e-Learning Calculus

라플라스 변환

라플라스 변환은 푸리에 변환과 더불어 가장 유명한 적분 변환 중의 하나이다.

미분방정식을 계산할 때, 고전적인 방법으로는 어려운 지수함수나 초월함수, 비주기함수나

불연속 함수도 라플라스 변환으로 간단히 표현할 수 있다. 미분방정식을 라플라스 변환하

여 대수방정식으로 바꾼 후, 대수방정식의 해를 구하고, 구한 해가 주어진 미분방정식의

해가 되도록 대수방정식의 해를 라플라스 역변환 한다. 이때는 이미 만들어진 변환표를 이

용하기도 한다. 이번 시간에는 라플라스 변환, 라플라스 역변환의 간단한 문제를 풀어보고

변환표를 살펴보도록 한다.

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라플라스 변환

라플라스 역변환

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라플라스 변환

시간함수 를 ≤ ≺∞에서 정의된 함수라 할 때,

에 감쇠정수 를 곱한 함수 를

시간 에 대해 적분한 함수

ℒ[]=

∞

1) 라플라스 변환

(1) 라플라스 변환

◉ 라플라스 변환

※ 라플라스 변환이란 미분방정식을 쉽게 풀기 위하여 라플라스가 고안한 방법이다.

주어진 원함수에 을 곱해서 적분한 것을 라플라스 변환이라고 한다.

예제 ℒ(1)을 구하여라.

풀이 이므로 ℒ(1)=

∞

･ 　

∞

◉ 라플라스 변환표

=

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[증명] ※ Contents 참고

∴

(2) 라플라스 변환의 기본정리

◉ 라플라스 변환 정리

[증명] ※ Contents 참고

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(3) 다지기

◎ 다음 문제를 풀어보자.

(1~2) 다음 빈 칸에 들어갈 알맞은 말을 골라라.

1 라플라스 변환 공식

ℒ[]=

∞

□ ① ② ③ ④

2 ℒ[′]□ ① ② ③ ④

3 다음 함수의 라플라스 변환을 구하여라.

□□

2) 라플라스 역변환

(1) 라플라스 역변환

◉ 라플라스 역변환

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예제

의 역변환을 구하여라.

풀이 라플라스 변환표를 참고한다.

ℒ[ ]=

이므로 ℒ [

]=

∴ ℒ [

]=

예제

의 역변환을 구하여라.

풀이 부분분수로 분해 후, 라플라스 변환표를 참고한다.

라 하고 를 구하자.

이 때, 이므로 (아래식)-(윗식)을 하면

즉,

ℒ[ ]=

이므로 ℒ [

]=

∴ ℒ []=

(2) 미분방정식의 풀이

◉ 라플라스 변환을 이용하여 미분방정식을 풀어보자.

예제 다음의 초기치 문제를 푸시오.

″ ′ ′

풀이 주어진 방정식에 라플라스 변환을 취하면

ℒ(″)+4ℒ(′)+3ℒ()=0

그런데, ℒ″ ℒ()- ′ ℒ ℒ′ ℒ( ℒ 대입하면, (ℒ )+4(ℒ )+3ℒ ℒ ℒ ℒ ℒ()=

부분분수로 나누면

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ℒ()=

∴ ℒ [ℒ()]=

(3) 다지기

◎ 다음 문제를 풀어보자.

1 다음 빈 칸에 알맞은 말을 써 넣어라.

2 다음 미분방정식을 라플라스 변환을 이용하여 풀 때, 빈 칸에 들어갈 알맞은 식은?

′

ℒ [ℒ()]=□

① 3sin3t ② 2sin2t ③ 3cos3t ④ 2cos2t

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◉ 라플라스 변환 공식

ℒ[]=

∞

◉ 라플라스 변환표

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1 라플라스 변환은 어떻게 정의 되는가?

① ∞

∞

②

∞

③ ∞

∞

2 의 라플라스 변환은 어느 것인가?

①

②

③

④

3 의 라플라스 변환은 어느 것인가?

①

②

③

④

4 의 라플라스 변환을 구하여라. (단, 초기값은 이다.)

□ □ □

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1) 라플라스 변환

1 ℒ[]=

∞

2 ℒ[′] 3 ℒ[]=

∞

2) 라플라스 역변환

1

2 주어진 방정식에 라플라스 변환을 취하면

ℒ(″)+9ℒ()=0

그런데, ℒ″ ℒ()- ′ ℒ 대입하면, (ℒ )+9ℒ ℒ9ℒ

다지기 정답 p.6

1 ③

2 ①

3

다지기 정답 p.8

1 라플라스, 역변환

2 ③

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ℒ()=

부분분수로 나누면

ℒ()=

∴ ℒ [ℒ()]=

1 ℒ[]=

∞

2 라플라스 변환표 참고

3 ℒ[]=･

4 ℒ[ ]=ℒ[2]

미분정리와 초기값 으로부터,

ℒ[′] 이다.

ℒ[′] 를

ℒ[ ]=ℒ[2]

⇒ ℒ[]ℒ[]=ℒ[2]⇒

∴

퀴즈퀴즈 정답 p.10

1 ②

2 ②

3 ④

4