5. vj._gt_aktivni_tlak_rankine_l_2014_.pdf

GEOTEHNIKA Aktivni tlak i pasivni otpor

mr.sc. eljko Lebo, dipl.ing.gra. stranica 1 od 19 Tehniko veleuilite u Zagrebu, Graditeljski odjel

Analitiki proraun aktivnog tlaka i pasivnog otpora na potporne konstrukcije

RANKINE-ova teorija

Odnos vertikalnog i horizontalnog naprezanja u tlu je promjenjiv, u ovisnosti od veliine i smjera deformacije. Objanjenje je dao Rankine (1857.) u teoriji plastinog sloma.

h(aktivno) h (mirovanja)

aktivni klin tla

pasivniklin tla

Hvisina zida

H H

h (pasivno)

visina zida visina zida

tlo u mirovanju rastezanje tla zbijanje tla

Smjer ploha sloma za odgovarajue pomake u tlu prema Rankine-ovoj teoriji graninog

stanja plastine ravnotee Masa tla moe se pokrenuti kada se izvode vertikalni ili strmo nagnuti iskopi u tlu. Tada se odstranjuje dio tla i na toj strani nestaje oslonca, pa naprezanje okomito na ravninu lica iskopa ima vrijednost, =0. Ukoliko se eli sprijeiti promjena geometrije, pokrenutoj masi je potrebno dati oslonac koji e preuzeti optereenje tlom i sprijeiti pomak. Taj oslonac se naziva POTPORNA GRAEVINA. Ako u horizontalnom smjeru tlu nestaje oslonca (iskapamo), dolazi do sloma po kritinom kliznom klinu. Kada se klin pridri potpornom graevinom ona prihvaa najmanje mogue bono optereenje. Takvo je stanje Rankine nazvao AKTIVNO STANJE GRANINE RAVNOTEE. Potporna graevina biti e optereena AKTIVNIM TLAKOM onda i samo onda ako se tlu iza podupore omogui makar i mali pomak. U drugom sluaju granino stanje nastaje kada graevina zbija tlo. Naime, masa tla se moe pokrenuti i kad se na nju graevinom vri pritisak Pri tome tlo u graninom stanju prua najvei mogui otpor takvom naprezanju. To stanje Rankine je nazvao PASIVNO STANJE GRANINE RAVNOTEE Tada se zbija dio tla do trenutka dok boni pritisak ne dostigne graninu vrijednost, h=hmaks. Takvo stanje, pri kojem se graevinom djeluje na tlo na nain da se tlo dovede u stanje sloma, naziva se PASIVNO STANJE OTPORA jer je tlo pasivni uesnik u pomacima kojima se odupire. Ako nema pomaka nema ni GRANINOG STAJA SLOMA. Granina stanja mogu se prikazati Mohr-ovim krugovima



Osnovne pretpostavke Rankine-ove teorije su:

1. povrina tla (zasipa) je horizontalna (ravna) i protee se dovoljno daleko,

2. stranja ploha zida je vertikalana

3. stranja ploha zida je glatka, odnosno nema trenja izmeu zida i tla (tj. = 0)

4. masa tla iza zida je u stanju plastine ravnotee (aktivne ili pasivne ravnotee)

5. horizontalna i vertikalna ravnina su glavne ravnine to vrijedi za cijelo vrijeme rastezanja ili zbijanja

0RASTEZANJE ZBIJANJE

Smjer pomaka zida

Pri

tisa

k tl

a n

a zi

d

C

AB E0

EP

EA



Nagibi ravnina sloma dobivenih iz Mohr-ovog kruga za stanja naprezanja u trenutku sloma, te vrijednosti koeficijenta aktivnog tlaka KA i pasivnog otpora tla KP dani su slijedeim izrazima (primjetiti da do sloma ne dolazi na ravninama s maksimalnim posminim naprezanjem). A = 45

o + /2 KA = tg2(45 - /2)

P = 45o - /2 KP = tg

2(45 + /2) Raspodjela aktivnog tlaka i pasivnog otpora po dubini je linearna. Za nekoherentno tlo openiti izraz za raspodjelu aktivnog tlaka i pasivnog otpora po dubini zida glasi: a = KA v = KA z p = KP v = KP z Za koherentno tlo pojavljuje se dodatni lan AKc2 za aktvini tlak, dok je za

pasivni otpor dodatni lan jednak PKc2 . U tom sluaju izrazi za raspodjelu

aktivnog tlaka i pasivnog otpora po dubini su: ac = KA z - AKc2

pc = KP z + PKc2 Rezultantna sila aktivnog tlaka (na m') ili pasivnog otpora dobije se kao povrina odgovarajuih dijagrama raspodjele djelovanja na promatranu potpornu konstrukciju. Rezultante pojedinih komponenata djeluju u teitima odgovarajuih likova (trokut, pravokutnik, trapez). Primjerice za aktivni tlak na slijedeoj slici:

gdje je zc = AK

c

2 dubina do koje nema aktivnog tlak, odnosno moe se izvesti

slobodni vertikalni iskop bez podupiranja (zatite). Potrebne veliine horizontalnih pomaka za ostvarenje plastinih stanja sloma su orijentaciono 0.3 % za aktivni tlak (+s) , 3 % za pasivni otpor (-s). Npr. za zid visine h = 10 m +s = 0.00310 = 0.03 m = 3 cm (za aktivni tlak) -s = 0.0310 = 0.3 m = 30 cm (za pasivni otpor)



1. Nekoherentno tlo iza zida, horizontalan teren

KA = tg

2(45 - /2) = tg2(45 15) = tg230 = 0.333 (koeficijent aktivnog tlaka a = HKA = 20.06.00.333 = 40 kN/m

2 (aktivni tlak na 6.0m dubine)

EA = eaH/2 = 406.00.5 = 120 kN/m' (ukupna sila aktivnog tlaka tla) 2. Dodatno optereenje na povrini terena

KA = tg2(45 - /2) = tg2(45 15) = tg230 = 0.333 (koeficijent aktivnog tlaka

ap = p KA = 30.00.333 = 10 kN/m

2 (aktivni tlak od dodatnog optereenja) ag = H KA = 20.06.00.333 = 40 kN/m

2 (aktivni tlak na 6.0m dubine) EA = 106.0 + 406.00.5 = 180 kN/m' (ukupna sila aktivnog tlaka tla)



3. Utjecaj podzemne vode bez teenja, ispod zida nepropusna

podloga

KA = tg

2(45 - /2) = tg2(45 15) = tg230 = 0.333 (koef. aktivnog tlaka) a1 = 20.02.00.333 = 13.3 kN/m

2 (aktivni tlak na dubi od 2m) a2 = ea1 + '4.0KA = 13.3 + 10.04.00.333 = 26.6 kN/m

2 (ak. tlak na 6.0m) pw = 10.04.0 = 40.0 kN/m

2 (tlak vode na 6m dubine) Fw = 404.0*0.5 = 80 kN/m

' (sila na zid od tlaka vode)

EA = 13.32.0/2 + (13.3+26.6)0.54.0 = 93.1 kN/m' (sila od aktivnog tlaka tla) H = Fw + EA = 80 + 93.1 = 173.1 kN/m' (sveukupna sila na zid) Komentar:

U sluajevima kada imamo vodu iza zida koja miruje (ne tee), tada se sveukupna sila

na zid dobije zbrajanjem sile od aktivnog tlaka zasipa tla iza zida i sile do tlaka vode.

Naravno, dio tla koji je potpoljen vodom rauna se u efektivnim naprezanjima, a ostali

dio koji nije, u totalnim naprezanjima.

To su situacije, na pr. kada imamo drenau u podnoju zida, ali drenaa je neispravna

(zaepljena) pa nema otjecanja vode. U praksi je to dosta est sluaj.



4. Koherentno tlo iza zida, horizontalan teren

KA = tg

2(45 - /2) = tg2(45 10) = tg235 = 0.49 (koef. aktivnog tlaka) ag = HKA = 20.06.00.49 = 58.8 kN/m

2 (aktivni tlak na 6.0m) a,c = 2c AK = 215 49.0 = 21.0 kN/m

2 (doprinos kohezije)

Vrijednosti na dnu zida (dubina 6.0 m): ac = ag a,c = 58.8 - 21.0 = 37.8 kN/m

2

m 14.249.020

152

K

c2z

Ac =

=

= (dubina do koje nema akt. tlaka)

H zc = 6.0 2.14 = 3.86 m EAC = ac(H zc)0.5 = 37.83.860.5 = 73.0 kN/m' (ukupna sila aktivnog tlaka)

Komentar:

Dubinu zc dobijemo iz uvjeta da je aktivni tlak jednak nuli (AH=0). To je dubina do koje

moemo izvoditi slobodne vertikalne iskope bez podupiranja (bez dodatne zatite).

Primjeujemo da za tla koja nemaju koheziju (c=0, nekoherentna tla), takve vertikalne

iskope ne moemo izvoditi.



5.

Ho

rizo

nta

lno

usl

oje

no

tlo

s v

anjs

kim

op

tere

en

jem

bez

vo

de



5. Horizontalno uslojeno tlo s vanjskim optereenjem bez vode Koeficijenti aktivnog tlaka: KA1 = tg

2(45 - 15) = 0.333 KA2 = tg

2(45 - 10) = 0.49 Vertikalna naprezanja od vlastite teine: v1 = 20.02.0 = 40 kN/m

2 v2 = 40.0 + 19.04.0 = 116 kN/m

2 Aktivni tlakovi od vlastite teine tla: ag11 = v1KA1 = 400.333 = 13.3 kN/m

2 ag12 = v1KA2 = 400.49 = 19.6 kN/m

2 ag2 = v2KA2 = 1160.49 = 56.8 kN/m

2 Aktivni tlakovi od vanjskog optereenja: ap1 = p KA1 = 30.00.333 = 10.0 kN/m

2 ap2 = p KA2 = 30.00.49 = 14.7 kN/m

2 Utjecaj kohezije: a,c = 2c2 2AK = 220 49.0 = 28 kN/m

2

Ukupna rezultantna sila aktivnog tlaka: EA = (10.0+23.3)0.52.0 + (6.3+43.5)0.54.0 = 132.9 kN/m

'



6.

Usl

oje

no

tlo

s v

anjs

kim

op

tere

en

jem

i vo

do

m, a

li b

ez t

een

ja



6. Uslojeno tlo s vanjskim optereenjem i vodom, ali bez teenja Vertikalna naprezanja od vlastite teine: v1 = 20.02.0 = 40 kN/m

2 'v2 = 40.0 + 9.04.0 = 76 kN/m

2 Aktivni tlakovi od vlastite teine tla: ag11 = v1KA1 = 400.333 = 13.3 kN/m

2 ag12 = v1KA2 = 400.49 = 19.6 kN/m

2 ag2 = v2KA2 = 760.49 = 37.2 kN/m

2 Aktivni tlakovi od vanjskog optereenja: ap1 = p KA1 = 30.00.333 = 10.0 kN/m

2 ap2 = p KA2 = 30.00.49 = 14.7 kN/m


2

Rezultantna sila aktivnog tlaka: EA = (10.0+23.3)0.52.0 + (6.3+23.9)0.54.0 = 93.6 kN/m

' Sila od tlaka vode: Fw = 40.04.00.5 = 80.0 kN/m' Ukupna rezultantna sila tlaka na zid Huk = 93.6 + 80.0 = 173.6 kN/m'



7. Uslojeno tlo s vanjskim optereenjem i vodom, sa teenjem kroz

slabo propustan sloj Za sluaj razine podzemne vode kao i u primjeru 6. ali sa teenjem, vrijednost

hidraulikog gradijenta jednaka je:

10.40.4

LH

i ==

= .0

Meutim kako voda tee gradijentom +i=1.0, tada je porni tlak u=0 Po naelu efektivnih naprezanja, ista se raunaju preko izraza:

u= Meutim, kada je porni tlak nula (u=0), tada su efektivna naprezanja jednaka totalnima

=

= 0

Isto tako promotrimo li efektivnu jedininu teinu sloja gline (sloj kroz koji se odvija

teenje vode), u tom sluaju je:

wi +=

3/0.190.100.1)0.100.19( mkN=+=

=

Komentar:

Efekt teenja vode sa gradijentom +i=1.0 u smjeru gravitacije, ponitava uzgon

uronjenog tla. Sila uzgona i sila uslijed teenja meusobno su jednake, ali su suprotnog

smjera, pa je rezultantni porni tlak jednak nuli.

Stoga raspodjela svih tlakova, pa tako i vrijednosti rezultantne sile, jednaka je kao i u

primjeru 5. za totalna naprezanja (raunamo kao da nema vode !!!). VANO: Ovo vrijedi

samo ako je i=1,0



8.

Ho

rizo

nta

lno

usl

oje

no

tlo

s v

anjs

kim

op

tere

en

jem

i vo

do

m s

te

enje

m

kro

z sl

abo

pro

pu

stan

slo

j (r

azin

a p

od

zem

ne

vod

e u

pije

sku

)



8. Horizontalno uslojeno tlo s vanjskim optereenjem i vodom s teenjem kroz slabo propustan sloj (razina podzemne vode u pijesku)

Slabo propusni sloj gline je debljine 4.0 m. Ispod tog sloja nalazi se sloj jako propusnog

materijala, koji djeluje kao dren (piezometarski potencijal u toj toki je jednak nuli).

Za ovaj sluaj razine podzemne vode i teenja kroz sloj slabo propusnog tla vrijednost

hidraulikog gradijenta je jednak:

25.10.40.5

LH

i ==

=

Uronjena jedinina teina sloja nekoherentnog materijala ispod razine podzemne vode 1' = 1' - w = 20 10 = 10 kN/m

3 Efektivna jedinina teina sloja gline kroz koji se odvija teenje vode, u tom sluaju je: 2'' = 2' + iw = 19 10 + 1.2510 = 21.5 kN/m

3 Vertikalna naprezanja od vlastite teine: 'v1 = 20.01.0 = 20 kN/m

2

'v2 = 20.0 + 10.01.0 = 30 kN/m

2

'v3 = 30.0 + 21.54.0 = 116 kN/m

2 Aktivni tlakovi od vlastite teine tla: ag1 = 'v1KA1 = 200.333 = 6.7 kN/m

2 ag21 = 'v1KA2 = 300.33 = 10.0 kN/m

2

ag22 = 'v1KA2 = 300.49 = 14.7 kN/m

2

ag3= 'v2KA2 = 1160.49 = 56.8 kN/m

2



Aktivni tlakovi od vanjskog optereenja: ap2 = p KA1 = 30.00.333 = 10 kN/m

2 ap3 = p KA2 = 30.00.49 = 14.7 kN/m

2 Utjecaj kohezije: a,c = 2c2 2AK = 220 49.0 = 28.0 kN/m

2

Ukupna sila aktivnog tlaka (povrina dijagrama): EA = (10+16.7)0.51.0 + (16.7+20)0.51.0 + (1.4+43.5)0.54.0 = 121.5 kN/m

' Porni tlak vode: pw = 110 = 10 kN/m

2 Sila uslijed djelovanja pornog tlaka vode (povrina dijagrama): Fw = 10.0(1.00.5 + 4.00.5) = 25.0 kN/m' Sveukupna rezultantna sila na zid iznosi: H = EA + Fw = 121.5 + 25.0 = 146.5 kN/m'



9. H

ori

zon

taln

o u

slo

jen

o t

lo s

pri

mje

no

m k

on

zole

i p

rora

un

om

pas

ivn

og

otp

ora



9. Horizontalno uslojeno tlo s primjenom konzole i proraunom

pasivnog otpora Analizirat emo postupak dimenzioniranja potpornog zida za pretpostavljene dimenzija, te nakon prve analize na prevrtanje, procjeniti da li smo dobro odabrali dimenzije ili moramo neto promjeniti. Jedinina teina betona od kojega se izvodi zid: B = 24 kN/m

3 Ispod zida se nalazi podloga od tucanika sa kutem trenja:

T = T = 35o.

Koeficijenti aktivnih tlakova: KA1 = tg

2(45 - 15) = 0.333 KA2 = tg

2(45 - 12) = 0.422 Koeficijenti pasivnog otpora:

297.05.124tg

5.1tg

tg m ==

=

om 5.16297.0Arctg ==

cm = 2kN/m 0.5

20.10

2c

==

KP = tg2(45 + 16.5/2) = 1.8

p,c = 2cm PK = 25.0 8.1 =13.4 kN/m

2

Hidrauliki gradijent:

15.55.5

LH

i ==

= ,0

Zapreminska teina sloja gline (sloj kroz koji se odvija teenje vode) je u tom sluaju: '' = ' + iw = 20 10 + 110 = 20 kN/m

3 Vertikalna naprezanja od vlastite teine: 'v1 = 20.02.5 = 50 kN/m

2



'v2 = 20.08.0 = 160 kN/m2

Aktivni tlakovi od vanjskog optereenja: ap1 = p KA1 = 10.00.333 = 3.3 kN/m

2

ap2 = p KA2 = 10.00.422 = 4.2 kN/m

2 Aktivni tlakovi od vlastite teine tla: ag11 = 'v1KA1 = 500.333 = 16.7 kN/m

2

ag12 = 'v1KA2 = 500.422 = 21.1 kN/m

2

ag2 = 'v2KA2 = 1600.422 = 67.5 kN/m


2

Pasivni otpor tla ispred temeljne stope: 2,1 kN/m 4.13== cppc

2

212 kN/m 4.678.15.10.204.135.1 =+=+= ppcpc K

Provjera zida na prevrtanje (rotaciju oko toke A): Moment prevrtanja: MP 3.32.56.75 + 4.25.52.75 + 16.72.50.5(5.5 + 2.5/3) + (67.5 - 21.1)0.55.55.5/3 + (21.1 - 13.0)5.52.75 =607.9 kNm/m' Moment sigurnosti: MS (67.4 - 13.4)1.50.51.5/3 + 13.41.51.5/2 + 3.01.524.01.5 + 1.06.50.524.0(1.0 + 2/3) + 1.06.524.02.5 = 717.3 kNm/m' Faktor sigurnosti protiv prevrtanja oko toke A:



0,218.19.607

3.717===

P

S

SRM

MF jo ne zadovoljava, trebalo bi

jo malo poveati dimenzije konzole !



Provjera zida na klizanje ili translaciju: Suma svih horizontalnih sila: H H = 3.32.5 + 4.25.5 + 16.72.50.5 + 27.51.630.5 + (27.5 + 54.5)0.53.2 (13.4 + 67.4)0.51.5 = 145.2 kN/m' H = 145.2 kN/m' Suma svih vertikalnih sila: V V = (2.0 + 1.0)0.56.524.0 + 1.53.024.0 + 1.52.520.0 = 417.0 kN/m' V = 417.0 kN/m' Omjer ukupnih horizontalnih i vertikalnih sila:

35.00.417

2.145==

=

V

Htg

T = = 35

o tgT = tg35

o = 0.70 Faktor sigurnosti protiv klizanja:

0,20.235.0

70.0===

tg

tgF TST zadovoljava

Provjera na klizanje (translaciju) se jo moe izvesti preko odnosa ukupne posmine

sile koja se aktivira u razini stope klizanja (preko posmine vrtoe) i ukupnih

horizontalnih sila:

0.2

+=

H

tgNLcFST

5. vj._gt_aktivni_tlak_rankine_l_2014_.pdf

Documents