电路基础

第七章 动态电路的状态变量分析

上海交通大学本科学位课程

第五章分析动态电路的方法主要是采用经典方法，即首先确定电路变量 ( 一般选取动态元件的记忆量： uC, iL) 建立电路微分方程，再求解之，然后求出其它电路变量。

在这一章中，将采用一种新的分析动态电路的方法：状态空间法。

状态空间法分析动态电路是在 60 年代电子计算机发展的基础上得到重视和被采用的，原先无法用手工来完成的计算量借助计算机得以实现，使这种方法得以推广。

第七章 动态电路的状态变量分析

第六章分析动态电路的方法主要是采用运算方法，即用拉氏变换的方法求解线性动态电路。

状态空间法也称状态变量法，简单地说，就是用个数最少的状态变量得到一组联立的一阶微分方程，有了这一阶微分方程组，就能够求得电路在任意时刻的全部响应。

解联立的一阶微分方程组在教学中已有熟知的解析和数值方法，便于编写计算机程序

便于推广到非线性电路和时变电路

便于借用系统理论中的现成方法确定该电路的稳定性，可控性和可观察性

状态空间法之所以受到重视，是因为有 3 个优点

第七章 动态电路的状态变量分析

电路的状态、状态变量和状态方程

“ 状态”是系统理论中的一个基本概念，也是一个抽象的概念，是用状态变量来具体描述的。

为要描述系统的性能所必须的一组最少量的数据，记成矢量 X ，如果给定 t0 时刻这组数据的值 X(t0) ，还知道 t>t0 时的输入 W ，那么，这个系统在 t>t0 时的行为就完全确定 ,X 就称状态向量 , 每个分量就称状态变量。

天气状态：温度、湿度、风向、风速等。 人体状态：体温、脉、舌苔、呼吸等。

§7.1 状态、状态变量和状态方程

经典法 以 iL 为变量 KCL iC+iL+iR=iS

KVL u=uC=uL=uR

支路方程 d

dd

d

R R

CC

LL

u Ri

ui C

ti

u Lt

2

S2

0

0

0

d d

d d(0)

d

d

L LL

L

L

t

i iLC GL i i

t ti I

Ui

t L

iC = -iL-iR+iS

uL= uC

0

0

(0)

(0)L

C

i I

u U

S

d

dd 1 1

d

CL

CL C

ui

t Lu G

i u it C C C

当 iL 求得后，可求得其它所有电路变量的响应。

§7.1 状态、状态变量和状态方程

0(0)

Li I

0(0)

Cu U

Si

C Ru LCi Ri Li

2

S2

0

0

0

d d

d d(0)

d

d

L LL

L

L

t

i iLC GL i i

t ti I

Ui

t L

S

0

0

d

dd

d(0)

(0)

CL

C CL

L

C

ui

t Lu Gu ii

t C C Ci I

u U

上面的二阶微分方程可看成是右边两个一阶微分方程组合而成，二个初始条件也是右边的电感和电容的初始状态所提供的，可以设想，右边的形式同样能用来描述电路。

状态空间法

这是一组以 iL 和 uC 为变量的联立的一阶微分方程 , 由 iL(0) ，uC(0) 提供初始值，并能求出 t>0 时的 iL 和 uC ，通过它们又能求得电路其它响应变量。

§7.1 状态、状态变量和状态方程

0(0)

Li I

0(0)

Cu U

Si

C Ru LCi Ri Li

表示成矩阵形式 S

0

0

d 100

d1

1d

d

(0)

(0)

L

L

CC

L

C

iit L iuGu

CC Ct

i I

u U

如果电路具有 n 个状态变量， m 个激励，则 A 是 nn 阶矩阵， B 是 nm 阶矩阵， A 和 B 取决于电路拓扑和元件参数。X 为状态向量，简称状态，它的分量 iL ， uC 称为状态变量

X AX BW 称为状态方程。 当 W = 0,X0≠0 时为零输入情况当 W≠0,X0 = 0 时为零状态情况当 W≠0,X0≠0 时为全响应情况

§7.1 状态、状态变量和状态方程

0(0)

X AX BW

X X

上面的例子所对应的状态向量 X 是一个二维列向量，可以认为它是由二个状态变量 iL ， uC 所组成的二维空间，这空间称状态空间。

对于由 iL ， uC 所组成的二维空间 , 可以确定一个 iL,uC 平面 , 当 t 从 0→ 变化时 iL 从 I0→iL ， uC 从 U0→uC ，这样就形成了状态变量在状态空间中运动轨迹。

电路的状态空间轨迹，能够反映该电路的特性，由于电路的特性主要是由电路的参数和拓扑结构所决定，所以一般可以只讨论零输入的情况。

Cu

Li0 0( , )I V

O

§7.1 状态、状态变量和状态方程

上左图是线性非时变 RLC 并联电路在阻尼情况下的响应曲线，中图便是以 t 为参变量，对每一个 t 值，在状态空间中状态 (iL,uC) 的轨迹。它是从 t=0 的初始状态开始，在 t=时终止于坐标原点。

Li

Cu

0 0( , )I U

tO

右图为欠阻尼情况下的状态轨迹从 t=0到 t= 时为螺旋线。

Cu

Li

0 0( , )I U0t

t O

Cu

Li

0 0( , )I U

O

§7.1 状态、状态变量和状态方程

过阻尼和欠阻尼情况，固有频率在 s复平面的开左半平面，状态轨迹在 t= 时到达原点，说明电路是渐近稳定的。

无损耗情况下的状态轨迹是以原点为对称的椭园。

Cu

LiO 若状态轨迹是中心在原点的椭园，则说明响应是等幅振荡的（固有频率在虚轴上）

当固有频率位于 s 复平面的开右半平面上，响应为增幅振荡，状态轨迹是向外发散的，电路是不稳定的。

Li

Cu

0 0( , )I U

O

§7.1 状态、状态变量和状态方程

若状态向量 X 是具有 n 个分量的 n 维列向量，则存在一个 n维空间，系数矩阵 A 就是 nn 阶矩阵， W 为表示电源的 m维列向量， B 为 nm 阶矩阵， X0 表示初始状态，状态方程同样表示成 习惯上把这种形式的线性非时变

电路的状态方程称为线性非时变正规式 ( 或标准式 ) 状态方程。

选择状态变量的要求有二条：选作状态变量的电路变量应是彼此独立的，以保证所得状态方程是与线性无关的 状态变量的个数应是个数最少，又能完全描述电路的状态，即用这些个数最少的状态变量，可求得电路中所有电路变量的响应

§7.1 状态、状态变量和状态方程

0(0)

X AX BW

X X

状态方程是以状态变量为研究对象的一组一阶微分方程，用来研究电路的动态特征。因此，选取储能元件电容上的电压 uC或电荷 q 及电感中的电流 iL或磁通作为状态变量是很自然的，因为电路中的任一响应均与 uC 或 q ， iL或有密切关系。

如果电路中有 n 个储能元件 ( 电路中不含纯电容回路或纯电感割集 ), 则就选取 n 个状态变量，这样所得的状态方程必定是线性无关的 ( 这一点和经典法是一致的，具有 n 个储能元件的电路要列 n 阶微分方程来求得 )

§7.1 状态、状态变量和状态方程

由于所求电路响应也可能是除状态变量以外的电路变量，可用 Y(t) 表示电路输出的 p 维列向量，则

Y = CX + DW

称为输出方程。输出方程是一组表示输出量与状态变量之间关系的代数方程，其中 C 和 D 分别为 pn 阶和pm 阶系数矩阵。输出方程之所以是代数方程，是因为这时的电容电压、电感电流都可以根据替代原理，分别用电压源、电流源来替代，而使电路变成纯电阻电路。

§7.1 状态、状态变量和状态方程

用状态变量法 (状态空间法 ) 进行电路分析时，要求得出两组联立方程，一组就是状态方程，一组就是输出方程 0(0)

X AX BW

X X

Y CX DW

状态方程的建立 要建立线性定常电路的状态方程，通常选取储能元件

的记忆量 uC 和 iL作状态变量 ( 或 q, )

另外，可注意到 d

dCu

Ct

d

dLiLt

表示流经电容的电流，

表示电感上的电压。为了通过状态变量来计算 d

dCu

Ct ，就必须写一个割集方程。同样，为了计算

d

dLiLt

，就必须写一个回路方程。

§7.2 状态方程的建立

由此可得到一个启示：电容必须在树支支路上，而电感必须在连支支路上。

建立状态方程的步骤

① 选一棵树，使它包含全部电容而不含电感。这样的树称常态树

② 取树支上的电容电压和连支上的电感电流作状态变量

③ 对每个电容写一个基本割集方程，对每个电感电流写一个基本回路方程

④ 消除第三步所得方程中的所有不是状态变量的那些电路变量

§7.2 状态方程的建立

§7.2 状态方程的建立

1cut

2cut

1loop

2loop

例

11 1

22 1 2

11 1 1 2 5 4

22 2 2 5 4

d1:

dd

2 :d

d1:

dd

2 :d

CL

CL L

LR C C R R

LR C R R

ucut C i

tu

cut C i it

iloop L u u u u u

ti

loop L u u u ut

3R1L

2Li1Li

1Cu4Ru

3Ri

Se

2L

1C

2C

1R

5R

4R2R

2Cu

§7.2 状态方程的建立

11 1

22 1 2

11 1 1 2 5 4

22 2 2 5 4

d1:

dd

2 :d

d1:

dd

2 :d

CL

CL L

LR C C R R

LR C R R

ucut C i

tu

cut C i it

iloop L u u u u u

ti

loop L u u u ut

从电路中可以看出， uR1=R1iL1 ， uR5=R5(iL1+iL2) ，uR2=R2iL2 。比较麻烦的是求 uR4 。

为要用状态变量来表示 uR4 ，可认为状态变量是已知量，于是可用电流源来替代图中的中间支路。

3R1L

2Li1Li

1Cu4Ru

3Ri

Se

2L

1C

2C

1R

5R

4R2R

2Cu

§7.2 状态方程的建立

11 1

22 1 2

11 1 1 2 5 4

22 2 2 5 4

d1:

dd

2 :d

d1:

dd

2 :d

CL

CL L

LR C C R R

LR C R R

ucut C i

tu

cut C i it

iloop L u u u u u

ti

loop L u u u ut

根据分压关系 44 S 3 1 2

3 4

[ ( )]R L L

Ru e R i i

R R

3R1L

2Li1Li

1Cu4Ru

3Ri

Se

2L

1C

2C

1R

5R

4R2R

2Cu

3R

4Ru

1 2L Li iSe4R 3R

4Ru1 23 ( )L LR i i

Se 4R

§7.2 状态方程的建立

1

1 1

2 22 2 4S

11 11 3 4

1 1 1 12 2

22

2 2 2

10 0 0

0

1 1 00 0

1

1 1

1

10

C C

C C

L L

L L

C

u u

C Cu u Re

Li iR R R R R

L L L Li i

LR RR

L L L

其中 3 45

3 4

R RR R

R R

§7.2 状态方程的建立

如果 uR4 和 uR5 为输出，可以用状态变量和输入表示为

3 4 3 4 44 1 2 S

3 4 3 4 3 4

5 5 1 5 2

R L L

R L L

R R R R Ru i i e

R R R R R R

u R i R i

表示成标准输出形式 1

3 4 3 4 44 2

3 4 3 4 3 4 S5 1

5 52

0 0

0 0 0

C

R C

R L

L

uR R R R R

u uR R R R R R e

u iR R

i

§7.2 状态方程的建立

例 1cut

c

d( )

dC Cu u

C it R

对 cut1 c

d

dC Cu u

it CR C

S

a b

Ce ui

R R

Sa b c a b

d 1 1[( ) ]

dC

C

uu e

t C R R R R R

Cu

bRCu

iSe

aRcR C

i

§7.2 状态方程的建立

SS

SS

d d

d ddd

d d

CC

LL

u ei C C Ce

t tii

u L L Lit t

另外，若出现电容与理想电压源并联或电感与理想电流源串联，则电容电压或电感电流将由外加电源电压或外加电源电流所决定。因此，它们不能作为状态变量，在这种情况下

此时在输出方程中将出现输入向量的导数

Y CX DW EW