函数（三）

）（ axaxf 3lg)( 例例 1 1 已知函数 已知函数 ((a a ＞＞ 0 0 且且 a a ≠1) ≠1) 在其定义域 在其定义域 [[ －－ 1, 1] 1, 1] 上是减函数，则实数 上是减函数，则实数 aa 的取值范的取值范围是围是 ___________.___________.

六、幂函数、指数函数与对数函数六、幂函数、指数函数与对数函数

【讲解】【讲解】由由 aa ＞＞ 00 且且 aa≠1≠1 知知 tt ＝＝ 33

－－ axax 是减函数，从而是减函数，从而 llgg(3(3 －－ axax) ) 也是也是减函数，故只有减函数，故只有 aa ＞＞ 11 时，时， ff ( (xx)) 才是才是减函数；减函数；

另外， 另外， xx [ [ －－ 1 1 ，， 1] 1] 时， 要保时， 要保证 证 33 －－ axax ＞＞ 00 ，为此只须考，为此只须考虑最小值：虑最小值：

xx ＝＝ 11 时时 , , ttminmin=3=3 －－ aa ，，要要 33 －－ aa

＞＞ 00 ，，则则 aa ＜＜ 33 ，综上知，综上知 11 ＜＜ aa ＜＜ 33 ． ．

例例 2 2 如果不等式 如果不等式 xx22 － － ＜ ＜ 00

在区间 上恒成立，那在区间 上恒成立，那

么实数么实数 aa

的取值范围是的取值范围是 ______________________ ． ．

xalog

]2

1 0 ( ，

104

1

2

1log

a

a

【讲解】 【讲解】 设设 yy ＝＝ xx22 ① ① yy ＝ ②＝ ②当当 aa ＞＞ 11 时，函数②在 上时，函数②在 上取负值， 因此 不可能有取负值， 因此 不可能有 xx22 ＜ ＜ 成立． 成立．

在 上函数①的最大值是 在 上函数①的最大值是

，，

在 上，当在 上，当 00 ＜＜ aa ＜＜ 11 时，时，

②的最小 ②的最小

值是 ， 值是 ，

xalog

]2

1 0 ( ，

xalog

]2

1 0 ( ，

4

1

]2

1 0 ( ，

2

1loga

在 上，在 上， xx22 ＜ ＜

恒成立 恒成立 ]

2

1 0 ( ， xalog

2

1 log

4

1a

当当 00 ＜＜ aa ＜＜ 11 时，由 时，由 ， ，

2

1 log

4

1a 得得 4

1

2

1a

∴∴ 116

1 a

例 3.化简

(1)

　 (2)

(3)

ac cb bacb ba acba ac cb xxx

})5lg

2lg(])

2

1(){[log2(lg 112

2

1

cbac

c

bacb

b

acba

a

xxx111

)()()(

略解： (1)x 的指数是 0, 所以原式 =1(2)x 的指数是 =0 所以原式 =1

(3) 原式 =

2

1}2

1

2lg2

1

2

1){2(lg

}2lg

5lg21

2

1){2(lg})

5lg

2lg(])

2

1(){[log2(lg 112

2

1

　　　　　　

例 4.若 ，求aa

axf

x

x

)(

1000

1

)1001(

i

if

解：因为

所以 f(x)+f(1-x)=1

)1(111

1)(

1

1

xfaa

a

aaa

a

aa

a

aa

aaa

aa

axf

x

x

x

xx

x

x

x

500

10002

1

)]1001

1()1001([

2

1)

1001(

1000

1

if

if

if

i

解：令 121995=a>0 则

¸所以

的大小与试比较例112

112

112

112.5

1996

1995

1995

1994

1122412

1214512

)1(12

)112)(12(

1

112

1

112

112

112

112

112

2

2

2

1996

1995

1995

1994

aa

aa

a

aa

a

a

a

a

112

112

112

1121996

1995

1995

1994

例 6.已知函数 f(x)=logax (a>0,a≠1,x∈R+) 若

x1,x2∈R+, 试比较 与

的大小

)]()([2

121 xfxf )

2( 21 xxf

例 7.已知 y1= ， y2=

当 x为何值时(1)y1=y2 　　　　 (2)y1>y2 　　　　 (3)y1<y2

132 2

3 xx 522

3 xx

例 8.对于自然数 a,b,c (a≤b≤c) 和实数 x,y,z,w 若

(1)ax=by=cz=70w (2)

求证： a+b=cmzyx

1111

例 9.已知 A=6lgp+lgq ，其中 p,q 为素数，且满足q-p=29 ，求证： 3<A<4

证明：由于 p、 q为素数，其差 q-p=29为奇数，∴ p=2,q=31A=6lg2+lg31=lg(64×31)=lg19841000<1984<10000 　故 3<A<4

例 10. 设 f(x)=logax (a>0,a≠1) 且

(θ 为锐角 )，求证： 1<a<15

cos)6

25(,sin)

15

8( ff

证明：∵ θ是锐角，∴

从而 a>1 又 f(15)==sinθ+cosθ

故 a<15 　 综合得： 1<a<15

0sin5

18log a

)6

25()

5

18()

6

25

5

18( fff

1cossin21)cos(sin 2

证：因为 0<a<1 ，所以 ax>0,ay>0 由平均值不等式

故

例 11. 已知 0<a<1,x2+y=0 ，求证：

8

12log)(log a

yxa aa

222yx

yxyx aaaaa

8

12log

8

1)2

1(2

12log

)(2

12log

)(2

12log)2(log)(log

2

2

2

aa

a

a

yx

ayx

a

x

xx

yxaaa

解：在直角坐标系内分别作出函数 y=2x 和 y=log2

x 的图象，再作直线 y=x 和 y= -x+3 ，由于 y=2x

和 y=log2x 互为反函数，故它们的图象关于直线 y

=x 对称，方程 log2x+x-3=0 的根 a 就是直线 y= -x

+3 与对数曲线 y=log2x 的交点 A 的横坐标，方程2x+x-3=0 的根 b 就是直线 y= -x+3 与指数曲线 y=2x 的交点 B 的横坐标设 y= -x+3 与 y=x 的交点为 M ，则点 M 的横坐

标为 (1.5,1.5) ，所以 a+b=2xM=3 　 log2a+2b=2yM=3

例 12. 设 a 、 b 分别是方程 log2x+x-3=0

和 2x+x-3=0 的根，求 a+b 及 log2a+2b

例例 1313 已知函数 已知函数 ff ( (xx)) ＝＝ |2|2x x －－ 1 1

－－ 11 |, |, aa ＜＜ bb ＜＜ c c 且 且 ff ( (aa)) ＞＞ ff ( (cc)) ＞＞ff ( (bb) ) ，则必有，则必有

(A) (A) aa ＜＜ bb ，， bb ＜＜ 11 ，， cc ＜＜ 11

(B) (B) aa ＜＜ 11 ，， bb≥1≥1 ，， cc ＞＞ 11

(C) 2(C) 2 －－ aa ＜ ＜ 22cc

(D) 2(D) 2aa ＋＋ 22cc ＜＜ 44 ．．

【解】【解】函数函数 yy==22xx 的图像右移的图像右移

11 个单位得 个单位得 y y = 2= 2xx －－ 11 ，再下移，再下移 11 个个

单位得单位得 y y = 2= 2xx －－ 11 －－ 11 ，再把 ，再把 x x 轴轴

下方的部分翻折到下方的部分翻折到 x x 轴上方得轴上方得 y y =| =|

22xx －－ 11 －－ 1|1| ，图像如下图 ，图像如下图

由于在 由于在

上， 上， ff ( (xx) ) 是减函数，所 以 是减函数，所 以 aa

， ， bb ，， c c 不能同时在 不能同时在

上；同理， 上；同理， aa ，， bb ，， c c 也不也不

能同时在 上． 能同时在 上．

] 1 ( ，

] 1 ( ，

) 1[ ，

故必有故必有 aa ＜＜ 11 且且 cc ＞＞ 11 ．．从而从而 22aa －－ 11 ＜＜ 11 ，， 22cc －－ 11 ＞＞ 11

∴ ∴ ff ( (aa)) ＝＝ 11 －－ 22aa －－ 11 ，， ff ( (cc)) ＝＝ 22cc －－

11 －－ 11

∵ ∵ ff ( (aa) ) ＞＞ f f ((cc))

∴ ∴ 11 －－ 22aa －－ 11 ＞＞ 22cc －－ 11 －－ 11

∴ ∴ 22aa ＋＋ 22cc ＜＜ 44 ．．故选（故选（ DD ）． ）．

例例 1414 设 设 mmRR ，关于，关于 x x

的方程的方程

((aa ＞＞ 00 且且 aa≠1) ≠1) 有几个实根？证有几个实根？证

明你的结论．明你的结论．

012 223 ＝）（ mammaa xxx

【解】【解】设设 yy ＝＝ aaxx ，则，则 yy ＞＞ 00 ，且，且

((y y + + mm)()(yy22++mymy+1) = 0+1) = 0

∴ ∴ y y == －－ mm ① ① 或或 yy22++mymy+1=0 ②+1=0 ②

令 ， 令 ，

则则 mm≤≤ －－ 2 2

0 12 223 ＝）（ mymmyy

0

042

m

m

(1) (1) 当当 mm ＜－＜－ 2 2 时，时，① ① 有正实根，②有两个不等正实根有正实根，②有两个不等正实根

．．∴ ∴ 原方程有三个实根；原方程有三个实根；(2) (2) 当当 mm ＝－＝－ 2 2 时，时，① ① 有正实根，②有一个正实根．有正实根，②有一个正实根．∴ ∴ 原方程有两个实根；原方程有两个实根；(3) (3) 当－当－ 22 ＜＜ mm ＜＜ 0 0 时，时，① ① 有正实根，②无实根．有正实根，②无实根．∴ ∴ 原方程有一个实根； 原方程有一个实根；

(4) (4) 当当 mm≥0 ≥0 时，时，① ① 只有负根，而②无实根或实根为负只有负根，而②无实根或实根为负

．．∴ ∴ 原方程无实根．原方程无实根． 综上所述，知 综上所述，知 mm的值 的值 mm＜－＜－ 2 2 －－ 2 2 －－ 22 ＜＜ mm＜＜ 0 0 mm≥0 ≥0

方程实根个方程实根个数 数 33 22 11 00

例 15. 解方程(1)x+log2(2x-31)=5 　(2) 2lgx×xlg2-3×xlg2-21+lgx+4=0例 16. 设 a>0 且 a≠1, 求证：方程 ax+a-x=2a 的根不在区间 [-1,1] 内

解：设 t=ax, 则原方程化为： t2-2at+1=0 　 (1) 由 Δ=4a2-4>0 得 a2>1, 即 a>1令 f(t)= t2-2at+1 , f(a)=a2-2a2+1=1-a2<0

下略

01

11

2)1()

1(

2

22

a

a

aa

aaf

例 16.解方程： lg2x-[lgx]-2=0 ( 其中 [x] 表示不大于实数 x的最大整数 )

解：由 [x] 的定义知， [x]≤x，故原方程可变为不等式：lg2x-lgx-2≤0 即 -1≤lgx≤2当 -1≤lgx<0 时， [lgx]= -1 ，于是原方程为 lg2x=1

10

1,1lg xx

当 0≤lgx<1 时， [lgx]=0 ，原方程为

lg2x=2 ， 均不符合 [lgx]=02lg x

当 1≤lgx<2 时， [lgx]=1 ，原方程为

lg2x=3 ，所以 310,3lg xx

当 lgx=2 时， x=100 　　　所以原方程的解为

100,10,10

13

321 xxx

解：易知： a>0 且 a≠1，设 u=x2+ax+5 ，原不等式可化为

例 18. 当 a为何值时，不等式

有且只有一解

03log)6(log5log 25

21 a

a

axxaxx

0log

1)1(log

log

)1(log

35

3

3

a

ua

u

因为 f(4)=log3(2+1)×log5(4+1)=1所以 (1) 等价于 u>4, 即 x2+ax+5>4此不等式有无穷多解

(1) 当 0<a<1 时，原不等式为(1)1)1(log)1(log 53 uu

由于当 u>0 时，　　　　　　　

均为单调增函数，所以它们的乘积　　　　　　　　　　　　　　

也是单增函数)1(log)1(log)( 53 uuuf

)1(log)1(log 53 uu 与

由 f(4)=1 知， (2) 等价于 0≤u≤4，即 0≤x2+ax+5≤4从上式可知，只有当 x2+ax+5=4 有唯一解即Δ=a2-4=0 ， a=2 时，不等式 0≤x2+ax+5≤4有唯一解 x= -1综上所述，当 a=2 时原不等式有且只有一个解

(2) 当 a>1 时，不等式化为(2)1)1(log)1(log 53 uu

例 19. 已知 a>0 且 a≠1，试求使方程

有解的 k的取值范围

)(log)(log 22 axakx aa

解：原方程即

即

22log)(log axakx aa

220 axakx

又当 k=0 时，代入原式可推出 a=0 与已知矛盾，故 k的取值范围为 (-∞,-1)U(0,1)

a

x分别解关于　的不等式、方程得：

(k≠0时）k

k

a

xk

2

1 2

所以　　　　　

解得 k< -1 或 0<k<1k

kk

2

1 2

解：易知 f(x) 的定义域为 (0,+∞)

∵y1=3+ 　　　　在 (0,+∞) 上是减函数，

y2=log2x 在 (0,+∞) 上是增函数，

而当 y1=y2 ，即

x4

1log

例 20. 设 f(x)=min(3+ ， ), 其中 min(p,q) 表

示 p、 q中的较小者，求 f(x) 的最大值

x4

1log x2log

七 .函数的最值与函数的值域

f(x)=log2x 　 (2)(1)×2+(2) 消去 log2x ，得 3f(x)=6 ， f(x)=2 又 f(4)=2, 故 f(x) 的最大值为 2

x2log2

1另解： f(x)=3+ =3- (1)x4

1log

3+ 　　　 =log2x 时， x=4 ，

故当 x=4 时，得 f(x) 的最大值是 2

x4

1log

)40(log

)4(log3)(

2

4

1

xx

xxxf

例 21. 求函数

的最小值解：由 1-3x>0 得， x<0, 所以函数的定义域为 (-∞,0)令 3x=t, 则 t∈(0,1) ，于是

故当 x= -1 时，得 y的最小值 -2+2log23

)3

13(log)31(log 2

2

1 xxy

3log229

4log

]9

4)3

1[(log)

3

1)(1(log

)3

1(log)1(log)

3

1(log)1(log

22

222

222

2

1

ttt

tttty

例例 2222 已知函数已知函数 f f ((xx) ) 和和 gg((xx)) 都都是奇函数，且 是奇函数，且 FF((xx) =) =aa · · ff ( (xx)+)+b · gb · g((xx)+2 )+2

，若在 ，若在 (0, +∞)(0, +∞) 上上 FF((xx)) 有最大值有最大值 8, 8, 则则在在 (( －∞－∞ , 0), 0) 上上 FF((xx) ) 有有

(A) (A) 最小值－最小值－ 8 (B) 8 (B) 最小值－最小值－44

(C) (C) 最小值－最小值－ 6 (D) 6 (D) 最大值－最大值－8 8

【解】【解】设设 xx ＜＜ 00 ，则－，则－ xx ＞＞ 00 ，，依题意依题意 FF(( －－ xx)) ＝＝ af af (( －－ xx)+)+bgbg(( －－ x)+2≤x)+2≤

88

∵∵ ff ( (xx) ) 和和 gg((xx)) 是奇函数是奇函数∴∴ －－ afaf ( (xx)) －－ bgbg ( (xx)+2≤8)+2≤8

∴ ∴ a a · · ff ( (xx)+)+bgbg ( (xx)≥)≥ －－ 66

∴ ∴ FF ( (xx)) ＝＝ afaf ( (xx)+)+bgbg ( (xx)+2≥)+2≥ －－ 44 ．．故故 FF ( (xx)) 在（－∞，在（－∞， 00 ）上有最小值－）上有最小值－ 44

．．应选（应选（ BB ）． ）．

例例 2323 求函数 求函数 的值域． 的值域． 【讲解】 【讲解】 和 和

这两项的平方和是常数，而平 这两项的平方和是常数，而平方之积是二次三项式．方之积是二次三项式． 据这个特点可以演变出下据这个特点可以演变出下

面多种解法． 面多种解法．

xxy 1

x x1

【解法【解法 11 】】易知定义域为 易知定义域为 0≤0≤xx≤1≤1 ，，

0≤0≤xx≤1 ≤1 －－ xx22++x x 的值域是 的值域是 [0[0 ， ， ] ]

的值域是 的值域是 [0[0 ， ， ]]

∴ ∴

的值域是的值域是 [1[1 ， ， ]] ． ．

2)1( xxy xx 221

4

1)

2

1(21 2 x

xx 2

2

1

xxy 1 2

4

1

∵ ∵ ≤ ≤1+1+xx －－ xx+1+1

＝＝ 22

∴ ∴ 且 且 时， 时， 等号成立．等号成立．

xxxx 121)1( 2

21 xx2

1x

【解法【解法 22 】】

又由又由 0≤0≤xx≤1≤1 知知 xx22≤≤x , x , ∴∴

， ∴， ∴

且且 xx ＝＝ 11 或或 0 0 时等号成立．时等号成立．

综合以上结果知， 综合以上结果知，

的值域是 的值域是 [1[1 ， ， ]]

． ．

xx

xx 11 xx 11

xxy 1

2

【解法【解法 33 】】 设 ， 设 ， tt

[0[0 ，， 1]1]

则则整理，得整理，得 22t t 22 －－ 22ytyt + + y y 2 2 －－ 1=01=0

由于该方程有非负实根，由于该方程有非负实根，

所以 所以

tx 21 tty

0184 22 ）（yy

0y

02

12

y

解之，得 ．解之，得 ．

当当 yy ＝＝ 11 时时 xx ＝＝ 11 或或 00 ，，

时， 时，

故两个等号皆成立，故值域为 故两个等号皆成立，故值域为

21 y

2y2

1x

]2 ,1[

【解法【解法 44 】 】 ∵ ∵ 且且∴ ∴ 设 ，设 ，则 ．则 ．

∵ ∴ ∵ ∴∴ ∴

∴∴ 值域为值域为 [1[1 ， ， ]] ． ．

,10 x

1)1()( 22 xx

sinx2

0

cos1 2 x

)4

sin(2cossin y

4

3

44 1)

4sin(

2

2

2)4

sin(21 2

例例 2424 已知函数 已知函数

, , 定义域为 定义域为

, , 且且 aa ＜＜ bb ，求函数的最小，求函数的最小

值． 值．

x

bxy

2

] 0 ( a，

【讲解】【讲解】若把定义域扩大为 若把定义域扩大为

,, 那么用平均值不等式知，那么用平均值不等式知， xx

＝＝ bb 时，时， y y 有最小值有最小值 22bb, , 而当 而当

时， 时， ,, 于是猜想于是猜想

，在 上函数递减，当然在 ，在 上函数递减，当然在

上也是减函数．于是有 上也是减函数．于是有

下面的解法下面的解法 11 和和 22 ． ．

] 0 ( a，

] 0 ( b，

2

bx bby 2

2

5

] 0 ( b，

∵ ∵ 00 ＜＜ xx≤≤aa ＜＜ bb

∴ ∴ aa · · xx －－ bb22 ＜＜ 0 0 且 且 xx －－ aa ＜＜ 00

∴ ∴ ．且 ．且

xx ＝＝ aa 时，时，

等号成立．故等号成立．故 y y 的最小值为 的最小值为

． ．

)()()( 222

ax

xabax

a

ba

x

bx

)( )(2

ax

baxax

a

ba

x

bx

22

a

ba

2

【解法【解法 11 】】

【解法【解法 22 】 】 令令 00 ＜＜ xx11 ＜＜ xx22≤≤aa ＜＜ bb ，，

则则 xx11 －－ xx22 ＜＜ 0 0 且且 xx1 1 · · xx22 ＜＜ bb22 ，，

ff ( (xx11)) －－ ff ( (xx22)) ＝＝ ((xx11 －－ xx22))

∴ ∴ ff ( (xx11) ) ＞ ＞ f f ((xx22))

即 即 ff ( (xx) ) 在 上是减函数，在 上是减函数，

∴ ∴ xx ＝＝ a a 时，时， y y 最小且 最小且

． ．

0)(21

221

xx

bxx

] 0 ( a，

a

bay

2

min

【讲解】【讲解】另一个途径就是对函数解析式另一个途径就是对函数解析式做出变形，一方面可以变换为做出变形，一方面可以变换为 xx 的一元的一元二次方程，用根的判别式建立二次方程，用根的判别式建立 yy 的不等的不等式，另一方面可以创造条件使用均值不式，另一方面可以创造条件使用均值不等式，或配方，以构造等式，或配方，以构造 yy 的不等式，另的不等式，另外，函数解析式变形后，可以和三角公外，函数解析式变形后，可以和三角公式相联系，寻求三角代换的方法． 式相联系，寻求三角代换的方法．

【讲解【讲解 33 】 】 函数式化为函数式化为xx22 －－ yx yx + + bb22 ＝＝ 00

依题意，该方程在 上有实根依题意，该方程在 上有实根，于是，于是△△= = yy22 －－ 44bb22≥0≥0 ，即，即 yy≥2≥2bb ．．而函数而函数 ((xx)) ＝＝ xx22 －－ yxyx++bb22 图像的对称轴图像的对称轴

为为

． ．

] 0 ( a，

by

x 2

因此，函数因此，函数 ((xx) ) 在 在 上递减，故只能有一个实根，该实根上递减，故只能有一个实根，该实根存在的充要条件是 存在的充要条件是 ((aa) ≤0) ≤0

即即 aa22 －－ ay ay + + bb22≤0≤0 ，，

yy≥ ≥ 且且 xx ＝＝ a a 时，等式成立时，等式成立

，，

故 ． 故 ．

] 0 ( a，

a

ba

2

a

bay

2

min

∵ ∵ ，， xx ＝＝ a a 时等号成立时等号成立

，，

而 在 上是减函数而 在 上是减函数 , , xx ＝＝

a a 时时 ,,

其值最小，其值最小，故故 xx ＝＝ a a 时时 , , y y 有最小值， 有最小值，

． ．

x

ab

x

axy

222

ax

ax 2

2

x

ab 22 ] 0 ( a，

a

bay

2

min

【解法【解法 44 】】

【解法【解法 55 】】x

bxy

2

bx

bbxx2

2 22

bx

bx2

)( 2

由由 00 ＜＜ xx≤≤aa ＜＜ b b 得得且且 bb －－ xx≥≥bb －－ aa ＞＞ 0 0

ax

11

∴ ∴

∴ ∴

当当 xx ＝＝ a a 时， 时，

． ．

a

ab

x

xb 22 )()(

a

bab

a

aby

22

2)(

a

bay

2

min

【解法【解法 66 】】

令 令 = tan= tan ，，

∵ ∵ 00 ＜＜ xx≤≤aa ＜＜ bb ， ∴ ， ∴

∴ ∴ ． ．

x

bx

x

bxy

222 ]

)(1[

2

b

xb

x

b

b

x

1tan b

a

b

x

40

且 时， 且 时， ． ．

)2

1( 2

)arctan2sin(

2

2sin

2 2

2

b

ab

a

b

b

abb

y

a

bay

2

b

aarctan

即即

a

bay

2

min