结构化学习题解答

金属钾的临阈频率为 5.464×1014s-1 ，用它作光电池的阴极，当用波长为 300nm 的紫外光照射该电池时，发射的光电子的最大速度是多少？

[ 解]

2

0 2

1mvhh

15

2

1

31

11434

2

1

31

1149

1834

1012.8

10109.9

10529.410626.62

10109.9

)10464.510300

10998.2(10626.62

sm

kg

ssJ

kg

sm

smsJ

2

1

0)(2

m

hv

对一个运动速度（光速）的自由粒子，有人作了如下推导：

式中，等号左边的物理量体现了粒性，等号右边的物理量体现了波性，而联系波性和粒性的纽带是 Planck 常数。根据上述两式及力学公式：

/hp hE

mvp

mvv

E

v

hhpmv

2

154321

/u

[ 解 ] ：微观粒子具有波性和粒性，两者的对立统一和相互制约可由下列关系式表达：

结果得出的结论。错在何处？说明理由。

知， 1 ， 2 和 4 三步都是正确的。微粒波的波长服从下式：

式中， 是微粒的传播速度，它不等于微粒的运动速度，但 3 式中用了 ，显然是错的。 在 4 式中， 无疑是正确的，这里的 E是微粒的总能量，但 5 式中 仅仅是微粒

的动能部分，两个能量是不等的，因此 5 式中也是错的（若将 E 视为动能，则 5 式对， 4 式错）。

/vhE

2

2

1mvE

u

电视机显像管中运动的电子，假定加速电压为 1000V ，电子运动速度的不确定度△ 为速度的 10% ，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？

v

[ 解 ] ：在给定加速电压下，由测不准关系所决定的电子坐标的不确定度为：

这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。

m

VCkg

sJ

meV

h

meVm

h

m

hx

10

31931

34

1088.3

1010602.110109.92

1010626.6

%102%10/2

是算符 的本征函数，求本征值。 2axxe

22

2

2

4 xadx

d

[ 解 ] ：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）Ⅲ（本征函数， 本征值和本征方程），得：

a

axe

exaexaaxeaxe

exaeaxedx

d

xexaxedx

d

xexadx

dxa

dx

d

ax

axaxaxax

axaxax

axax

ax

6

6

4442

42

)(4

)4()4(

2

2222

222

22

2

3232

322

22

2

2

22

2

2

22

2

2

因此，本征值为 。 a6

下列函数哪几个是算符 的本征函数？若是， 求出本征值。 2

2

dx

d

xxxxxex cossin,,cos2,sin, 3

[ 解 ] ：

。的本征函数，本征值为是

的本征函数；不是

；的本征函数，本征值为是

；的本征函数，本征值为是

；的本征函数，本征值为是

1cossin

),cos(sin)cos(sin

,6

1cos2,cos2cos2

1sin,sin1sin

1,1

2

2

2

2

2

2333

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

dx

dxx

xxxxdx

d

dx

dxcxxx

dx

d

dx

dxxx

dx

d

dx

dxxx

dx

d

dx

deee

dx

d xxx

是否为本征函数？若是，求出其本征值。

d

dime im 对算符和cos

[ 解] ：

imimim meimiee

d

di

的本征函数。不是算符所以

而

。的本征函数，本征值为是算符所以

d

dim

mcmimmmimd

di

md

die im

cos

cossin)sin(cos

已知一维势箱中粒子的归一化波函数为：

式中 是势箱的长度， x 是粒子的坐标（ 0 x ﹤ ﹤ ）。计算：（ a ）   粒子的能量；（ b ）   粒子坐标的平均值；（ c ）   粒子动量的平均值。

l

xn

lx

n

sin2

)( ,...3,2,1n

l l

[ 解 ] ： (a)  由于已经有了箱中粒子的归一化波函数，可采用下列两种方法计算粒子的能量：

l

xn

ldx

d

m

hxH

n

sin2

8)(

2

2

2

2

  ①将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量：

)(8

sin2

8

sin2

8

cos2

8

2

22

2

22

2

2

2

2

2

2

xml

hnl

xn

ll

n

m

h

l

xn

l

n

l

n

lm

h

l

xn

l

n

ldx

d

m

h

n

即2

22

8ml

hnEn

将动量平方的算符 作用于波函数，所得常数即为 ： 2

xp 2

xp

l

xn

ldx

dhxp

nx

sin2

4)(

2

2

2

22

)(4 2

22

xl

hnn

即

将此式代入粒子的能量表达式，得：

2

222

4l

hnpx

VTE

2

22

2

222

8

42

1

2

1

ml

hn

l

hn

mp

mT x

若不知道粒子的波函数，则可采用下列两种方法求算能量：①  解箱中粒子的 Schrodinger 方程，在求解过程中会自然得到与上述结果相同的能级表达式（参见周公度、段连云编著《结构化学基础》第二版， p27 ，北京大学出版社）。若只求粒子最低能量（零点能）的近似值，则亦可根据变分法的思路，选 为变分函数，用式：

2xxl

d

dHE

*

*

进行计算，所得结果是上述能级表达式计算所得结果的 1.0132倍。

   ② 根据受一定势能场束缚的微粒所具有的量子效应和箱中粒子的边界条件 ，箱长应该等于半波长的整数倍，即：

将此式代入 de Broglie 关系式，得：

将此式代入粒子能量的一般表达式，得：

00 lnn

nl2

l

nhhp

2

TVTE 2

2222

822

1

2

1

ml

hn

l

nh

mp

m

可根据一维箱中粒子的能级表达式，分析 En 及△ En随 n,m 及 等的变化关系，从而加深对束缚态微观粒子的量子特征的理解。

l

（ b ）由于 无本征值， 只能求粒子坐标的平均值：

x x c x xn n), ( ) (

l

nndxxxxx

0

*

2

2sin

2

2sin

22

1

2

2cos12sin

2

sin2

sin2

000

2

00

2

0

ldx

l

xn

n

l

l

xnx

n

lx

l

dxxn

xl

dxl

xnx

l

dxl

xn

lx

l

xn

l

lll

ll

l

粒子的平均位置在势箱的中央，说明它在势箱左、右两个半边出现的几率各为 0.5 ，即 图形对势箱中心点是对称的。2

n

(c) 由于 无本征值 . 可按下式计算 的平均值。 xnnxpxcxp

, xp

l

nxnxdxxpxp

0

0

cossin

cossin

sin2

2sin

2

02

0

0

l

l

l

dxl

xn

l

xn

l

nih

dxl

n

l

xn

l

xn

l

ih

dxl

xn

ldx

dih

l

xn

l

一维势箱中粒子的归一化波函数为：

式中 是势箱的长度，x 是粒子的坐标 。

l

xn

lx

n

sin2

,3,2,1n

l lx0

（ a ）分别画出 n=1 和 n=2 时粒子在势箱中的几率密度分布图；（ b ） 计算粒子在区间出现的几率；（ c ）对照图形，讨论计算结果是否合理。

[ 解 ] ：（ a ）

由上述表达式计算 ，并列表如下：

l

x

lx

l

n

lx

2sin

2

sin2

2

1

l

x

lx

l

x

lx

2sin

2

sin2

22

2

22

1

xx 2

2

2

1 和

0 1/8 1/4 1/3 3/8 1/2

0 0.293 1.000 1.500 1.726 2.000

0 1.000 2.000 1.500 1.000 0

lx /

12

1/ lx

12

2/ lx

5/8 2/3 3/4 7/8 1

1.726 1.500 1.000 0.293 0

1.000 1.500 2.000 1.000 0

lx /

12

1/ lx

12

2/ lx

根据表中所列数据作 图示于图 1.17 中。（ b ）粒子在 状态时，出现在 间的几率为：

xxn

21

ll 51.049.0 和

l

l

dxxP51.0

49.0

2

11

98.0sin02.1sin2

102.0

2sin

2

12sin

42

2

sin2

sin2

51.0

49.0

51.0

49.0

51.0

49.0

251.0

49.0

2

l

l

l

l

l

l

l

l

l

x

l

x

l

xlx

l

dxl

x

ldx

l

x

l

0399.0

粒子在 状态时，出现在 间的几率为：2 ll 51.049.0 和

l

l

dxxP51.0

49.0

2

22

0001.0

49.04sin

4

149.0

51.04sin

4

151.0

4sin

4

14sin

82

2

2sin

22sin

2

51.0

49.0

51.0

49.0

51.0

49.0

251.0

49.0

2

l

l

l

l

l

l

l

l

l

x

l

x

l

xlx

l

dxl

x

ldx

l

x

ll

l

l

l

l

l

l

l

(c) 计算结果与图形符合。

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

¦×(1)2

x

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

¦×(2)2

X