第九章

2

现代控制理论中用状态方程和输出方程描述系统，输

入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，这就存在着系统内的所有状态是否可受输入影响和是否可由输出反映的问题，这就是可控性和可观测性问题。如果系统所有状态变量的运动都可以由输入来影响和控制而由任意的初态达到原点，则称系统是可控的，或者更确切地是状态可控的。否则，就称系统是不完全可控的，或简称为系统不可控。相应地，如果系统所有状态变量地任意形式的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，简称为系统可观测。

二、线性系统的可控性与可观测性（ 1 ）

3

例：给定系统的动态方程为

将其表示为标量方程组的形式，有


1 1

2 2

4 0 1

0 5 2

x xu

x x

1

2

0 6x

yx

uxx 11 4uxx 25 22

26xy

4

这表明状态变量和都可通过选择控制量而由始点达到

原点，因而系统完全可控。但是，输出只能反映状态变量

，而与状态变量既无直接关系也无间接关系，所以系

统是不完全可观测的。例：下图所示网络，设

，输出。

二、线性系统的可控性与可观测性（ 3 ） 1x 2x u

y2x 1x

21 21 , CC uxux 2xy

5

当且初始状态时，则不论将

输入取为何种形式，对于所有，只能是，

不可能做到。也就是说，输入能够做到使

和同时转移到任意相同的目标值，但不能将和分别

转移到不同的目标值。这表明此电路不完全可控，简称电路不可控。由于，故系统可观测。

1 、可控性考虑线性时变系统的状态方程

二、线性系统的可控性与可观测性（ 4 ） 2121 , CCRR )()( 0201 txtx

u 0tt )()( 21 txtx

)()( 21 txtx

21 xxy

u2x

1x

1x 2x

),()()()()( TutBtxtAtx tTt

6

其中为维状态向量；为维输入向量；为时间定义

区间；和分别为和矩阵。现对状态

可控、系统可控和不可控分别定义如下：状态可控：对于上式所示线性时变系统，如果对取定初始时刻的一个非零初始状态，

存在一个时刻和一个无约束的容许控制

，使状态由转移到时的

，则称此是在时刻可控的。

二、线性系统的可控性与可观测性（ 5 ） x n u p tT

)(tA )(tB nn pn

tTt 0 00 )( xtx 011 , ttTt t

10 ,),( ttttu 00 )( xtx

1t 0)( 1 tx 0x

0t

7

系统可控：对于上式所示线性时变系统，如果状态空间中的所有非零状态都是在时刻可控的，则

称系统在时刻是完全可控的，简称系统在时刻可控。若系统在所有时刻都是可控的，则称系统是一致可控的。系统不完全可控：对于上式所示线性时变系统，取定初始时刻，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻是不可控的，则称系统在时刻是不完全可控的，也称为系统是不可控的。可控性是表征系统状态运动的一个定性特性。

必须是容许控制，即的每个分量均在时间区间上平方

可积，即

二、线性系统的可控性与可观测性（ 6 ） )( 00 tTtt

0t 0t

tTt 0

0t 0t

)(tu)(tu tT

0

2

( ) ,t

itu t dt tTtt ,0

8

此外，对于线性时变系统，其可控性与初始时刻的选取有关，是相对于中的一个取定时刻来定义的。而对于线性定常系统，其可控性与初始时刻的选取无关。状态与系统可达：若存在能将状态

转移到的控制作用，则称状态是时

刻可达的。若对所有时刻都是可达的，则称状态为完全可达

或一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻可达的，则称该系统是时刻状态完全可达的，或简称该系统是时刻可达的。对于线性定常连续系统，可控性与可达性是等价的。但对于离散系统和时变系统，严格地说两者是不等价的。

二、线性系统的可控性与可观测性（ 7 ） 0t

tT

0t0)( 0 tx

ff xtx )(fx 0t

fx fx

0t0t

0t

9

2 、可观测性可观测性表征状态可由输出完全反映的性能，所以应同时考虑系统的状态方程和输出方程

其中，分别为的满足状态方程解的存在惟一性条件的时变矩阵。状态方程的解为


tTttutBtxtAtx ),()()()()(

00 )(),()()()()( xtxtutDtxtCty

)()(),(),( tDtCtBtA 和 )()(),(),( pqnqpnnn 和

t

tduBtxtttx

0

)()(),(),()( 00

10

其中为系统的状态转移矩阵。将上式代入输出方程，

可得输出响应为

若定义

则输出响应可写为

这表明可观测性即是可由完全估计的性能。由于和可取任意值，所以这又等价于研究时由来估计

的可能性，即研究零输入方程

二、线性系统的可控性与可观测性（ 9 ） ),( 0tt

)()()()(),()(),()()( 00 tutDduBttCxtttCty

)()()()(),()()()( tutDduBttCtyty

00 ),()()( xtttCty

y0x0u

y 0xy 0x

11

的可观测性。输出响应成为

下面给出系统可观测性的有关定义。系统完全可观测：对于线性时变系统，如果取定初始时

刻，存在一个有限时刻，

对于所有，系统的输出能惟一确定状态向量的初值，则

称系统在内是完全可观测的，简称可观测。如果对于一切系统都是可观测的，则称系统在内完全可观测。

二、线性系统的可控性与可观测性（ 10 ） tTttxtxtxtAtx ,,)(),()()( 000

)()()( txtCty

00 ),()()( xtttCty

tTt 0 011 , ttTt t 10 , ttt

)(ty )( 0tx

10 , tt 01 tt ,0t

12

系统不可观测：对于线性时变系统，如果取定初始时刻，存在一个有限时刻，对于所

有，系统的输出不能惟一确定所有状态

的初值，即至少有一个状态的初值不能被确定，则称系统在时间区间内是不完全可观测的，简称不可观测。

3 、线性定常连续系统的可控性判据考虑线性定常连续系统的状态方程

其中为维状态向量；为维输入向量；和分别为

和常阵。


tTt 0 011 , ttTt t 10 , ttt

)(ty nitx i ,,2,1),( 0 )(ty

10 , tt

0,)0(),()()( 0 txxtButAxtxx u pn A B

)( nn ( )n p

13

下面根据和给出系统可控性的常用判据。格拉姆矩阵判据线性定常连续系统完全可控的充分

必要条件是，存在时刻，使如下定义的格拉姆矩阵：

为非奇异。格拉姆矩阵判据主要用于理论分析。线性定常连续系统可控性的常用判据是直接由矩阵和判断可控性的秩判据。凯莱－哈密顿定理设阶矩阵的特征多项式为

二、线性系统的可控性与可观测性（ 12 ） A B

01 t

dteBBetW tATAt T

),0( 1

A B

011

1)( aaaAIf nn

n

14

则满足其特征方程，即

推论 1 矩阵的次幂可表示为的阶多项式

推论 2 矩阵指数可表示为的阶多项式

秩判据线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是

其中为矩阵的维数，称为系统的

可控性判别阵。

二、线性系统的可控性与可观测性（ 13 ） A

0)( 011

1 IaAaAaAAf nn

n )( nkk )1( nA A

1

0

n

m

mm

k AaA

Ate )1( nA

1

0

)(n

m

mm

At Atae

nBAABBrank n 1n A BAABBS n 1

15

例：桥式网络如图所示，试用可控性判据判断其可控性。解：该桥式电路的微分方程为

选取状态变量，消去，可得状态方程


uiRiRdt

diL

iRuciR

iRuciR

iiiii

L

L

3311

2211

3344

4321

CL uxix 21 ,4321 ,,, iiii

16

其可控性矩阵为

二、线性系统的可控性与可观测性（ 15 ） u

Lx

RR

R

RR

R

Lx

RR

RR

RR

RR

Lx

1112

43

3

21

11

43

43

21

211

24321

143

4

21

22

1111x

RRRRCx

RR

R

RR

R

Cx

21

2

43

4

43

43

21

212

10

11

RR

R

RR

R

LC

RR

RR

RR

RR

LLAbbS

17

当时，，系统可控。

当电桥处于平衡状态，即时，

及成立，这时状态方程变为

二、线性系统的可控性与可观测性（ 16 ） 21

2

43

4

RR

R

RR

R

nrankS 2

3241 RRRR 43

3

21

1

RR

R

RR

R

43

4

21

2

RR

R

RR

R

uL

xRR

RR

RR

RR

Lx

111

43

43

21

211

24321

2

111x

RRRRCx

18

可控性矩阵为

，系统不可控，不能控制，是不可控

状态变量。例：判别下列系统的可控性：


00

11

43

43

21

212 RR

RR

RR

RR

LLAbbS

nrankS 1 u 2x 2x

2

1

3

2

1

3

2

1

11

11

12

310

020

231

u

u

x

x

x

x

x

x

19

解可控性判别矩阵为

显见矩阵的第二行与第三行线性相关，，系统

不可控。 PBH 秩判据线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是，对矩阵的所有特征值

，

均成立，或等价地表示为即和是左互质的。


442211

442211

4523122BAABBS

32 rankS

),,2,1( nii A ;nBArank i ni ,,2,1

CsnBAsIrank ,)( AsI B

20

由于这一判据是由波波夫和贝尔维奇首先提出，并由豪塔斯最先指出其可广泛应用性，故称为 PBH 秩判据。例：已知线性定常系统的状态方程为

试判别系统的可控性。解：根据状态方程可写出


,

02

10

01

10

0500

1000

0100

0010

uxx

4n

21

考虑到的特征值为，所以只

需对它们来检验上述矩阵的秩。通过计算知，当时，有


02500

10100

01010

10001

s

s

s

s

BAsI

5,5,0 4321 A021 s

4

2050

0100

1010

0001

rankBAsIrank

22

当时，有

当时，有

计算结果表明，系统完全可控。

二、线性系统的可控性与可观测性（ 21 ） 53 s

4

0200

1000

0150

1015

rankBAsIrank

54 s

4

0200

1000

0150

1015

rankBAsIrank

23

PBH 特征向量判据线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是，不能有与的所有列相正交的非零左特征向量。即对的任一特征值，使同时满足

的特征向量。一般地说， PBH 特征向量判据主要用于理论分析中，

特别是线性系统的复频域分析中。约当规范型判据线性定常连续系统完全可控的充分必

要条件分两种情况：1 ）矩阵的特征值是两两相异

的。


A BiA

,Ti

T A 0BT0

n ,,, 21 A

24

由线性变换可将状态方程变为对角线规范型

则系统完全可控的充分必要条件是，在上式中，不包含元素全为零的行。 2 ）矩阵的特征值为

，且。


uBxx

n

2

1

)(,),(),( 2211 重重重 ll nl 21

25

由线性变换化为约当规范型

其中


uBxAx ˆˆˆˆ

l

pn

l

nn

B

B

B

B

J

J

J

A

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ,ˆ 2

1

)(

2

1

)(

,2

1

)(1

i

i

i

Jia

J

J

Jii

i

i

ia

i

i

pi

B

B

B

B

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ 2

1

)(

26

而，由的最后一

行所组成的矩阵

对均为行线性无关。


rik

ik

ik

prik

i

i

i

rrik

b

b

b

BJikikik

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ,1

1

1

2

1

)()(

iiaii irrr )( 21 ),,2,1(ˆ

iki kB

i

i

ri

ri

ri

b

b

b

B

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ 2

1

li ,,2,1

27

4 、输出可控性如果系统需要控制的是输出量而不是状态，则需研究系统的输出可控性。输出可控性：若在有限时间间隔内，

存在无约束分段连续控制函数，能使任意初始

输出转移到任意最终输出，则称此系统是输出完全可控，

简称输出可控。输出可控性判据设线性定常连续系统的状态方程和

输出方程为


10 , tt 10 ,),( ttttu )( 0ty

)( 1ty

10 ,0,)0(, ttxxBuAxx

DuCxy

28

式中，为维输入向量；为维输出向量；为维状态

向量。状态方程的解为

则输出

不失一般性，令，有

二、线性系统的可控性与可观测性（ 27 ） u p y q x n

10

)(01 ,0,)()(

111 ttdttBuexetx

t ttAAt

)()()( 10

)(01

111 tDudttBueCxCety

t ttAAt

0)( 1 ty

1

00 1

0

1

01

10

)(0

1

1

111

)()()(

)()()(

)(

n

m

t

mm

t n

m

mm

t ttAAt

tDudttutBAC

tDudttBuAtC

tDudteCxCe

29

令，则

二、线性系统的可控性与可观测性（ 28 ） 1

01 )()()(t

mm dttuttu

1

0110 )()(1

n

mm

mAt tDutBuACxCe

)()()()( 1111

1110 tDutBuCAtCAButCBu nn

)(

)(

)(

)(

1

11

11

10

1

tu

tu

tu

tu

DBCACABCB

n

n

30

令

为矩阵，称为输出一矩阵。输出可控的充

分必要条件是，输出可控性矩阵的秩等于输出变量的维数，即

注意：状态可控性与输出可控性是两个不同的概念，二者没有什么必然的联系。

二、线性系统的可控性与可观测性（ 29 ） DBCACABCBS n 1

0

0S pnq )1(

q

qrankS 0

31

例：已知系统的状态方程和输出方程为

试判断系统的状态可控性和输出可控性。解：系统的状态可控性矩阵为

，故状态不完全可控。


uxx

1

1

21

10

xy 01

11

11ABBS

2,0 rankSS

32

输出可控性矩阵为

，输出可控。

5 、线性定常连续系统的可观测性判据考虑输入时系统的状态方程和输出

方程

其中，为维状态向量；为维输出向量；和分别为

和的常值矩阵。


0110 DCABCBSqrankS 10

0uCxytxxAxx ,0,)0(, 0

y qx n A Cnn nq

33

格拉姆矩阵判据线性定常连续系统完全可观测的充分

必要条件是，存在有限时刻，使如下定义的格拉姆矩

阵：

为非奇异。

秩判据线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件

是


01 t

dtCeCetM AtTt tAT

1

01 ),0(

n

CA

CA

C

rank

n

1

34

或上两式中的矩阵均称为系统可观测性判别阵，简称可观测性阵。

例：判断下列系统的可观测性：

1 ）

2 ）

二、线性系统的可控性与可观测性（ 33 ） nCACACACrank TnTTTTTT 12 )()(

,BuAxx Cxy

01,1

3,

10

02

CBA

11

01,

01

12,

11

11CBA

35

解： 1 ）

故系统不可观测。2 ）

故系统可观测。


,21,100

21

nrankVranCACrankrankV TTT

1 1 1 02, 2 ,

0 1 1 2T T TrankV rank C A C rank rankV n

36

PHB 秩判据线性定常连续系统完全可观测的充分必要条

件是，对矩阵的所有特征值，均有

或等价地表示为

也即和是右互质的。


),,2,1( nii A

ninAI

Crank

i

,,2,1;

CsnAsI

Crank

,

)( AsI C

37

PBH 特征向量判据线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件是，没有与的所有行相正交的非零右特

征向量。即对的任一特征值

，使同时满足

的特征向量。约当规范型判据线性定常连续系统完全可观测的

充分必要条件分两种情况： 1 ）当矩阵的特征值两两相异

时，由线性变换导出的对角线规范型为


0, sA i),,2,1( nii

A C

A

0

n ,,, 21 A

xCyxx

n

,2

1

38

式中不包含元素全为零的列。 2 ）当矩阵的特征值为

，且时，对原式进行

线性变换导出的约当规范型为

其中

二、线性系统的可控性与可观测性（ 37 ） C

)(,),(),( 2211 重重重 ll Anl 21

xCyxAx ˆˆ,ˆˆˆ

lnq

l

nnCCCC

J

J

J

A ˆˆˆˆ,ˆ21

)(

2

1

)(

39


,2

1

)(

i

ii

i

i

i

i

J

J

J

J

i

i

iiiq

i CCCC

ˆˆˆˆ21

)(

li ,,2,1

rikikikrqik

i

i

i

rrik CCCCJ

ikikik

ˆˆˆˆ;1

1

1

21)(

1

)(

40

且，由的第一

列所组成的矩阵

对均为列线性无关。例：已知线性定常系统的对角线规范型为

试判定系统的可观测性。解：显然，此规范型中不包含元素全为零的列，故系统为完全可观测。

二、线性系统的可控性与可观测性（ 39 ） iiaii i

rrr )( 21 ),,2,1(ˆiki kC

ii iii CCCC 12111

ˆˆˆˆ li ,,2,1

xyxx

320

001,

200

010

008

C

41

6 、线性离散系统的可控性和可观测性（ 1 ）线性离散系统的可控性和可达性设线性时变离散时间系统的状态方程为

其中为离散时间定义区间。如果对初始时刻和状态空间中的所有非零状态，都存在时刻

，和对应的控制，使得，则称系统在时刻

为完全可控。对应地，如果对初始时刻和初始状态

，存在时刻和相应的控制，使

可为状态空间中的任意非零点，则称系统在时刻为完全可达。


kTkkukHkxkGkx ),()()()()1(

kT kTl)(lx lmTm k ,

)(ku 0)( mx lkTl

0)( lx

lmTm k , )(ku )(mxl

42

对于离散系统，不管是时变的还是定常的，其可控性和可达性只有在一定条件下才是等价的。其等价的条件分别为1 ）线性离散时间系统的可控性和可达性为等价的充分必要条件是，系统矩阵对所有为非

奇异；2 ）线性定常离散时间系统

可控性和可达性等价的充分必要条件是系统矩阵为非奇异。3 ）如果离散时间系统是相应连续时间系统的时间离散化模型，则其可控性和可达性必是等价的。


)(kG 1, mlk

,2,1,0);()()1( kkHukGxkx

G

43

线性定常离散系统的可控性判据设单输入线性定常离

散系统的状态方程为

其中为维状态向量；为标量输入；为非奇异

矩阵。状态方程的解为

根据可控性定义，假定时，，将上式两端左

乘，则有


)()()1( khukGxkx x n u G )( nn

1

0

1 )()0()(k

i

ikk ihuGxGkx

nk 0)( nxnG

)()0(1

0

1 ihuGxn

i

i

)1()1()0( 21 nhuGhuGhuG n

44

记称为可控性矩阵。由线性方程组解的存

在定理可知，当矩阵的秩与增广矩阵的

秩相等时，方程组有解且为惟一解，否则无解。在为任意的情况下，

使方程线有解的充分必要条件是矩阵满秩，即


)1(

)1(

)0(

21

nu

u

u

hGhGhG n

hGhGhGS n 211

1S )( nn )0(1 xS 1S

)0(x

1S

nSrank 1

45

或矩阵的行列式不为零

或矩阵是非奇异的。由于满秩矩阵与另一满秩矩阵相乘其秩不变，故

交换矩阵的列，且记为，其秩也不变，故有

在判断系统的可控性时，使用上式比较方便。上面四式即为可控性判据。

二、线性系统的可控性与可观测性（ 44 ） 1S

1S 0det 1 S

nG 11 SGrankSrank n

nhGhhGrank n 1

1S nhGGhhrankrankS n 1

1

46

当时，系统不可控，表示不存在使任意

转移至的控制。以上研究了终态为的情况，若令终态为任意

给定状态，则状态方程的解变为

将上式两端左乘，有

二、线性系统的可控性与可观测性（ 45 ） nrankS 1 )0(x

0)( nx

)(nx0)( nx

1

0

1 )()()0(n

i

inn ihuGnxxGnG

)1(

)1(

)0(

)()0( 21

nu

u

u

hGhGhGnxGx nn

47

当满秩时，前式左端只不过是任一给定的另一初态，其状

态可控性条件可用以上推导方法得出完全相同的结论。若令，上述结论同样成立。可见，当为

非奇异阵时，系统的可控性和可达性是等价的。上述研究单输入离散系统可控性的方法可推广到多输入系统。设系统的状态方程为

所谓可控性问题，即是能否求出无约束控制向量序列，使系统能从任

意初态转移至。上式的解为

二、线性系统的可控性与可观测性（ 46 ） G

0)0( x G

)()()1( kHukGxkx

)1(,),1(),0( nuuu 0)( nx

)0(x)()0()(

1

0

1 iHuGxGkxk

i

ikk

48

令，且方程两端左乘，有

记为矩阵，由子列向量

构成的控制列向量是维的。上式含个方程，但有个待求

的控制量。

二、线性系统的可控性与可观测性（ 47 ） 0)(, nxnk nG

)1()1()0()()0( 211

0

1

nHuGHuGHuGiHuGx nn

i

i

)1(

)1(

)0(

21

nu

u

u

HGHGHG n

HGHGHGS n 212

)( npn )1(,),1(),0( nuuu np npn

49

由于初态可任意给定，根据解存在定理，矩阵的秩

为时，方程组才有解。于是多输入线性离散系统状态可控的充分必要条件是

或

或

或

或

二、线性系统的可控性与可观测性（ 48 ） )0(x 2S

n

nSrank 2 nHGHHGrankSGrankSrank nn 1

22

nHGGHHrankSrank n 12

0det 22 TSS

nSrankS T 22

50

例：双输入线性定常离散系统的状态方程为

试判断可控性，并研究使的可能性。解：

显然，由前三列组成的矩阵的行列式不为零，故系统可控。


)()()1( kHukGxkx

,

041

020

122

G

01

10

00

H

0)1( x

1014001

402010

4221002

2 HGGHHS

51

一定能求得控制序列使系统由任意初始状态三步内转移到原点。由

可得

设初始状态为，由于


0)0()0()1( HuGxx

)0(

)0(

322

10

21

)0(

)0(

01

10

00

231

02

10

120

)0()0(2

1

2

11

u

u

u

uHuGx

Tx 201)0(

2

332

02

10

121

322

10

21

rankrank

52

可求得，在一步内使系统由初始状态转移

到原点。设初始状态，也可使系统在

一步内由初始状态转移到原点，但。本例

不能使系统由任意初始状态一步内转移到原点。

（ 2 ）线性离散系统的可观测性设离散系统为

二、线性系统的可控性与可观测性（ 51 ） 0)0(,1)0( 21 uu

T

x

3

2

12)0(

1)0(,0)0( 21 uu

kTkkukHkxkGkx ),()()()()1(

)()()()()( kukDkxkCky

53

若对初始时刻的任一非零初始状态，都存在

有限时刻，且可由上的输出惟一地

确定，则称系统在时刻是完全可观测的。线性定常离散系统的可观测性判据设线性定常离

散系统的动态方程为

其中为维状态向量，为维输出向量，其解为

二、线性系统的可控性与可观测性（ 52 ） kTl 0)( xlx lmTm k , ml, )(ky

0x l

)()()(),()()1( kDukCxkykHukGxkx )(kx n q)(ky

1

0

1 )()0()(k

i

ikk iHuGxGkx

1

0

1 )()()0()(k

i

ikk kDuiHuGCxCGky

54

研究可观测性问题时，均为已知，故不失

一般性，可将动态方程简化为

对应的解为

将写成展开式

二、线性系统的可控性与可观测性（ 53 ） DCHGku ,,,),(

)()(),()1( kCxkykGxkx

)0()(),0()( xCGkyxGkx kk

)(ky

)0()1(

)0()1(

)0()0(

1xCGny

CGxy

Cxy

n

55

其向量－矩阵形式为

令


)0(

)0(

)0(

)1(

)1(

)0(

2

1

1n

n x

x

x

CG

CG

C

ny

y

y

1

1

n

T

CG

CG

C

V

56

称为线性定常离散系统的可观测性矩阵，为矩阵。

系统可观充分必要条件为

由于，故线性定常离散系统的可观测性判

据常表示为

（ 3 ）连续动态方程离散化后的可控性和可观测性一个可控的或可观测的连续系统，当其离散化后并不一定能保持其可控性或可观测性。现举例来说明。

二、线性系统的可控性与可观测性（ 55 ） TV1 )( nnq

nrankV T 1

11 rankVrankV T

nCCCGCrankrankV TnTTTT 11 )(

57

设连续系统动态方程为

由于系统的状态方程为可控标准型，故一定可控。根据可观测性判据有

故系统可观测。


,1

0

0

10

2

12

2

1 ux

x

x

x

2

101x

xy

nrankrankV

2

10

011

58

系统的状态转移矩阵为


1 2 2 2 21 1 1 1

2 2

2 2 2 2

11

( ) ( )

ss s s

t L sI A L Ls s

s s

t

t

dbdtGtt

sin

cos1

cos

sin)()(

2

00

sincos

sin cos

tt

t t

59

系统离散化后的状态方程为

离散化后系统的可控性矩阵为


)()()()()1( kuTGkxTkx

21

2

1 cossin

( )cos( )

( ) sinsin cos

TT

x kTu k

x k TT T

TTTT

TTTT

TGTTGSsincossin2sin

sincoscoscos1

)()()(2

22

2

1

60

离散化后系统的可观测性矩阵为

当采样周期时，可控性矩阵和可观测性

矩阵均出现零行，，系统不可

控也不可观测。这表明连续系统可控或可观测时，若采样周期选择不当，对应的离散化系统便有可能不可控或不可观测，也有可能既不可控又不可观测。若连续系统不可控或不可观测，不管采样周期如何选择，离散化后的系统一定是不可控或不可观测的。


TT

CTCV TTT sin0

cos1)(1

),2,1( kk

T

1S

1V nrankVnrankS 1,1 11

T

61

1 、状态空间表达式的线性变换设系统动态方程为令

式中为非奇异线性变换矩阵，它将变换为，变换后

的动态方程为

式中并称为对系统进行变换。线性变换的目的在于使阵规范化，

并不会改变系统的原有性质，故称为等价变换。分析计算后，再引入反变换关系，得出最终结果。

三、线性定常系统的线性变换（ 1 ）

cxybuAxx ,

xPx

P x x

yxcyubxAx ,

cPcbPbAPPA 11 ,A

xPx 1

62

下面概括给出本章中常用的几种线性变换关系。（ 1 ）化阵为对角型 1 ）设阵为任意形式的方阵，且有个互异实数特征值，则可由非奇异线性变换化为

对角阵。

阵由阵的实数特征向量组成


n ,,, 21 A n

n

APP

1

1

1

P

),,2,1( nipi A npppP 21

63

特征向量满足

2 ）若阵为友矩阵，且有个互异实数特征值，

则下列的范德蒙特矩阵可使对角化：

三、线性定常系统的线性变换（ 3 ） nipAp iii ,,2,1

n ,,, 21 A n

( mod )Vander e P A

112

11

222

21

21

1210

111

,

1000

0100

0010

nn

nn

n

n

n

P

aaaa

A

64

3 ）设阵具有重实数特征值，其余为个互异

实数特征值，但在求解时仍有个

独立实特征向量，则仍可使阵化为对角阵。

三、线性定常系统的线性变换（ 4 ） A m 1 )( mn

),,2,1(1 mipAp ii mmppp ,,, 21 A

1

11

1

0

0

n

n

P AP

nmm pppppP 121

65

n

m

APPJ

0

1

0

1

1

1

1

1

1

式中是互异实数特征值对应的实特征向量。

（ 2 ）化阵为约当阵1 ）设阵具有重实特征值，其余为

个互异实特征值，但在求解时只有一个独立实

特征向量，只能化为约当阵。

三、线性定常系统的线性变换（ 5 ） nmm ppp ,,, 21

Am

1 )( mn ii pAp 1

1p

A

J

A

66

中虚线示出存在一个约当块。

式中是广义实特征向量，满足

是互异特征值对应的实特征向量。

三、线性定常系统的线性变换（ 6 ） J

nmm pppppP 121 mppp ,,, 32

mm pppAppp

21

1

1

1

21 1

1

nm pp ,,1

67

2 ）设为友矩阵，具有重实特征值，且只有一个独立

实特征向量，则使约当化的为

式中

3 ）设阵具有五重实特征值，但有两个独立实特征向量

，其余为个互异实特征值，阵约当化的可

能形式是

三、线性定常系统的线性变换（ 7 ） mA 1

1p A P

nmn

n

ppppp

pP 111

11

21

12

1

11

＝

Tnp 11

2111 1

A 121 , pp )5( n A

68

n

APPJ

6

1

1

1

1

1

1

1̀

1

1


69

中虚线示出存在两上约当块，其中

（ 3 ）化可控系统为可控标准型在前面研究状态空间表达式的建立问题时，曾得

出单输入线性定常系统状态方程的可控标准型：

J


nppp

ppp

pP 61

222

1

12

1

11

u

x

x

x

x

aaaax

x

x

x

n

n

nn

n

1

0

0

0

1000

0100

0010

1

2

1

1210

1

2

1

70

与该状态方程对应的可控性矩阵是一个右下三角阵，其主对角线元素均为 1，故，系统一定可控，这就是形如上式中的称为可控标准型名称的由来。其可控性矩阵形如

三、线性定常系统的线性变换（ 10 ） S

0det SbA,

S

21

1

1

1

1

10

100

1000

10000

nn

n

n

n

aa

a

a

bAAbbS

71

一个可控系统，当不具有可控标准型，一定可以

选择适当的变换化为可控标准型。设系统状态方程为

进行变换，即令

变换为

要求

三、线性定常系统的线性变换（ 11 ） bA,

buAxx 1P zPx 1

PbuPAPz 1

1

0

0

0

,

1000

0100

0010

1210

1

Pb

aaaa

PAP

n

72

下面具体推导变换矩阵：设变换矩阵为

根据阵变换要求，应满足变换要求，有

展开为

三、线性定常系统的线性变换（ 12 ） P

P TTn

TT pppP 21

A P

n

n

nn

n

p

p

p

p

aaaa

A

p

p

p

p

1

2

1

1210

1

2

1

1000

0100

0010

73

经整理有


nnn

nn

papapaAp

pAp

pAp

pAp

12110

1

32

21

nn

n pApAp

pApAp

pAp

111

32

12

21

74

由此可得变换矩阵

又根据阵变换要求，应有

即


11

1

1

nAp

Ap

p

P

b P

1

0

0

1

1

11

1

1

bA

Ab

b

pb

Ap

Ap

p

Pb

nn

10011 bAAbbp n

75

故该式表明是可控性矩阵的逆阵的最后一行。于是可得出变换矩阵的求法如下： 1 ）计算可控性矩阵

；2 ）计算可控性矩阵的逆阵，设一般形式为

3 ）取出的最后一行（即第行）构成行向量


111 100

bAAbbp n1p

1P bAAbbS n 1

1－S

nnnn

n

n

SSS

SSS

SSS

S

21

22221

11211

1

n1－S 1p nnnn SSSp 211

76

4 ）构造阵

5 ）便是将非标准型可控系统化为可控标准型的变换矩阵。

2 、对偶原理在研究系统的可控性和可观测性时，利用对偶原理

常常带来许多方便。


P

11

1

1

nAp

Ap

p

p

1P

77

设系统为，则系统为系统

的对偶系统。其动态方程分别为

其中，均为维状态向量；均为维向量；均为

维向量。注意到系统与对偶系统之间，其输入、输出向量的维数是相交换的。当为的对偶系统时，也是的对偶系统。不难验证，系统的可控性矩阵与对偶系统可观测性矩阵

完全相同；


),,(1 CBAS ),,(2TTT BCAS 1S

CxyBuAxxS ,:1

zBCzAzS TTT ,2 ：

zx, n ,u p ,yq

2S 1S 2S1S BAABB n 1

2S1S

TTnTTTTTTTT BABAB )())(()()()( 1

78

系统的可观测性矩阵与对

偶系统的可控性矩阵完全相同。

应用对偶原理，把可观测的单输入－单输出系统化为可观测标准型的问题转化为将其对偶系统化为可控标准型的问题。设单输入－单输出系统动态方程为

系统可观测，但不是可观测标准型。其对偶系统动态方程为对偶系统一定可控，但不是可控标准型。可利用已知的化为可控标准型，再一次使用对偶原理，便可获得可观测标准型。下面仅给出其计算步骤：


2S1S TnTTTT CACAC 1)(

TnTTTT CACAC 1）（

cxybuAxx ,cA,

zbcAz TTT ,

79

1 ）列出对偶系统的可控性矩阵（即原系统的可观测性矩阵）

2 ）求的逆阵，且记为行向量组

3 ）取的第行，并按下列规则构造变换矩阵


2V TnTTTT cAcAcV 12 )(

12V2V

Tn

T

T

V

2

1

12

n Tn

P1

2V

1)( nTTn

TTn

Tn

A

AP

80

4 ）求的逆阵，并引入变换即，变换后

记方程为

5 ）对对偶系统再利用对偶原理，便可获得原系统的可观测标准型，结果为

与原系统动态方程相比较，可知将原系统化为可观测标

准型需要进行变换，即令


P 1P zPz 11P

zPbPczPPAz TTT 11 ,

buPxAPPuPbxPPAx TTTTTTT )()( 11

xcPxPcy TTT )(

TPxPx T

81

其中为原系统可观测性矩阵的逆阵中第行的转置。

3 、非奇异线性变换的不变特性通过研究将会表明，系统经过非奇异线性变换，

系统的特征值、传递矩阵、可控性、可观测性等重要性质均保持不变。下面以变换为例进行论证。设系统动态方程为

令，变换后动态方程为


nnnn

T AAP 1

n n

P

DuCxyBuAxx ,

DuxCPyyBuPxAPPx ,11

xpx

82

（ 1 ）变换后系统特征值不变变换后系统的特征值为

可见，系统变换后与变换前的特征值完全相同，这说明对于非奇异线性变换，系统特征值具有不变性。


AIAIIAIPP

AIPPPAIPPAIP

APPPPAPPPPAPPI

1

111

11111

)(

83

（ 2 ）变换后系统传递矩阵不变变换后系统的传递矩阵为

这表明变换前与变换后系统的传递矩阵完全相同，系统的传递矩阵对于非奇异线性变换具有不变性。


DBPAPPsICPsG 111 )()(

DBPAPPsIPPCP 1111 )(

DBPPAsIPCP 111 )(

DBPPAsICPP 111 )(

)()( 1 sGDBAsIC

84

（ 3 ）变换后系统可控性不变变换后系统可控性矩阵的秩为

其中，为变换后系统的可控性矩阵；为变换前系统的

可控性矩阵。可见，变换后与变换前系统可控性矩阵的秩相等，根据系统可控性的秩判据可知，对于非奇异线性变换，系统的可控性不变。


BPAPPBPAPPBPAPPBPrankSrank n 111121111 )()()(

BAPBAPABPBPrank n 112111

BABAABBrankP n 121

rankSBABAABBrank n 12

S S

85

（ 4 ）变换后系统可观测性不变设变换后系统的可观测性矩阵为，变换前系统的可

观测性矩阵为，则有

可见，变换后与变换前系统的可观测性矩阵的秩相等，故系统的可观测性不变。


V V

1 1 2 1 1( ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) (( ) ) ( )T T T T T n T TrankV rank CP P AP CP P AP CP P AP CP

TTnTTTTTTTTT CAPCAPCAPCPrank )()( 12

TTnTTTTTT CACACACrankP )()( 12

rankVCACACACrank TTnTTTTT )()( 12

86

4 、线性定常系统的结构分解从可控性和可观测性出发，状态变量便可分为可控可观测、可控不可观测、不可控可观测、不

可控不可观测四类。由对应状态变量构成的子空间也分为四类，因而系统也对应分成了四类子系统，称为系统的结构分解，也有的参考文献称此为系统的规范分解。研究方法是选取一种特殊的线性变换，使原来的状态向量变换成，

相应地使原动态方程中的矩阵变换成某种标准构造的形式。


cox ocx ocxocx

TToc

Toc

Tox

Tco xxxx

x

CBA ,,

87

（ 1 ）系统按可控性的结构分解设不可控系统的动态方程为

若系统可控性矩阵的秩为，则可从可控性矩阵中

选出个线性无关的列向量，另外再任意选取

尽可能简单的个维列向量，使它

们与线性无关，则就可以构成非奇异变换矩阵

对动态方程进行非奇异线性变换


CxyBuAxx ,)( nrr

r rsss ,,, 21 )( rn n nrr sss ,,, 21

rsss ,,, 21

nrr sssssP 1211

c

c

x

xPx 1

88

方程便变换为下列的规范表达式：

式中，为维可控状态子向量；为维不可控状

态子向量，并且


c

c

c

c

c

c

x

xCPyPBu

x

xPAP

x

x 11 ,

cx r cx )( rn

，行

行)(0 22

12111

rn

r

A

AAPAP

列列 )( rnr

行行

)(01

rn

rBPB

列p1

1 2CP C C q

r

行

n- r列（）列

89

展开规范表达式，有

将输出向量进行分解，令，则可得子系统动态

方程，其中可控子系统动态方程为

不可控子系统动态方程为


cc

cc

ccc

xCxCy

xAx

uBxAxAx

21

22

11211

21 yyy

cccc xCyuBxAxAx 1111211 ,

ccc xCyxAx 2222 ,

90

上述系统结构分解方式称之为可控性规范分解，系统方块图如图所示。


91

系统结构的可控性规范分解具有下列特点： 1 ）由于


BAABBrank n 1

)()())(( 111 PBPAPPBPAPPBrank n

0001

1111111

BABAB

rankn

11

111111 BABABrank n

r

92


)())(()( 1111 PBPAPsICPBAsIC

001

1

22

121121

B

A

AAsICC

001

1

22

121121

B

AsI

AAsICC

0)(0

)()()( 1

122

12212

111

111

21

B

AsI

AsIAAsIAsICC

11

111 )( BAsIC

93

因而维系统是可控的，并且和系统

具有相同的传递函数矩阵。如果从传递特性的角度分析系统时，可以等价地用分析子系统

来代替，由于后者维数降低了很多，可能会使分析变变得简单。

2 ）输入只能通过可控子系统传递到输出，而与不可控子系统无关，故至之间的传递函数矩阵描述不能反映不

可控部分的特性，这就从物理意义上进一步说明了可控子系统和系统具有相同

的传递函数矩阵。


r ),,( 1111 CBA ),,( CBA

),,( CBA ),,( 1111 CBA

uyu

),,( CBA),,( 1111 CBA

94

但是，不可控子系统对整个系统的影响是存在的，不可忽视。因而要求仅含稳定特征值，以保证整个系统稳定，并且

考虑到可控子系统的状态响应和整个系统的输出响应

均与不可控子系统的状态有关。

3 ）由于选取非奇异变换阵的列向量及

的非惟一性，虽然系统可控性规范分解的形式

不变，但诸系数阵不相同，故可控性规范分解不是惟一的。设一个可控性规范分解系统为，


22A)(txc )(ty

cx

1P rsss ,,, 21 nr ss ,,1

),,( CBA

211

22

1211 ,0

,0

CCCB

BA

AAA

95

另一个可控性规范分解系统为，

则与的阶数均为。这是因为


)~

.~

,~

( CBA

211

22

1211 ~~~,

0

~~

,~0

~~~

CCCB

BA

AAA

11A 11

~A r

11

111111

~~~~~BABABrank r

11

111111

~~~~~BABABrank n BABABrank n ~~~~~ 1

BAABBrank n 1 BABABrank n 1

11

111111 BABABrank n 11

111111 BABABrank r

r

96

4 ）由于

故的稳定性完全由的特征值决定；的

稳定性完全由的特征值决定，而都是的特征值。称为系统的可控因子或可控振型，

称为不可控因子或不可控振型。对于不同的分解，如和，虽然诸系数矩阵不

相同，但可控因子和不可控因子是相同的，这是由于非奇异线性变换不改变系统特征值的缘故。


11 22det( ) det( ) det( )sI A sI A sI A

cx 11A r ,, 21 cx

22A nr ,,1 n ,,, 21 A r ,1

nr ,,1

),,( CBA )~

,~

,~

( CBA

97

5 ）可控性规范分解表达式也为系统的可控性判别提供了一个准则，即线性定常系统完全可控的充分必要条件是，系统经过非奇异线性变换不能化成规范表达式的形状，其中的阶数。按照上面所述的非奇异线性变换阵

的选取方法，利用计算机进行线性变换计算，可以比较容易地确定系统的可控性。对于维数较大系统

的可控性判别，这是一种较好的方法。


11Anr 1P

),,( CBA

98

例：已知系统，其中

试按可控性分解为规范形式。解：系统可控性矩阵为

故系统不可控。


),,( CBA

111,

1

0

0

,

341

010

121

cbA

831

000

4102bAAbbS

32 nrankS

99

从可控性矩阵中选出两个线性无关的列向量和

，附加任意列向量，构成非奇异变

换阵

计算矩阵和变换后的各矩阵


T100 T301－ T010

1P

031

100

0101P

P

010

001

103

)( 11PP

100

可控子系统动态方程为

不可控子系统动态方程为


121,

0

0

1

,

100

241

24011

cPPbPAP

cccc xyuxxx 21,0

1

2

2

41

401

ccc xyxx 2,

101

（ 2 ）系统按可观测性的结构分解系统按可观测性结构分解的所有结论，都对偶于系统按可控性结构分解的结果。设不可观测系统的动态方程为

系统的可观测性矩阵为

，在中任意选取个线性无关的行向量

。


CxyBuAxx ,

1nCA

CA

C

V

)( nllrankV V l

lttt ,,, 21

102

此外再选取个与之线性无关的行向量，构成

非奇异线性变换阵

对不可观测系统进行非奇异线性变换


ln nl tt ,,1

n

l

l

t

t

t

t

T

1

1

0

1

x

xTx o

103

可得系统结构按可观测性分解的规范表达式

式中，为维可观测状态子向量；为维不可观测

状态子向量，并且


0

11 ,x

xCTyTBu

x

xTAT

x

x o

o

o

o

o

ox ox )( ln l

行，行

)(ˆˆ0ˆ

2221

111

ln

l

AA

ATAT

列列 )( lnl 行

行)(ˆ

ˆ

2

1

ln

l

B

BTB

列p

行qCCT 0ˆ1

1

列列 )( lnl

104

展开上式，有

可观测子系统动态方程为

不可观测子系统动态方程为


o

ooo

o

xCy

uBxAxAx

uBxAx

1

22221

111

ˆ

ˆˆˆ

ˆˆ

yxCyuBxAx ooo 11111ˆ,ˆˆ

0,ˆˆˆ222221 yuBxAxAx ooo

105

系统的结构方块图如图所示。


106

设

与可控性规范分解相类似，称系统为系统

的可观测规范分解。可观测性规范分解也有与可控性规范分解相类似的分析和结论。


2

1

2221

111

ˆ

ˆˆ,

ˆˆ0ˆ

ˆB

BTBB

AA

ATATA

0ˆˆ1

1 CCTC

)ˆ,ˆ,ˆ( CBA ),,( CBA

107

例：已知系统，其中

试将系统按可观测性分解为规范形。解：系统的可观测性矩阵为


),,( CBA

111,

1

0

0

,

341

010

121

cbA

474

232

111

2cA

cA

c

V

32 nrankV

108

故系统不可观测。从可观测性矩阵中选取两个线性无关行向量和，再选取一

个与之线性无关的行向量，构成非奇异变换矩阵，

计算变换后各矩阵


111 232 100 T

100

232

111

T

235

032

010

,

100

012

11311 TATT

109

可观测子系统记方程为

不可观测子系统动态方程为


001,

1

2

11

cTTb

yxyuxx ooo

01,2

1

32

101

0,205 2 yuxxx ooo

110

（ 3 ）系统结构的规范分解对于不可控和不可观测的线性定常系统

通过线性非奇异变换可实现系统结构的规范分解，其变换关系推导如下：先对系统进行可控性分解，即引入状态变换

式中基于系统可控性矩阵来构造。


CxyBuAxx ,

c

cc x

xTx 1

1cT

111

继而对可控子系统进行可观测性分解，即引入状态变换

式中基于可控子系统的可观测性矩阵来构造。最后对不

可控子系统进行可观测性分解，即引入状态变换

其基于不可控子系统的可观测性矩阵来构造。


oc

cooc x

xTx 1

1

1oT

oc

occ x

xTx 1

02

2oT

112

综合上面三次状态变换，有下列状态变换关系：

引入变换后，可将不可控和不可观测系统变换为下列规

范构造形式：


oc

oc

oc

co

oc

oc

oc

co

c

x

x

x

x

T

x

x

x

x

T

TTx 1

102

1011

0

0

1T

uB

B

x

x

x

x

AA

A

AAAA

AA

x

x

x

x

oc

oc

oc

co

oc

oc

oc

co

0

0

00

000

00

2

1

4443

33

24232221

1311

113

展开上两式，可得可控、可观测子系统动态方程

可控、不可观测子系统动态方程

不可控、可观测子系统动态方程


oc

oc

oc

co

x

x

x

x

CCyyyyy 00 314321

cooccoco xCyuBxAxAx 1111311 ,

uBxAxAxAxAx ococccooc 2242302221

02 y

ocococ xCyxAx 3333 ,

114

不可控、不可观测子系统动态方程

系统的特征值由矩阵的特征值集合

而成。系统的传递函数矩阵为


0, 44443 yxAxAx ocococ

44332211 ,,, AAAA

0

0

00

000

00

00)( 2

1

1

4443

33

24232221

1311

31

B

B

AsIA

AsI

AAAsIA

AAsI

CCsG

0

0

00

000

00)(

00 2

11

11

31

B

BAsI

CC

115

式中“ ”表示因比较复杂而未具体写出的矩阵表达式。由前分析可知，整个线性定常系统的传递函数矩阵与可控、可观测子系统的传递函数矩阵相同，这就是说，对于不可控又不可观测的线性定常系统，其输入－输出描述即传递函数矩阵只能描述系统中可控且可观测的那一部分，是对系统结构的一种不完全描述。只有当系统可控且可观测时，输入－输出描述才足以表征系统的结构，即描述是完全的。


0

)(

00

11

11

31

BAsI

CC

)()( 11

111 sGBAsIC co

第九章

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