拉格朗日第二类方程

2023年4月19日星期三理论力学CAI 分析力学基础

1

拉格朗日第二类方程拉格朗日第二类方程

• 方程的推导方程的推导

• 拉格朗日函数拉格朗日函数

• 方程的初积分方程的初积分

分析力学基础 / 拉氏第二类方程


2

方程的推导分析力学基础 / 拉氏第二类方程

质点系 ),,,( 21 nPPP

q r r r 1 2T T T T

n笛卡儿坐标阵

约束方程

13 nR

广义坐标r r wk k t ( , )

T21 www w

nk ,,1

1jj

j

kk w

w

rr

0)(1

a

1

T

n

kkkk

j j

kj m

ww Fr

r

z

y

xO

kPnP

2P

1PakF

a1F

anF

a2F

kr

0)(1

aT

n

kkkkk m Frr

1 R

等时变分


3


0)(1

a

1

T

n

kkkk

j j

kj m

ww Fr

r

01

a

T

1

T

1

n

kk

j

kn

kk

j

kk

jj ww

mw Fr

rr

n

k j

kkj w

Q1

aT

r

F

01

T

1

j

n

kk

j

kk

jj Q

wmw r

r

改变求和次序


4


tw

wk

jj

j

kk

rr

r 1

j

k

j

k

ww

rr

i

k

jj

ij

k

i

k

wtw

www

rrr 2

1

2

tww

wwwt i

k

jj

ji

k

i

k

rrr 2

1

2

d

d

j

k

j

k

wwt

rr

d

d

r r wk k t ( , )

辅助公式0

1

T

1

j

n

kk

j

kk

jj Q

wmw r

r

导数

),,( tk wwfr 偏导数

导数 twi

k ,wr


5


n

kk

j

kk w

m1

T

rr

k

n

k j

kk

n

kk

j

kk wt

mwt

m rr

rr

1

T

1

T

d

d

d

d

k

n

k j

kk

n

kk

j

kk w

mwt

m rr

rr

1

T

1

T

d

d

n

kkkk

j

n

kkkk

j

mw

mwt 1

T

1

T

2

1

2

1

d

drrrr

01

T

1

j

n

kk

j

kk

jj Q

wmw r

r

j

k

j

k

ww

rr

j

k

j

k

wwt

rr

d

d

jj w

T

w

T

t

d

d

n

kkkkmT

1

T

2

1rr

kj

kk

j

kk

j

k

wwtwtr

rr

rr

r TTT

d

d

d

d


6


01

T

1

j

n

kk

j

kk

jj Q

wmw r

r

0d

d

1

j

jjjj Q

w

T

w

T

tw

jjj

Qw

T

w

T

t

d

d

拉格朗日第二类方程

jj

n

kk

j

kk w

T

w

T

twm

d

d

1

T

rr

以动能表达的动力学普遍方程个广义坐标的变分 wj相互独立


7


jjj

Qw

T

w

T

t

d

d拉格朗日第二类方程

012 TTTT

1 1 12 2

1

i jji

n

k j

k

T

i

kk ww

wwmT rr

1 1

T

1j

j

n

k

k

i

kk w

twmT rr

1 1

T

0 2

1

i

n

k

kkk tt

mTrr

n

kkkkmT

1

T

2

1rr

广义速度的二次的齐次式

广义速度的一次的齐次式广义速度的零次的齐次式

拉格朗日方程是广义坐标的二阶微分方程

对于定常约束

)(wrr kk

001 TT

2TT

n

k

k

jj

j

kk

ii

i

kk t

wwt

ww

m1 1

T

12

1

rrrr

tw

wk

jj

j

kk

rr

r 1


8

分析力学基础 / 拉氏第二类方程 / 例

[ 例 ]

建立一质量为 m的自由质点的动力学方程


9

分析力学基础 / 拉氏第二类方程 / 解

[ 解 ]

动能

RF惯性基 e

O

广义坐标

O

x

y

z

r

一自由质点的自由度为 3

Tzyxr

)(2

1 222 zyxmT

zmz

Tym

y

Txm

x

T

,,

合力的虚功 zFyFxFW zyx RRR

合力的广义力 zzyyxx FQFQFQ RRR ,,

0,0,0

z

T

y

T

x

T

jjj

Qw

T

w

T

t

d

d

RxFxm

RyFym

RzFzm

:x

:y

:z 动量

牛顿方程


10

分析力学基础 / 拉氏第二类方程 / 例

[ 例 ]建立定轴转动刚体的动力学方程

O


11


[ 解 ]

动能

bz

y

Ox

A

F

OM

惯性基 e

O

广义坐标自由度为 1 连体基 be

O

bx

by

z

2

2

1 OzJT

主动力向点 O的简化 OM

OzMW 主动力的虚功

主动力的广义力

F

OzMQ

jjj

Qw

T

w

T

t

d

d

OzJ

T

0T

动量矩

OzOz MJ


12

节名 / 小节名 (/ 小小节名 ) 分析力学基础 / 拉氏第二类方程 / 例

[ 例 ]变摆长的摆套在环上，摆绳原长为 l0 ，以匀速 v向下拉小球视为质点，质量为 m

建立此摆的的动力学方程

O

v

0l


13


[ 解 ]

O

gm

v

x

y惯性基 e

O

cos)( 0 vtlx y l vt ( ) sin0 小球速度

关于广义力主动力 gm

以小球为对象广义坐标

小球笛卡儿坐标

cossin)( 0 vvtlx

sincos)( 0 vvtly

2220

22

2

1)(

2

1)(

2

1mvvtlmyxmT

小球动能

sin)( 0 vtlmgQ

cos)( 0 vtl

mgxV

V

Q

非定常约束

2T 0T


14


O

gm

v

x

y

( ) sinl vt v g0 2 0 小球动力学方程

2220

22 )(2

1)(

2

1vvtlmyxmT

0T

，

20 )( vtlm

T

)(2)(d

d0

20 vtlmvvtlm

T

t

jjj

Qw

T

w

T

t

d

d

sin)()(2)( 002

0 vtlmgvtlmvvtlm

sin)( 0 vtlmgQ


15

分析力学基础 / 拉氏第二类方程 / 解 / 例

[ 例 ]

EXIT

一双质点摆，摆球 P1 与 P2 的质量分别为 m1 与 m2 ，摆长分别为 l1 与 l2

O

1P

2P

试利用拉格朗日第二类方程建立该双质点摆的动力学方程


16


[ 解 ]

EXIT

惯性基 e

O

x

y

广义坐标自由度为 2

1P

2P导数

O

11

2

2

111 sinlx

22112 coscos lly 111 cosly 22112 sinsin llx

1111 sin ly 2221112 sinsin lly 1111 cos lx 2221112 coscos llx

)(2

1)(

2

1

2

1

2

1 22

222

21

211

222

211 yxmyxmvmvmT

动能

)cos(22

1

2

1122121

22

22

21

212

21

211 llllmlmT

摆球坐标


17


EXIT

)cos(22

1

2

1122121

22

22

21

212

21

211 llllmlmT

)cos()( 12221212

1211

llmlmmT

)sin( 12212121

llmT

)sin()()cos()(d

d121222121222121

2121

1

llmllmlmmT

t

)sin( 12212122

llmT

)sin()()cos(d

d121212121212122

222

2

llmllmlmT

t

)cos( 1212122222

2

llmlmT


18


EXIT

Ox

y

1r

1P

2Pgm

1

gm

2

2r

21 ygmygmW

1111 sin ly

222211121 sinsin)( glmglmmW

主动力广义力

2221112 sinsin lly

1111 cos ly 2221112 coscos lly

sinsin)( 1211211glmglmmQ

222 sin2

glmQ


19


EXIT

)sin( 12212121

llmT

1212221212221212

1211

sin()()cos()(d

d

llmllmlmmT

t

sinsin)( 1211211glmglmmQ

121122222122221121 sin)()sin()cos()( gmmlmlmlmm

2212211212112222 sin)sin()cos( gmlmlmlm

)sin( 12212122

llmT

)sin()()cos(d

d121212121212122

222

2

llmllmlmT

t

222 sin2

glmQ

双质点摆的动力学方程 jjj

Qw

T

w

T

t

d

d

:1

:2


20

拉格朗日函数

• 势力场拉格朗日第二类方程

• 拉格朗日第二类方程其他形式

分析力学基础 / 拉氏第二类方程 / 拉格朗日函数


21

势力场拉格朗日第二类方程分析力学基础 / 拉氏第二类方程 / 拉格朗日函数

质点系的主动力为有势力

广义力

势能函数 wV

jj w

VQ

,,1j

jjj

Qw

T

w

T

t

d

d

0

jw

V

,,1j

0d

d

jjjj w

V

w

T

w

V

w

T

t

jw

V

拉格朗日函数 VTL

0d

d

jj w

L

w

L

t

,,1j势力场拉格朗日第二类方程


22

拉格朗日第二类方程的其他形式分析力学基础 / 拉氏第二类方程 / 拉格朗日函数

质点系的主动力为有势力又有非势力

有势力广义力

有势力势能函数 wV

jj w

VQ

jjj

Qw

T

w

T

t

d

dj

j

Qw

V

拉格朗日函数 VTL

jjj

Qw

L

w

L

t

d

d ,,1j拉格朗日第二类方程

非势力广义力 jQ

所有主动力的广义力 jjj QQQ ,,1j


23

分析力学基础 / 拉氏第二类方程 / 拉格朗日函数 / 例

[ 例 ]

EXIT

一单摆 B2 （不计）的支点固定在一可沿光滑的水平直线轨道平行移动的滑块 B1 上

利用拉格朗日第二类方程建立系统的动力学方程，且分析系统的运动


24

分析力学基础 / 拉氏第二类方程 / 拉格朗日函数 / 解

[ 解 ]

EXIT

惯性基 e

O

滑块连体基 11 e

C

O

y

x1x

1y

1C广义坐标

滑块速度

二自由度

动能

x

x

摆的速度

xvC 1

1Cv

et1

r1 222 CCC vvv

et1 2Cv

r1 2Cv

2Cv

xvv CC 12

et1 lv C r

1 2

)cos(2)()( et1

r1

2et1

2r1

2

22222 CCCCC vvvvv

cos2222 xlxl

22

21 21 2

1

2

1CC vmvmT

动点 C2 的速度

cos22

12

22

222

21 xlmxmlmxm

2C


25


EXIT

惯性基 e

O

O

y

x

1x

1y

1C

2C

gm

1

广义坐标

gm

2

x

x

1Cv

cos22

12

22

222

21 xlmxmlmxmT

主动力为有势力以 y=0 为零势面

cos2 glmV

拉格朗日函数

系统的势能

VTL

coscos22

122

22

222

21 glmxlmxmlmxmL


26


EXIT

惯性基 e

O 广义坐标 x 拉格朗日函数

coscos22

122

22

222

21 glmxlmxmlmxmL

cos)( 221

lmxmm

x

L

cos22

2 xlmlmL

0sincos)( 22221 lmlmxmm

0sincos gxl

0

x

L

sinsin 22 glmxlmL

:x:

0d

d

jj w

L

w

L

t


27


EXIT

运动分析 1 ( 摆球 )


0sincos gxl O

y

x

2C

x

1Cv

0sin)(

cossincos)(

21

22

2221

gmm

lmlmlmm

微振动的情况，令 sin 1cos 为小量

0)( 211 gmmlm

摆作微振动的周期为 gmm

lmT

)(2

21

1

线性化


28


EXIT

运动分析 2 ( 滑块 )O

y

x

2C

x

1Cv

系统动量 px 守恒

0

x

L

0d

d

x

L

x

L

t

0d

d

x

L

t

clmxmmx

L

cos)( 221

令系统初始时， B1 与 B2 的速度为零 0c

cos21

2 lmm

mx

221

2 sin clmm

mx

dcosd21

2 lmm

mx

coscos22

122

22

222

21 glmxlmxmlmxmL


0sincos gxl


29


EXIT

讨论 1

O

y

x

2C

x

1Cv

221

2 sin clmm

mx

摆球质心的水平位置 sin12

lxx CC 系统质心的水平位置

21

21 21

mm

xmxmx CC

C

21

221 sin

mm

lmxmxm

sin21

2 lmm

mx

2cxC

令系统初始时， B1 与 B2 的速度为零

系统在运动的过程中系统质心的水平位置保持不变

滑块质心的水平位置 xxC 1

C


30


EXIT

讨论 2

O

y

x

2C

x

1Cv

221

2 sin clmm

mx

摆球质心位置

摆球的运动轨迹的方程

令系统初始时， B1 与 B2 的速度为零

sin2

lxxC

cos2

lyC

2222

2

1

222

)(1 lycxm

mCC

C

sin21

12 l

mm

mc

椭圆摆


31

方程初积分

• 循环积分

• 广义能量积分


如果可由拉格朗日方程得到联系广义速度、广义坐标、时间与一常数的方程时，称它们为拉格朗日方程的初积分


32

循环积分分析力学基础 / 拉氏第二类方程 / 拉格朗日函数

如果 L不显含广义坐标 wj 称 wj 为循环坐标

0

jw

L 0d

d

jw

L

t

0d

d

jj w

L

w

L

t

对于势力场

)(常数cw

L

j

初积分循环积分

为关于 wj 的广义动量 jw

L

循环积分的物理意义为对应循环坐标的广义动量守恒

wj 为位置坐标

jw

L 该坐标方向的动量

wj 为姿态坐标该坐标方向的动量矩


33

1d

d

j jj

jj w

Lw

w

Lw

t

L

广义能量守恒


t

L

w

Lw

w

Lw

t

L

j jj

jj

1d

d

tLVTL ,,ww

1 d

d0

j jj

jj w

Lw

w

L

tw

1 d

d

d

d

j jj

jj w

Lw

w

L

tw

t

L

0d

d

1

j jj L

w

Lw

t

1d

d

j jj w

Lw

t

如果拉格朗日函数 L不显时间 t

1 d

d

j jj w

Lw

t

势力场 0d

d

jj w

L

w

L

t

jw

,,1j


34


0d

d

1

j jj L

w

Lw

t

如果拉格朗日函数 L不显时间 t 势力场

)(1

常数cLw

Lw

j jj

cVTw

Tw

j jj

1 ww ,LVTL

wVV

012 TTTT 2

1

2 2Tw

Tw

j jj

11

1 Tw

Tw

j jj

01

0

j jj w

Tw

cVTTTTT 012122

)(02 常数cVTT 广义能量积分

雅可比在研究相对运动时得到的，也称为雅可比积分


35


如果拉格朗日函数 L不显时间 t 势力场

)(02 常数cVTT 广义能量积分

当约束为定常时，动能不显含时间 t

1 1 12 2

1

i jji

n

k j

k

T

i

kk ww

wwmTT rr

1 1

T

1 0j

j

n

k

k

i

kk w

twmT rr 0

1 1

T

0

i

n

k

kkk tt

mTrr

)(常数cVT 定常约束系统的机械能守恒，称为能量积分


36

分析力学基础 / 拉氏第二类方程 / 拉格朗日函数 / 例

[ 例 ]

EXIT

v

h

1B

2B水平面上一斜面 B1 上有一

滑块 B2 ，质量分别为 m1 与m2 。斜面倾角为

(1) 设初始时 B2 在 B1 的顶点，两物体均无速度求当滑块 B2

下滑离开斜面时 ( 落差为 h) ，求 B1 的速度与 B2 相对斜面的速度

(2) 如果斜面 B1 在力的作用下以匀速 v向右运动，求滑块B2 脱离斜面时，它相对斜面的速度


37


[ 解 ] (1)

EXIT

O

y

x

1x

1y

1O

2C

1x

1v

et1 2Cv

r1 2Cv

2Cv

2x

h

1B

2B惯性基 e

O B1的连体基1

1 e

O

两个自由度

O1绝对坐标斜面速度 (平动 )

C2相对坐标 2x1x

11 xv 滑块速度 e

t1r

1 222 CCC vvv

11et1 2

xvv C 2r1 2

xv C

cos2)()( et1

r1

2et1

2r1

2

22222 CCCCC vvvvv

cos22

1

2

121

21

222

211 xxxxmxmT

广义坐标

cos2 2121

22 xxxx


38


EXIT

O

y

x

1x

1y

1O

2C

1x

2x

2y

1B

2B

惯性基 e

O B1的连体基1

1 e

O两个自由度

O1绝对坐标 C2相对坐标 2x1x

B1 作水平平动

B2 质心垂直方向的位移 sin22 xy 作功主动力 gm

2

sin22222 xgmygmV

主动力 gm

1 不作功

01 V

初始位置为零势面

系统势能 sin2221 xgmVVV

势能


39


EXIT

惯性基 e

O B1的连体基1

1 e

O两个自由度 O1绝对坐标 C2相对坐标 2x1x

sincos2)(2

122212

222

2121 xgmxxmxmxmmVTL

cos22

1

2

121

21

222

211 xxxxmxmT sin22 xgmV

x1 为循环坐标 cxL 1循环积分

122121 cos)( cxmxmm 01 xL

0 tL 能量积分（定常约束） cVT

2222122

222121 sin2cos2)( cxgmxxmxmxmm

找初积分


40


EXIT

122121 cos)( cxmxmm 222212

222

2121 sin2cos2)( cxgmxxmxmxmm

t = 0

01 x

01 c

0cos)( 22121 xmxmm

O

y

x

1x

1y

1O

2C

1x

2x

2y

1B

2B

初积分方程

02 x 02 xcx 1

02 c

定常数

0sin2cos2)( 222122

222121 xgmxxmxmxmm

降阶的动力学方程


41


EXIT

0cos)( 22121 xmxmm

0sin2cos2)( 222122

222121 xgmxxmxmxmm

cos)( 2

21

21 x

mm

mx

sin2

sin2

22

21

221 xgxmm

mm

ghxmm

mm2

sin 22

21

221

滑块离开斜面 sin/2 hx

滑块相对斜面的速度

221

212

r2 sin

)(2

mm

mmghxv

O

y

x

1x

1y

1O

2C

1x

2x

h

1B

2B

)sin)((

2cos

22121

211

mmmm

ghmxv

斜面的速度


42


[ 解 ] (2)

EXIT

O

y

x

1x

1y

1O

1C

v

et1 2Cv

r1 2Cv

2Cv

2x

1B

2B惯性基 e

O B1的连体基1

1 e

O

广义坐标 C2相对坐标 2x滑块速度 e

t1r

1 222 CCC vvv

vv C e

t1 2 2r1 2

xv C cos2)()( e

t1r1

2et1

2r1

2

22222 CCCCC vvvvv

cos22

12

2222 xvvxmT

斜面 B1 以匀速 v向右运动，已知系统的自由度为 1

系统势能 sin22 xgmV

cos2 222

2 xvvx

系统动能

对象滑块

2y


43


EXIT

O

y

x

1x

1y

1O

1C

v

2x

h

1B

2B

惯性基 e

O B1的连体基1

1 e

O

广义坐标 C2相对坐标 2x

cos22

12

2222 xvvxmT

sin22 xgmV

220 2

1vmT

cos'21 xvT

2222 2

1xmT

sin)cos2(2

12222

222

22 xgmxvmxmvmVTL

0 tL 广义能量积分 cVTT 02

cxgmvmxm sin2

1

2

122

22

222

找初积分


44


EXIT

O

y

x

1x

1y

1O

1C

v

et1 2Cv

r1 2Cv

2Cv

2x

h

1B

2B

惯性基 e

O B1的连体基1

1 e

O

广义坐标 C2相对坐标 2xcxgmvmxm sin

2

1

2

122

22

222

t = 0

02 x 2/22vmc

0sin2

122

222 xgmxm

ghxv 22r2

滑块离开斜面 sin/2 hx

滑块相对斜面的速度

定常数

02 x降阶的动力学方程


45

小结 • 方程的建立– 确定系统广义坐标

• 通过约束运动学分析– 系统动能的广义速度的表达式

• 速度分析• 速度的广义速度的表达式

– 系统主动力的广义力的表达式• 坐标法• 速度法• 对于有势系统写出系统势能的广义坐标表达式

– 代入方程得到系统二阶微分方程组

• 有势系统利用初积分– 速度层次上的关系式– 常数取决于初始条件– 降阶的动力学方程



46

比较分析力学基础 / 拉氏第二类方程 / 拉格朗日函数

拉格朗日第二类方程矢量力学独立坐标方法 aFwm

不考虑约束力

)(tw

动力学方程

未知变量

约束力的处理直接得不到约束力

建方程的过程利用运动学关系写出动能

jjj

Qw

T

w

T

t

d

d

利用运动学关系写出广义力利用功能关系写出势能

利用运动学关系写出动量或动量矩

考虑约束力

以不出现约束力为原则利用动量或动量矩定理

)(tw

直接得不到约束力

程式化比较程式化高程式化低

拉格朗日第二类方程

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