已知：等比数列 {an} ，a1，q ，n求： Sn

通项公式 : an=a1• q n-1

解： Sn=a1+a2 + a3 +a4 + …+an

qsn + =a1q + + +a1q a1q2 3 …+ a1qn-1 a1qn

作减法

(1-q)Sn=a1-a1qn

n·a1

a1q a1q2 3 … a1qn-1=a1+a1q + + + +

作减法

作减法

先回顾等比数列前 n 项求和公式的推导

Sn={ (q=1)

(q=1)qqa n

1)1(1

运用条件：若数列｛ Cn ｝满足 Cn = an · bn ，其中｛ an ｝为等差数列， ｛

bn ｝ 为等比数列且公比为 q ，则数列｛ Cn ｝的前 n 项和可用“错位相减法”求之。

基本步骤为：先写出 Sn ，再求出 qSn ，然后求“ Sn - qSn” 。但须注意书写时“同类项”要对齐，即要“错位”，以便求差。

例一、求数列 7 ， 77 ， 777 ， ··· ， ， ···

的前 n 项的和77···7

n 个

分析：该数列的特点是从第 2 项起数列的每一项是它前一项的 10 倍加 7 ，故可尝试先将和式乘以 10 后再与原式相减。

解：∵ Sn = 7+ 77+ 777 + ··· + ， ∴10 Sn =70+770+ ··· + ×10

+ ×10

∴ Sn- 10 Sn = - ×10

77···7n 个

77···7n-1个

77···7n 个

7+7+7···+7n 个 7

77···7n 个

=7n – 7(10n-1) ×

【导评】从上面的解题过程可以看出：如果一数列｛ an ｝满足 an+1=k an +p (k, p 为常数），即从第 2 项起每一项是它前面一项的 k 倍加上 p ，则该数列的前 n 项求和用上述方法求之。

【基本步骤】先写出 Sn ，再求出 kSn ，最后求“ Sn- kSn” 。

910

97

81)110(70 n

n

n

S

例二、求数列 1 ， 3a ， 5a2 ， 7a3 ···

（ 2n-1)an-1 ··· (a≠1) 的前 n 项的和

(1-a)Sn=1+2a+2a2+2a3+ ··· +2an-1- (2n-1)an

=2(1+a+a2+a3+ ··· +an-1) - (2n-1)an-1

= 1)12(2 1)1(1

naa ann

解：因 Sn=1+3a+5a2+7a3+ ··· +(2n-1)an-1 ① ①×a ，得 aSn=a+3a2+5a3+ ··· (2n-3)an-1+(2n-1)an

两式相减得

所以

aan

a

an

nn

s

1

1)12(

)1(

)1(22

nn anaaaaSna )12()(21)1( 32 n

aaa ann

)12(21 1)1( 1

【另】如将常数 1 提出，则：

1)12(1

)(2

aan

aaa nn

1)12(1)1(2

1)1(2

n

aa

aa ann

1)12(1)1(2

naa ann

计算结果与

之前相同。

由此可知，作差后所得数列中，如有常数项，可以凑成等比数列的项，也可以独立提出来，并不影响计算结果。