结构力学结构力学

天津城市建设学院力学教研室

STRUCTURE MECHANICS

一、定义：

通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水平反力的结构。

二、特点：

（ 1 ）弯矩比相应简支梁小，水平推力存在的原因。

（ 2 ）用料省、自重轻、跨度大。

（ 3 ）可用抗压性能强的砖石材料。

（ 4 ）构造复杂，施工费用高。

第 4 章 三铰拱与悬索结构

第 4 章

4.1 三铰拱的组成及受力特征

三、拱的种类：

第 4 章

四、拱各部分的名称：

两铰拱 无铰拱

三铰拱

带拉杆的三铰拱带吊杆的三铰拱

拉杆

吊杆

花篮螺丝

五、拱与曲梁的区别

第 4 章

拱结构

C

AHB

B

HA

VAVB

P

曲梁结构

P

BAHA=0

VAVA

4.2 三铰拱的内力计算一、拱的内力计算原理仍然是截面法。

二、拱通常受压力，所以计算拱时，规定轴力以受压为正。

三、实际计算时常将拱与相应简支梁对比，通过公式完成计算。这些公式为绘制拱的影响线提供了方便。

四、三铰拱计算公式的建立

第 4 章

xK

KA BHA

0 = 0P1

VA0 VB

0

P2

C

简支梁计算简图

1 、支座反力计算

)aPa(Pl

1V

)bPb(Pl

1V

0 M

0 M

2211B

2211A

A

B

0

BB

0AA

VV

VV（ 4-1 ）

HHH0 BA :X

0HfalPlVM 1111AC )(

][ )a(lPlVf

1H 1111A

)a(lPlVM 1111A0C

f

MH

0C （ 4-2 ）

K

A HBB HBHBHA

VAVB

P1

f

l

l1 l2

a2

a1

b2

b1

P2

l1

yKxK

x

yφK

三铰拱计算简图

C

第 4 章

xK

KA BHA

0 = 0P1

VA0 VB

0

P2

C

2 、弯矩计算K1K1KAK yH)a(xPxVM ][

)a(xPxVM 1KK0A

0K 1

K

A HBB HBHBHA

VAVB

P1

f

P2

yK

xK

x

yφK

a2

a1

b2

b1

（ 4-2 ）K

0KK yHMM

HA

QK

NKMKP1

VA

A

K

VA0

P1

MK0

QK0

KK1A

KK1KAK

Hsinφ)cosφP(V

HsinφcosφPcosφVQ

1A10A

0K PVPVQ

KK0KA HsinφcosφQQ （ 4-3 ）

3 、剪力计算

1A10A

0K PVPVQ

4 、轴力计算

KK1A

KK1KAK

Hcosφ)sinφP(V

HcosφsinφPsinφVN

（ 4-4 ）KK0KK HcosφsinφQN

第 4 章

q= 20kN/m

C

A

4m

BH=82.5kN

VA=115kN

P=100kN

H=82.5kN

VB=105kN

1

0

2 3

4 56

7

8

8×1.5=12m

x

y

。

例 4-1 试作图示三铰拱的内力图。拱轴方程为 x)x(ll

4fy

2

解： （ 1 ）计算支座反力115kN

12

31009620VV 0

AA

105kN12

91003620VV 0

BB

82.5kN4

31006105

f

MH

0C

（ 2 ）计算各截面内力

第 4 章

0.707cosφ,0.707sinφ,45φ

11.52121212

442xl

l

4f

1.5m1xdx

dytanφ

1.75m1.51.5)(1212

44

)xx(ll

4fy

1.5mx

111

12

1

2

1121

1

x

kN42118707058270705120115

848707058270705120115

mkN63575158251202

151115

22022

22022

22

022

....).(cossin

....).(sincos

.....

HNN

kNHQQ

yHMM

截面 1

。

82.5cosφ1

115kN115cos φ1

115sin φ1

82.5kN

82.5sin φ1

Q1

M1

N1

1

1.5ql2cos φ11.5ql2

1.5ql2sin φ1

0

第 4 章

0.832cosφ,0.555sinφ,33.7φ

0.66732121212

44

2xll

4f

3m2xdx

dytanφ

3m33)(1212

44)xx(l

l

4fy

3mx

22o

2

222

22222

2

x

kN19983205825550320115

055505828320320115

mkN5735823202

13115

22022

22022

22

022

....)(cossin

...)(sincos

..

HNN

HQQ

yHMM

其它截面的内力计算同上。

82.5cosφ2

。115kN

115cos φ2

115sin φ2

82.5kN

82.5sin φ2

Q2

M2

N2

2

3ql2cos φ23ql2

3ql2sin φ2

0

1

截面 2

第 4 章

补充题 1 ：试求图示有水平拉杆的三铰拱在竖向荷载作用下的支座反力和内力。

解： （ 1 ）计算支座反力

0AA VV 0

BB VV

0H

（ 2 ）计算拉杆轴力

PP

P1

P2

P2

P3

P3

A

A

B

B

C

C

D

D

E

E

F

F

H

VA VB

1

Il/2 l/2

l/2 l/2

l

l

拉杆

f

lCF

0AV 0

BV

P3

VBl/2

B

CF

1

1NAB

HC

VC

（ 3 ）计算各截面内力

作 1-1 截面，研究其右半部

f

Mf

lP2l

VN :0M

0C

cF3B

ABC

依截面法或拱的计算公式，可求得任意截面的内力。

第 4 章

补充题 2 ：试求图示三铰拱式屋架在竖向荷载作用下的支座反力和内力。 解：

（ 1 ）计算支座反力

（ 2 ）计算拉杆轴力

（ 3 ）计算拱身内力

通过铰 C 同时截断拉杆，研究其右半部

f

MN :0M

0C

ABC

计算特点（ a ）要考虑偏心矩 e1 ，（ b ）左、右半跨屋面倾角 φ 为定值。

A B

CH

VA VB

x

yf

q

l/2 l/2

l

e1

拉杆（轴力 NAB ）

0BB

0AA VV,VV0,H

cosNsinQN

sinNcosQQ

)e(yNMM

AB0KK

AB0KK

1AB0KK

三、三铰拱的压力线及合理拱轴的概念

1 、压力线

在荷载作用下，三铰拱的任意截面一般有三个内力分量 MK 、 QK 、NK 。这三个内力分量可用它的合力 R 代替。将三铰拱每一截面上合力作用点用折线或曲线连接起来，这些折线或曲线成为三铰拱的压力线。

第 4 章

2 、压力线的绘制：

第 4 章

3 、合理拱轴的概念：

（ 1 ）定义：在给定荷载作用下，拱各截面只承受轴力，而弯矩、剪力均为零，这样的拱轴称为合理拱轴。

（ 2 ）如何满足合理拱轴：首先写出任一截面的弯矩表达式，而后令其等于零即可确定合理拱轴。

O

RA

RB

12

23

P1

P2

P3

RK

NKQK

RA RB

BA

P1

CD

E

F

P2

P3

K1

K2

K3

12

23K

φK

4 、例题1

第 4 章

q

A B

C

l/2 l/2

x

yf

q

A B

l

xql/2 ql/2

设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，试求其合理拱轴线。

解法 1 ：相应简支梁的弯矩方程为

x)qx(l2

1qx

2

1qlx

2

1M 20

8f

ql

f

MH

20C 推力 H 为：

可得三铰拱合理拱轴的轴线方程为 ：

x)x(ll

4f

8fql

x)qx(l21

H

My

22

0

0yHMM K0KK 令：

解法 2 ：

第 4 章

设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，试求其合理拱轴线。

解：研究整体

任一截面的弯矩 ：

q

A B

C

l/2 l/2

x

yf

Ax

ql2/(8f)

M（ x）q

ql/2

y

0M B2

qlV

2

A

研究 AC

0MC 8f

qlH

2

A

02

qxy

8f

qlx

2

qlxM

22

整理后，可得三铰拱合理拱轴的轴线方程为 ：

xxll

4fy

2

第 4 章

设在三铰拱的上面填土，填土表面为水平面。试求在填土容重下三铰拱的合理轴线。设填土的容重为 γ ，拱所受的竖向分布荷载为 q = qC+γy 。

例题 2

A B

Cx

y

f

l/2 l/2

qC+γy

qC解：将式 对 x 微分两次，得 /HMy 0

2

02

2

2

dx

Md

H

1

dx

yd

q(x) 为沿水平线单位长度的荷载值，则

q(x)dx

Md2

02

H

q(x)

dx

yd2

2

该微分方程的解可用双曲函数表示：H

qy

H

γ

dx

yd C2

2

将 q=qC+γy代入上式，得：

γ

qx

H

γBshx

H

γAchy C

常数 A 和 B 可由边界条件确定：

γ

qA :0y0,x C

0B :0dx

dy0,x

1x

H

γch

γ

qy C

“ 梁、刚架内力计算部分”作业中存在的问题：

（ 1 ）计算简支梁或简支刚架时，求出支座反力后，必须进行校核且应将支座反力标在计算简图上，而后用截面法计算。

（ 2 ）绘内力图时，应注意截面的对应关系；除水平放置的梁外，各种结构均要绘出支承。

（ 3 ）内力图必须标图名、单位和控制坐标的数值。剪力图、轴力图必须标正、负号；绘弯矩图不必标正负号，弯矩图绘在受拉一侧。

（ 4 ）作业用白纸或格纸的反面书写。

第 4 章