数学归纳法数学归纳法（一）（一）

1. 归纳法：

问题 1 ：在数列 {an } 中， a1=1, , 先计算 a2 , a3 , a4 的值，再推测通项 an 的公式 . n

nn a

aa

11

解：

naaaa n

1,

4

1,

3

1,

2

1432

问题 2 ：对小于 6 的自然数 n ，不等式 成立吗 ？)97(67 3 nn

解：

264 < 49n=5

222 < 7n=4

180 < 1n=3

138 <n=2

96 <n=1

6(7n+9)大小关系

49

1

7

1

37 n

∴ 对小于 6 的自然数 n, 不等式成立 .

（不完全归纳法）

（完全归纳法）

由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法

问题 3 ：对任意自然数 n, 不等式 成立吗？ )97(67 3 nn

解：

138<n=2

264<49n=5

222<7n=4

180<1n=3

96<n=1

6(7n+9)大小关系37 n

7

1

49

1

n=6 343 ＞ 348

n=7 2401 ＞ 348

结论：当 n 是小于 6 的自然数，不等式成立 当 n 是大于等于 6 的自然数， 6(7n+9)

37 n ＞

说明：（ 1 ）依数据作推测，决不是乱猜，要注意对数据作出谨慎 地分析。 （ 2 ）用不完全归纳法得到的结论可能会不正确。

由不完全归纳法得到的一般结论带有猜测的成份，须寻求数学证明

资料 2 ： f(n)=n2+n+41, 当 n N∈ 时 ,f(n) 是否都为质数？ f(0)=41 , f(1)=43 , f(2)=47 , f(3)=53 , f(4)=61 , f(5)=71 , f(6)=83 f(7)=97 , f(8)=113 , f(9)=131 , f(10)=151 , …… f(39)=1601 但 f(40)=1681=412 是合数。

资料 1 ： 费马 (Fermat) 是 17 世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献。

但是，费马认为，当 n N∈ 时， +1 一定都是质数，这是他对 n=0,1,2,3,4, 作了验证后得到的。 18 世纪伟大的瑞士科学家欧拉 (Euler) 却证明了

+1=4 294 967 297=6 700 417×641 从而否定了费马的推测。

n22

n22

2. 归纳与证明：

第一个正式研究此课题的是意大利科学家莫罗利科

如何证明由不完全归纳法得到的一般结论？

以问题 1 为例：问题 1 ：在数列 {an } 中， a1=1, , 先计算 a2,,a3,a4 的值，再推测通项 an 的公式 .

n

nn a

aa

11

a2= , a3= , a4= , 推测 an= 2

1

3

1

4

1n

1

证明思路：先证明“第一项满足公式” 再证明命题“若某一项满足公式，则下一项也满足公式”

（证题基础）（递推关系）

条件 结论

（ 2 ）假设当 n=k(k N)∈ 时 , 公式成立 , 即 ak= k

1

那么：

ak+1= 1

1

k

∴ 当 n=k+1 时 , 公式成立

证明：（ 1 ）当 n=1 时 , 左 = a1=1, 右 = =1 ，所以公式成立。1

1

k

k

a

a

1

k

k1

1

1

由 (1) (2) 知对任意自然数 n, an= 成立 .n

1

对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当 n 取第一个值n0( 例如 n0=1) 时命题成立，然后假设当 n=k(k N,k≥n∈ 0) 时命题成立证明当 n=k+1 时命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法 .

（ 1 ）证明当 n 取第一个值 n0( 例如 n0=1 或 2 ）时结论正确；

（ 2 ）假设 n=k(k N,k≥n∈ 0) 时结论正确 , 证明当 n=k+1 结论正确；

3. 数学归纳法：

证题步骤：

注意：第一步中 n 可取的第一个值不一定是 1; 第二步是证明一个命题 , 必须要利用假设的结论证明 n=k+1 时 结论正确 ;

例 1 ：用数学归纳法证明：如果 {an } 是一个等差数列，那么 ： an=a1+(n-1)d 对一切 n N∈ 都成立 .

证明：（ 1 ）当 n=1 时，左 =a1 ，右 =a1+(1-1)d=a1 ，所以等式成立

(2) 假设当 n=k(k N)∈ 时等式成立，就是 ak=a1+(k-1)d

那么

ak+1= =a1+[(k+1)-1]dak+d= a1+(k-1)d+d

∴ 当 n=k+1 时，等式成立

由 (1)(2) 知对任何 n N∈ 等式成立

练习：用数学归纳法证明：首项是 a1 ，公比是 q 的等比数列的 通项公式是 an=a1qn-1

(1) 本节的中心内容是归纳法和数学归纳法 ; (2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分为完全归 纳法和不完全归纳法二种 ; (3) 由于不完全归纳法中推测所得结论可能不正确 , 因而必 须作出证明，证明可用数学归纳法进行 ; (4) 数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思路是递推 思想，它的操作步骤必须是二步，其中第二步的证明 必须要利用假设的结论。

小结：