分类加法计数原理与分步乘法计数原理

河南濮阳油田第四高级中学 金楠

两个计数原理

例一

从濮阳去北京可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有 4 班 , 汽车有 2 班，轮船有 3 班。那么一天中乘坐这些交通工具从濮阳去北京共有多少种不同的走法 ?

两个计数原理

题目中要求我们完成什么事情呢？

要完成“从濮阳去北京”这样一件事情，根据交通工具的不同，可以分为几类不同办法？

这三类办法中的每一种方法是不是均可独立完成“从濮阳去北京”这件事情？

一共有多少种方法？

两个计数原理

从濮阳去北京，先从濮阳乘火车去郑州，再于次日从郑州乘汽车去北京。一天中火车有 3 班，汽车有 2班，那么两天中从濮阳去北京，共有多少种不同走法？

例二

两个计数原理

题目中要求我们完成什么事情呢？

要完成“从濮阳去北京”这样一件事情，在完成过程中有两步，每步有几类不同办法？

这两步办法中的每一种方法是不是均可独立完成“从濮阳去北京”这件事情？

一共有多少种方法？

两个计数原理

两个问题有什么不同？

计算方法上有什么不同？

你能不能总结出规律？

分步乘法计数原理分类加法计数原理

若完成一件事，有 n 类办法。在第 1 类办法中有 m1 种不同方法，在第 2 类办法中有 m2

种不同方法……在第 n 类办法中有 mn 种不同方法，每一类办法中的每一种方法均可完成这件事，那么完成这件事情共有 N ＝ m1 + m2 +…+mn 种

方法。

若完成一件事，有 n 个步骤。在第 1 步中有 m1 种不同方法，在第 2 步中有 m2 种不同方法……在第 n 步中有 mn 种不同方法，每一步办法中的每一种方法均不可完成这件事，那么完成这件事情共有 N ＝ m1 ∙ m2…mn 种方

法。

两个计数原理

两个计数原理

对具体实例进行比较并辨析，小组讨论如何正确使用这两个基本原理

原理（名称） 针对的问题类型 各种方法之间的关系 能否完成整个 任务

加法计数原理

乘法计数原理

分类 相互独立 完成

分步 相互依存 完不成

两个计数原理

例一

书架的第一层放有 4 本不同的计算机书 , 第二层放有 3 本不同的文艺书 , 第 3 层放有 2 本不同的体育书 .1) 从书架上任取 1 本书 , 有多少种不同的取法 ?2) 从书架的第 1 、 2 、 3 层各取一本书 , 有多少种不同的取法 ?(1) 9 种 ( 分析 : 从第一层取有 4 种 , 从第二层取有 3 种，从第三层取有 2 种，用分类计数原理 4+3+2=9 种 )

(2) 24 种( 分析 : 用分步计数原理： 4×3×2=24 种 )

两个计数原理

例二

设有设有 55 幅不同的油画，幅不同的油画， 22 幅不同的国画，幅不同的国画， 77 幅不同的水彩幅不同的水彩画。从这些油画、国画、水彩画中各选一幅布置房间，有画。从这些油画、国画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？几种不同的选法？

分析：应用分步计数原理 N=5×2 ×7 =70

两个计数原理

练习一

从数字从数字 11 、、 22 、、 33 、、 44 、、 55 中任选三个数字可以组成多少中任选三个数字可以组成多少个无重复数字的三位数？如果可以重复呢？个无重复数字的三位数？如果可以重复呢？

分析：应用分步计数原理无重复数字为 N=5×4×3=60 ；有重复数字为 N=5×5×5=125.

两个计数原理

练习二

如图，从甲地到乙地有如图，从甲地到乙地有 22 条路，从乙地到丁地有条路，从乙地到丁地有 33 条路，条路，从甲地到丙地有从甲地到丙地有 44 条路，从丙地到丁地有条路，从丙地到丁地有 22 条路。则从甲条路。则从甲地到丁地共有多少种不同的走法？地到丁地共有多少种不同的走法？

甲地

丙地 丁地

乙地

N2=4×2=8

N= N1+N2 =14

N1=2×3=6

两个计数原理

分类加法计数分步乘法计数

课堂小结

联系 区别

分类计数：各种方法相互独立分步计数：任一方法无法完成

计算解决问题总方法数

两个计数原理

今天数学课的课题是：

涉及的重要知识有：

理解得最好的地方是：

不明白或还需要进一步理解的地方是：

独立（或需要帮助）完成探究活动后发现的结论：

两个计数原理

１、３个班分别从５个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是３５还是５３？

２乘积（ a1+a2+a3 ）（ b1+b2+b3+b4 ）（ c1+c2+c3+c4+c5 ）展开后共有多少项？

３设集合 A={1 ， 2 ， 3 ， 4},B={5 ， 6 ， 7} ，则以 A 到 B 的所有不同映射共有多少个？

４、已知集合 M={-3 ， -2 ， -1 ， 0 ， 1 ， 2}a,b M∈ ，平面直角坐标系内点 P 的坐标是（ a,b ）①P 可以表示多少个不同的点？②P 可以表示多少个坐标轴上的点？③P 可以表示第二象限内的点吗？④P 可以表示直线 y=x 上的点吗？

河南省濮阳市油田第四高级中学

金楠