«Производная и ее «Производная и ее применение в применение в алгебре, алгебре,

геометриигеометрии».».

КудрявцеваКудрявцева Анастасия, Анастасия,

Пьянов Артём.Пьянов Артём.

11 « а»

Цель работы:Цель работы:

Закрепление изученного материала по теме Закрепление изученного материала по теме «Производная» и ознакомление с её «Производная» и ознакомление с её прикладной частью. прикладной частью.

План работы:План работы:

1.Исследование функции на монотонность1.Исследование функции на монотонность

2.Касательная к графику.2.Касательная к графику.

3.Наибольшие, наименьшие значения функций. 3.Наибольшие, наименьшие значения функций.

4.Нахождение дифференциала для 4.Нахождение дифференциала для приближенных вычислений.приближенных вычислений.

5.Доказательство неравенств5.Доказательство неравенств..

Определение производнойОпределение производной

Производной данной функции в точке х Производной данной функции в точке х называется предел отношения приращения называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента в этой функции к приращению аргумента в точке х, когда приращение аргумента точке х, когда приращение аргумента стремится к нулю.стремится к нулю.

..

Будем считать, что рассматриваемая функция y=f(x) определена и дифференцируема в каждой точке отрезка a ≤ x ≤ b.

функция f(x) возрастает (или убывает) в промежутке a<x<b, если:

производная f '(х) не отрицательна (или не положительна) в промежутке а<х<b,

f '(x) ≥ 0 (или f '(x) ≤ 0)

Пример. Определить промежутки возрастания и убывания функции: у = х3 — х2 — 8х + 2.

1.Исследование функции на монотонность

Решение: Чтобы применить признаки Решение: Чтобы применить признаки возрастания и убывания функции, найдем возрастания и убывания функции, найдем производную данной функции и определим производную данной функции и определим значения значения х, х, при которых она положительна при которых она положительна или отрицательна:или отрицательна:

у' = Зху' = Зх22 — 2х — 8 — 2х — 8..

Корни трехчлена:Корни трехчлена: x x11= - 4/3, x= - 4/3, x22=2=2..

Отсюда:Отсюда:

у' =3(х+4/3)(х-2).у' =3(х+4/3)(х-2).

возрастает убывает возрастает убывает возрастаетвозрастает

+ + -4/3 -4/3 - 2 + - 2 +

Ответ: функция возрастает в промежутках Ответ: функция возрастает в промежутках

- ∞ < - ∞ < xx < -4/3 и 2 < < -4/3 и 2 < xx < + ∞ < + ∞ и убывает в и убывает в промежутке промежутке — 4/3 < х <2— 4/3 < х <2..

Вообразим, что на кривой Вообразим, что на кривой АВ АВ точка точка М М неограниченно неограниченно приближается к неподвижной точке приближается к неподвижной точке СС, секущая , секущая СМ СМ при при этом вращается вокруг точки этом вращается вокруг точки СС. Может случиться, что, . Может случиться, что, независимо от того, будет ли точка независимо от того, будет ли точка М М приближаться к приближаться к СС в в направлении от направлении от AA к к СС или от или от В В к С (на черт точка к С (на черт точка MM''), ), существует одна и та же прямая существует одна и та же прямая СТ — СТ — предельное предельное положение секущей положение секущей СМ.СМ.

2.Касательная к графику

A C

M

Bγ

Y

0

B

AM

T

C

M’

X

φ α

Определение. Прямая СТ, предельное положение секущей СМ, называется касательной к кривой в точке С.Точка С называется точкой прикосновения или касания.

Если к линии y=f(x) в точке х имеется касательная, непараллельная Оу, то угловой коэффициент касательной равен значению производной f '(х), в точке х.

Если функция y=f(x) имеет определенную производную в точке х, то:1) в этой точке имеется касательная к графику функции,2) угловой коэффициент ее равен значению производной f '(x) в точке х.

∙ ∙

Задача . Найдите площадь треугольника AMB, если A и B — точки пересечения с осью OX касательных, проведенных к графику y = (9—x2)/6 из точки M(4;3). Решение. укас =y(x0)+у’(x0)(x—x0); y’(x0) = 1/6 ∙ (-2x) = -x/3;

т.к. укас проходит через M(4;3), то

3 = (9—x02) — (4—x0) ∙ x0/3

x02—8 x0—9 = 0;

Д/4 = 16 + 9 = 25; x0 = 9; x0 = -1

укас1 = - 12 - 3 ∙ ( x – 9) = -3x + 15

укас2 = 4/3 + 1/3 ∙ (x + 1) = 1/3x + 5/3

5 А A(5;0); B(-5;0); AM = 2√ 5 (ед.); М AB = 10 (ед.); 3 BM = 4√5 (ед.);

4 р/2 = 3√5 +5 S = √ (3√5 +5) ∙ (√5 +5 ) ∙ (5 - √5 ) ∙ (3 √5 -5) S = 20 ( кв.ед. ). В Ответ: 20 кв.ед.

Задача . В прямоугольном параллелепипеде Задача . В прямоугольном параллелепипеде ABCDAABCDA11BB11CC11DD11 с с

ребрами ребрами CDCD = 24 = 24, , ADAD= 6= 6 и и

DDDD11 =4 =4 проведена плоскость через центр симметрии грани проведена плоскость через центр симметрии грани

AA11BB11CC11DD11 , вершину , вершину АА и точку и точку РР, лежащую на ребре , лежащую на ребре DCDC. Какую . Какую

наименьшую площадь может иметь сечение параллелепипеда наименьшую площадь может иметь сечение параллелепипеда этой плоскостью? На какие части делит точка этой плоскостью? На какие части делит точка PP ребро ребро DCDC в этом в этом случае?случае?

   

. 3.Наибольшие, наименьшие значения функций

Решение. Проведем плоскость и построим сечение (рис.). АО АA1C1С - линия, принадлежащая данной плоскости. Продолжим АО до пересечения с CC1 в точке S. Тогда SP - линия пересечения грани DD1C1C и данной плоскости, а сечение ANMP - параллелограмм. Sсеч = SAMNP = SK ∙AP/2 SK/2— высота параллелограмма ANMP.

A B

D

P

A1

C

K

L

S

M

N

O

D1 C1

B1

24

6

4

A1 C1

CA

O

S

4

4

D C

BA

24-x

L

P x

K

В ΔASC ОC1 - средняя линия (значит SC1 = 4), в ΔPSC также

средняя линия МC1, а плоскость A1B1C1D1 делит пополам

любую линию между S и плоскостью ABCD, а значит и SK.

Пусть Пусть PCPC = = xx; ; ΔΔCLPCLP подобен подобен ΔΔDDАРАР

LC/AD = x/(24—x), LC = 6x/(24LC/AD = x/(24—x), LC = 6x/(24 – – xx). ).

Из Из ΔΔCLP: KCCLP: KC = (6x= (6x ∙ ∙x/(24—x))/(√(36xx/(24—x))/(√(36x22/(24—x)/(24—x)22)+x)+x22) =) =

== 6x/(√(36+ (24—x) 6x/(√(36+ (24—x)22));;

Из Из ΔΔSCK: SK = √SCSCK: SK = √SC22+ KC+ KC22 = √64+36x = √64+36x22/(36+(24—x)/(36+(24—x)22) = ) = 2√16+9x2√16+9x22/(36+(24—x)/(36+(24—x)22) ) ;;

Из Из ΔΔADPADP: : APAP = √36+(24— = √36+(24—xx))22; ;

SSсечсеч = = APAP∙∙SKSK/2 = 0,5∙(√36+(24—/2 = 0,5∙(√36+(24—xx))22) 2√16+9) 2√16+9xx22/(36+(24—/(36+(24—xx))22) = ) =

=√16(36+(24—=√16(36+(24—xx))22)+9)+9xx22;;

Если Если SS’(’(xx) = 0, то 18) = 0, то 18xx+16 ∙2(24—+16 ∙2(24—xx)(-1) = 0)(-1) = 0;;

5050xx—768 = 0, —768 = 0, xx = 384/25 = 384/25 (это точка (это точка minmin););

SSсечсеч = 312 = 312;;

DPDP = 24—384/25 = 216/25 = 24—384/25 = 216/25;;

Ответ: Ответ: 312 кв. ед.; 312 кв. ед.; DCDC- 384/25; 216/25- 384/25; 216/25..

  

4.Нахождение дифференциала для 4.Нахождение дифференциала для

приближенных вычислений.приближенных вычислений.Определение. Дифференциалом (dy)

функции y=f(x) называется произведение значения производной f '(х) на произвольное приращение ∆x аргумента х, т. е.

dy=f '(x)∙∆x

(I)

при достаточно малом ∆x ∆y ≈ dy =f '(х)∆x

Это означает, что при малых изменениях аргумента (от начального значения х) величину изменения функции y=f(x) можно приближенно считать пропорциональной величине изменения аргумента с коэффициентом пропорциональности, равным значению производной f '(x);

f(x+∆x) ≈ f(x) + f '(x) ∙ f(x+∆x) ≈ f(x) + f '(x) ∙ ∆x

Пример:

Вычислить приближенно с помощью дифференциала..

В нашем случае:

,

,

.

Вычисляем:

;

,

.

Имеем:

.

Если функция f имеет положительную (отрицательную) Если функция f имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке некоторого промежутка, то производную в каждой точке некоторого промежутка, то она возрастает (убывает) на этом промежутке. При она возрастает (убывает) на этом промежутке. При нахождении промежутков монотонности нужно иметь в нахождении промежутков монотонности нужно иметь в виду, что если функция возрастает (убывает) на виду, что если функция возрастает (убывает) на интервале интервале (a,b)(a,b) и непрерывна в точках и непрерывна в точках aa и и b,b, то она то она возрастает (убывает) на отрезке возрастает (убывает) на отрезке [a,b].[a,b].

5.Доказательство неравенств.5.Доказательство неравенств.

Для отыскания наибольших и наименьших значений f на отрезке [a,b] достаточно сравнить между собой значения f в точках a, b и в критических точках из отрезка [a,b].

Эти результаты применимы при решении многих элементарных задач, связанных с неравенствами.

ЗадачаЗадача . Доказать что . Доказать что (e+x)(e+x)e-xe-x > > (e-x)(e-x)e+xe+x

для для 00 << xx << e.e.

Решение.Решение.

Данное неравенство равносильно следующему:Данное неравенство равносильно следующему:

(e(e -- x)x) ∙ ∙ln(eln(e ++ x)x) >> (e(e ++ x)x) ∙ ∙ln(eln(e -- x).x).

Пусть Пусть f(x)=(e-x)f(x)=(e-x) ∙ ∙ln(eln(e ++ x)x) -- (e(e ++ x)∙x)∙ ln(eln(e -- x),x),

тогда тогда ff//(x)=(x)= -ln(e-ln(e ++ x)+(ex)+(e -- x)/(ex)/(e ++ x)x) -- ln(eln(e -- x)+(ex)+(e ++ x)/(ex)/(e -- x).x).

Так как Так как (e(e -- x)/(ex)/(e ++ x)+x)+ (e(e ++ x)/(ex)/(e -- x)=2(ex)=2(e22+x+x22)/(e)/(e22-x-x22)) >> 2,2,

ln(e + x)+ln(e - x)=ln(eln(e + x)+ln(e - x)=ln(e22-x-x22) < lne) < lne2 2 = 2,= 2,

то то ff//(x)(x) >> 00 при при 00 << xx << ee. Следовательно, функция . Следовательно, функция ff возрастает на интервале возрастает на интервале (0,e).(0,e). Функция Функция f(0) -f(0) - непрерывна. Поэтому эту точку можно включить в непрерывна. Поэтому эту точку можно включить в промежуток возрастания. Поскольку промежуток возрастания. Поскольку f(0)=0f(0)=0, а , а f f возрастает при возрастает при 0 < x0 < x < e,< e, то то f(x)f(x) >> 00 при при 00 < x << x < e.e. Отсюда получаем решение задачиОтсюда получаем решение задачи..