高中数学中算术思想与方程思想

复旦附中：李朝晖

背景

一：几个小学生的问题

二：教学中的一些困惑

背景三：复旦大学校长杨玉良的一篇文章英国理论物理学家、哲学家怀特 · 海德的一个观点很发人深思，他说：“在古代的学苑里，哲学家传授给弟子的是智慧，但在今天的大学里，我们教育的目的只是卑微到教学生某些专业、学科的一部分知识。”他认为这是现代教育的失败。反观今天我们的教育，如果纯粹是升学和就业的话，那就更加失败了。

问题3

cos( ) (0, ), sin .3 6

问题一：已知 ， 求

1 2

21 2 2

3z i z

z

问题二：已知复数 ，复数 的模

为1，且z 为虚部为负数的纯虚数，求z。

1

2

( 2,0)

(2,0) (2,3)

F

F P

问题三：已知椭圆的两个焦点为： 、，且经过点 。求椭圆的方程。

问题一3

cos( ) (0, ), sin .3 6

已知 ， 求

2 2

1 3 3cos sin 33 3

sin2 2 612

sin cos 1

方法一）

联立方程组： ，解得：

3 33cos( ) ( , ) sin( )

3 6 3 3 2 3 6

33 3sin sin( ) sin( )cos cos( )sin

3 3 3 3 3 3 12

方法二）

由 ， ，可得：

进而：

问题二

1 2

21 2 2

3z i z

z

已知复数 ，复数 的模为1，

且z 为虚部为负数的纯虚数，求z。

2

2 2 21 2

2 2 2 2

2 22 2

22 2

2

( , )

( 3 )( 2 )

[ 3( ) 2 ] [( ) 2 3 ]

3( ) 2 01 1

( ) 2 3 0

1 3

2 2

z a bi a b R

z z i a b abi

a b ab a b ab i

a b abz a b

a b ab

z i

方法一）设 ，

由

可得： ，由 ，可得：

解得：

问题二

1 2

21 2 2

3z i z

z

已知复数 ，复数 的模为1，

且z 为虚部为负数的纯虚数，求z。

22 21 2 1 2 1 2

22

2

2 2

2 1 3

2 23

1 3

2 2

z z z z z z i

iz i

i

z i

方法二）

由 ，可得： 。

所以： ，

开平方可得：

问题三1 2( 2,0) (2,0)

(2,3)

F F

P

已知椭圆的两个焦点为： 、 ，且经过点 。求椭圆的方程。

2 22 2

2 22 2

2 2

4 91

1

4

16 12

x ya b

a ba b

a b

方法一）

，

解得：

设椭

，

圆方程为： 联立方程组：

2 2 2 22 4 3 0 3 8 4 2 3a a b 由椭圆定

二

，义 ，：

方法 ）

问题四

问题五

2

1 41

1 (1 )

zz

z z

，且 为纯虚数， 。已知复数 设复数

求复数 在复平面上所对应点的轨迹方程。

2 2

1 1

12

2

1 ( 0)9 5

, (1,0)

1

,

,

2

x yC F k k

C A B R AR BR

kC D CD k

k

CD

已知椭圆 过椭圆的左焦点 斜率为

的直线交椭圆 于 两点，点 ，延长 分别与椭

圆交于 两点，直线 的斜率为 。（）求证： 为定值。

（）判断直线 是否过定点？并说

： ， ， ，

明理由。

米山国藏：《数学的精神 思想和方法》某著名的科学家在被问到科学工作者必须具备什么素养时，回答说：“第一是数学，第二是数学，第三还是数学。”我以为，这里所说的数学，恐怕不仅仅是指数学知识，而宁可说尤其是指数学的精神、思想和方法。这是因为科学工作者所需要的数学知识，相对地说是不多的，而数学的研究精神、数学的发明发现的思想方法、大脑的数学思维训练，对科学工作者则是绝对必要的。我搞了多年的数学教育，发现：学生们在初中、高中等接受的数学知识，因毕业进入社会后几乎没有什么机会应用这种作为知识的数学，所以通常是在出校门后不到一两年，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等（若培养了这方面的素质的话）。却随时随地发生作用，使他们终生受益。这种数学的精神、思想和方法，充满于初等数学、高等数学之中，在各种教材里大量存在着。如果教师们利用数学教科书，向学生们传授这样的精神、思想和方法，并通过这些精神活动以及数学思想、数学方法的活用，反复地锻炼学生们的思维能力，那么，学生们从小学、初中到高中的十二年间，通过不同的教材，会成百上千次地接受同一 精神、方法、原则的指导与锻炼，所以，纵然是把数学知识忘记了，但数学的精神、思想、方法也会深深的铭刻在头脑里，长久地活跃于日常的业务中。我想，这大概正合于一位著名的哲学家所说的所谓“真正的教育的旨趣”，即“即使是学生把教给他的所有知识都忘记了，但还能使他获得受用终生的东西的那种教育，才是最好的教育”

两个教学中的问题

一：为什么学习三角公式？

二：复数为什么不能比较大小？

为什么“三垂线定理”？

谢谢！