对数的运算
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对数的运算. 复习上节内容. 定义 ：. 一般地，如果. 的 b 次幂等于 N, 就是. ， 那么数 b 叫做. 以 a 为底 N 的 对数 ，记作. a 叫做对数的 底数 ， N 叫做 真数 。. 复习上节内容. 例如：. 复习上节内容. 有关性质 ：. ⑴ 负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）. ⑵. ⑶ 对数恒等式. 复习上节内容. ⑷ 常用对数：. 我们通常将以 10 为底的对数叫做 常用对数 。. 简记作 lgN 。. 为了简便 ,N 的常用对数. ⑸ 自然对数：. 在科学技术中常常使用以无理数 e=2.71828……. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
对数的运算
底数 对数真数幂指数底数↓ ↓↓ ↓↓↓
l ogaN＝bab=N
一般地，如果 1,0 aaa
的 b 次幂等于 N, 就是 Nab ，那么数 b 叫做
以 a 为底 N 的对数，记作 bNa log
a 叫做对数的底数， N 叫做真数。
定义：
复习上节内容
例如： 1642
216log4
100102 2100log10
24 2
1
2
12log4
01.010 2 201.0log10
底数 对数真数幂指数底数↓ ↓↓ ↓↓↓
l ogaN＝bab=N
复习上节内容
有关性质： ⑴ 负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）
⑵ ,01log a 1log aa
⑶ 对数恒等式
Na Na log
复习上节内容
⑷ 常用对数： 我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数。
为了简便 ,N 的常用对数 N10log 简记作 lgN 。
⑸ 自然对数： 在科学技术中常常使用以无理数 e=2.71828……
为底的对数，以 e 为底的对数叫自然对数。 为了简便， N 的自然对数 Nelog 简记作 lnN 。
（ 6 ）底数 a 的取值范围： ),1()1,0(
真数 N 的取值范围 : ),0(
复习上节内容
)()(
),()(
),(
Rnbaab
Rnmaa
Rnmaaa
nnn
mnnm
nmnm
新授内容： 积、商、幂的对数运算法则：
如果 a > 0 ， a 1 ， M > 0 ， N > 0 有：
)(
)(
)(
3R)M(nnlogMlog
2NlogMlogN
Mlog
1NlogMlog(MN)log
an
a
aaa
aaa
为了证明以上公式，请同学们回顾一下指数运算法则 ：
证明：①设 ,log pMa ,log qNa
由对数的定义可以得： ,paM qaN ∴MN=
pa qa qpa qpMNa log
即证得
底数 对数真数幂指数底数↓ ↓↓ ↓↓↓
l ogaN＝bab=N
)(1NlogMlog(MN)log aaa
证明：②设 ,log pMa ,log qNa
由对数的定义可以得： ,paM qaN
∴q
p
a
a qpa qpN
Ma log
即证得
底数 对数真数幂指数底数↓ ↓↓ ↓↓↓
l ogaN＝bab=N
N
M
)(2NlogMlogN
Mlog aaa
证明：③设 ,log pMa
由对数的定义可以得： ,paM ∴ npn aM npM n
a log
即证得
底数 对数真数幂指数底数↓ ↓↓ ↓↓↓
l ogaN＝bab=N
)(3R)M(nnlogMlog an
a
上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式。
)(
)(
)(
3R)M(nnlogMlog
2NlogMlogN
Mlog
1NlogMlog(MN)log
an
a
aaa
aaa
① 简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”……
② 有时逆向运用公式 ③ 真数的取值范围必须是 ),0( ④ 对公式容易错误记忆，要特别注意：
,loglog)(log NMMN aaa NMNM aaa loglog)(log
其他重要公式1:
Nm
nN an
amloglog
证明：设 ,log pN n
am
由对数的定义可以得： ,)( pmn aN ∴
即证得 N
m
nN an
amloglog
mpn aN pn
mNa log
pn
m
aN
其他重要公式2:
a
NN
c
ca log
loglog )0),,1()1,0(,( Nca
证明：设
由对数的定义可以得： ,paN
即证得
pNa log
,loglog pcc aN ,loglog apN cc
a
Np
c
c
log
log
a
NN
c
ca log
loglog
这个公式叫做换底公式
其他重要公式3:
ab
ba log
1log ),1()1,0(, ba
证明 : 由换底公式
取以 b 为底的对数得：
还可以变形 , 得
,1log bb
a
NN
c
ca log
loglog
a
bb
b
ba log
loglog
ab
ba log
1log
1loglog ab ba
例 1 计算（ 1 ）
（ 2 ）
)42(log 752
27log9
讲解范例
解 : )42(log 752 5
2 2log 72 4log
52 2log 14
2 2log=5+14=19
解 : 27log93
33log 2
3log2
33
2
3
讲解范例
（ 3 ） 8log7log3log 732
解 : 8log7log3log 732
2lg
3lg
2lg
2lg 3
2lg
2lg3
=3
3lg
7lg
7lg
8lg
例 2
讲解范例
解（ 1 ）
解（ 2 ）
用 ,log xa ,log ya zalog 表示下列各式：
3
2
log)2(;(1)logz
yx
z
xyaa
zxyz
xyaaa log)(loglog
3
1
2
12
3
2
log)(loglog zyxz
yxaaa
zyx aaa logloglog
3
1
2
12 logloglog zyx aaa
zyx aaa log3
1log
2
1log2
（ 1 ） 18lg7lg3
7lg214lg 例 3 计算：
讲解范例
解法一：
18lg7lg3
7lg214lg
18lg7lg)3
7lg(14lg 2
18)37
(
714lg
2
01lg
)32lg(7lg
3
7lg2)72lg(
2
)3lg22(lg7lg
)3lg7(lg27lg2lg
0
18lg7lg3
7lg214lg
解法二：
（ 2 ） 例 3 计算：
讲解范例
9lg
243lg
3lg2
3lg5
2
5解：
1023
lg
)10lg(32lg)3lg(
2.1lg
10lg38lg27lg)3( 2
2
132
13
2
5
3lg
3lg
9lg
243lg)2(
2.1lg
10lg38lg27lg)3(
12lg23lg
)12lg23(lg23
2
3
练习
（ 1 ）
（ 4）
（ 3 ）
（ 2 ）
1. 求下列各式的值：
15log5log 33
2lg5lg
3
1log3log 55
3log6log 22 3
6log2
)25lg(
)3
13(log5
15
5log3
2log2 1
10lg 1
1log5 0
13 3log 1
2. 用 lg ｘ， lg ｙ， lg ｚ表示下列各式：练习
（ 1 ）
（ 4）
（ 3 ）
（ 2 ）
)lg(xyz
z
xy2
lg
z
xy3
lg
＝ lg ｘ＋２ lg ｙ－ lg ｚ；
zy
x2
lg
＝ lg ｘ＋ lg ｙ＋ lg ｚ；
＝ lg ｘ＋３ lg ｙ－ 2
1lg ｚ；
zyx lglg2lg2
1
小结 :
积、商、幂的对数运算法则：如果 a > 0 ， a 1 ， M > 0 ， N > 0 有：
)(
)(
)(
3R)M(nnlogMlog
2NlogMlogN
Mlog
1NlogMlog(MN)log
an
a
aaa
aaa
其他重要公式 : Nm
nN an
amloglog
a
NN
c
ca log
loglog )0),,1()1,0(,( Nca
1loglog ab ba),1()1,0(, ba