第三节 初等多值函数

1 幂函数2 根式函数

1 幂函数 利用对数函数，可以定义幂函数：设 a 是任何复数，

则定义 z的 a次幂函数为

当 a 为正实数，且 z=0 时，还规定

)0(Ln zezw zaa

由于

.0az

)arg,01(ln2ln zeezw ikazaa

因此，对同一个 的不同数值的个数等于不同数值的因子 的个数 ..

azwz ,0)(2 Zke ika

,2 时是正整数当 n

平面上，幂函数一般是整个复由于对数函数的多值性1

.0|| arg)]2(arg||ln[Ln zinnkziznznn ezeezw

是一个单值函数；

)]2(arg||ln[Ln 111 kzizz nnn eezw

值函数；是一个n

).1,,2,1,0( ||2arg1

nkez nkz

n i

.( 2 不同因子的个数）不同数值的个数等于的多值函数 ike

幂函数的基本性质

时，是正整数当 )(1

3 nn

;104 0Lnz00 eez时，是当

）：为互素的整数，与是有理数时，即当 0(5 qqpqp

pkizkziz qqp

qp

qp

qp

eeez2ln)]2(arg||[lnLnz 1

时，取，当为互素，所以不难看到与由于 1,2,1,0 qkqp

值的函数；函数是一个个不同的值，即这时幂得到 qq

函数是无穷多值函数；是无理数或复数时，幂当6

是无理数时，有事实上，当

kizkziz eeez 2ln)]2(arg||[lnLnz 时，有当 )0( bbia

)]2(arg||)[ln()]2(arg||[lnLnz kzizbiakziz eeez

.)]2(arg||ln[)]2(arg||)[ln( kzazbikzzbae

ikki eee 222ln2)]22(arg2[ln2Ln2222

),2,1,0,(k )2lnsin2ln(cos2 2 ie k

)]22)[ln1()]22(arg2)[ln1(Ln2)1(12 ikikiiii eee )22(ln)22(ln22ln22ln kikkiik ee

).,2,1,0( 2 222 ke ik

例如

).,2,1,0(2)]2(arg1[lnLni 2 keeei kkiiiii

.}0Re,0{Im\7 上解析幂函数在 zzC

设在区域 G内，我们可以把 Lnz 分成无穷个解析分支 . 对于 Lnz 的一个解

析分支，相应地 有一个单值连续分支 . 根据复合函数求导法则， 的这个单值连续分支在 G内解析，并且

az azw

zz

aez

azw a

za ln1dd

其中 应当理解为对它求导数的那个分支， lnz应当理解为对数函数相应的分支 .

az

在 G内是同一解析函数；当 时，

对应于 Lnz 在 G 内任一解析分支：当 a 是整数时，az)1( n

nm

a 既约分数，

在 G内有 n个解析分支；当 a是无理数或虚数时，幂函 数 在 G 内有无穷多个解析分支是一个无穷值多值函数 .

azaz

形如 nn zzw 1

).,arg( || )2(arg

1

21

)arg||(ln1

21

ln1

Zkzez

eeeezw

kzni

n

ikn

zizn

ikn

znn

这是一个 n值函数 .

时，有当的反函数称为根式函数，它是 0. zwz n

2 根式函数

在复平面上以负实轴（包括 0 ）为割线而得的区域 D 内，它有 n个不同的解析分支：

它们也可以记作

),1,...,1,0;arg( ||)2(arg

1

nkzezwkz

ni

n

这些分支在负实轴的上沿与下沿所取的值，与相应的连续分支在该处所取的值一致 .

),1(2

1 kni

nn ezw

支点

当 a不是整数时，原点及无穷远点是 的支点 .azw

但按照 a是有理数或者 a不是有理数，这两个支点具有完全不同的性质 .

为了理解这些结论，我们在 0 或无穷远点的充分小的邻域内，任作一条简单闭曲线 C围绕 0 或无穷远点 . 在 C上任取一点

， 确定 Argz在 的一个值 相应地确定 在 的一个值

1z ;arg 11 z1z

)(ln iArgzzaa ezw

. 111 ln)arg(ln zaziza ee

1z

代数支点

.11

.

,

,2arg

)1(1

1

ln)2(ln

)||(lnln

21

1

11

111

为阶代数支点阶支点，也称的无穷原点是

这时，我们称原点和出发时的值也即第一次回到了它从

相应地连续变动到

则从连续变动到从

周时，方向连续变动出发按反时针或顺时针从而当一点

即约分数，是有理数）（

：现在考虑下列两种情况

nnzw

z

ee

eezwnz

nzz

nn

ma

n

m

zn

mnz

n

m

izn

mz

n

m

n

m

无穷阶支点 (2) a不是有理数时，容易验证原点和无穷远点是 的无穷支点 .

azw

所以任取连接这两个支点的一条简单连续曲线作为 割线，得一个区域 . 在 内，可以把 分解成解析分支 .

当 a不是整数时，由于原点和无穷远点是 的支点，azw

1K

1D 1Dazw

幂函数的映射性质

关于幂函数当 a为正实数时的映射性质，有下面的结论：设 是一个实数，并且在 z平面上取正实数轴（包括原点）作为割线，得到一个区域 D*. 考虑 D*内的角形，

,2,0 a

并取 在 D*内的一个解析分支

,arg0: zA

).11( aazw

azw

当 z描出 A内的一条射线时 （不包括 0 ），

w在 w平面描出一条射线 0arg: zl

,arg: 01 awl

让 从 0 增加到 （不包括 0 及 ），那么射线 l 扫过角形 A

，而相应的射线 扫过角形

0 1l

awA arg0:1

a

a

把夹角为 的角形双射成一个夹角为 的角形，同时，这个函数把 A 中以原点为心的圆弧映射成中

以原点为心的圆弧 .

1A

a

),11( aazw因此

类似地，我们有，当 n(>1) 是正整数时， 的 n个分支

)1,...,2,1,0( )1(2

1

nkezwk

ni

nn

n zw

.)1(2

arg2

n

kw

n

k

分别把区域 D*双射成 w平面的 n个角形

例 1 作出一个含 i的区域，使得函数,)2)(1( zzzw

)]}2Arg()1Arg(Arg[2

exp{|)2)(1(| 2/1 zzzi

zzzw

在这个区域内可以分解成解析分支；求一个分支在点 i个的值 .

解：我们知道

可能的支点为 0 、 1 、 2 与无穷，具体分析见下图

结论： 0 、 1 、 2 与无穷都是 1 阶支点 .

0 1 2 0 1 2

0 1 20 1 2

可以用正实数轴作为割线，在所得区域上，函数可以分解成单值解析分支 . 同时，我们注意到

0 1 2

因此也可以用 与 作割线 .),2[ ]1,0[

我们求函数下述的解析分支

在 z=i的值 . 在 z=1 处，取

)6)1((,)2)(1( iwzzzw

,)2arg()1arg(arg zzz

在 w的两个解析分支为：

).1,0(|)2)(1(|)]2(arg)1(arg[arg

22/1

kezzzwikzzz

i

如下图，

,2

1arctan)2arg(

2

3)1arg(,

2arg

i

ii

所以

.1010)( 3

1arctan

24)

2

1arctan

4(

24ii

eeiw

20 1

i

例 2 验证函数 4 3)1( zzw

,|)1(|)]-Arg(13Arg[

44/13 zzi

ezzw

在区域 D=C-[0,1] 内可以分解成解析分支；求出这个分支

函数在 (0,1) 上沿取正实值的一个分支在 z=-1 处的值及函

数在（ 0 ， 1 ）下沿的值 .解：我们知道

0 1

，增加变，所以不，增加

2/arg

)1arg(2arg

w

zz

0 1

，增加变，所以不，增加

4/3arg

arg2)1arg(

w

zz

结论： 0 、 1 是 3 阶支点，无穷远点不是支点 .

.,24/)232(

arg2)1arg(2arg

回到同一个分支增加

，所以也增加，增加

wzz

0 1

因此，在区域 D=C-[0,1] 内函数可以分解成解析分支；若在（ 0 ， 1 ）的上沿规定

,0)1arg(arg zz

在 w的四个解析分支为：

则对应的解析分支为 k=0. 在 z=-1 处，有

),3,2,1,0(,|)1(| 2)]-(1arg3[arg

44/13

kezzwi

kzz

i

,02arg)1arg(,arg zz

所以 ),1(28)1( 444 iewi

，变为，所以减少

不变，的上沿变到下沿时，从沿曲线

2/3arg2)1arg(

arg)1,0(1

wz

zCz

0 1

2C 1C

，为同一个分支，变为不变，所以

增加的上沿变到下沿时，从沿曲线

2/arg)1arg(

2arg)1,0(2

wz

zCz

.)1(4 3xxiw 对应分支在 (0,1) 下沿的取值为