第六讲循环码的译码

译码的基本准则• 最小错误概率

– min PE = min P(C’C|R)

• 最大后验概率： max P(C’=C|R)– C’ 取 maxi P(Ci|R) 的最大值时的 Ci

译码的基本准则• 最大似然： max P(R| C’=C)

– C’ 取 maxi P(R|Ci) 的最大值时的 Ci ，• 当发送码字等概时，最大后验概率准则与最大似然准则等价

– P(Ci|R)=P(Ci) P(R|Ci)/P(R) 。其中的 P(Ci) 为发送码字 Ci 的先验概率。

译码方法分类• 按处理方法分类

– 时域译码，直接根据序列的前后关系进行译码– 变换域译码，将序列进行某些变换如 F

FT 等再行译码

译码方法分类• 时域处理中，又可分为

– 代数译码：利用码的代数结构的译码– 概率译码：不仅利用码的代数结构，还利用信道统计特性的译码

循环码的代数译码• 适用情况：非时变对称 DMC ，接收符号集与发送符号集相同，且各发送符号在接收符号集中有一个最大似然的对应符号，不妨令此符号即为发送符号。• 依据：最大似然译码准则

时非变对称 DMC 中的最大似然准则• 对接收矢量 R ，和一个可能的许用码矢量 C ，它们

的相应的似然值为 iP(ri|ci) ，这里用到了信道的无记性，再利用非时变性和对称性得 Pc

m[(1-Pc)/(M-1)]n ，其中 m 为序列中 ri=ci 的符号个数， n 为序列中 rici的符号个数， M 为符号集大小；此外根据最大似然准则且在信道容量不为 0 的情况下，有 Pc >(1-Pc)/(M-1) 。因此有最小差错概率的序列就是与 R 的汉明距离最小的序列。

最小汉明距离准则• 在非时变对称 DMC 信道中，最小汉明距离准则与最大似然准则等价，此时如果再有发送码字等概的假设，则最小汉明距离就是最小序列（或码字）差错概率译码准则• 注意：最小汉明距离准则的适用条件，信道特性中的离散、无记忆、非时变和对称，发送码字等概这几个条件缺一不可。

循环码的一般译码方法• 对收到的 R(x)=C(x)+E(x) ，找到最可能

发生的错误图案 E(x)– 根据接收多项式 R(x) 计算伴随式 S(x)

– 计算错误图案 ，即形成伴随式 S(x) 的最轻图案

–

)(xE

)()()( xExRxC

伴随式的循环移位• 令 S(x) 为 R(x) 的伴随式，则 R(x) 的循环移位

xR(x) mod xn-1 的伴随式 S1(x) 是 S(x) 的模 g(x) 移位运算的结果： S1(x)=xS(x) mod g(x)

• 因此有： xjR(x) mod xn-1 => Sj(x)=xjS(x) mod g(x) ；

• a(x)R(x) mod xn-1 => Sa(x)=a(x)S(x) mod g(x)

循环码译码算法之一：伴随式译码• 将常数项（或最高项）非零的可纠错误图案 E(x) 组成一个集合，计算它们的伴随式，构成一张表。译码时，先计算出 S(x) ，然后对其做 0, 1, …, n-1 次模 g(x) 移位，得到 Sj(x) 。比较 Sj(x) 是否在可译表中，若在，则得到循环移位 j 次后的错误图案。

运算量分析• 纠 t 个错的 (n,k) 线性分组码译码所需错

误图案表大小为 ，而纠 t 个错的 (n,

k) 循环码译码所需错误图案表大小为 ，

tn

11

tn

循环码伴随式译码举例• 纠一个错的循环码：汉明码

– 共有 n 种可纠的错误图案，而它们都是 000…001 （伴随式为 S0(x) ）的循环移位。因此它们可以归为一类，即对计算出的 S(x) 做 0~n-1 次模 g(x) 移位，直到出现 S0(x) 为止，将 R(x) 做相应次移位后最后一位反转，再做剩余的移位，即得到正确的译码结果。可见伴随式表可以大大缩小。

循环码译码算法之二：捕错译码• 依据：能纠 t 个错的 GF(q) 上的 (n,k) 循环码，不多于 t 个错误全在最低的 n-k 位中的充要条件是 w(S(x)) t 。• 证明：若这些错不全落在低 n-k 位中，则 E

(x)-S(x)0 ，而因其又是一个许用码字，因此其重量 d=2t+1 ，则 w(E(x)) + w(-S(x)) d ，而 w(E(x)) t ， => w(S(x)) t + 1 。

捕错译码算法与条件• 算法：根据上面的分析，可实现捕错译码。即 S(x) 做 j 次模 g(x) 移位后，如果重量不大于 t 则此时的 Sj(x) 就是 R(x) 循环移位 j次的错误图案。• 条件： t 个错误均匀分布时仍要保证其空隙长度不小于 k 。因此有 k<n/t ，即编码效率 R=k/n<1/t 。• 捕错译码的修正：略，见参考书。

循环码译码算法之三：大数逻辑译码• 正交一致校验矩阵：若某一特定码元位（如 xn-1 ）出现在 H0 矩阵中 J 行的每一行中，而其它码元位至多在其中一行出现，则称 H0 为正交于该码元位 (xn-1) 的正交一致校验矩阵。• 正交一致校验和式：正交一致校验矩阵中的各校验方程。

一致校验和式举例

• 当有两个错时，如果有一个错是第一位，则另一个错最多只会影响某一行，因此校验结果至少有三个 1 ，最多有一个 0 。• 如果两个错都不在第一位，则最多会影响其中两行，因此校验结果最多有两个 1 。• 据此可以判断第一位是否有错误

11100000001000110000010000011100100000000111

纠错能力与正交一致校验矩阵的关系• 一个线性分组码若在任一位上都能建立 J 个正交一致校验和式，则该码能纠正 tJ/2 个错误。• 大数逻辑译码：当要判断第 I 位码元处是否发生错误时，可以根据 J 个该位的正交一致校验和式为 0 的个数来判断，如果为不为 0 的个数大于 J/2 时则该位有错，否则该位正确。

大数逻辑译码• 对循环码而言，只需要对任一特定位建立正交一致校验和式即可，在判断其它位是否正确时，可以通过移位的方式来实现。• 大数逻辑可译码：可以采用大数逻辑译码的码。显然，是否能构成 J 个一致校验和式是关键。• 一步大数逻辑可译码和 L步大数逻辑可译码。

BCH 码的译码• 出发点： BCH 码是一种构造性较好的码，可以较容易地得到较大的 n, k, 和 t 。• 在伴随式译码的三步曲中，最关键的是第二步：即根据 S(x) 找错误图案 E(x) 。当 k 和 n-k 都很大时，以上算法复杂度都很高，需要找到更有效的方法。

伴随式译码的进一步分解• 将第二步“计算错误图案”分成两步：

– 确定错误位置– 确定在各错误位置上的错误值

• 对于二进制码而言，第 2步可以省略。

错误位置多项式• 在找错误位置时，位置可由该 BCH 码的本原

元（或生成元）的幂次表示，即 ， li 是第i 个错误的位置。则找到各 xi 即可。而各 xi 为方程 的根的倒数。

• 称 为错误位置多项式。

ilix

t

ii xx

1

)1(

t

ii xxx

1

)1()(

BCH 译码的运算量• 因此找错误位置就又可分为两步

– 根据 S(x) 确定 (x) 的各项系数，运算量正比于 t3 。– 求解 (x) 。可用 Chien搜索算法，运算量正比于 t 。

• 其中求 (x) 还可用迭代算法，其运算量正比于 t2 。

线性分组码小结• 为了分析和译码的方便而引入线性分组• 为了同样的原因引入循环码• 为了分析循环码而引入近世代数• 循环码是模 xn-1 剩余类结合代数是的理想• 用根定义的循环码• 循环码的译码