第 4 章 参数估计

会计学 2011 级

参数估计在统计方法中的地位

统计方法

推断统计描述统计

假设检验参数估计

统计推断的过程

第 4 章内容

参数估计的基本原理

一个总体参数的区间估计

样本量的确定

4.1 教学目标理解估计量与估计值的概念了解点估计的概念，理解区间估计的基本原理掌握评价估计量优良性的标准

4.1 参数估计的基本原理

估计量与估计值

点估计与区间估计

评价估计量的标准

至：4.2

一、估计量与估计值估计量：用于估计总体参数的统计量的名称

– 如样本均值、样本比率、样本方差等例如：样本均值就是总体均值的一个估计量

– 总体参数用表示，估计量用表示估计值：估计总体参数时计算出来的统计量的具体

数值– 如果样本均值，则就是的估计值

思考题估计量的含义是指（ ）

– A. 用来估计总体参数的统计量的名称– B. 用来估计总体参数的统计量的具体数值– C. 总体参数的名称– D. 总体参数的具体取值

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二、点估计与区间估计

估计方法

区间估计点估计

1. 点估计（ point estimate ）用样本估计量的值直接作为总体参数的估计值

– 用样本均值直接作为总体均值的估计，用样本方差直接作为总体方差的估计，用样本比率直接作为总体比率的估计，等等用一个随机样本的平均成绩分作为全班学生平均成绩

的估计值用样本的合格率作为一批产品的合格率

点估计的缺陷– 没有给出估计值接近总体参数真实值的程度的信息

2. 区间估计（ interval estimate ）区间估计：

– 在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该估计区间由样本统计量加减抽样误差而得到；

– 同时还能够根据样本统计量的抽样分布对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量，或者说区间估计能给出总体参数以多大的概率落在这个范围内。

区间估计的概念设为总体的未知参数，为来自总体的容量为的简单

随机样本，对于预先给定的一个充分小的正数，我们构造两个统计量和，其中：，，使得，则称区间为总体参数的区间估计或置信区间。称为置信区间的置信度，也称置信概率、置信系数或置信水平，称为置信下限，称为置信上限。

区间估计的图示

95% 的样本

𝝁−𝟏 .𝟗𝟔𝝈 𝒙 𝝁+𝟏 .𝟗𝟔𝝈𝒙

99% 的样本

𝝁−𝟐 .𝟓𝟖𝝈 𝒙 𝝁+𝟐 .𝟓𝟖𝝈𝒙

90% 的样本

𝝁−𝟏 .𝟔𝟓𝝈 𝒙 𝝁+𝟏 .𝟔𝟓𝝈𝒙 

置信水平将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含

总体参数真值的次数所占的比率即为置信水平，表示为。– 抽取 100 个样本，根据每个样本构造一个置信区间，

那么，由 100 个样本构造的总体参数的 100 个置信区间中，有 95% 的区间包含了总体参数的真值，而 5% 则没有包含，则 95% 被称为置信水平。

是总体参数未落在区间内的比率。常用的置信水平值有，，。相应的为，，。

举例说明置信水平假设我们要在很短的时间内了解某个企业的职工工

资水平，由于时间局限，只能在 300 名职工中选出 10 名，通过这 10 名职工的平均工资水平来估计全厂职工的工资水平。假设抽样误差不超过 20

元，如果这 10 名职工的平均工资为 680 元，则全场职工的平均工资水平应为。

但问题在于，如果我们在选样时备选单位工资分布较均匀，那么这种代表性当然就很强，出现误差数肯定在 20 元以内，但如果在选样时，被选单位工资过高或过低，那么算出来的工资与实际水平的误差就可能不止 20 元了，因为随机抽样，误差水平不同，所以无法使得误差水平一定在预先设定的范围内，而只能说在这个范围内的一种可能程度或概率，比如说有的可能会使误差在预先设定的范围内。– 由此可见，置信水平应是一个以百分比表示的概率

数，记作。

思考题置信水平表达了置信区间的（ ）

A. 准确性 B. 精确性 C. 显著性 D. 可靠性指出下面的说法哪一个是正确的（ ）

A. 置信水平越大，估计的可靠性越大B. 置信水平越大，估计的可靠性越小C. 置信水平越小，估计的可靠性越大D. 置信水平的大小与估计的可靠性无关

解答：D

A

置信区间（ confidence interval ）含义：

– 在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。

– 置信区间是一个随机区间，因样本的不同而不同，且不是所有的区间都包含总体参数的真值。

置信区间与置信水平 统计学家在某种程度上确信这个估计区间会包含真正的

总体参数，所以给它取名为置信区间。– 如果用某种方法构造的所有区间中有 95% 的区间包含总

体参数的真值， 5% 的区间不包含总体参数的真值，那么，用该方法构造的区间称为置信水平为 95% 的置信区间。

– 但在实际问题中，人们进行估计时往往只抽取一个样本，所构造的是与该样本相联系的 95% 的置信区间。由于用这个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值。

– 我们只能希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个。

思考题根据一个具体的样本求出的总体均值的 95% 的置

信区间（ ）A. 以 95% 的概率包含总体均值B. 有 5% 的可能性包含总体均值C. 一定包含总体均值D. 要么包含总体均值，要么不包含总体均值

解答D

思考题某企业根据对顾客随机抽样的样本信息推断：对本企

业产品表示满意的顾客比例的 95% 的置信水平的置信区间是（ 56% ， 64% ）。试判断下列说法正确与否。① 总体比例 95% 的置信水平的置信区间是

（ 56% ， 64% ）② 总体真实比例有 95% 的可能落在（ 56% ， 64% ）中。③ 区间（ 56% ， 64% ）有 95% 的概率包含了总体真实

比例④ 在 100 次抽样得到的 100 个置信区间中，约有 95 个

包含了总体真实比例

解答：①正确。②③不正确。因为总体比例和所求区间都是确定

的，不存在随机性，不涉及概率。④正确，这是对置信区间的正确理解。

思考题95% 的置信水平是指（ ）

A. 总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率是 95%

B. 在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为 95%

C. 总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率是 5%

D. 在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为 5% 

解答B

思考题一个 95% 的置信区间是指（ ）

– A. 总体参数有 95% 的概率落在这一区间内– B. 总体参数有 5% 的概率未落在这一区间内– C. 在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95% 的区间包含该总体参数

– D. 在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95% 的区间不包含该总体参数

解答C

影响置信区间宽度的因素

1. 总体数据的离散程度，用来测度

2. 样本容量和置信水平– 当样本容量一定时，置信区间的宽度随着置信水平

的增大而增大；– 当置信水平固定时，置信区间的宽度随着样本量的增大而减小。

思考题设总体，未知，设总体均值的置信度的置信区间宽

度，那么与的关系为（）A 、增大，减小 B 、增大，增大C 、增大，不变 D 、与关系不确定

在其他条件相同的条件下， 95% 的置信区间比90% 的置信区间（ ）A. 要宽 B. 要窄 C. 相同 D. 可能宽也可能窄

解答A

A

思考题当置信水平一定时，置信区间的宽度（ ）

A. 随着样本量的增大而减小B. 随着样本量的增大而增大C. 与样本量的大小无关D. 与样本量的平方根成正比

解答A

思考题设总体，且已知，现在以置信度估计总体均值，下列做法中一定能使估计更精确的是 (  )

A 、提高置信度，增加样本容量B 、提高置信度，减少样本容量C 、降低置信度，增加样本容量D 、降低置信度，减少样本容量

解答C

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三、评价估计量的标准无偏性有效性一致性

无偏性（ Unbiasedness ）估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数，

即，称为的无偏估计量。

P( )

BBAA

无偏无偏 有偏有偏

有效性对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准

差的估计量更有效。– 当比有效

A

B

的抽样分布

的抽样分布P( )

1

2

的观察值在真值的附近较更密集

一致性（ consistency ）随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估

计的总体参数。

A

B

较小的样本容量

较大的样本容量P( )

思考题在参数估计中，要求通过样本的统计量来估计总体

参数，评价统计量的标准之一是使它与总体参数的离差越小越好。这种评价标准称为（ ） A. 无偏性 B. 有效性 C. 一致性 D. 充分性

解答B

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4.2 教学目标重点掌握一个总体下总体均值、总体比率的区间估

计掌握一个总体下总体方差的区间估计

一个总体参数的区间估计

总体参数 表示符号 样本统计量

均值

比率

方差

总结：一个总体样本统计量的抽样分布

样本统计量

样本均值

分布正态分布

样本比率 样本方差

正态分布 分布

大样本 正态总体

正 态 总 体 或非 正 态 总 体大 样 本 ， 正态 总 体 小 样本且已知

正态总体小样本，且总体方差未知

4.2 一个总体参数的区间估计

总体均值的估计

总体比率的估计

总体方差的估计

至：4.3

一、总体均值的区间估计在对总体均值进行区间估计时，需要考虑总体是否

为正态分布、总体方差是否已知、用于构造估计量的样本是大样本还是小样本等情况。1. 大样本的估计方法2. 小样本的估计方法

1. 大样本的估计方法假定条件

– 总体服从正态分布或总体非正态分布，大样本（）使用正态分布统计量：

总体均值的置信水平的置信区间为：

– 称为置信下限， 称为置信上限；

– 是事先确定的一个概率值，也称为风险值，它是总体均值不包括在置信区间内的概率；

– 称为置信水平；

– 是标准正态分布上侧面积为时的值；

– 是估计总体均值时的允许误差，也称为估计误差或误差范围。

也就是说，总体均值的置信区间由两部分组成：① 点估计值；② 描述估计值精度的“值”，这个“值”称为允许

误差。

总体均值的区间估计：例题分析 1

由 36 名高年级学生组成一个随机样本，要求他们分别记下每周观看电视的时间，根据以往的调查，它服从标准差为 6 的正态分布，从记录结果算出样本平均数为 15 个小时，试求总体平均数 99% 的置信区间。

总体正态分布，大样本，已知，用统计量例题 1 解答过程：

– ，，。由题意可知：– 总体均值的置信水平的置信区间为：

– 高年级学生每周观看电视的平均时间的的置信水平的置信区间为小时。

总体均值的区间估计：例题分析 2

一家保险公司收集到由个投保人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄（周岁）数据如下表。试建立投保人年龄的置信区间。36 个投保人的年龄

23 35 39 27 36 44

36 42 46 43 31 33

42 53 45 54 47 24

34 28 39 36 44 40

39 49 38 34 48 50

34 39 45 48 45 32

总体分布未知，大样本，未知，用统计量例题 2 解答过程：

– 已知，，。根据样本数据计算得：

– 总体均值在置信水平下的置信区间为：

– 投保人平均年龄的的置信水平的置信区间为岁。

2. 小样本的估计方法假定条件

– 总体服从正态分布，且是小样本两种情况

1. 若已知，使用正态分布统计量：

2. 若未知，用样本方差代替，使用统计量：

此时，总体均值的置信水平的置信区间分别是：1. 若已知

2. 若未知

分布分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比

正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布。

xxt 分布与标准正态分布的比较

t 分布

标准正态分布

不同自由度的 t分布

标准正态分布

t (df = 13)

t (df = 5)

xx

总体均值的区间估计：例题分析 1

一家食品生产企业为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为。

25 袋食品的重量112.5 101.0 103.0 102.0 100.5

102.6 107.5 95.0 108.8 115.6

100.0 123.5 102.0 101.6 102.2

116.6 95.4 97.8 108.6 105.0

136.8 102.8 101.5 98.4 93.3

总体正态分布，小样本，已知，用统计量例题 1 解答过程：

– ，，，。根据样本数据计算得：

– 总体均值的置信水平的置信区间为：

– 该食品平均重量的的置信水平的置信区间为。

总体均值的区间估计：例题分析 2

已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取只，测得其使用寿命 ( 小时 ) 如下表。建立该批灯泡平均使用寿命的置信区间。

16 只灯泡的使用寿命1510 1520 1480 1500

1450 1480 1510 1520

1480 1490 1530 1510

1460 1460 1470 1470

1510 1520 1480 1500

总体正态分布，小样本，未知，用统计量 例题 2 解答过程：

– 已知，，，。根据样本数据计算得：

– 总体均值在置信水平下的置信区间为：

– 灯泡平均使用寿命的的置信水平的置信区间为

思考题有 50 个调查者分别对同一个正态总体进行抽样，

样本容量都是 100 ，总体方差未知。他们分别根据各自的样本数据得到总体均值的一个置信度90% 的置信区间。试问：① 这些置信区间中应该大约有 __ _ 个区间会覆盖

总体均值。② 这些置信区间的中心相同吗？给出回答，并说明

理由。③ 这些置信区间的宽度完全相同吗？给出回答，并

说明理由。

解答：

① 45 个② 这些置信区间的中心不完全相同，因为置信区间

是以样本估计值为中心的，不同的抽样会有不同的样本均值。

③ 不完全相等。因为总体的标准差未知，允许误差根据样本标准差来计算的，而各个样本的标准差有可能不等。

思考题根据以往的经验，某乡农户的年收入分布曲线是一

个严重偏斜的非对称曲线。现随机抽取 25户进行调查，他们的户均年收入为 13200 元。为了估计该乡农户的户均年收入，能否利用已有的知识根据上述数据求得一个置信度为 95% 的置信区间？若能，该怎么构造置信区间？若不能，请说明理由。

解答：不能。对于分布形态未知或严重偏斜的总体，不能

根据正态分布来构造总体均值的置信区间，除非样本量非常大。但本例中的样本是个小样本。

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二、总体比率的区间估计样本比率的抽样分布

– 在重复选取容量为的样本时，由样本比率的所有可能取值所形成的相对频数分布。

– 当样本量很大时，样本比率的抽样分布可用正态分布近似（和）。

样本比率的数学期望和方差：– 数学期望

– 方差

总体比率的区间估计假定条件

– 大样本这种情况下，样本比率的抽样分布可用正态分布近似

使用正态分布统计量：总体比率在置信水平下的置信区间为：

总体比率的区间估计：例题分析 1

某城市想要估计下岗职工中女性所占的比率，随机地抽取了名下岗职工，其中人为女性职工。试以的置信水平估计该城市下岗职工中女性比率的置信区间。

例题 1 解答过程：– ，，。由样本数据计算得：– 总体比率的的置信水平的置信区间为：

– 下岗职工中女性比率的的置信水平的置信区间为。

例题分析 2

对某型号的电子元件进行耐用性能检查，抽查（简单随机抽样）的资料分组如下：

要求：1. 若耐用时数的允许误差小时，试估计该批电子元件的平均耐用时数的范围。

2. 若耐用时数达到小时以上为合格品，要求合格率估计的误差范围不超过 5% ，试估计该批电子元件的合格率的置信区间。

耐用时数 元件数

900 以下 1

900-1000 8

1000-1100 78

1100-1200 12

1200 以上 1

例题 2 解答过程：1. 由样本数据计算得：

– 耐用时数的总体均值的置信区间为：

– 所以，该批电子元件的平均耐用时数的范围是小时。

2. 由样本数据计算得：

– 耐用时数达到合格的总体比率的置信区间为：

– 该批电子元件的合格率的置信区间。

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三、总体方差的区间估计样本方差的抽样分布

– 在重复选取容量为的样本时，由样本方差的所有可能取值形成的相对频数分布。

– 对于来自正态总体的简单随机样本，的抽样分布服从自由度为的分布，即

总体方差的区间估计总体服从正态分布，则样本方差服从自由度为的分

布用分布构造总体方差的置信区间总体方差在置信水平下的置信区间为

总体方差的区间估计（图示）

2 2 21- 21- 2

2

总体方差1- 的置信区间

总体方差1- 的置信区间

自由度为 n-1 的 2 分布

总体方差的区间估计：例题解析 1

一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某天生产的一批食品中随机抽取了袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间。

25 袋食品的重量

112.5 101.0 103.0 102.0 100.5

102.6 107.5 95.0 108.8 115.6

100.0 123.5 102.0 101.6 102.2

116.6 95.4 97.8 108.6 105.0

136.8 102.8 101.5 98.4 93.3

例题解答过程：– 已知，。根据样本数据计算得：

– 总体方差的的置信水平的置信区间为：

– 该企业生产的食品总体重量标准差的的置信水平的

置信区间为。

思考题当正态总体的方差未知，且为小样本条件下，估计

总体均值使用的分布是（ ）A. 正态分布 B. 分布 C. 分布 D. 分布

当正态总体的方差未知，且为大样本条件下，估计总体均值使用的分布是（ ）A. 正态分布 B. 分布 C. 分布 D. 分布

解答B

A

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4.3 教学目标掌握估计总体均值时样本量的确定方法掌握估计总体比率时样本量的确定方法

4.3 样本量的确定样本量的确定与人们愿意容忍的置信区间的宽度以及对此区间设置的置信水平有一定的关系。

1. 估计总体均值时样本容量的确定确定样本量时首先要确定置信水平，以及使用者在

给定的置信水平下可以接受的允许误差。

实际应用中，值未知时的处理方法：1. 用以前相同或类似的样本的标准差来代替；2. 用试验调查的方法，选择一个初始样本，以该样

本的样本标准差作为值的估计值。

例题解析拥有管理学学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为元，假定想要估计年薪的置信区间，希望允许误差为元，应抽取多大的样本容量？

例题解答过程：– 已知，，，。– 应抽取的样本量为：

– 即应抽取人作为样本。

2. 估计总体比率时样本量的确定 比率区间估计中的允许误差为：

由此可以推导出重复抽样或无限总体抽样条件下确定样本容量的公式：

式中：允许误差必须是使用者首先确定的，大多数情况下，

一般的取值小于；的值可直接由区间估计中所用到的置信水平确定。

在实际应用中，如果的值未知，处理方法如下：1. 用以前相同或类似的样本比率来代替；2. 用试验调查的方法，选择一个初始样本，以该样

本的比率作为的估计值。3. 当的值无法知道时，通常取使最大的值。

例题解析根据以往的生产统计，某种产品的合格率约为，现

要求允许误差为，在求的置信区间时，应抽取多少个产品作为样本？– 例题解答过程：

已知，，，。应抽取的样本量为：

即应抽取个产品作为样本。

思考题一项调查表明，有 33% 的被调查者认为她们所在

的公司十分适合女性工作。假定总体比例为33% ，取允许误差分别为10% ， 5% ， 2% ， 1% ，在建立总体比例 95% 的置信区间时，随着允许误差的减少，样本量会（ ）A. 减少 B.增大 C. 可能减少也可能增大 D. 不变

解答B

本章小结

1. 参数估计的基本原理2. 一个总体参数的区间估计3. 样本容量的确定

Thanks. Any questions?

作业题 1

设 2012年末某储蓄所对某类储蓄存款户账号随机抽取 100

户的资料如右表，要求：1. 根据上述材料，应用点估计

方法估计这类储蓄账户的平均余额，并计算抽样平均误差；

2. 试以 95% 的概率，估计该储蓄所存款户平均每户的存款余额的置信区间。

存款余额（千元）

户数（户）

1-100 12

100-300 30

300-500 40

500-800 15

800 以上 3

作业题 2

某居民小区共有居民 500户，小区管理者准备采取一项新的供水设施，想了解居民是否赞成。采取重复抽样方法随机抽取了 50户，其中有 32户赞成， 18户反对。要求：

1. 求该小区居民中赞成该项改革的户数比率的置信区间，置信水平为 95% 。

2. 如果小区管理者预计赞成的比率能达到 80% ，要求估计误差不超过 10% ，应抽取多少户进行调查？

作业 1 答案

1. 平均余额为：

（ 30 分）

抽样平均误差即样本标准差：

（过程 25 分，结果 5 分）

总体分布未知，大样本，未知，用统计量解答过程：

– 已知，，，– 总体均值的的置信水平的置信区间为：

（公式 30 分， 5 分，结果 5 分）– 该储蓄所存款户平均每户的存款余额的的置信水平

的置信区间千元。

作业 2 答案

1. 由题已知：，，查标准正态分布表得 95% 的置信水平的置信区间为：

。

2. 由题可知：，，，

– 结论：如果小区管理者预计赞成的比率能达到80% ，应抽取 62户进行调查。