电场综合题

2001 年春 12. 一质量为 4.0×10-15kg 、电量为 2.0×10-9C

带正电质点，以 v= 4.0×104m/s 的速度垂直于电场方向从 a 点进入匀强电场区域，并从 b 点离开电场区域．离开电场时的速度为 5.0×104m/s ．由此可知，电场中a 、 b 两点间的电势差 Ua-Ub= _____ V ；带电质点离开电场时，速度在电场方向的分量为 _____ m/s ．不考虑重力作用．

解：由动能定理 qUab=1/2 m(vb2 -va

2)

Uab=1/2 m(vb2 -va

2) / q=9×102 V

由运动的合成 vy2 = (vb

2 -va

2) vy = 3×104 m/s

9×102

3×104

例 1 、一根对称的“八字”形玻璃管置于竖直平面内，如图所示。管所在的空间有竖直向下的匀强电场，电场强度 E=1000 牛 / 库。重力 G ＝ 1.0×1

0-3 牛，带电量 Q= -2×10-6 库的小物体在管内从 A 点由静止开始运动，它与管壁摩擦系数为 0.5 ，管长 A

B=BC=3 米，管的 B 处为一极短的光滑圆弧，管 AB

和 BC 与水平方向所夹的角度皆为 37°, 问（ 1 ）小物体最终静止在何处？（ 2 ）从 A 开始计算时，小物 体运动的总路程是多少？

解见下页

E=1000N/C

L=AB=BC=3 米μ =0.5

解： A—B 受力，

V

mg

qE

Nf

作匀加速运动B—C 受力，

V

mg

qE

N

f

作匀减速运动，由于有机械能损失，到不了 C 点就停止，接着返回作匀加速运动，过 B 点又作匀减速动， …最后停在 B 点. 由动能定理，对全过程，

(qE-mg)Lsin370- μ(qE-mg) cos370S=0

S=0.6 L / （ 0.5×0.8 ） =1.8/0.4=4.5m

例 2 ：如图所示匀强电场方向竖直向下，场强大小为 E ，三个质量分别为 m 、 2m 、 3 m 的小球 A 、 B、 C ， ( 其中 B 球带正电 Q ， A 、 C 两球不带电）用绝缘线连接悬于 O 点，问 (1) 当三球均处于静止状态时, A 、 B 之间的细线的张力等于多少 ?(2) 当把 OA 段细线剪断的瞬间 , A 、 B 之间的细线的张力又等于多少 ?

OA m

B 2m

C 3m

E

解 : (1) 对 BC 整体 , 受力如图 :

B

C

2mg

3mg

QE

T1

T 1 =5mg+QE

(2) 剪断 OA, AB 球一起下落 (C 自由下落 ) A m

B 2m

C 3m

QE

对 AB 整体 3mg+QE=3ma

a=g+QE/3m

对 B 2mg+QE -T 2=2ma

T 2= QE/3

例 3 、下述为一个观察带电粒子在液体中运动的实验。现进行如下操作，第一步，给竖直放置的平行电容器充电，让 A 、 B 两板带上一定电荷，油滴 P 在两板间的 匀强电场中恰能保持静止状态。第二步，给电容器的电量增加 ΔQ1 ，让油滴开始竖直向上运动 t 秒。第三步，在上一步的基础上减少电量 ΔQ2 ，观察到又经 2t 秒后，油滴刚好回到出发点。设油滴在运动中不碰板，

（ 1 ）说明在上述第二步和第三步两个过程中，带电油滴各做什么运动？

（ 2 ）求 ΔQ1 和 ΔQ2 的比值 ΔQ1/ ΔQ2

解：画出三步的示意图如图示 Q

Ⅰ

Q+ΔQ1

Ⅱ

Q +ΔQ1 – ΔQ2

Ⅲ

对Ⅰ：油滴 P 平衡有 mg=qE= qU0/d =qQ/Cd O

mg

qE0

对Ⅱ ： F 合 1= q ΔQ1 ／ Cd 方向向上做匀加速运动

O

A v1

a1= q ΔQ1 ／ Cmd

v1=a1 t s1 =1/2 a1 t2

对Ⅲ：带电量 Q +ΔQ1 – ΔQ2 = Q - Q2

即 Q2= ΔQ2 – ΔQ1

F 合 2= q Q2 ／ Cd 方向向下，向上做匀减速运动

AO

a2= q Q2 ／ Cmd

s2 = v1 t - 1/2 a2 t2 = a1 t· t - 1/2 a2 t2

s2 = - s1 1/2 a1 t2 = a1 t· t - 1/2 a2 t2

a2=5 a1/4 Q2= 5/4×ΔQ1∴ΔQ1/ ΔQ2=4/9

1999 年高考：在光滑水平面上有一质量 m=1.0×

10-3 kg 、电量 q ＝ 1.0×10-10 C 的带正电小球，静止在 O 点．以 O 点为原点，在该水平面内建立直角坐标系 Oxy ．现突然加一沿 X 轴正方向、场强大小 E ＝ 2.0×106V ／ m 的匀强电场，使小球开始运动．经过 1.0s ，所加电场突然变为沿 y

轴正方向，场强大小仍为 E ＝ 2.0×106 V ／ m 的匀强电场．再经过 1.0s ，所加电场又突然变为另一个匀强电场，使小球在此电场作用下经 1.0s

速度变为零．求此电场的方向及速度变为零时小球的位置．

x

y

EqE Vx

E

qE

Vx

VtVy

qE1

题目 下页

解 : 由牛顿定律，在匀强电场中小球加速度的大小为a=F/m=0.20m/s2 (1)

当场强沿 x 正方向时，经过 1 秒钟小球的速度大小为vx ＝ at=0.20×1.0 ＝ 0.20m/s (2)

速度的方向沿 x 轴正方向．小球沿 x 轴方向移动的距离Δx1=1/2 at2=1/2×0.2 ×1=0.10m (3)

在第 2 秒内，电场方向沿 y 轴正方向，故小球在 x 方向做速度为 vx 的匀速运动，在 y 方向做初速为零的匀加速运动沿 x 方向移动的距离 △ x2=vxt ＝ 0.20m (4)

沿 y 方向移动的距离 Δy=1/2 at2=1/2×0.2 ×1=0.10m (5)

故在第 2 秒末小球到达的位置坐标 x2 ＝△ x1＋△ x2=0.30m (6)

y2= y=0.10m (7)△ 题目 下页

在第 2 秒末小球在 x 方向的分速度仍为 vx ，在 y 方向的分速度 vy=at ＝ 0.20×1.0=0.20m/s (8)

由上可知，此时运动方向与 x 轴成 45° 角．要使小球速度能变为零，则在第 3 秒内所加匀强电场的方向必须与此方向相反，即指向第三象限，与 x 轴成 225° 角．在第 3 秒内，在电场力作用下小球做匀减速运动，则由

tVS 在第 3 秒末小球到达的位置坐标为

△ x3=vx t/2=0.2×1/2=0.1m

x3= x2 + x△ 3 = 0.40m (11)

△ y3=vy t/2=0.2×1/2=0.1m

y3=y2 + y△ 3 = 0.20m (12) 题目 上页

例 4 、质量 m 、带电量 +q 的滑块，在竖直放置的光滑绝缘圆形轨道上运动，轨道半径为 r ，现在该区域加一竖直向下的匀强电场，场强为 E ，为使滑块在运动中不离开圆形轨道，求：滑块在最低点的速度应满足什么条件？

O

A

C

B

E

+q m

解：若滑块能在圆形轨道上做完整的圆周运动，且刚能通过 B 点，划块的受力如图示：令 g 1 = g+qE/m

mg qE

必须有 mg 1=mv2 /r

rgvB 1

由动能定理： A---B

rmgmvmv AB 22

1

2

11

22

rgvA 15

O

A

C

B

E

+q m

另一种情况：若滑块最多只能在圆形轨道上运动到 C 点，则可以在 A 点两侧沿圆轨道往复摆动： 则 vC =0,

由动能定理得 rgvA 12

滑块在最低点的速度应满足的条件为

rgvrgv AA 11 520 或式中 g 1 = g+qE/m

思考：若电场强度 E 的方向向上，结果如何？

题目

5 ．两块大小、形状完全相同的金属平板平行放置，构成一平行板电容器，与它相连接的电路如图所示，接通开关K ，电源即给电容器充电 . （ ）

A ．保持 K 接通，减小两极板间的距离，则两极板间电 场的电场强度减小B ．保持 K 接通，在两极板间插入一块介质，则极板上

的 电量增大C ．断开 K ，减小两极板间的距离，则两极板间的电势 差减小D ．断开 K ，在两极板间插入一块介质，则两极板间的 电势差增大

K R

E

+

-

03 年江苏高考 5

B C

例 5 ：如图示，带电液滴 P 在平行金属板 a b 之间的电场内保持静止，现设法使 P固定，再使板 a b 分别以中点 O O′ 为轴转过一个相同角度 α 然后释放 P ，则P 在电场内将做什么运动？ ( )

A.   向右的匀速直线运动，B.    向右的匀加速直线运动，C.   斜向右下的匀加速直线运动，D.   曲线运动。

● a

bP

O

O′

解：原来平衡时 E=U/d mg=F=qE=q U/d

后来两板距离变为 dcosα

电场强度变为 E ′ =U / dcosα

F′=qE′=qU / dcosα=F/cosα

F′cosα=F=mg 所以 粒子在作用下向右匀加速直线运动

α

mg

F′F

F1

B

  (A)若电子是在 t=0 时刻进入的 , 它将一直向 B 板运动 (B)若电子是在 t=T/8 时刻进入的 , 它可能时而向 B 板运动 ,

时而向 A 板运动 , 最后打在 B 板上 (C)若电子是在 t=3T/8 时刻进入的 , 它可能时而 向 B 板运动 , 时而向 A 板运动 , 最后打在 B 板上 (D)若电子是在 t=T/2 时刻进入的 ,

它可能时而向 B 板、时而向 A 板运动

94 高考 : 图中 A 、 B 是一对平行的金属板 . 在两板间加上一周期为T 的交变电压 u. A 板的电势 UA=0, B 板的电势 UB随时间的变化规律为 :

在 0 到 T/2 的时间内 ,UB=U0( 正的常数 ); 在 T/2 到 T 的时间内 . UB

= U0;

在 T 到 3T/2 的时间内 ,UB=U0; 在 3T/2 到 2T 的时间内 . UB= U0…

…,

现有一电子从 A 板上的小孔进入两板间的电场区内 . 设电子的初速度和重力的影响均可忽略 ,则 ( ) B

A

u

A B

U0

-U0

T/2 T 3T/2 2T

画出 u—t图

题目

t

u

画出 v—t 图A.t=0 进入 0 T/2 T 3T/2 2T

vt

B. t=T/8 进入

vt

0 T/2 T 3T/2 2T

u—t 图

U0

-U0

T/2 T 3T/2 2T

C. t=3T/8 进入v

t 0 T/2 T 3T/2 2T

D. t=T/2 进入

vt 0 T/2 T 3T/2 2T

∴C D都 错误，只有 A B 正确题目

例 6 ：如图 a 所示： A 、 B 为一对平行金属板，间距足够大，分别接在交流电源的两端，其两端电压如图 b 所示规律变化，一个不计重力的带电粒子原来静止在 A 、 B 正中间位置处，哪个时刻释放粒子，一定能打到某个金属板上？

uAB

0 T/4 T t

A B

uAB

● P

解：在 t=T/4 时刻释放，所加的力类似振动图线的回复力 ， 作 简谐振动

在其它时刻释放 ,同样碰板 .

结论 :只要在 t≠(2n+1)T/4

(n=0 、 1 、 2 ……) 时释放，就一定打到某一金属板上

在 t=3T/4 时刻释放，同上在 t=0 时刻释放，复杂运动，用叠加的办法 :

在 t=T/4 时，这时若 v=0 受力作简谐振动 若不受力 ,已有速度， v≠0 ，做匀速直线运动

现在既受力，又有速度，将是两种运动的叠加，一定碰板。

04 年上海 10 10 ．在光滑水平面上的 O 点系一长为 l 的绝缘细线，线的另一端系一质量为 m 、带电量为 q 的小球 . 当沿细线方向加上场强为 E 的匀强电场后，小球处于平衡状态 . 现给小球一垂直于细线的初速度 v0 ，使小球在水平面上开始运动 .若 v0很小，则小球第一次回到平衡位置所需时间为 .

解：因为 v0很小，小球将在电场力和细线拉力的作用下在平衡位置做简谐振动，以电场力 qE代替一般单摆中的 mg ，其周期为 T

qE

ml

mEq

lT 22

qE

mlTt 2/

qE

ml v0OE

04 年上海 7 光滑水平面上有一边长为 l 的正方形区域处在场强为 E 的匀强电场中，电场方向与正方形一边平行。一质量为 m 、带电量为 q 的小球由某一边的中点，以垂直于该边的水平初速 v0 进入该正方形区域。当小球再次运动到该正方形区域的边缘时，具有的动能可能为（ ）

A ． 0 .. lqE2

1mv

2

1B 2

0

.. 20mv

2

1C .. lqE

3

2mv

2

1D 2

0

A B C

解： 因为题中有两个不确定：运动的末位置不确定；电场方向不确定，因此要分别讨论。

设小球从 a 点运动到 b 点时，如图示：

D

a b

A B

C

v0

由动能定理 W=1/2 mvb2 - 1/2 mv0

2

其动能 EKb =1/2 mvb2 = 1/2 mv0

2 + W

若电场方向垂直于水平面（图中纸面）则W=0 ， C 正确若电场方向沿 AB 方向，则W=qEl ，题中无此答案 .

若电场方向沿 BA 方向， W=-qEl ， 当 1/2 mv0

2 =-qEl 则 EKb =0 A 正确若电场方向沿 AD 方向，小球从 a 点运动到 C 点时

EKb =1/2 mvb2 = 1/2 mv0

2 + 1/2 qEl B 正确

04 年全国理综 一带正电的小球，系于长为 l 的不可伸长的轻线一端，线的另一端固定在 O 点，它们处在匀强电场中，电场的方向水平向右，场强的大小为 E ，已知电场对小球的作用力的大小等于小球的重力，现先把小球拉到图中的 P1 处，使轻线拉直，并与场强方向平行，然后由静止释放小球，已知在经过最低点的瞬间，因受线的拉力作用，其速度的竖直分量突然变为零，水平分量没有变化，则小球到达与 P1 点等高的 P2 点时速度的大小为 （ ）

0.2.2.. DglCglBglAE

P2P1 O

E

P2P1 O

解：小球受力如图示， qE=mg

mg

qE

F 合

由静止释放小球，小球在合力作用下做匀加速直线运动到最低点的速度为 v ，由动能定理得 glv 2

glvvv yx 245cos

因受线的拉力作用，速度的竖直分量 vy 突然变为零从最低点起，小球将做圆周运动，到 P2 处的速度为 vt ，由动能定理得 qEl -mgl =1/2mvt

2- 1/2mvx 2

glvv xt 2

04 年全国理综 21 、

Cd

Qlq

一平行板电容器的电容为 C ，两板间的距离为 d ，上板带正电，电量为 Q ，下板带负电，电量也为 Q ，它们产生的电场在很远处的电势为零。两个带异号电荷的小球用一绝缘刚性杆相连，小球的电量都为 q ，杆长为 l ，且 l<d 。现将它们从很远处移到电容器内两板之间，处于图示的静止状态（杆与板面垂直），在此过程中电场力对两个小球所做总功的大小等于多少？（设两球移动过程中极板上电荷分布情况不变） （ ）

)( ldCd

Qq

Qd

ClqC ． D ．

A ． B ． 0

A

+q

-q

+Q

-Ql

+q

-q

+Q

-Ql

解：在电场中，带正电荷的小球所在处的电势为 U1 ，带负电荷的小球所在处的电势为 U1 ， 将电荷从很远处移到电容器内两板间，电场力对两球分别做功为 W1 、 W2 ，

由电场力做功的定义 W=qU 始终 = q （ U 始 -U 终）

W1 = q （ 0-U1 ） W2 = -q （ 0 –U2 ）

电场力对两个小球所做总功的大小为 W

W= W1 + W2 = q （ U2-U1 ）

=-qEl= -qlu/d=- qlQ ／ Cd