函数的单调性

y=x2

从图象可以看到：图象在 y 轴的右侧部分是上升的，也就是说，当 x 在区间 [0 ， + ）上取值时，随着 x 的增大，相应的 y 值也增大，即如果取 x1 ， x2 [0 ， + ） ，得到 y1=f(x1) ， y2=f(x2 ), 那么当 x1

< x2 时有 y1< y2 。这时我们就说函数 y=x2 在 [0 ， + ）上是增函数。

图象在 y 轴的左侧部分是下降的，也就是说，当 x 在区间（ - ， 0 ）上取值时，随着 x 的增大，相应的 y 值反而随着减小，即如果取 x1 ， x2 （ - ， 0 ） ，得到 y1=f(x1) ， y2=f(x2 ),那么当 x1< x2 时有 y1> y2 。这时我们就说函数 y=x2 在（ - ， 0 ）上是减函数。

x1

x2

y1

y2

x2x1

y2

y1

y=x3

如果对于属于定义域 I内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 ， x2 ，当 x1< x2 时，

都有 f(x1) <f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是增函数

x1 x2

y=f(x)

f(x1) f(x2)

如果对于属于定义域 I内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 ，x2 ，当 x1 <x2 时，都有 f(x1) >f(x2

) ，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数

y=f(x)f(x1) f(x2)

x1 x2

如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或是减函数，那么就说函数 y=f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间中做 y=f(x) 的单调区间。在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

例 1 ：下图是定义在闭区间 [-5 ， 5] 上的函数 y=f(x) 的图象，根据图象说出 y=f(x) 的单调区间，以及在每一个单调区间上， y=f(x)是增函数还是减函数。

解：函数 y=f(x) 的单调区间有 [-5 ， -2) ， [-2 ， 1) ， [1， 3) ， [3 ， 5] ，其中 y=f(x) 在区间 [-5 ， -2) ， [1 ， 3)上是减函数，在区间 [-2 ， 1) ， [3 ，5] 上是增函数。

y=f(x)

例 2 ：证明函数 f(x) =3x+2 在 R上是增函数。

证明：设 x1 ， x2 是 R 上的任意两个实数，且 x1 < x2 ，则f(x1) -f(x2) = （ 3x1+2)-(3x2+2) =3(x1-x2) 。由 x1 < x2 ，得 x1 - x2 < 0 ，于是 f(x1) -f(x2) < 0 ，即 f(x1) < f(x2) 所以， f(x) =3x+2 在 R 上是增函数。

证明函数单调性的步骤：1 、设 x1 ， x2 属于给定区间

2 、作差 f(x1) --f(x2) 并判断符号

3 、根据函数的单调性定义肯定此命题成立

例 3 ： 证明函数x

xf1

)( 在 上是减函数。),0(

。x

xf，

xfxf

xfxf

xx，xx

xx，，xx

xx

xx

xxxfxf

xx

，，xx：

上是减函数在所以

即于是

得又由得由

则且上的任意两个实数是设证明

),0(1

)(

).()(

,0)()(

,0

,0)0(,

.11

)()(

,

)0(,

21

21

1221

2121

21

12

2121

21

21

小结： 1.有关单调性的定义； 2.关于单调区间的概念； 3. 判断函数单调性的常用方法：定义法

练习1 、如图，已知函数 y=f(x),y=g(x) 的图象（包括端点），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数。

y=f(x),y=g(x)

2

2

2 、证明函数 f(x)=-2x+1 在 R 上是减函数。

课本 P64 习题 2.3 1～5

作业