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第四节 积分的换元法

一、不定积分的换元法

二、定积分的换元法

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在第二节已经看到不定积分的运算与求导

)()]([))](([d

d '' xxFxFx

一、不定积分的换元法

运算是互逆的，回顾复合函数的求导法则：

由原函数与不定积分的定义，从 (1) 式有 CxFxxxF )]([d)()]([ ''

如果设 ),(),()(' xuufuF 则 )]([)]([' xfxF

由此得到不定积分的第一换元法．

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定理 1 设

可导，则 )(

' |d)(()]([d)()]([ xuuufCxFxxxf

注 (1) 上式求不定积分可按以下步骤进行

CuFuuf )(d)( )(xu ，

xxxfxxg d)()]([__________

d)( '恒等变形

)(d)]([________

xxf 凑积分 )(]d)([

_________xuuuf 换元

CuF xu )(|)(_______

积分 CxF )]([________

回代

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(2) 在凑微分时，要考虑不定积分 uuf d)(

可求 .

(3) 设 CuFuuf )(d)(

公式， CxFxxfxxxf )]([)(d)]([d)()]([ '

了基本积分公式的使用范围．

表明了基本积分公式中的积分变量换成任一可微函数，公式仍成立，这就大大扩充

是某一个基本积分

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例 1 求 xxx d4 2．

解 )4(d42

1d4 222 xxxxx 因为

所以令 24 xu ，则

uuxxx d2

1d4 2

12

Cu 2

3

3

2

2

1

Cx 2

32 )4(

3

1

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例 2 求 xxd3sin ．

解 )3(d3sin3

1d3sin xxxx

Cx 3cos3

1

例 3 求 )tan1(cos

d2 xx

x．

解

x

x

xx

x

tan1

tand

)tan1(cos

d2

x

x

tan1

)tan1(d

Cx |tan1|ln

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例 4 求 )ln32(

d

xx

x．

解

x

x

xx

x

ln32

)ln32(d

3

1

)ln32(

d

Cx |ln32|ln3

1

以上几例都是直接用凑微分求积分的，

这里熟悉一些“凑微分”是非常有用的 .

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下面介绍几个凑微分的等式供参考，

);(d1

d baxa

x

以下 a,b 为常数， a≠0 ．

);(d2

1)(d

2

1d 22 bax

axxx

);ln(d1d

bxaax

x

);(2

)(2 bxada

xdx

dx

);1

(dd

2 xx

x

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);(dd xx exe );(sinddcos xxx

);(cosddsin xxx );(tanddsec2 xxx

;secddtansec xxxx

)(arcsind1

d2

xx

x

)(arctand1

d2

xx

x

等等．

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例 5 求 xxdsec4 ．

解 )(tandsecdsec 24 xxxx

)(tand)1(tan2 xx

Cxx tantan3

1 3

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xxxxxxx dsin2

1d5sin

2

1d2cos3sin

Cxx cos2

15cos

10

1

例 6 求 ． 解

xxx d2cos3sin

可转化成与例 3 类似的积分．

此题不能像前面的例题那样直接凑微分，由积化和差公式， sin3xcos2x=(sin5x+sinx) ，

类似的可求∫ sin mx cos nxdx,

∫sin mx sin nxdx 的积分 .

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例 7 求 xxd3sin 2 ． 解 xx d)6cos1(

2

1

例 8 求 xxdsin3．

解 xxxxxxx cosd)1(cosdsinsindsin 223

xxxx cosd)1(cosdsin 23

xxd3sin 2

Cxx

6sin12

1

2

由于被积函数 x3sin 是奇次幂，

于是 313cos cosx x C

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例 9 证明

Ca

x

xa

xarcsin

d22

证

2

22

)(1

)(dd

ax

ax

xa

x

(a>0) ．

Ca

xarcsin

例 10 求 )2(

d

xx

x．

解 被积函数是一个真分式的有理函数，

可用简化分母的方法求解，即把 )2(

1

xx拆成 2

x

b

x

a的形式，确定 a,b 的值，

然后逐项积分．

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因为 )2

11(

2

1

)2(

1

xxxx

所以

2

d

2

1d

2

1

)2(

d

x

x

x

x

xx

x

2

)2(d

2

1ln

2

1

x

xx

Cxx 2ln2

1ln

2

1

Cx

x

2ln

2

1

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例 11 证明

解 因为 4x-1=2(2x-1)+1 ，所以

xx

xd

)12(

14100 ．

10099100 )12(

d

)12(

d2d

)12(

14

x

x

x

xx

x

x

Cxx

9998 )12(

1

198

1

)12(

1

98

1

10099 )12(

)12(d

2

1

)12(

)12(d

x

x

x

x

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以上用不定积分的第一换元法求解了一些

22

d

ax

x例题，但有些不定积分，如 (a≠0),

下面通过代换 x=φ(t) ，即第二换元法来求解．

31

d

x

x等，就难以用凑微分的方法来积分，

关于不定积分的第二换元法有 函数定理 2

)(

'1]d)()]([[d)(

xttttfxxf

又函数,0)( t

有原函数，则 )()]([ ttf 有连续的导数且)(tx

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对第二换元法在使用上式时，通过变换 x=ψ(t) 化成 t 为积分变量的积分，最后一定要把 t 代回为 x ．下面主要介绍使根式有理化的方法．

222222 ,, axaxxa

首先介绍三角代换．当被积函数含有二次根式直接用基本积分公式或凑微分 ( 如例 1) 的题目

(a>0) 时，除可以

外，可分别令 x=asin t ， x=atan t ， x=asec t

等代换化去根式，下面举例说明．

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例 12 求

解 由三角公式 xxa d22

． 1cossin 22 tt

ta costaaxa 22222 sin

令 x=asin t )22

(

t 则

ta cosdx=acos tdt ，于是

，

ttaxxa dcosd 2222

tta

d)2cos1(2

2

Ctta

)2sin2

1(

2

2

.)cossin(2

2

Cttta

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为了把最后一式还原为 x 的表达式，可以根据

22

t 、 a

xt sin

由于它们的表达式在一、四象限内相同，因此求 t 的其它三角函数值，

可利用 t 是锐角时作辅助直角三角形 ( 如下图 )

来求，有

a

xat

a

xt

22

cos,arcsin

Cxax

a

xaxxa 22

222

2arcsin

2d

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例 13 求

解 由三角公式

22

d

ax

x(a>0) ．

tt 22 sec1tan

令 )22

(tan

ttax

则 ttaxtaax dsecd,sec 222

于是

t

ta

ta

ax

xd

sec

secd 2

22

ttdsec1tansecln Ctt

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根据 ,tan ta

x 作辅助直角三角形（如图）

有 a

axt

22

sec

，

1

22

22ln

dC

a

axx

ax

x

Caxx 22ln(

其中 aCC ln1

因此

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例 14 求

解 由于被积函数含有

.d1

xx

x

,1,1 txx 令

则 ,2,12 tdtdxtx 于是

tt

tx

x

xd

1

2d

12

2

tt

td

1

1)1(2

2

2

Cxx )1arctan1(2

Ctt )arctan(2

tt

d)1

11(2

2

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例 15 求

解 为了同时化去根式

.d

3 xx

x

,63 txxx ，令和

则 ,d6d, 56 ttxtx

ttt

t

xx

xd

6d23

5

3

于是

tt

td

16

3

t

t

td

1

1)1(6

3

tt

tt d)1

11(6 2

3 6 62 3 6 6 ln( 1)x x x x C

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例 16 求

解 为了使根式有理化，令

xx

x

xd

11

,d)1(

2d,

1

1222

tt

tx

tx

(x>0) ．

于是

t

t

tx

x

x

xd

12d

112

2

,1

tx

x

则

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tt

d)1

11(2

2

Ct

tt

1

1ln2

2

2

( 1)2 ln

1

tt C

t

Cxx

x

x

x

ln)1

1ln(2

12

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定积分 定理 3

二、定积分的换元法

tttfxxfb

a d)()]([,d)( ' ，

(1) 函数 满足：

)(t 在 [α,β]( 或 [β,α]) 上有连续

的导数，

(2) 函数 f(x) 在

ba )(,)(

)(t 的值域上连续，则

tttfxxfb

a d)()]([d)( '

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证：由假设可知，上式两边的被积函数都在相应的积分区间上连续，因此都存在原函数．设 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，由牛顿—

)()(d)( aFbFxxfba

设 )],([)( tFt

)()]([)()]([)( '''' ttfttFt 则

因此 Φ(t) 是 )()]([ ' ttf 的一个原函数 .

莱布尼茨公式

从而 ba tttfxxf d)()]([d)( '

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注： (1) “ 换元同时换限”，通过关系式 )(tx

上 ( 下 ) 限对应上 ( 下 ) 限，下限不一定小于上限．为了书写简便，换限可表示成：原积分变量 ：下限→上限，有新积分变量 ：下限→上限。 (2) 换元后，无需像不定积分那样，回代到原积分变量，只要对新积分变量直接用牛顿

—莱布尼茨公式．

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例 17 求解 由于 (cos t)′=-sin t ，因此可用 sin tdt

20

3 dsincos

ttt 的值．

,2

0:

t

凑微分．令 cos t=x ，则 dx=-sin tdt ， 有 ;01: x 于是

0

13

20

3 ddsincos xxttt

10

3dxx

]4

[ 10

4x

4

1

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例 18 计算解

7

13 21 2 tt ．

7

123

127

1-3 2 )1(d)1(dt1 2 tttt

71

3

42 ])1[(

4

3 t )28(

2

3 3

例 19 计算

,sincoscoscos 3 xxxx

xxx dcoscos2

2

3

解 由于

]22

[sin

，在 x 上可正可负，于是

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2

2

2

2

3 dsincosdcoscos

xxxxxx

20

0

2

dsincosd)sin(cos

xxxxxx

20

2

10

2

2

1

cosd)(coscosd)(cos

xxxx

20

2

30

2

2

3

][cos3

2][cos

3

2

xx

3

4

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例 20 设函数 f(x) 在闭区间 [-a,a] 上连续，

证：

aa xxf 0d)(证明： (1)f(x) 为奇函数时，

(2)f(x) 为偶函数时，

aa

a xxfxxf 0 d)(2d)(

aa a

a xxfxxfxxf 00 d)(d)(d)(

对 0 d)(a xxf ，令 x=-t ，

则 dx=-dt ， x: -a→0 有 t: a→0 ，于是

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从而

0 0 )d)((d)(a a ttfxxf

a ttf0 d)(

a xxf0 d)(

aa

a a xxfxxfxxf 0 0 d)(d)(d)(

a xxfxf0 d)]()([

(1) 若 f(x) 为奇函数，有 f(-x)+f(x)=0 ，所以

aa xxf 0d)(

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(2) 若 f(x) 为偶函数，有 f(-x)+f(x)=2f(x) ，所以

aa

a xxfxxf 0 d)(2d)(

该题的几何意义是明显的，如下图所示．

(a) (b)

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利用上例可简化奇偶函数在 [-a,a] 上的

xx 3coscos

2

2

20

33 dcoscos2dcoscos

xxxxxx

定积分计算．如上例中的被积函数 于是

是偶函数，

20

2

1

dsin)(cos2

xxx 20

2

1

cosd)(cos2

xx

20

2

3

][cos3

22

x3

4

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例 21 计算(1)

解 (1) 由于

4

42

3

dcos

1

xx

x

x

x

x 2

3

2 cos,

cos

1

4

4

4

4

4

42

3

22

3

dcoscos

dd

cos

1

xx

x

x

xx

x

x

11

2 d)2( xxx

分别是 ]4

,4

[

上的偶函数、奇函数，于是由例 20 有

40 2cos

d2

x

x 40][tan2

x 2

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(2) 由于 x2|x| 是 [-1,1] 上的偶函数，由例 20 有 11

10

32 d2d xxxxx

10

4 ][4

12 x 2

例 22 设函数 f(x) 在 [0,1] 上连续，证明

20

20 d)(cosd)(sin

xxfxxf

证 由于 sin x 与 cos x 互为余函数，令 tx

2

，则 dx=-dt

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02

:,2

0:

tx 有 ，于是

20

0

2

)d)](2

[sin(d)(sin

ttfxxf

20 d)(cos

ttf

20 d)(cos

xxf

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例 23 设 f(x) 是以 T 为周期的连续函数，对

Taa

T xxfxxf 0 d)(d)(证 由于 Taa a

T TaT xxfxxfxxfxxf 0

0 d)(d)(d)(d)(

任意的常数 a ，则

对最后一个积分，令 x-T=u ，则 dx=du ，x:T→a+T ，有 u:0→a ；于是 TaT

a uTufxxf 0 d)(d)( a uuf0 d)( 0 d)(a xxf

因此 Taa

T xxfxxf 0 d)(d)(

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例 24 设函数

解 令 x-2=t ，则 dx=dt ， x ： 1→3 ，有 t ： -1→1 ；

,0,1

,0,)(

2

xx

xxexf

x

11

31 d)(d)2( ttfxxf

10

01

2

][2

1]

2[

2tet

t

求 31 d)2( xxf

于是

0

110 dd)1(

2

ttett t

)1(2

1)

2

11( 1 e

e2

12

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例 25 求 解一 因被积函数是偶函数，所以

22

2 d4 xx

22

20

22 d42d4 xxxx

2

.

20

222

2 ]422

arcsin2

4[2d4 x

xxxx

由例 12 ，

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解二 24 xy

2 22

22 22

1d4 xx

(-2≤x≤2) 是以原点为圆心、2 为半径的上半圆周，由定积分的几何意义，有

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例 26 求 解 令 x=sin t ，则 dx=cos tdt; 定限时由于 t 的

xx

xd

11

2

2

2

的值 .

24:,1

2

2:

tx 有

2

4

21

2

2

2

dsin

cosd

1

tt

tx

x

x

取值不唯一，通常在原点邻近的单调

区间内取值， ，于是

2

4

d)sin(csc

ttt

2

4

]coscotcsc[ln

ttt .2

2)12ln(