§2 线性变换的运算

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第一章行列式第一章行列式

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第七章线性变换第七章线性变换

三、线性变换的乘积

一、线性变换的和二、线性变换的数量乘法

四、线性变换的逆





则　　也是 V 的线性变换 .

一、线性变换的和 1 ．定义

设　　为线性空间 V 的两个线性变换，定义它们,

, V 的和　为：

事实上，( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )k

( ( ) ( ))k

( ) ( )

( )( ) ( )( ),

( ) ( )k k ( ) ( )k k

( )( ).k





（ 3 ） 0 为零变换 .0 0 ,

2 ．基本性质

（ 1 ）满足交换律：

（ 2 ）满足结合律：

设　为线性空间 V 的线性变换，定义　为：

, V

则　也为 V 的线性变换，称之为　的负变换 .

（ 4 ） ( ) 0

负变换：





,k k V

二、线性变换的数量乘法

1 ．定义

的数量乘积　为：k

则　也是 V 的线性变换 .k

设　为线性空间 V 的线性变换，　　　定义 k 与 ,k P





(1) ( ) ( ) ,kl k l k l P

(2) ( ) ,k l k l k l P

(3) ( )k k k k P

(4) 1

2 ．基本性质

命题：

对于线性变换的加法与数量乘法构成数域 P 上的

一个线性空间 .

线性空间 V 上的全体线性变换所成集合 ( )L V





1 ．定义设　　为线性空间 V 的两个线性变换，定义它们,

事实上，( )( )

三、线性变换的乘积

的乘积　为： , V

则　也是 V 的线性变换 .

( ( )) ( ( ))

( )( )k

( ( )) ( ( ) ( ))

( )( ) ( )( ),

( ( ))k ( ( ))k

( )( )k

( ( ))k




第七章线性变换第七章线性变换２．基本性质

（ 1 ）满足结合律：

（ 2 ）　　　　　　， E 为单位变换 E E

注：交换律一般不成立，即一般地，

（ 3 ）乘法对加法满足左、右分配律：




第七章线性变换第七章线性变换例 1 线性空间　　中，线性变换 [ ]R x

D f x f x

0

,x

DJ f x D f t dt f x

0

0x

JD f x J f x f t dt f x f

而，

.DJ JD

0

xJ f x f t dt

即 .DJ E





( ) ,X AX

例 2. 设 A 、 B 　　　为两个取定的矩阵，定义变换n nP

则　　皆为　　的线性变换，且对　　　　　有, n nP ,n nX P

( )( ) ( ( )) ( ) ( ) ,X X XB A XB AXB

( )( ) ( ( )) ( ) ( ) .X X AX AX B AXB

( ) ,X XB n nX P

.





四、线性变换的逆

E

则称　为可逆变换，称　为　的逆变换，记作 1 .

1 ．定义

设　为线性空间 V 的线性变换，若有 V 的变换　使

2 ．基本性质

可逆变换　的逆变换　　也是 V 的线性变换 . 1





1

1 1 1

1 1

证：对 , , ,V k P

1 1 1

1 k

1 1k

是 V 的线性变换 .1

1 1 1

1 1k 1 1k

1 1( )( ( ( )))k 1k





,n

n

当　　　时，规定　　　（单位变换） .0n 0 E

五、线性变换的多项式

1 ．线性变换的幂

设　为线性空间 V 的线性变换， n 为自然数，定义

称之为　的 n 次幂 .





① 易证 , , , 0nm n m n m mn m n

注：

1 nn

② 当　为可逆变换时，定义　的负整数幂为

③ 一般地， .n n n





设 1 0 [ ],mmf x a x a x a P x

为 V 的一个线性变换，则

1 0( ) mmf a a a E

2 ．线性变换的多项式

多项式 .

也是 V 的一个线性变换，称　　为线性变换　的( )f





注： ,h x f x g x p x f x g x

① 在　　中，若[ ]P x

则有， ,h f g

f g g f

即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律 .

p f g

② 对　　　　　　　　　有( ), ( ) [ ],f x g x P x

f g g f

§2 线性变换的运算

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