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2002 年 11月

平面向量的数量积

},{},,{ 2211 yxbyxa

a · b =| a || b |cos

O Aa

B

b

2121 yyxxba

几何意义几何意义 ::

O Aa

B

b

┐B'

数量积 a · b 等于a 的长度 | a | 与 b 在 a 的方向上的投影 | b |cos 的乘积 .

一、求向量的夹角问题

三、证明不等式问题

二、求向量的长度问题

0,90 baba 即②

，的夹角为、，、两非零向量 baba )0(

;cosba

ba

①

.

,1800

bababa

∥即

或③

一、求向量的夹角问题

例 1：

。与，求向量，∥且

，，，，已知：

caacba

ycba

}1{}12{1

性质 :

设 a ， b 都是非零向量， e 是与 b 方向相同的单位向量，是 a 与 e 的夹角 , 则

a b⊥ =/2cos=0(1) e · a = a · e=| a |cos.

(3) 当 a 与 b 同向时 ,a · b=|a||b|; 当 a 与 b 反向时 ,a·b=-|a||b|.

特别地 ,a · a ( 或写成 a 2)=| a |2 或 | a |=√a · a .

(4)cos=( a · b )/(|a||b|).

| a || b |cos=0

a · b =0

a · b =| a || b |cos

(2)a b⊥ a · b =0.

(5)| a · b |≤| a || b |. 向量 a 与 b 共线

| a · b |= | a || b |

解： 由于 ,b

∥a 故存在实数 k ， 。使 },2{ kkbka

,5

1,1)2(,1 222 kkka 即又

,5

5k

}.5

5,

5

52{},

5

5,

5

52{ aora

。即，得，∥由

}2,1{,2,02)1(

,0,

cyy

bcbcacba

。与，求向量，∥且

，，，，已知：

caacba

ycba

}1{}12{1例 1：

例 2：的夹角。与求

，，已知：

b

7,5,30

a

cbacba

,0 cbacba

，

2

15

2

92549

2

222

bac

ba

,2

1θcos

ba

ba

解：

。3

θ

,)(, 22 cbacba

,2 222 cbbaa 即

22 aaaa

aaa 或

22},,{ yxayxa

二、求向量的长度问题

.3,3231 的值求及设 bababa

3)23(23,323 22 bababa

,94129 22 bbaa即

,1,1 22 baba又

22 693 bbaaba

例 3：

解：

,3

1 ba

32

应用平面向量的数量积中的某些不等式，比如：

222)(, babababa

等可证明一些常见的不等式。

三、证明不等式问题

334422: bababa 求证

证明 : },,{},,{ 22 baba 构造向量

,, 4422 baba

，的夹角为、令

, )0( ],1,1[cos

,cos

442233 bababa

当且仅当 a=b≥0 时 , 等号成立 .

例 4：

.ACP:

}.2

3,

2

1{,

),3,4(),33,2(:

的距离到直线求

的一个单位向量为若向量上一点

是平面平面上点已知

eAC

CAP

)3,4( A

)33,2(P

d

GC

222 AGPAd 22 )cos( PAPA

22 )( ePAPA

3)63(486 22

3d

。的距离为到直线即 3ACP

例 5：

解：

四四 .. 小结小结 平面向量数量积

a · b=| a | | b | cos

五条重要性质数形结合

几何意义

复习

应用

1 ，夹角2 ，长度3 ，不等式

五五 .. 巩固作业巩固作业

2 ，若 x ， y 为正数，求证： 4)11

)(( yx

yx

）。）（（）（

，求证：、、、设22222

,1

dcbabdac

Rdcba

已知 a={cosa,sina}, b={cos ,sin },a 和 b 满足关系 ka+b = a-kb , 其中 k>0.

(1) 用 k 表示 a, b

(2) 求 a, b 的最小值，并求此时 a 与 b 的夹角的大小

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