시스템의 극 (pole), β

i 를 시스템의 (zero)이라 함

극 에서 H(s)=∞ 가 되고, 에서 H(s)=0 이 된다.

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: 시스템의 주 수 분석에서 극 과 의 치가 매우 요한 역할을 하며

s- 역에 표시

: 로써, H(s)= s-1

s 2+1=

s-1(s- j)(s+ j)

의 극 은 s=±j 이고

은 s=1이며 그림 7.13과 같은 방법으로 s- 역에 치를 표시

그림 7.13 시스템의 극 과 을 s- 역에 표시하는 방법

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: 식 (7.5)와 같이 H(s)가 인수분해 되면

|H(s)|=

G

∏R

i=1(s-β i)

∏P

k=1(s-α k)

=|G|

∏R

i=1|s-β i|

∏P

k=1|s-α k|

: |s-β i |는 s 와 각 사이의 거리이고, |s-αk|는 s 와 각 극 사이의

거리이므로 특정 s o 에서의 |H( s o)| 값은

|H(s o)|= |G|∏R

i=1(s o와 영점 β i까지의 거리)

∏P

k=1(s o와 극점 α k까지의 거리)

(7.6)

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: 그림 7.14와 같이 s - 역에 극 과 을 표시하고, 각 s 에서의

거리를 구하면 그 에서의 |H(s)| 값이 구하여진다.

그림 7.14 시스템의 극 과 까지의 거리를 이용하여 |H(s)|를 구하는 방법

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: 연속 시간 푸리에 변환과 라 라스 변환 사이의 계에 따라

H(Ω) =H(s= σ+ jΩ)| σ= 0

: s - 역에서 σ=0 인 치, 즉 Ω 축을 따라 H(s)를 구하면

그것이 곧 H(Ω)가 됨

: 최종 으로 |H(Ω)|값은 H(s)의 극 과 Ω 축 의

모든 까지의 거리를 구하여 얻을 수 있다.

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[ 제 7.16] H(s)= 1

(s+0.9)2+4인 시스템의 주 수 응답 그래 를 략 으로

구해보자.

(풀이) 먼 분모의 근을 계산하여 극 을 구하면 s=-0.9±j2 가 되어

그림 7.15(a)와 같이 극 이 치하고, 각 극 까지의 거리를 a, b라 하면

|H(ω)|=1ab이 된다. Ω 값에 따른 a, b의 크기 변화를 살펴보면 Ω 가

극 에 최 한 근 할 때, 즉 Ω=±2 일 때 a 는 b 가 0.9로

최소값이 되어 Ω=±2 부근에서 ab 값이 매우 작아지고 |H(Ω)|가

큰 값을 가진다.

한, Ω=0 에서 각 극 까지의 거리가 22+0.92= 4.81 이므로

H(0)= 14.81

≃0.208 이다. 따라서 략 인 주 수 응답 그래 는

그림 7.15(b)가 된다.

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[ 제 7.17] H(s)= 1

(s+0.1)2+4의 시스템의 주 수 응답 그래 를 구하고

제 7.16와 비교하여 보자.

(풀이) 이 시스템의 극 이 -0.1±j2 가 되며, s - 역에서 극 의 치는

그림 7.15(c)가 되고, Ω=±2 에서 a, b 값이 제 7.16 보다 훨씬

작아지므로 Ω=±2 부근에서 |H(Ω)|는 더 큰 값을 가지며,

H(0)= 1

22+0.12 ≃0.249가 된다.

따라서 그림 7.15(d)와 같은 주 수 응답을 가진다. 제 7.16에 비하여

주 수 응답이 Ω=±2 부근에서 매우 격하게 변한다.

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[ 제 7.18] H(s)= s

(s+0.9)2+4의 시스템의 주 수 응답 그래 를 략 으로

구해보자.

(풀이) 그림 7.15(e)와 같이 극 s=-0.9±j2 와 s=0 을 가지며,

특히 Ω=0 가 에 해당하므로 H(0)=0 이 되어 그림 7.15(f)의

주 수 응답을 가진다.

이상의 세 가지 제에서 알 수 있듯이 라 라스 변환을 이용하여

시스템의 달 함수 H(s)를 구하고 H(s)의 극 과 의 치를

분석하면 주 수 응답을 구할 수 있다.

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그림 7.15 라 라스 변환을 이용하여 연속 LTI 시스템의 주 수 응답을 구하는 방법

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7.4.3 시스템의 성질과 달 함수의 수렴 역

◎ 연속 선형 시불변 시스템이 인과 (causal)이면

시스템의 임펄스 응답 h( t)는

h( t)= 0, t< 0

◎ h( t)의 라 라스 변환을 구하면

: 이 시스템의 달 함수 H(s)를 구할 수 있고, 그림 7.6에 의하여

수렴 역은 Re{s} >a 와 같이 s - 역에서 특정 치보다 오른쪽 부분이 됨

◎ 시스템이 인과 이면

: 그 시스템의 달 함수는 반드시 s - 역의 오른쪽 부분에 해당하는

수렴 역을 가지며 이 성질을 이용하면 인과 시스템의 달 함수가

주어질 때 시스템의 임펄스 응답을 구할 수 있음

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[ 제 7.19] 인과 시스템의 달 함수 H(s)가 다음과 같다. 이 시스템의

임펄스 응답을 구하여보자.

H(s)=1

s 2-1

(풀이) 라 라스 역변환을 구하기 하여 수렴 역이 정의되어야 하며,

주어진 달 함수의 극 이 s=±1 이므로, 가능한 수렴 역은

다음의 3 가지이다.

ROC : Re{ s} <-1, -1<Re { s} < 1, Re{ s} > 1

한편, 시스템이 인과 이므로 수렴 역은 s - 역의 오른쪽 부분이

되고, 결국 달 함수의 수렴 역은 Re{s}> 1 이 된다.

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◎ H(s)를 부분 분수 개하면

H(s) =1

(s-1)(s+1)

=12 { 1s-1

-1s+1 }

◎ 수렴 역을 용하여 라 라스 역변환을 구하면

h( t)=12e tu(t)-

12e - tu(t)

: 2장에서 설명하 듯이 연속 선형 시불변 시스템이 BIBO 안정이면

임펄스 응답은 다음을 만족한다.

⌠⌡

∞

-∞|h(t)|dt<∞ (7.7)

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◎ 한, 라 라스 변환 공식에 의하여

H(s)=⌠⌡

∞

-∞h(t)e- stdt|H(s)|= |⌠⌡

∞

-∞h(t)e- stdt|≤⌠

⌡

∞

-∞|h(t)||e- st|dt (7.8)

: 만일 식 (7.8)에 |e- st|= 1, 즉 Re{s}=0을 입하고 식 (7.7)의 BIBO 안정

시스템 성질을 용하면

H(s)≤⌠⌡

∞

-∞|h(t)|dt<∞

: 즉, Re{s}=0에서 H(s)가 수렴하므로 Re{s}=0는 반드시 수렴 역에

포함되어야 함

: 결론 으로 선형 시불변 시스템이 BIBO 안정이면 시스템의 달 함수는

반드시 Re{s}=0를 포함하는 수렴 역을 가짐

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[ 제 7.20] 제 7.19에 주어진 시스템이 BIBO 안정일 경우

시스템의 임펄스 응답을 구하여라.

(풀이) 시스템이 BIBO 안정이므로 달 함수의 수렴 역은 Re{s}=0을 포함하고,

따라서 수렴 역은 -1<Re{s}< 1이 된다. 이를 이용하여 라 라스

역변환을 구하면 h( t)=-12e tu(-t)-

12e - tu(t)가 된다.

이상의 두 성질을 결합하면 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.

만일 연속 선형 시불변 시스템이 인과 이고 BIBO 안정이면

시스템 달 함수의 수렴 역은 Re{s}=0을 포함하면서 s - 역의

오른쪽 부분이 된다.

따라서, 만일 Re{s}> 0 역에 시스템 달 함수의 극 이 존재하면

이 시스템은 인과 이면서 BIBO 안정 시스템이 로 될 수 없다.

로, 제 7.19의 시스템은 인과 이며 동시에 BIBO 안정이 될 수 없다.

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이상의 성질을 정리하면 그림 7.16이 된다.

그림 7.16 연속 시스템의 인과 안정 성질에 따른 달 함수의 수렴 역 형태