Reinhard Kulessa 1

5.6 Podsumowanie wiadomości o polu elektrycznym

Na poprzednich wykładach poznaliśmy następujące informacje dotyczące pola elektrycznego:

1. Cyrkulacja pola2. Rotacja pola , definicja pola bezwirowego, pola o

zerowej rotacji3. Twierdzenie Stokes’a, podjące związek pomiędzy

całką po konturze, a całką powierzchniową,4. Definicja gradientu pola, 5. Istnienie dla pola elektrycznego, które jest bezwirowe

potencjału skalarnego, którego gradient jest równy natężeniu pola elektrycznego.

Reinhard Kulessa 2

6. Dywergencję funkcji wektorowej,7. Prawo Gaussa, również w postaci różniczkowej

8. Twierdzenie Gaussa podające związek pomiędzy całką powierzchniową a objętościową ,

9. Definicja potencjału skalarnego pola ,

10. Równania Poissona i Laplace’a pozwalające wyliczyć potencjał pola,

Rozważmy pole elektryczne, dla którego gęstość ładunku =0. Wtedy dla potencjału spełnione jest równanie Poissona z =0, czyli równanie Laplace’a, V=0 . Jednoznaczne znalezienie potencjału wymaga dodatkowo podania warunków brzegowych, inaczej zawsze można by podać rozwiązanie V0.

Reinhard Kulessa 3

5.6.1 Linie sił pola elektrycznego

Pamiętamy, że we wzorze (5.1) określiliśmy natężenie pola elektrycznego przy pomocy ładunku próbnego q0, którego wielkość dążyła do zera. Robiliśmy to po to, aby uniknąć wpływu ładunku próbnego na pole elektryczne.

rr

QkrE

3

)(

Pochodzące od ładunku Q natężenie pola elektrycznego w punkcie o współrzędnych r jest zdefiniowane przez równanie:

(5.3)

Wprowadzenie nowego ładunku, spowoduje zmianę pola przez zmianę położenia pierwotnych ładunków.

Wykład 3

4

Pole elektryczne jest lokalną własnością każdego punktu układu. Znajomość pola w jakimś obszarze pozwala przewidzieć zachowanie się dowolnych ładunków w tym obszarze, przy czym znajomość źródeł pola jest nam niepotrzebna. Z drugiej strony dokładne wyznaczenie w każdym punkcie wartości pola, pozwala podać wartości i położenia ładunkówstanowiących źródła pola.Jednym ze sposobów graficznego przedstawienia pola elektrycznego jest wyrysowanie linii pola. Są to linie, które w każdym punkcie są styczne do kierunku pola. Po nich poruszałby się nie zakłócający pola dodatni ładunek próbny.Pola pochodzące od pojedynczych ładunków przedstawione są na następnym rysunku.

Tym nowym polem musimy posłużyć się przy liczeniu siły działającej na nowy ładunek.

Reinhard Kulessa 5

Linie sił natężenia poladlaładunków pojedynczych.

Linie sił natężenia pola dla dwóch ładunków o przeciwnych znakach. Układ taki nazywamy dipolem.

Reinhard Kulessa 6

Linie sił natężenia pola dla dwóch równych ładunków dodatnich

Dla dwóch równych ujemnych ładunków zwrot linii sił będzie przeciwny.

Należy podkreślić, że liczba linii natężenia pola elektrycznego przypadających na jednostkę powierzchni informuje nas o wielkości natężenia pola elektrycznego.

Porównanie linii sił pola elektrycznego dla dwóch jednakowych, oraz dwóch przeciwnych ładunków przedstawione jest następnych rysunkach.

Reinhard Kulessa 7

E=0

W połowie linii łączącej dwa jednakowe ładunki o jednakowych znakach natężenie pola elektrycznego jest równe zero.

Reinhard Kulessa 8

+

-

Reinhard Kulessa 9

Linie ekwipotencjalne

Reinhard Kulessa 10

Linie ekwipotencjalne + natężenie różnicowanie kolorem

Reinhard Kulessa 11

Wektory natężenia pola elektrycznego dla dwóch ujemnych konturów

Reinhard Kulessa 12

Kontury ekwipotencjalne

Reinhard Kulessa 13

Kontury ekwipotencjalne+ efekt kolorów

Reinhard Kulessa 14

5.6.2 Linie ekwipotencjalne

Potencjał najlepiej jest przedstawić w postaci linii lub powierzchni ekwipotencjalnych,

constV(x,y,z) .

Można je łatwo znaleźć z zależności VgradE

.

Linie sił pola elektrycznego są prostopadłe do linii lub powierzchni ekwipotencjalnych.

Na linii ekwipotencjalnej V = const, czyli dV = 0.

Reinhard Kulessa 15

Rozmieszczenie linii natężenia pola elektrycznego względem linii ekwipotencjalnych dla dwóch różnego znaku ładunków, przedstawia poniższy rysunek.

Reinhard Kulessa 16

Przedstawiona tu prosta animacja pokazuje, że okręgi współśrodkowe z ładunkiem są liniami ekwipotencjalnymi.

Z faktu, że natężenie pola elektrycznego E jest prostopadłe do powierzchni ekwipotencjalnych wynika, że

powierzchnie przewodników są powierzchniami ekwipotencjonalnymi.

Reinhard Kulessa 17

5.7 Natężenie i potencjał pola dla zadanych rozkładów ładunków

5.7.1 Przewodząca kula naładowana ładunkiem Q

24 r

Q

constR

r

EdA

E=0V=const

Zgodnie z prawem Gaussa

0

24

QrEAdE

A

Reinhard Kulessa 18

Natężenie pola elektrycznego w odległości r od kuli przewodzącej o promieniu R i gęstości powierzchniowej ładunku równej jest równe,

rr

Rr

r

QE

3

2

03

04

(5.17)

W oparciu o zależność pomiędzy natężeniem pola elektrycznego a potencjałem (r. (5.11a) ),

otrzymamy na potencjał na zewnątrz oraz wewnątrz naładowanej przewodzącej kuli następujące wyrażenia:

Rrr

Q

r

drQV

r

02

0 44 (5.18a)

r

rdErV

)(

Reinhard Kulessa 19

RrconstR

Q

rdErdEVR

R

Rr

04

(5.18b)

Reinhard Kulessa 20

5.7.2 Pole elektryczne na „ostrzach”

Doświadczenie uczy nas, że natężenie pola elektrycznego jest najsilniejsze w pobliżu ostrzy, czy nierówności powierzchni.

Przedstawiony kształt możemy przybliżyć przezdwie przewodzące kule oróżnych promieniach,połączone przewodnikiem.

Otrzymujemy więc przewodnik o wspólnym jednakowym potencjale V.

Reinhard Kulessa 21

R1R2

Potencjały kul o promieniach R1 i R2 przed połączeniem wynoszą odpowiednio V1 i V2.

10

11 4 R

QV

20

22 4 R

QV

=

Po wyrównaniu się potencjałów na obydwu kulach mamy

2

2

1

1

R

Q

R

Q Wiemy również, że

.

Reinhard Kulessa 22

2

1

22

2

21

1

2

1

R

QR

Q

E

E

W oparciu o te równania możemy napisać:

2

1

1

2

2

1

R

R

E

E(5.19)

Stwierdzamy więc że, rozkład ładunku na powierzchniach zakrzywionych jest taki, że pole E jest odwrotnie proporcjonalne do promienia krzywizny powierzchni.

23

5.7.3 Pole elektryczne i potencjał pochodzące od jednorodnie naładowanej nieprzewodzącej kuli

W celu wyznaczenia natężenia posłużymy się prawem Gaussa.

E

R

A

A’

=const

r

r’

dA’

dA

Reinhard Kulessa 24

E

R

A

A’

r

r’

dA’

dA

=const

Zgodnie z równaniem (5.17) wyrażenia na natężenie pola i potencjał w odległości r>R od środka naładowanej nieprzewodzącej kuli są następujące:

r

QrV

rr

QrE

0

30

4)(

4)(

Powierzchnia sferyczna o promieniu r’ wewnątrz kuli obejmuje tylko część ładunku Q(r’).

(5.19a)

Reinhard Kulessa 25

3

3'3'

3

3'' 3/43/43

4)(

R

rRQr

R

RQrrQ

Wobec tego zgodnie z prawem Gaussa:

A3

3'

00

'2'' )()(

4R

rRQrQrEAdE

A

'3

0

'

4)( r

R

RQrE

r’<R (5.20)

Widzimy więc, że we wnętrzu kuli natężenie pola wzrasta liniowo wraz z odległością od środka kuli

Reinhard Kulessa 26

Dla odległości większych niż promień kuli, natężenie pola i potencjał jest takie jak we wzorze (5.19a)

Na odległości r<R od środka jednorodnie naładowanej kulipotencjał przyjmuje następującą wartość: (proszę obliczyć).

)3

1(8

3)(

2

2

0 R

r

R

QrV

(5.21)

E(r)

rR

Rysunek obok przedstawia zależność natężenia w zależności od odległości od środka jednorodnie naładowanej nieprzewodzącej kuli.

304 R

Q

Reinhard Kulessa 27

5.7.4 Dipol elektryczny

Policzymy potencjał i natężenie pola elektrycznego pochodzącego od dipola elektrycznego, czyli układu dwóch jednakowych ładunków o przeciwnych znakach znajdujących się w pewnej odległości od siebie.

PP

-Q +Q

r

r

r

L

L cos

Potencjał w punkcie Pliczymy zgodnie z zasadąsuperpozycji.

Reinhard Kulessa 28

rr

rrq

r

Q

r

QrV

0

00

4

4

1

4

1)(

Dla dużych r zachodzi r+ || r || r-

i wtedy możemy napisać

rrr

Lrr

cos

Na potencjał w punkcie P otrzymujemy wyrażenie;

-Q +Q

r

r

r

L

L cos

Reinhard Kulessa 29

QLr

rV 2

0

cos

4

1)(

(5.22)

Wyrażenie nazywamy momentem dipolowym.PQL

Otrzymujemy więc:

304

1)(

r

rPrV

(5.23)

Widzimy więc, że potencjał dipola maleje jak 1/r2, podczas gdy potencjał ładunku punktowego maleje jak 1/r.

Reinhard Kulessa 30

W oparciu o znany potencjał policzmy natężenie pola elektrycznego pochodzące od dipola. Ponieważ mamy symetrię wokół osi x, możemy wykonać obliczenia we współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie.

x

y

P

r

E

rE

E

Gradient we współrzędnych biegunowych ma składowe:

ir

ir

r1

Mamy więc

VgradE

Reinhard Kulessa 31

Czyli,

30

30

sin

4

1

cos2

4

1

r

PE

r

PEr

iEiEE rr

Korzystając z zależności pomiędzy wersorami układów kartezjańskiego i biegunowego:

jii

jii r

cossin

sincos

Reinhard Kulessa 32

])sincos3()1cos3[(4

1 23

0

jir

PE

Składowe równoległa (x) i prostopadła (y) natężenia pola elektrycznego pochodzącego od dipola są następujące:

30

3

2

0

sincos3

4

1cos3

4

r

PE

r

PE

y

x

(5.24)

Reinhard Kulessa 33

Linie sił natężenia pola elektrycznego dipola, oraz linie ekwipotencjalne są przedstawione na poniższym rysunku.

Reinhard Kulessa 34

5.7.5 Jednorodnie naładowany dysk

x Pdy

R

y

2

122 )(y x

Wyliczymy potencjał i natężenie pola elektrycznego na osi jednorodnie naładowanego dysku, który podzielimy na pierścienie o promieniu y i szerokości dy

Na pojedynczym pierścieniuznajduje się ładunek dq. Potencjał pochodzący od żółtego pierścienia w punkcie P wynosi:

Reinhard Kulessa 35

2204

xy

dqdV

Całkowity potencjał uzyskamy całkując po wszystkich pierścieniach

R

xy

dqV

022

04

1

Ładunek dq zawarty w pierścieniu wynosi dq = 2 y dy.

Na całkowity potencjał w punkcie P uzyskamy:

Reinhard Kulessa 36

xxR

xy

xy

dyyV

R

R

22

0

022

0

022

0

2

2

4

2

Pole elektryczne ma składową tylko w kierunku x. Mamy więc

dx

dVEE x

Reinhard Kulessa 37

21

222

0

21

222

0

12

2

xR

x

R

Q

xxRR

Q

xE

Po zróżniczkowaniu otrzymamy na wartość natężenie pola elektrycznego w punkcie P na osi dysku wartość:

Reinhard Kulessa 38

x

y

dr

r -

Pz

5.8 Rozkład potencjału dla zadanego ładunku na multipole (momenty multipolowe)

Aby obliczyć potencjał w punkcie P pochodzący od zadanego rozkładu ładunku w objętości stosujemy wzór (5.10).

Reinhard Kulessa 39

r

drV

)(

4

1)(

0

(5.10)

W ten sposób wyrażony potencjał, który jest funkcją wyrażenia możemy rozłożyć w szereg Taylora.ξr1

Przypomnienie!

Jeśli mamy jakąś ogólną funkcję to rozwinięcie tej funkcji w szereg Taylora wokół wygląda następująco:

),,f( 1 32 0

Reinhard Kulessa 40

jji

iji

ii i

ffff

3

1,

23

1321

)0,0,0(

!2

1)0,0,0()0,0,0(),,(

Rozwijając w szereg Taylora funkcję ;

21233

222

211 ])()()[(

11

xxxr

Policzenie odpowiednich pochodnych cząstkowych pozostawiam Państwu.

Na następnej stronie przedstawione są otrzymane wyrażenia na pochodne cząstkowe.

ξr1

Reinhard Kulessa 41

5

2

0

2

3

0

3

1)0,0,0(

r

rxxf

r

xf

rf

ijji

ji

i

i

i.t.d.

A więc dla r> możemy potencjał V(r) przedstawić następująco:

Reinhard Kulessa 42

dr

rxx

r

x

rrV

i jii

ijjiiij

3

1 ,5

2

3

)3(

!2

11)()(

dr

rxx

r

Pr

r

QrV ji

ij

ijji )()3(

!2

1)(

5

2

3

Równanie to możemy napisać w następującej postaci:(5.25)

Potencjałmonopola

Potencjał dipola

Potencjałkwadrupola

Widzimy więc, że momentem monopolowym jest całkowity ładunek układu Q. Jest to wielkość skalarna.

Reinhard Kulessa 43

Składowe wektora momentu dipolowego są następujące:

dddP )(,)(,)( 321

Powyższe jest uogólnieniem wprowadzonego poprzedniomomentu dipolowego dwóch ładunków +Q i -Q.

Trzeci człon (3cz) w wyrażeniu (5.25) możemy przekształcić do następującej postaci:

Wskazówka: korzystamy z tożsamości:

ijijjiji 2233

1

Reinhard Kulessa 44

ijij

ijji Qr

rxxcz

5

2 )3(

6

13

W wyrażeniu tym zdefiniowaliśmy tensor momentu kwadrupolowego Qij,, który w układzie kartezjańskim ma następującą postać:

dQ ijjiij )3)(( 2 (5.26)

Reinhard Kulessa 45

ij

ijjiij

r

rxxQ

r

Pr

r

QrV

5

2

3

)3(

6

1)(

(5.27)

Przedyskutujmy uzyskane wyrażenie:• kolejne składniki maleją ze wzrostem r coraz szybciej wyraz monopolowy 1/r wyraz dipolowy 1/r2

wyraz kwadrupolowy 1/r3

• tensor momentu kwadrupolowego zdefiniowany w r.(5.26 ma tylko pięć niezależnych składników. Wynika to z tego, Qij=Qjj , oraz z faktu, że Qii=0.• Ponieważ V(r) jest skalarem, każdy z momentów jest

odpowiednio mnożony przez wielkość zależną od r tak, aby uzyskać skalar.