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前 言 前 言 第第 11 章 初识章 初识 MATLAB MATLAB 1.1 MATLAB MATLAB 界面 界面 1.2 1.2 简单的计算与图形功能 简单的计算与图形功能 第第 22 章 矩阵及其基本运算 章 矩阵及其基本运算 2.1 2.1 矩阵的输入与生成 矩阵的输入与生成 2.2 2.2 矩阵运算 矩阵运算 第第 33 章 线性方程组 章 线性方程组 3.1 3.1 求线性方程的唯一解或特解 求线性方程的唯一解或特解 3.2 3.2 求线性方程的通解 求线性方程的通解 第第 44 章 二维绘图和三维绘图 章 二维绘图和三维绘图 4.1 4.1 二维图形的绘制 二维图形的绘制 4.2 4.2 三维图形的绘制 三维图形的绘制 附 录 实验报告模板 附 录 实验报告模板

前 言前 言

MATLAB: MATLAB: 美国美国 MathWorksMathWorks 公司 公司 2020 世纪世纪 8080 年代中期 年代中期

优秀的优秀的数值计算数值计算 // 符号计算符号计算能力 能力 卓越的卓越的数据可视化数据可视化能力 能力

在欧美等高校，在欧美等高校， MATLABMATLAB 已经成为已经成为 线性代数线性代数 // 自动控制理论自动控制理论 // 概率论及数理统计概率论及数理统计 / / 数字信号处理数字信号处理 // 时间序列分析时间序列分析 // 动态系统仿真动态系统仿真等高级课程的基本教学工具，等高级课程的基本教学工具，是攻读学位的是攻读学位的 大学生大学生 // 硕士生硕士生 // 博士生博士生必须掌握的基本技能。 必须掌握的基本技能。

前言 前言

有高性能数值计算的有高性能数值计算的高级算法高级算法，，特别适合特别适合矩阵代数矩阵代数领域；领域；有大量事先定义的有大量事先定义的数学函数数学函数和很强的用户和很强的用户自定义函数自定义函数的能力；的能力；有强大的有强大的绘图功能绘图功能；；具有教育具有教育 // 科学和艺术学的科学和艺术学的图解图解和可视化的和可视化的二维二维 // 三维图三维图；；基于基于 HTMLHTML 的完整的的完整的帮助功能帮助功能；；适合个人应用的强有力的面向矩阵适合个人应用的强有力的面向矩阵 (( 向量向量 )) 的高级的高级程序设计语言程序设计语言；；与其它语言编写的程序与其它语言编写的程序结合结合和输入输出和输入输出格式化数据格式化数据的能力；的能力；有在多个应用领域解决难题的有在多个应用领域解决难题的工具箱工具箱。。

MATLABMATLAB 的主要特点是：的主要特点是：

前言 前言

提供了使用提供了使用 MATLABMATLAB 的入门指导， 的入门指导， 基于基于 MATLAB7.0.4MATLAB7.0.4 版， 版， 内容较浅， 内容较浅， 针对大一的《几何与代数》的课程需要，针对大一的《几何与代数》的课程需要，对一些基本命令的格式作了简单的说明， 对一些基本命令的格式作了简单的说明， 并配备了例题说明其用法， 并配备了例题说明其用法， 安排了两个实验报告模板， 安排了两个实验报告模板， 对于初学者自学是有帮助的。 对于初学者自学是有帮助的。

关于本教程： 关于本教程：

前言 前言

[1] [1] 李继成李继成 : : 数学实验数学实验 , , 高等教育出版社高等教育出版社 , , 20062006 年年 1010 月月 , , 第第 11 版版 ..[2] [2] 罗建军罗建军 : : MATLABMATLAB 教程教程 , , 电子工业出版社电子工业出版社 , ,

20052005 年年 77 月月 , , 第第 11 版版 ..[3] [3] 徐金明等徐金明等 : : MATLABMATLAB 实用教程实用教程 , , 清华大学出版社， 清华大学出版社， 20052005 年年 77 月月 , , 第第 11 版版 ..[4] [4] 张圣勤张圣勤 : : MATLAB7.0MATLAB7.0 实用教程实用教程 , , 机械工业出版社机械工业出版社 , ,

20062006 年年 77 月月 , , 第第 11 版版 . .

需要了解需要了解 MATLABMATLAB 的更多内容的读者可 的更多内容的读者可 以使用以使用 MATLABMATLAB 软件自带的帮助系统，也可 软件自带的帮助系统，也可 以参考有关书籍，如 以参考有关书籍，如

第一章 初识第一章 初识 MATLABMATLAB

§1.1 MATLAB§1.1 MATLAB 界面 界面

一一 . . 安装安装 MATLAB7.0.4MATLAB7.0.4

和安装大多数软件一样， 和安装大多数软件一样， 把把 MATLAB7.0.4MATLAB7.0.4 安装盘插入光驱， 安装盘插入光驱， 它就会自动启动安装程序， 它就会自动启动安装程序， 用户可根据安装程序的提示和个人需要 用户可根据安装程序的提示和个人需要 顺利地完成顺利地完成 MATLAB7.0.4MATLAB7.0.4 的安装。的安装。这里假定用户的硬件和软件系统是符合 这里假定用户的硬件和软件系统是符合

MATLAB7.0.4MATLAB7.0.4 的安装需求的。的安装需求的。

第一章 初识第一章 初识 MATLABMATLAB §1.1 MATLAB§1.1 MATLAB 界面 界面

二二 . . 打开打开 MATLABMATLAB

桌面快捷按钮 桌面快捷按钮 开始菜单 开始菜单

第一章 初识第一章 初识 MATLABMATLAB §1.1 MATLAB§1.1 MATLAB 界面 界面

三三 . . MATLAB7.0.4MATLAB7.0.4 界面界面 标题栏标题栏 菜单栏菜单栏 工具栏工具栏

当前路径窗口当前路径窗口

命令历史记录窗口命令历史记录窗口

命令窗口命令窗口

第一章 初识第一章 初识 MATLABMATLAB §1.1 MATLAB§1.1 MATLAB 界面 界面

四四 . . 获取帮助获取帮助

第一章 初识第一章 初识 MATLABMATLAB §1.1 MATLAB§1.1 MATLAB 界面 界面

五五 . . 自由探索自由探索 如果如果不小心关闭了不小心关闭了当前路径窗口、命令历史记录 当前路径窗口、命令历史记录 窗口或命令窗口窗口或命令窗口

第一章 初识第一章 初识 MATLABMATLAB §1.2 §1.2 简单的计算与图形功能简单的计算与图形功能

§1.2 §1.2 简单的计算与图形功能简单的计算与图形功能

一一 . . 大材小用大材小用 2 71.369 sin 26.48 2.9

10

1.369^2+sin(7/101.369^2+sin(7/10**pi)pi)**sqrt(26.48)/2.9 sqrt(26.48)/2.9

ans = ans =

3.30973.3097

>>>>

第一章 初识第一章 初识 MATLABMATLAB §1.2 §1.2 简单的计算与图形功能简单的计算与图形功能

0.5-0.42-0.08 0.5-0.42-0.08 ans =ans = 1.3878e-017 1.3878e-017 >>>>0.5-0.08-0.42 0.5-0.08-0.42 ans =ans = 0 0 >>>>

>> >>

0.5-sym(0.42)-0.08 0.5-sym(0.42)-0.08 ans =ans = 0 0 >>>>sym(0.5-0.42-0.08)sym(0.5-0.42-0.08)

ans =ans = 2^(-56) 2^(-56) >>>>

第一章 初识第一章 初识 MATLABMATLAB §1.2 §1.2 简单的计算与图形功能简单的计算与图形功能

二二 . . 打开简单的图形窗口打开简单的图形窗口

funtool f = f =

第二章 矩阵及其基本运算第二章 矩阵及其基本运算 §2.1 §2.1 矩阵的输入与生成矩阵的输入与生成 一一 . . 实数值矩阵的输入实数值矩阵的输入

>>>> a = [1, 2, 3] a = [1, 2, 3] %% 输入完这一行输入完这一行 ,, 按回车键 按回车键

a = a =

1 2 31 2 3

>>>>X_Data=[2.3 3.4; 4.3 5.9] X_Data=[2.3 3.4; 4.3 5.9] %2%2 阶方阵阶方阵

X_Data = X_Data =

2.3000 3.4000 2.3000 3.4000

4.3000 5.9000 4.3000 5.9000

>>>>clear clear %% 清除以上输入的变量清除以上输入的变量 >>>>clc clc

>>>>

Matrix_B = [1 2 3; Matrix_B = [1 2 3;

Matrix_B = Matrix_B = 1 2 3 1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 3 4 5 >>>>

2 3 4; 3 4 5]2 3 4; 3 4 5]

[1 2[1 2 ；； 3 4]3 4]??? [1 2??? [1 2 ；； 3 4] 3 4] | | Error: The input character is not validError: The input character is not valid

智能智能 ABCABC 输入法输入法 5.05.0 版的几种输入状态 版的几种输入状态

>>>>

第二章 矩阵及其基本运算第二章 矩阵及其基本运算 §2.1 §2.1 矩阵的输入与生成 矩阵的输入与生成

二二 . . 特殊矩阵的生成特殊矩阵的生成

C = zeros(2) C = zeros(2) %% 生成生成 2222 全零阵 全零阵

B = zeros(2,3) B = zeros(2,3) %% 生成生成 2233 全零阵全零阵B =B =

0 0 00 0 0

0 0 0 0 0 0

>>>>C =C =

0 00 0

0 0 0 0

>>>>

>>>>

a = [1 2 3] a = [1 2 3] a = a =

1 2 3 1 2 3

>>>>C = zeros(size(a)) C = zeros(size(a)) %% 与与 aa 同类型的全零阵 同类型的全零阵 C = C =

0 0 0 0 0 0

>>>>

第二章 矩阵及其基本运算第二章 矩阵及其基本运算 §2.1 §2.1 矩阵的输入与生成 矩阵的输入与生成

二二 . . 特殊矩阵的生成特殊矩阵的生成

第二章 矩阵及其基本运算第二章 矩阵及其基本运算 §2.1 §2.1 矩阵的输入与生成 矩阵的输入与生成

和前面生成全零矩阵的方法类似和前面生成全零矩阵的方法类似 , ,

我们可以用函数我们可以用函数 onesones 生成全生成全 11 矩阵矩阵 . .

格式格式 : :

Y=ones(n) Y=ones(n) %% 生成生成 n×nn×n 全全 11 阵 阵 Y=ones(m,n) Y=ones(m,n) %% 生成生成 m×nm×n 全全 11 阵 阵 Y=ones(size(A))Y=ones(size(A))%% 生成与生成与 AA 相同大小的全相同大小的全 11 阵 阵

此外此外 , , 我们还可以用函数我们还可以用函数 eyeeye 生成单位矩阵生成单位矩阵 . .

>>

第二章 矩阵及其基本运算第二章 矩阵及其基本运算 §2.1 §2.1 矩阵的输入与生成 矩阵的输入与生成

eye(2) % 生成 2×2 的单位阵

ans =ans =1 0 1 0 0 1 0 1

>> eye(size(A)) % 生成与 A同阶的单位阵

??? Undefined function or variable 'A'.

>>

第二章 矩阵及其基本运算第二章 矩阵及其基本运算 §2.2 §2.2 矩阵运算 矩阵运算

§2.2 §2.2 矩阵运算矩阵运算 一一 . . 加、减运算加、减运算 (+(+ ，， -)-)

>> A=[1,2;3,4];B=[5,6;7,8];C=A+B

C = C =

6 8 6 8 10 12 10 12

>>

注意注意：分号的作用：分号的作用 . .

第二章 矩阵及其基本运算第二章 矩阵及其基本运算 §2.2 §2.2 矩阵运算 矩阵运算

>> A=[1,2;3,4],B=[5,6;7,8],D=A-B

>> A=[1,2;3,4],B=[5,6;7,8],D=A-B

A = A =

1 21 2 3 43 4

B = B =

5 65 6 7 87 8

D = D =

-4 -4 -4 -4 -4 -4-4 -4

注意注意：逗号的作用：逗号的作用 . .

第二章 矩阵及其基本运算第二章 矩阵及其基本运算 §2.2 §2.2 矩阵运算 矩阵运算

二二 . . 乘法乘法 ((**))

>> [1,2;-1,0]*[1,2,3;4,5,6] % 两个矩阵的乘积

>> [1,2;-1,0]*[1,2,3;4,5,6] % 两个矩阵的乘积

ans = ans =

9 12 15 9 12 15 -13 -2 -3 -13 -2 -3

>>

>> [1,2;-1,0]*[1,2,3;4,5,6] % 两个矩阵的乘积

ans = ans =

9 12 15 9 12 15 -13 -2 -3 -13 -2 -3

>> A=[1,2;-1,0];B=[1,2,3;4,5,6];C=A*B

>> [1,2;-1,0]*[1,2,3;4,5,6] % 两个矩阵的乘积

ans = ans =

9 12 159 12 15 -13 -2 -3-13 -2 -3

>> A=[1,2;-1,0];B=[1,2,3;4,5,6];C=A*B

C = C =

9 12 15 9 12 15 -13 -2 -3 -13 -2 -3

第二章 矩阵及其基本运算第二章 矩阵及其基本运算 §2.2 §2.2 矩阵运算 矩阵运算

>> A=[1,2,3;4,5,6];B=-2*A % 矩阵的数乘

>> A=[1,2,3;4,5,6];B=-2*A % 矩阵的数乘

B = B =

-2 -4 -6 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -8 -10 -12

>>

>> A=[1,2,3;4,5,6];B=-2*A % 矩阵的数乘

B = B =

-2 -4 -6 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -8 -10 -12

>> A=[1,2,3;4,5,6];C=A*(-2) % 矩阵的数乘

>> A=[1,2,3;4,5,6];B=-2*A % 矩阵的数乘

B = B =

-2 -4 -6 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -8 -10 -12

>> A=[1,2,3;4,5,6];C=A*(-2) % 矩阵的数乘

C = C =

-2 -4 -6 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -8 -10 -12

第二章 矩阵及其基本运算第二章 矩阵及其基本运算 §2.2 §2.2 矩阵运算 矩阵运算

>> a=[1,2];b=[3,4];d_1=dot(a,b) % 向量的点积

>> a=[1,2];b=[3,4];d_1=dot(a,b) % 向量的点积

d_1 = d_1 =

11 11

>>

>> a=[1,2];b=[3,4];d_1=dot(a,b) % 向量的点积

d_1 = d_1 =

11 11

>> c=[3;4];d_2=dot(a,c),d_3=a*c

>> a=[1,2];b=[3,4];d_1=dot(a,b) % 向量的点积

d_1 = d_1 =

11 11

>> c=[3;4];d_2=dot(a,c),d_3=a*c

d_2 = d_2 =

11 11

d_3= d_3=

11 11

第二章 矩阵及其基本运算第二章 矩阵及其基本运算 §2.2 §2.2 矩阵运算 矩阵运算

>> a=[1,0,-1];b=[0,1,2]; >>

>> a=[1,0,-1];b=[0,1,2]; >> c_1=cross(a,b) % 向量的叉积

>> a=[1,0,-1];b=[0,1,2]; >> c_1=cross(a,b) % 向量的叉积

c_1 = c_1 =

1 -2 1 1 -2 1

>>

>> a=[1,0,-1];b=[0,1,2]; >> c_1=cross(a,b) % 向量的叉积

c_1 = c_1 =

1 -2 1 1 -2 1

>> c_2=cross(b,a)

>> a=[1,0,-1];b=[0,1,2]; >> c_1=cross(a,b) % 向量的叉积

c_1 = c_1 =

1 -2 1 1 -2 1

>> c_2=cross(b,a)

c_2 = c_2 =

-1 2 -1 -1 2 -1

>> >>

第二章 矩阵及其基本运算第二章 矩阵及其基本运算 §2.2 §2.2 矩阵运算 矩阵运算

>> a=[1,0,-1];b=[0,1,2];c=[1,1,0]; >>

>> a=[1,0,-1];b=[0,1,2];c=[1,1,0]; >> d_1=dot(cross(a,b),c) % 向量的混合积

>> a=[1,0,-1];b=[0,1,2];c=[1,1,0]; >> d_1=dot(cross(a,b),c) % 向量的混合积

d_1 = d_1 =

-1 -1

>>

>> a=[1,0,-1];b=[0,1,2];c=[1,1,0]; >> d_1=dot(cross(a,b),c) % 向量的混合积

d_1 = d_1 =

-1 -1

>> d_2=dot(a,cross(b,c))

>> a=[1,0,-1];b=[0,1,2];c=[1,1,0]; >> d_1=dot(cross(a,b),c) % 向量的混合积

d_1 = d_1 =

-1 -1

>> d_2=dot(a,cross(b,c))

d_2 = d_2 =

-1 -1

>> >>

>> a=[1,0,-1];b=[0,1,2];c=[1,1,0]; >> d_1=dot(cross(a,b),c) % 向量的混合积

d_1 = d_1 =

-1 -1

>> d_2=dot(a,cross(b,c))

d_2 = d_2 =

-1 -1

>> d_3=dot(cross(c,a),b) >> d_3=dot(cross(c,a),b)

第二章 矩阵及其基本运算第二章 矩阵及其基本运算 §2.2 §2.2 矩阵运算 矩阵运算

>> A=[1,2;0,1];B=[3,2,1;1,2,3];C=[-2,1]; >>

三三 . . 除法除法 (( 左除左除 \, \, 右除右除 /)/)

>> A=[1,2;0,1];B=[3,2,1;1,2,3];C=[-2,1]; >> X_1=A\B %AX=B 的解 , X=A-1B, B左除以 A

>> A=[1,2;0,1];B=[3,2,1;1,2,3];C=[-2,1]; >> X_1=A\B %AX=B 的解 , X=A-1B, B左除以 A

X_1 = X_1 =

1 -2 -5 1 -2 -5 1 2 3 1 2 3

>>

>> A=[1,2;0,1];B=[3,2,1;1,2,3];C=[-2,1]; >> X_1=A\B %AX=B 的解 , X=A-1B, B左除以 A

X_1 = X_1 =

1 -2 -5 1 -2 -5 1 2 3 1 2 3

>> X_2=C/A %XA=B 的解 , X=BA-1, B右除以 A

>> A=[1,2;0,1];B=[3,2,1;1,2,3];C=[-2,1]; >> X_1=A\B %AX=B 的解 , X=A-1B, B左除以 A

X_1 = X_1 =

1 -2 -5 1 -2 -5 1 2 3 1 2 3

>> X_2=B/A %XA=B 的解 , X=BA-1, B右除以 A

X_2 =

-2 5

第二章 矩阵及其基本运算第二章 矩阵及其基本运算 §2.2 §2.2 矩阵运算 矩阵运算

>> A=[1,2;2,1];B=A^10 %乘方

四四 . . 方阵的乘方方阵的乘方 (^)(^)

>> A=[1,2;2,1];B=A^10 %乘方

B = B =

29525 29524 29525 29524 29524 29525 29524 29525

>>

>> A=[1,2;2,1];B=A^10 %乘方

B = B =

29525 29524 29525 29524 29524 29525 29524 29525

>> C=[1,2;2,1]^(-2) %相当于 inv(A^2)

>> A=[1,2;2,1];B=A^10 %乘方

B = B =

29525 29524 29525 29524 29524 29525 29524 29525

>> C=[1,2;2,1]^(-2) %相当于 inv(A^2)

C =

0.5556 -0.4444 -0.4444 0.5556

第二章 矩阵及其基本运算第二章 矩阵及其基本运算 §2.2 §2.2 矩阵运算 矩阵运算

五五 . . 矩阵的转置矩阵的转置 (’)(’)

>> A=[1,2;3,4;5,6],B=A’ %B 为 A 的转置

>> A=[1,2;3,4;5,6],B=A’ %B 为 A 的转置

A = A =

1 2 1 2 3 4 3 4 5 6 5 6

B =

1 3 5 2 4 6

第二章 矩阵及其基本运算第二章 矩阵及其基本运算 §2.2 §2.2 矩阵运算 矩阵运算

>> A=[1,2+i;3-2i,4;5,6+5i],B=A’ %B 为 A 的共轭转置

>> A=[1,2+i;3-2i,4;5,6+5i],B=A’ %B 为 A 的共轭转置

A = A =

1.0000 2.0000+1.0000i 1.0000 2.0000+1.0000i 3.0000-2.0000i 4.0000 3.0000-2.0000i 4.0000 5.0000 6.0000+5.0000i 5.0000 6.0000+5.0000i

B =

1.0000 3.0000+2.0000i 5.0000 2.0000-1.0000i 4.0000 6.0000-5.0000i

>>

>> A=[1,2+i;3-2i,4;5,6+5i],B=A.’ %B 为 A 的转置

>> A=[1,2+i;3-2i,4;5,6+5i],B=A.’ %B 为 A 的转置

A = A =

1.0000 2.0000+1.0000i 1.0000 2.0000+1.0000i 3.0000-2.0000i 4.0000 3.0000-2.0000i 4.0000 5.0000 6.0000+5.0000i 5.0000 6.0000+5.0000i

B =

1.0000 3.0000-2.0000i 5.0000 2.0000+1.0000i 4.0000 6.0000+5.0000i

>>

第二章 矩阵及其基本运算第二章 矩阵及其基本运算 §2.2 §2.2 矩阵运算 矩阵运算

六六 . . 方阵的行列式方阵的行列式 (det)(det)

>> det([1,2;3,4]) %行列式

>> det([1,2;3,4]) %行列式

ans = ans =

-2 -2

>>

>> det([1,2;3,4]) %行列式

ans = ans =

-2 -2

>> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];D=det(A)

>> det([1,2;3,4]) %行列式

ans = ans =

-2 -2

>> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];D=det(A)

D =

0

第二章 矩阵及其基本运算第二章 矩阵及其基本运算 §2.2 §2.2 矩阵运算 矩阵运算

七七 . . 逆矩阵逆矩阵 (inv)(inv)

>> inv([1,2;3,4]) %逆矩阵

>> inv([1,2;3,4]) %逆矩阵

ans = ans =

-2.0000 1.0000 -2.0000 1.0000 1.5000 -0.5000 >>

第二章 矩阵及其基本运算第二章 矩阵及其基本运算 §2.2 §2.2 矩阵运算 矩阵运算

>> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];B=inv(A)

注意注意 : : 若若 AA 的行列式的值为的行列式的值为 0,0, 则则 MATLABMATLAB 在在执执 行行 inv(A)inv(A) 这个命令时会给出警告信息。这个命令时会给出警告信息。 例如 例如 >> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];B=inv(A)

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 2.203039e-018. Results may be inaccurate. RCOND = 2.203039e-018.

B = B =

1.0e+016 * 1.0e+016 *

0.3152 -0.6304 0.3152 0.3152 -0.6304 0.3152 -0.6304 1.2609 -0.6304 -0.6304 1.2609 -0.6304 0.3152 -0.6304 0.3152 0.3152 -0.6304 0.3152

>> >>

第二章 矩阵及其基本运算第二章 矩阵及其基本运算 §2.2 §2.2 矩阵运算 矩阵运算

也可以用初等变换的方法来求逆矩阵。例如也可以用初等变换的方法来求逆矩阵。例如 : :

>> A=[1,2;3,4]; >> A=[1,2;3,4]; >> >>

>> A=[1,2;3,4]; >> A=[1,2;3,4]; >> B=[1,2,1,0;3,4,0,1]; >> B=[1,2,1,0;3,4,0,1]; %% 这是这是 AA 的增广矩阵的增广矩阵 >> >>

>> A=[1,2;3,4]; >> A=[1,2;3,4]; >> B=[1,2,1,0;3,4,0,1]; >> B=[1,2,1,0;3,4,0,1]; %% 这是这是 AA 的增广矩阵 的增广矩阵 >> C=rref(B); >> C=rref(B); %% 用矩阵的初等行变换把用矩阵的初等行变换把 BB 化为行最简形 化为行最简形 >> >>

>> A=[1,2;3,4]; >> A=[1,2;3,4]; >> B=[1,2,1,0;3,4,0,1]; >> B=[1,2,1,0;3,4,0,1]; %% 这是这是 AA 的增广矩阵 的增广矩阵 >> C=rref(B); >> C=rref(B); %% 用矩阵的初等行变换把用矩阵的初等行变换把 BB 化为行最简形化为行最简形 >> C,X=C(:,3:4) >> C,X=C(:,3:4) %% 输出输出 CC 和和 X,X, 其中其中 XX 为为 AA 的逆的逆 , , 即即 CC 的的 3-43-4 列列

>> A=[1,2;3,4]; >> A=[1,2;3,4]; >> B=[1,2,1,0;3,4,0,1]; >> B=[1,2,1,0;3,4,0,1]; %% 这是这是 AA 的增广矩阵的增广矩阵 >> C=rref(B); >> C=rref(B); %% 用矩阵的初等行变换把用矩阵的初等行变换把 BB 化为行最简形化为行最简形 >> C,X=C(:,3:4) >> C,X=C(:,3:4) %% 输出输出 CC 和和 X,X, 其中其中 XX 为为 AA 的逆的逆 , , 即即 CC 的的 3-43-4 列列

C = C =

1.0000 0 -2.0000 1.0000 1.0000 0 -2.0000 1.0000 0 1.0000 1.5000 -0.5000 0 1.0000 1.5000 -0.5000 X = X =

-2.0000 1.0000-2.0000 1.0000 1.5000 -0.50001.5000 -0.5000

第二章 矩阵及其基本运算第二章 矩阵及其基本运算 §2.2 §2.2 矩阵运算 矩阵运算

用用 format ratformat rat 命令可以使输出格式为分数格式。 命令可以使输出格式为分数格式。 例如： 例如：

>> A=[2 1 -1;2 1 2;1 -1 1]; >> A=[2 1 -1;2 1 2;1 -1 1]; >> >>

>> A=[2 1 -1;2 1 2;1 -1 1]; >> A=[2 1 -1;2 1 2;1 -1 1]; >> format >> format ratrat %% 用分数格式输出用分数格式输出 >> >>

>> A=[2 1 -1;2 1 2;1 -1 1]; >> A=[2 1 -1;2 1 2;1 -1 1]; >> format >> format ratrat %% 用分数格式输出用分数格式输出 >> B=inv(A) >> B=inv(A) %% 求求 AA 的逆矩阵的逆矩阵

>> A=[2 1 -1;2 1 2;1 -1 1]; >> A=[2 1 -1;2 1 2;1 -1 1]; >> format >> format ratrat %% 用分数格式输出用分数格式输出 >> B=inv(A) >> B=inv(A) %% 求求 AA 的逆矩阵的逆矩阵

B = B =

1/3 0 1/3 1/3 0 1/3 0 1/3 -2/3 0 1/3 -2/3 -1/3 1/3 0 -1/3 1/3 0

>> >>

第二章 矩阵及其基本运算第二章 矩阵及其基本运算 §2.2 §2.2 矩阵运算 矩阵运算

八八 . . 方阵的迹方阵的迹 (trace)(trace)

>> trace([1,2;3,4]) %迹 , 主对角线元素之和

>> trace([1,2;3,4]) %迹 , 主对角线元素之和

ans = ans =

5 5

第二章 矩阵及其基本运算第二章 矩阵及其基本运算 §2.2 §2.2 矩阵运算 矩阵运算

九九 . . 矩阵的秩矩阵的秩 (rank)(rank)

>> A=[2,1,-1,0;0,1,1,-3;2,2,0,-3],r=rank(A)

>> A=[2,1,-1,0;0,1,1,-3;2,2,0,-3],r=rank(A)

A = A =

2 1 -1 0 2 1 -1 0 0 1 1 -3 0 1 1 -3 2 2 0 -3 2 2 0 -3

r =

2

第三章 线性方程组第三章 线性方程组

§3.1 §3.1 求线性方程组的唯一解或特解求线性方程组的唯一解或特解

一一 . . 用克拉默法则用克拉默法则 例例 3.1.13.1.1. . 求方程组 求方程组

1 2

1 2 3

2 3 4

3 4 5

4 5

5 6 1 5 6 0 5 6 0 5 6 0 5 1

x xx x x

x x xx x x

x x

的解 .

第三章 线性方程组第三章 线性方程组 §3.1 §3.1 求线性方程组的唯一解或特解 求线性方程组的唯一解或特解

>> a_1=[5;1;0;0;0];a_2=[6;5;1;0;0];>> a_3=[0;6;5;1;0];a_4=[0;0;6;5;1];>> >> a_5=[0;0;0;6;5];b=[1;0;0;0;1];

1 2

1 2 3

2 3 4

3 4 5

4 5

5 6 1 5 6 0 5 6 0 5 6 0 5 1

x xx x x

x x xx x x

x x

>> a_1=[5;1;0;0;0];a_2=[6;5;1;0;0];>> a_3=[0;6;5;1;0];a_4=[0;0;6;5;1];>> >> a_5=[0;0;0;6;5];b=[1;0;0;0;1]; >> D=det([a_1,a_2,a_3,a_4,a_5]);>> D=det([a_1,a_2,a_3,a_4,a_5]);>> D_1=det([b,a_2,a_3,a_4,a_5]);>> D_1=det([b,a_2,a_3,a_4,a_5]);>> D_2=det([a_1,b,a_3,a_4,a_5]);>> D_2=det([a_1,b,a_3,a_4,a_5]);>> D_3=det([a_1,a_2,b,a_4,a_5]);>> D_3=det([a_1,a_2,b,a_4,a_5]);>> D_4=det([a_1,a_2,a_3,b,a_5]);>> D_4=det([a_1,a_2,a_3,b,a_5]);>> D_5=det([a_1,a_2,a_3,a_4,b]);>> D_5=det([a_1,a_2,a_3,a_4,b]);

>> a_1=[5;1;0;0;0];a_2=[6;5;1;0;0];>> a_3=[0;6;5;1;0];a_4=[0;0;6;5;1];>> >> a_5=[0;0;0;6;5];b=[1;0;0;0;1]; >> D=det([a_1,a_2,a_3,a_4,a_5]);>> D=det([a_1,a_2,a_3,a_4,a_5]);>> D_1=det([b,a_2,a_3,a_4,a_5]);>> D_1=det([b,a_2,a_3,a_4,a_5]);>> D_2=det([a_1,b,a_3,a_4,a_5]);>> D_2=det([a_1,b,a_3,a_4,a_5]);>> D_3=det([a_1,a_2,b,a_4,a_5]);>> D_3=det([a_1,a_2,b,a_4,a_5]);>> D_4=det([a_1,a_2,a_3,b,a_5]);>> D_4=det([a_1,a_2,a_3,b,a_5]);>> D_5=det([a_1,a_2,a_3,a_4,b]);>> D_5=det([a_1,a_2,a_3,a_4,b]);>> x_1=D_1/D;x_2=D_2/D;x_3=D_3/D;x_4=D_4/D;>> x_1=D_1/D;x_2=D_2/D;x_3=D_3/D;x_4=D_4/D;>> x_5=D_5/D;>> x_5=D_5/D;

>> a_1=[5;1;0;0;0];a_2=[6;5;1;0;0];>> a_3=[0;6;5;1;0];a_4=[0;0;6;5;1];>> >> a_5=[0;0;0;6;5];b=[1;0;0;0;1]; >> D=det([a_1,a_2,a_3,a_4,a_5]);>> D=det([a_1,a_2,a_3,a_4,a_5]);>> D_1=det([b,a_2,a_3,a_4,a_5]);>> D_1=det([b,a_2,a_3,a_4,a_5]);>> D_2=det([a_1,b,a_3,a_4,a_5]);>> D_2=det([a_1,b,a_3,a_4,a_5]);>> D_3=det([a_1,a_2,b,a_4,a_5]);>> D_3=det([a_1,a_2,b,a_4,a_5]);>> D_4=det([a_1,a_2,a_3,b,a_5]);>> D_4=det([a_1,a_2,a_3,b,a_5]);>> D_5=det([a_1,a_2,a_3,a_4,b]);>> D_5=det([a_1,a_2,a_3,a_4,b]);>> x_1=D_1/D;x_2=D_2/D;x_3=D_3/D;x_4=D_4/D;>> x_1=D_1/D;x_2=D_2/D;x_3=D_3/D;x_4=D_4/D;>> x_5=D_5/D;>> x_5=D_5/D;>> format >> format ratrat,X=[x_1,x_2,x_3,x_4,x_5],X=[x_1,x_2,x_3,x_4,x_5]

>> a_1=[5;1;0;0;0];a_2=[6;5;1;0;0];>> a_3=[0;6;5;1;0];a_4=[0;0;6;5;1];>> >> a_5=[0;0;0;6;5];b=[1;0;0;0;1]; >> D=det([a_1,a_2,a_3,a_4,a_5]);>> D=det([a_1,a_2,a_3,a_4,a_5]);>> D_1=det([b,a_2,a_3,a_4,a_5]);>> D_1=det([b,a_2,a_3,a_4,a_5]);>> D_2=det([a_1,b,a_3,a_4,a_5]);>> D_2=det([a_1,b,a_3,a_4,a_5]);>> D_3=det([a_1,a_2,b,a_4,a_5]);>> D_3=det([a_1,a_2,b,a_4,a_5]);>> D_4=det([a_1,a_2,a_3,b,a_5]);>> D_4=det([a_1,a_2,a_3,b,a_5]);>> D_5=det([a_1,a_2,a_3,a_4,b]);>> D_5=det([a_1,a_2,a_3,a_4,b]);>> x_1=D_1/D;x_2=D_2/D;x_3=D_3/D;x_4=D_4/D;>> x_1=D_1/D;x_2=D_2/D;x_3=D_3/D;x_4=D_4/D;>> x_5=D_5/D;>> x_5=D_5/D;>> format >> format ratrat,X=[x_1,x_2,x_3,x_4,x_5],X=[x_1,x_2,x_3,x_4,x_5]

X =

1507/665 -229/133 37/35 -79/133 212/665

第三章 线性方程组第三章 线性方程组 §3.1 §3.1 求线性方程组的唯一解或特解 求线性方程组的唯一解或特解

>> %我们也可以编写如下程序来解上述方程组

>> %我们也可以编写如下程序来解上述方程组>> a_1=[5;1;0;0;0];a_2=[6;5;1;0;0];>> a_3=[0;6;5;1;0];a_4=[0;0;6;5;1];>> >> a_5=[0;0;0;6;5];b=[1;0;0;0;1];

>> %我们也可以编写如下程序来解上述方程组>> a_1=[5;1;0;0;0];a_2=[6;5;1;0;0];>> a_3=[0;6;5;1;0];a_4=[0;0;6;5;1];>> >> a_5=[0;0;0;6;5];b=[1;0;0;0;1]; >> A=[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5];D=det(A);>> A=[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5];D=det(A);

1 2

1 2 3

2 3 4

3 4 5

4 5

5 6 1 5 6 0 5 6 0 5 6 0 5 1

x xx x x

x x xx x x

x x

>> %我们也可以编写如下程序来解上述方程组>> a_1=[5;1;0;0;0];a_2=[6;5;1;0;0];>> a_3=[0;6;5;1;0];a_4=[0;0;6;5;1];>> >> a_5=[0;0;0;6;5];b=[1;0;0;0;1]; >> A=[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5];D=det(A);>> A=[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5];D=det(A);>> X=[]; >> X=[]; %% 空矩阵空矩阵

>> %我们也可以编写如下程序来解上述方程组>> a_1=[5;1;0;0;0];a_2=[6;5;1;0;0];>> a_3=[0;6;5;1;0];a_4=[0;0;6;5;1];>> >> a_5=[0;0;0;6;5];b=[1;0;0;0;1]; >> A=[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5];D=det(A);>> A=[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5];D=det(A);>> X=[]; >> X=[]; %% 空矩阵空矩阵>> >> forfor i=1:5 i=1:5 A=[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5]; A(:,i)=b;X=[X,det(A)/D];A(:,i)=b;X=[X,det(A)/D]; i=i+1;i=i+1; endend

>> %我们也可以编写如下程序来解上述方程组>> a_1=[5;1;0;0;0];a_2=[6;5;1;0;0];>> a_3=[0;6;5;1;0];a_4=[0;0;6;5;1];>> >> a_5=[0;0;0;6;5];b=[1;0;0;0;1]; >> A=[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5];D=det(A);>> A=[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5];D=det(A);>> X=[]; >> X=[]; %% 空矩阵空矩阵>> >> forfor i=1:5 i=1:5 A=[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5]; A(:,i)=b;X=[X,det(A)/D];A(:,i)=b;X=[X,det(A)/D]; i=i+1;i=i+1; endend>> format >> format ratrat,X,X

>> %我们也可以编写如下程序来解上述方程组>> a_1=[5;1;0;0;0];a_2=[6;5;1;0;0];>> a_3=[0;6;5;1;0];a_4=[0;0;6;5;1];>> >> a_5=[0;0;0;6;5];b=[1;0;0;0;1]; >> A=[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5];D=det(A);>> A=[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5];D=det(A);>> X=[]; >> X=[]; %% 空矩阵空矩阵>> >> forfor i=1:5 i=1:5 A=[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5]; A(:,i)=b;X=[X,det(A)/D];A(:,i)=b;X=[X,det(A)/D]; i=i+1;i=i+1; endend>> format >> format ratrat,X,X

X =

1507/665 -229/133 37/35 -79/133 212/665

第三章 线性方程组第三章 线性方程组 §3.1 §3.1 求线性方程组的唯一解或特解 求线性方程组的唯一解或特解

二二 . . 用矩阵除法用矩阵除法 >> % 把该方程组记为 AX=b ，则X=A\b >> A=[5,6,0,0,0; 1,5,6,0,0; 0,1,5,6,0; 0,0,1,5,6; 0,0,0,1,5];>> b=[1;0;0;0;1];format format ratrat,X=A\b ,X=A\b

>> % 把该方程组记为 AX=b ，则X=A\b >> A=[5,6,0,0,0; 1,5,6,0,0; 0,1,5,6,0; 0,0,1,5,6; 0,0,0,1,5];>> b=[1;0;0;0;1];format format ratrat,X=A\b ,X=A\b

X =

1507/665 -229/133 37/35 -79/133 212/665

第三章 线性方程组第三章 线性方程组 §3.1 §3.1 求线性方程组的唯一解或特解 求线性方程组的唯一解或特解

三三 . . 用矩阵的初等变换用矩阵的初等变换 >> A=[5,6,0,0,0;1,5,6,0,0;0,1,5,6,0; 0,0,1,5,6;0,0,0,1,5]; >> b=[1;0;0;0;1]; >> B=[A,b]; %增广矩阵

>> A=[5,6,0,0,0;1,5,6,0,0;0,1,5,6,0; 0,0,1,5,6;0,0,0,1,5]; >> b=[1;0;0;0;1]; >> B=[A,b]; %增广矩阵 >> format >> format rat rat

>> A=[5,6,0,0,0;1,5,6,0,0;0,1,5,6,0; 0,0,1,5,6;0,0,0,1,5]; >> b=[1;0;0;0;1]; >> B=[A,b]; %增广矩阵 >> format >> format rat rat >> C=rref(B); >> C=rref(B); % 用初等行变换把 B 化为行最简形

>> A=[5,6,0,0,0;1,5,6,0,0;0,1,5,6,0; 0,0,1,5,6;0,0,0,1,5]; >> b=[1;0;0;0;1]; >> B=[A,b]; %增广矩阵 >> format >> format rat rat >> C=rref(B); >> C=rref(B); % 用初等行变换把 B 化为行最简形 >> X=C(:,6) >> X=C(:,6) % 取 C 的最后一列

>> A=[5,6,0,0,0;1,5,6,0,0;0,1,5,6,0; 0,0,1,5,6;0,0,0,1,5];>> b=[1;0;0;0;1];>> B=[A,b]; %增广矩阵>> format >> format ratrat>> C=rref(B); >> C=rref(B); % 用初等行变换把 B 化为行最简形 >> X=C(:,6) >> X=C(:,6) % 取 C 的最后一列

X =

911/402 -229/133 37/35 -79/133 95/298

思考思考 : : 为什么与前一种 为什么与前一种 方法所得到的结 方法所得到的结 果不一样果不一样 ? ?

第三章 线性方程组第三章 线性方程组 §3.1 §3.1 求线性方程组的唯一解或特解 求线性方程组的唯一解或特解

例例 3.1.23.1.2. . 求方程组 求方程组

的一个特解 .

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

13 3 4 4 5 9 8 0

x x x xx x x xx x x x

解解 : 先用 MATLAB 把该方程组的增广矩阵 1 1 1 1 1

3 1 3 4 4

1 5 9 8 0

化为行最简形

第三章 线性方程组第三章 线性方程组 §3.1 §3.1 求线性方程组的唯一解或特解 求线性方程组的唯一解或特解

>> A=[1,1,-1,-1;3,-1,-3,4;1,5,-9,-8]; >> b=[1;4;0]; >> B=[A,b]; %增广矩阵 >> C=rref(B); >> C=rref(B); % 用初等行变换把 B 化为行最简形

从中可以看出该方程组有无数多解，而且 从中可以看出该方程组有无数多解，而且 X=[1.25, – 0.25,0,0]X=[1.25, – 0.25,0,0]TT

就是该方程组的一个特解就是该方程组的一个特解 . .

>> A=[1,1,-1,-1;3,-1,-3,4;1,5,-9,-8]; >> b=[1;4;0]; >> B=[A,b]; %增广矩阵 >> C=rref(B); >> C=rref(B); % 用初等行变换把 B 化为行最简形

C = C =

1.0000 0 0 0.7500 1.2500 1.0000 0 0 0.7500 1.2500 0 1.0000 0 -1.7500 -0.2500 0 1.0000 0 -1.7500 -0.2500 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0

第三章 线性方程组第三章 线性方程组 §3.2 §3.2 求线性方程组的通解 求线性方程组的通解

§3.2 §3.2 求线性方程组的通解求线性方程组的通解 一一 . . 求齐次线性方程组的通解求齐次线性方程组的通解 例例 3.2.13.2.1. . 求方程组 求方程组

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 2 02 2 2 0 4 3 0

x x x xx x x xx x x x

的通解的通解 . .

解解 : : 先用函数先用函数 nullnull 求系数矩阵 求系数矩阵 1 2 2 12 1 2 21 1 4 3

的零空间的一组基的零空间的一组基 : :

第三章 线性方程组第三章 线性方程组 §3.2 §3.2 求线性方程组的通解 求线性方程组的通解

>> A=[1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3]; % 系数矩阵 >> B=null(A) % 求 A 的零空间的标准正交基

>> A=[1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3]; % 系数矩阵 >> B=null(A) % 求 A 的零空间的标准正交基

B = B =

0.7177 -0.0286 0.7177 -0.0286 -0.6084 0.2725 -0.6084 0.2725 0.0857 -0.6241 0.0857 -0.6241 0.3277 0.7317 0.3277 0.7317

>> A=[1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3]; % 系数矩阵 >> C=null(A,’r’) % 求 A 的零空间的基

>> A=[1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3]; % 系数矩阵 >> C=null(A,’r’) % 求 A 的零空间的基

C = C =

2.0000 1.6667 2.0000 1.6667 -2.0000 -1.3333 -2.0000 -1.3333 1.0000 0 1.0000 0 0 1.0000 0 1.0000

>> A=[1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3]; % 系数矩阵 >> format rat, D=null(A,’r’)

>> A=[1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3]; % 系数矩阵 >> format rat, D=null(A,’r’)

D = D =

2 5/3 2 5/3 -2 -4/3 -2 -4/3 1 0 1 0 0 1 0 1

再写出该方程组的通解再写出该方程组的通解 : :

第三章 线性方程组第三章 线性方程组 §3.2 §3.2 求线性方程组的通解 求线性方程组的通解

D = 2 5/3 -2 -4/3 1 0 0 1

>> sym k1 k2 % 说明 k1,k2 为符号变量

D = 2 5/3 -2 -4/3 1 0 0 1

>> sym k1 k2 % 说明 k1,k2 为符号变量 >> X=k1*D(:,1)+k2*D(:,2) % 通解

D = 2 5/3 -2 -4/3 1 0 0 1

>> sym k1 k2 % 说明 k1,k2 为符号变量 >> X=k1*D(:,1)+k2*D(:,2) % 通解

X = X =

2*k1+5/3*k2 2*k1+5/3*k2 -2*k1-4/3*k2 -2*k1-4/3*k2 k1 k1 k2 k2

第三章 线性方程组第三章 线性方程组 §3.2 §3.2 求线性方程组的通解 求线性方程组的通解

X = X =

2*k1+5/3*k2 2*k1+5/3*k2 -2*k1-4/3*k2 -2*k1-4/3*k2 k1 k1 k2 k2

>> >>

>> pretty(X) >> pretty(X) %让通解表达式更加精美

[2 k1 + 5/3 k2 ] [2 k1 + 5/3 k2 ] [ ] [ ] [-2 k1 – 4/3 k2] [-2 k1 – 4/3 k2] [ ] [ ] [ k1 ] [ k1 ] [ ] [ ] [ k2 ] [ k2 ]

第三章 线性方程组第三章 线性方程组 §3.2 §3.2 求线性方程组的通解 求线性方程组的通解

二二 . . 求非齐次线性方程组的通解求非齐次线性方程组的通解 例例 3.2.23.2.2. . 求解方程组 求解方程组

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 13 5 3 22 2 2 3

x x x xx x x xx x x x

第三章 线性方程组第三章 线性方程组 §3.2 §3.2 求线性方程组的通解 求线性方程组的通解

>> A=[1 -2 3 -1;3 -1 5 -3;2 1 2 -2]; >> A=[1 -2 3 -1;3 -1 5 -3;2 1 2 -2]; % 系数矩阵 >> b=[1 2 3]’; >> b=[1 2 3]’; >> >>

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 13 5 3 22 2 2 3

x x x xx x x xx x x x

>> A=[1 -2 3 -1;3 -1 5 -3;2 1 2 -2]; >> A=[1 -2 3 -1;3 -1 5 -3;2 1 2 -2]; % 系数矩阵 >> b=[1 2 3]’; >> b=[1 2 3]’; >> B=[A b]; >> B=[A b]; %增广矩阵 >> >>

>> n=4; >> n=4; %未知量的个数 >> R_A=rank(A); >> R_A=rank(A); % 系数矩阵的秩 >> R_B=rank(B); >> R_B=rank(B); %增广矩阵的秩 >> >> ifif R_A==R_B&R_A==n, R_A==R_B&R_A==n, X=A\b X=A\b %这是有唯一解的情况 elseifelseif R_A==R_B&R_A<n, R_A==R_B&R_A<n, C=rref(B) C=rref(B) %这是有无穷多个解的情况 elseelse X= X=‘Equation has no solves’‘Equation has no solves’%无解的情况 endend %MATLAB 运行后得到如下结果

X = X =

Equation has no solves Equation has no solves

第三章 线性方程组第三章 线性方程组 §3.2 §3.2 求线性方程组的通解 求线性方程组的通解

例例 3.2.33.2.3. . 求方程组 求方程组

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

3 13 3 4 4 5 9 8 0

x x x xx x x xx x x x

的通解 .

>> A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8]; >> A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8]; >> b=[1 4 0]’;B=[A b];n=4; >> b=[1 4 0]’;B=[A b];n=4; %未知量的个数 >> R_A=rank(A);R_B=rank(B);format >> R_A=rank(A);R_B=rank(B);format ratrat >> >> ifif R_A==R_B&R_A==n,X=A\b R_A==R_B&R_A==n,X=A\b %这是有唯一解的情况 elseifelseif R_A==R_B&R_A<n,C=rref(B) R_A==R_B&R_A<n,C=rref(B) % 化 B 为行最简形 elseelse X= X=‘Equation has no solves’‘Equation has no solves’%无解的情况 endend %MATLAB 运行后得到如下结果

第三章 线性方程组第三章 线性方程组 §3.2 §3.2 求线性方程组的通解 求线性方程组的通解

>> A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8]; >> A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8]; >> b=[1 4 0]’;B=[A b];n=4; >> b=[1 4 0]’;B=[A b];n=4; %未知量的个数 >> R_A=rank(A);R_B=rank(B);format >> R_A=rank(A);R_B=rank(B);format ratrat >> >> ifif R_A==R_B&R_A==n,X=A\b R_A==R_B&R_A==n,X=A\b %这是有唯一解的情况 elseifelseif R_A==R_B&R_A<n,C=rref(B) R_A==R_B&R_A<n,C=rref(B) % 化 B 为行最简形 elseelse X= X=‘Equation has no solves’‘Equation has no solves’%无解的情况 endend %MATLAB 运行后得到如下结果

C = C =

1 0 -3/2 3/4 5/4 1 0 -3/2 3/4 5/4 0 1 -3/2 -7/4 -1/4 0 1 -3/2 -7/4 -1/4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

可见原方程组有无数多组解，且 可见原方程组有无数多组解，且

第三章 线性方程组第三章 线性方程组 §3.2 §3.2 求线性方程组的通解 求线性方程组的通解

1 3 4

2 3 4

3/ 2 3/ 4 5 / 43/ 2 7 / 4 1/ 4

x x xx x x

即 即 1 3 4

2 3 4

3/ 2 3/ 4 5 / 43/ 2 7 / 4 1/ 4

x x xx x x

1 2

3/ 2 3/ 4 5 / 43/ 2 7 / 4 1/ 4

,1 0 00 1 0

X k k

.

所以原方程组的通解为 所以原方程组的通解为

其中其中 kk11, , kk22 为任意实数为任意实数 . .

第三章 线性方程组第三章 线性方程组 §3.2 §3.2 求线性方程组的通解 求线性方程组的通解

.

edit edit %% 新建一个新建一个 MM 文件文件

第三章 线性方程组第三章 线性方程组 §3.2 §3.2 求线性方程组的通解 求线性方程组的通解

第四章 二维绘图和三维绘图第四章 二维绘图和三维绘图

§4.1 §4.1 二维图形的绘制二维图形的绘制

一一 . . 二维曲线的简捷绘制二维曲线的简捷绘制 例例 4.1.14.1.1. . yy = = xxcoscosxx 在区间在区间 [[44, 4, 4]] 上的图形上的图形 . .

解解 : 在 MATLAB 的命令窗口输入如下命令： ezplot('x*cos(x)',[-4*pi,4*pi]) 运行后得：

§4.1 §4.1 二维图形的绘制 二维图形的绘制 第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图

§4.1 §4.1 二维图形的绘制 二维图形的绘制 第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图

例例 4.1.24.1.2. . 椭圆 椭圆

解解 : 在 MATLAB 的命令窗口输入如下命令： ezplot('x^2/4+y^2/5-1',[-3,3,-4,4]) 运行后得：

在区域在区域 [[3, 3]3, 3][[4, 4]4, 4] 内的图形内的图形 . .

2 2

14 5

x y

§4.1 §4.1 二维图形的绘制 二维图形的绘制 第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图

§4.1 §4.1 二维图形的绘制 二维图形的绘制 第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图

例例 4.1.34.1.3. . 曲线 曲线

解解 : 在 MATLAB 的命令窗口输入如下命令 :

在区间在区间 [0, [0, ]] 内的图形内的图形 . .

sin 3 cos

sin 3 sin

x t t

y t t

ezplot('sin(3*t)*cos(t)','sin(3*t)*sin(t)',[0,pi])

运行后得 :

§4.1 §4.1 二维图形的绘制 二维图形的绘制 第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图

§4.1 §4.1 二维图形的绘制 二维图形的绘制 第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图

二二 . . 在同一个坐标系内绘制多条曲线在同一个坐标系内绘制多条曲线 例例 4.1.44.1.4. . 在同一个坐标系内画出 在同一个坐标系内画出

yy = = ee0.10.1xxsin2sin2x x 和 和 yy = = xxcoscosx x

在区间在区间 [[, , ]] 上的图形上的图形 . .

x=-pi:0.1:pi; x=-pi:0.1:pi; %%设置设置 xx 的取值范围和取点间距 的取值范围和取点间距 y1=exp(0.1*x).*sin(2*x);y2=x.*cos(x); y1=exp(0.1*x).*sin(2*x);y2=x.*cos(x); %%注意其中的注意其中的 .* .* plot(x,y1,'* r',x,y2,'o b') plot(x,y1,'* r',x,y2,'o b') %% 两条曲线用不同的数据点形状和颜色 两条曲线用不同的数据点形状和颜色

解解 : : 在在 MATLABMATLAB 的命令窗口输入如下命令的命令窗口输入如下命令 : :

§4.1 §4.1 二维图形的绘制 二维图形的绘制 第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图

运行后得运行后得 : :

§4.1 §4.1 二维图形的绘制 二维图形的绘制 第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图

命令格式命令格式 : plot(x1,y1,'s1',x2,y2,'s2',…) : plot(x1,y1,'s1',x2,y2,'s2',…)

可选参数 可选参数

-(-( 实线实线 ) ) :(:( 虚线虚线 ) ) -.(-.( 点划线点划线 ) ) --(--( 双划线双划线 ) )

y(y( 黄黄色色 ))m(m( 品品红红 ))c(c( 青青色色 ) ) r(r( 红红色色 ) ) g(g( 绿绿色色 ) ) b(b( 蓝蓝色色 ) ) w(w( 白白色色 ) ) k(k( 黑黑色色 ) )

.(.( 实心点实心点 ) o() o( 圆圈圆圈 ) ) x(x( 叉叉 ) +() +( 十字十字 ))*(*( 星号星号 ) s() s( 方块方块 ) ) d(d( 菱形菱形 ) v() v( 下三角下三角 ) ) ^(^( 上三角上三角 ) <() <( 左三角左三角 ) ) >(>( 右三角右三角 ) p() p( 五角星五角星 ) ) h(h( 六角星六角星 ) )

§4.2 §4.2 三维图形的绘制 三维图形的绘制 第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图

§4.2 §4.2 三维图形的绘制三维图形的绘制

一一 . . 三维曲线的绘制三维曲线的绘制

例例 4.2.14.2.1. . 三维螺线 三维螺线

解解 : ( 方法一 )

在 MATLAB 的命令窗口输入如下命令 :

2cos2sin1.5

x ty tz t

tt[0, 4[0, 4]. ].

第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图 §4.2 §4.2 三维图形的绘制 三维图形的绘制

运行后得运行后得 : :

>> t=0:0.1:4*pi; >> t=0:0.1:4*pi; %% 参数取值范围及间距参数取值范围及间距 >> x=2*cos(t);y=2*sin(t);z=1.5*t; >> x=2*cos(t);y=2*sin(t);z=1.5*t; >> plot3(x,y,z),xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z') >> plot3(x,y,z),xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')

标 标 识 识 坐 坐 标 标 轴 轴

第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图 §4.2 §4.2 三维图形的绘制 三维图形的绘制

(( 方法二方法二 ) ) 在在 MATLABMATLAB 的命令窗口输入如下命令的命令窗口输入如下命令 : :

ezplot3('2*cos(t)','2*sin(t)','1.5*t',[0,4*pi])ezplot3('2*cos(t)','2*sin(t)','1.5*t',[0,4*pi])

运行后得运行后得 : :

第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图 §4.2 §4.2 三维图形的绘制 三维图形的绘制

二二 . . 三维网线图与表面图的绘制三维网线图与表面图的绘制

命令格式：命令格式：mesh(x,y,z) mesh(x,y,z) %% 绘制三维网线图绘制三维网线图 surf(x,y,z) surf(x,y,z) %% 绘制三维表面图绘制三维表面图

也可以在调用命令时增加可选参数来 也可以在调用命令时增加可选参数来 改变图形的颜色和线型改变图形的颜色和线型 . .

还可以用简捷的绘制命令还可以用简捷的绘制命令 ezmeshezmesh 与 与 ezsurfezsurf 绘制三维网线图与表面图绘制三维网线图与表面图 . .

第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图 §4.2 §4.2 三维图形的绘制 三维图形的绘制

例例 4.2.24.2.2. . 曲面曲面 zz = sin( = sin(xyxy)) 在区域在区域 [[2, 2]2, 2][[2, 2] 2, 2] 上的图形上的图形 . .

解解 : : 在在 MATLABMATLAB 的命令窗口输入如下命令的命令窗口输入如下命令 : :

运行后得运行后得 : :

x = -2:0.1:2; y = -2:0.1:2; x = -2:0.1:2; y = -2:0.1:2; %% 设置设置 xx 的取值范围和取点间距 的取值范围和取点间距 [X,Y]=meshgrid(x,y); [X,Y]=meshgrid(x,y); %% 用用 xx 和和 yy 产生“格点”矩阵 产生“格点”矩阵 Z = sin(X.Z = sin(X.**Y); Y); %% 计算“格点”矩阵的每个“格点”上的函数值 计算“格点”矩阵的每个“格点”上的函数值 mesh(X,Y,Z) mesh(X,Y,Z) %% 绘制网线图 绘制网线图

第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图 §4.2 §4.2 三维图形的绘制 三维图形的绘制

网线图 网线图

第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图 §4.2 §4.2 三维图形的绘制 三维图形的绘制

如果将上面的如果将上面的 mesh(X,Y,Z)mesh(X,Y,Z) 换成换成 surf(X,Y,Z), surf(X,Y,Z), 则运行后得则运行后得 : :

表面图 表面图

第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图 §4.2 §4.2 三维图形的绘制 三维图形的绘制

例例 4.2.34.2.3. . 曲面 曲面 解解 : : 在在 MATLABMATLAB 的命令窗口输入如下命令的命令窗口输入如下命令 : :

2 2( )e x yz x 的图形的图形 . .

ezsurf('x*exp(-x^2-y^2)') 运行后得 :

第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图 §4.2 §4.2 三维图形的绘制 三维图形的绘制

第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图 §4.2 §4.2 三维图形的绘制 三维图形的绘制

三三 . . 特殊曲面的绘制特殊曲面的绘制 对于空间曲面对于空间曲面 FF((xx, , yy, , zz) = 0) = 0 ，，我们通常采用平行截面法来认识该曲面的特性我们通常采用平行截面法来认识该曲面的特性 . . 即用平行于坐标面的平面去“截”该曲面即用平行于坐标面的平面去“截”该曲面 , , 通过研究交线的性质来充分认识曲面的性质通过研究交线的性质来充分认识曲面的性质 . .

例例 4.2.44.2.4. . 绘制马鞍面绘制马鞍面 zz = = xx22 yy22 的图形的图形 , , 并用 并用 平行截面法观察马鞍面的特点平行截面法观察马鞍面的特点 . .

解解 : : 在在 MATLABMATLAB 的命令窗口输入如下命令的命令窗口输入如下命令 : :

edit edit %% 新建一个新建一个 MM 文件文件

第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图 §4.2 §4.2 三维图形的绘制 三维图形的绘制

或者点击或者点击 MATLABMATLAB 的菜单栏的“的菜单栏的“ file”file” 按钮按钮 , , 并从弹出的菜单中选择“并从弹出的菜单中选择“ new”, new”, 然后从其子 然后从其子 菜单中选择“菜单中选择“ M-File. M-File.

第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图 §4.2 §4.2 三维图形的绘制 三维图形的绘制

还可以直接点击还可以直接点击 MATLABMATLAB 的工具栏的“的工具栏的“”按 ”按 钮钮 , , 新建一个新建一个 MM 文件文件 . .

MATLABMATLAB 会弹出一个会弹出一个 MM 文件编辑器 文件编辑器 . .

第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图 §4.2 §4.2 三维图形的绘制 三维图形的绘制

在在 MM 文件中输入如下命令文件中输入如下命令 : :

x = -4:0.1:4; y = x; x = -4:0.1:4; y = x; %% 设置设置 xx 的取值范围和取点间距的取值范围和取点间距 [X,Y]=meshgrid(x,y); [X,Y]=meshgrid(x,y); %% 用用 xx 和和 yy 产生“格点”矩阵产生“格点”矩阵 Z = X.^2-Y.^2; Z = X.^2-Y.^2; %% 计算“格点”矩阵的每个“格点”上的函数值 计算“格点”矩阵的每个“格点”上的函数值 ix = find(X==2); ix = find(X==2); %%找到找到 xx 坐标坐标 =2=2 的点的位置 的点的位置 px = 2px = 2**ones(1,length(ix)); ones(1,length(ix)); %“%“ 截痕”上的点的截痕”上的点的 xx 坐标 坐标 py = Y(ix); py = Y(ix); %“%“ 截痕”上的点的截痕”上的点的 yy 坐标坐标 pz = Z(ix); pz = Z(ix); %“%“ 截痕”上的点的截痕”上的点的 zz 坐标 坐标 subplot(1,2,1) subplot(1,2,1) %% 把图形窗口分成把图形窗口分成 11 行行 22 列列 ,, 在第在第 11 块里建坐标系 块里建坐标系 hold on hold on %%保留当前的绘图和确定轴的性质保留当前的绘图和确定轴的性质 mesh(X,Y,Z) mesh(X,Y,Z) %% 绘制网线图绘制网线图 plot3(px,py,pz,‘r plot3(px,py,pz,‘r **’) ’) %% 用红色的星号绘制截痕曲线用红色的星号绘制截痕曲线 subplot(1,2,2) subplot(1,2,2) %% 在第在第 22 个块里建立起坐标系 个块里建立起坐标系 plot3(px,py,pz) plot3(px,py,pz) %% 在第在第 22 个块里绘制“截痕”曲线个块里绘制“截痕”曲线

第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图 §4.2 §4.2 三维图形的绘制 三维图形的绘制

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运行运行 MM 文件 文件

第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图 §4.2 §4.2 三维图形的绘制 三维图形的绘制

从该马鞍面的正上方俯视的效果从该马鞍面的正上方俯视的效果

三维旋转工具三维旋转工具

第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图 §4.2 §4.2 三维图形的绘制 三维图形的绘制

第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图 §4.2 §4.2 三维图形的绘制 三维图形的绘制

四四 . . 精细绘制特殊的曲面精细绘制特殊的曲面 例例 4.2.54.2.5. . 绘制旋转抛物面绘制旋转抛物面 zz = = xx22 + + yy22 的图形的图形 . .

解解 : (: ( 粗糙绘制粗糙绘制 ) )

在在 MATLABMATLAB 的命令窗口输入如下命令：的命令窗口输入如下命令：x = -2:0.1:4; y = x; x = -2:0.1:4; y = x; %% 设置设置 xx 的取值范围和取点间距的取值范围和取点间距[X,Y]=meshgrid(x,y); [X,Y]=meshgrid(x,y); %% 用用 xx 和和 yy 产生“格点”矩阵产生“格点”矩阵Z = X.^2+Y.^2; Z = X.^2+Y.^2; %% 计算“格点”矩阵各“格点”上的计算“格点”矩阵各“格点”上的函数值函数值surf(X,Y,Z) surf(X,Y,Z) %% 绘制曲面 绘制曲面

运行后得运行后得 ::

第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图 §4.2 §4.2 三维图形的绘制 三维图形的绘制

(( 用三维旋转工具调整过角度用三维旋转工具调整过角度 ) )

第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图 §4.2 §4.2 三维图形的绘制 三维图形的绘制

(( 精细绘制精细绘制 ) )

在在 MATLABMATLAB 的命令窗口输入如下命令的命令窗口输入如下命令 : :

x = -2:0.01:4; y = x; x = -2:0.01:4; y = x; %% 设置设置 xx 的取值范围和取点间距 的取值范围和取点间距 [X,Y]=meshgrid(x,y); [X,Y]=meshgrid(x,y); %% 用用 xx 和和 yy 产生“格点”矩阵 产生“格点”矩阵 Z = X.^2+Y.^2; Z = X.^2+Y.^2; %% 计算“格点”矩阵的各“格点”上的函计算“格点”矩阵的各“格点”上的函数值 数值 ii = find(Z>4); ii = find(Z>4); %%找到找到 Z>4Z>4 的点 的点 Z(ii) = NaN; Z(ii) = NaN; %“%“镂空”镂空” Z>4Z>4 的点的点 (NaN=Not a Number(NaN=Not a Number 不是不是数数 ) )

mesh(X,Y,Z) mesh(X,Y,Z) %% 绘制曲面，这里用绘制曲面，这里用 meshmesh比用比用 surfsurf 效果好 效果好 运行后得运行后得 : :

第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图 §4.2 §4.2 三维图形的绘制 三维图形的绘制

第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图 §4.2 §4.2 三维图形的绘制 三维图形的绘制

也可以用下面的程序精细绘制上述旋转抛物 也可以用下面的程序精细绘制上述旋转抛物 面面 : :

>> z=0:0.01:4; >> z=0:0.01:4; %%设置设置 zz 的取值范围和取点间距 的取值范围和取点间距 >> y=sqrt(z); >> y=sqrt(z); %y=z^(1/2) %y=z^(1/2) >> [xb,yb,zb]=cylinder(y,100); >> [xb,yb,zb]=cylinder(y,100); %% 以以 yy 为半径产生“旋转面”上的点阵为半径产生“旋转面”上的点阵 , 100, 100 点点 //圈圈 >>mesh(xb,yb,zb) >>mesh(xb,yb,zb) %% 绘制曲面 绘制曲面

第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图 §4.2 §4.2 三维图形的绘制 三维图形的绘制

五五 . . 在同一个坐标系里绘制多个曲面在同一个坐标系里绘制多个曲面

例例 4.2.64.2.6. . 在同一个坐标系内观察三个平面在同一个坐标系内观察三个平面 : :

解解 : : 在在 MATLABMATLAB 的命令窗口输入如下命令的命令窗口输入如下命令 : :

11: : xx + + yy zz = 0; = 0;

22: 2: 2xx yy zz + 2 = 0; + 2 = 0;

33: : zz = 0 = 0

看它们是否交于一点看它们是否交于一点 . .

第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图 §4.2 §4.2 三维图形的绘制 三维图形的绘制

x=-20:1:20;y=x; x=-20:1:20;y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); [X,Y]=meshgrid(x,y); Z1=X+Y; Z1=X+Y; %% 平面平面 11 Z2=2*X-Y+2*ones(size(X)); Z2=2*X-Y+2*ones(size(X)); %% 平面平面 22 Z3=zeros(size(X)); Z3=zeros(size(X)); %% 平面平面 3 3 surf(X,Y,Z1),hold surf(X,Y,Z1),hold onon, mesh(X,Y,Z2),mesh(X,Y,Z3), mesh(X,Y,Z2),mesh(X,Y,Z3)

运行后得运行后得 : :

第四章 二维绘图和三维绘图 第四章 二维绘图和三维绘图 §4.2 §4.2 三维图形的绘制 三维图形的绘制

练 习练 习

实验实验 1. 1. 求解线性方程组求解线性方程组 内容内容 : 用 MATLAB 求解如下线性方程组 Ax = b, 1

2

3

4

5

6

7

8

bbbbbbbb

, b =

5 6 0 0 0 0 0 01 5 6 0 0 0 0 00 1 5 6 0 0 0 00 0 1 5 6 0 0 00 0 0 1 5 6 0 00 0 0 0 1 5 6 00 0 0 0 0 1 5 60 0 0 0 0 0 1 5

其中 A =

中的 8 个分量取自各人的学号 .

练习 练习 实验实验 1 1 求解线性方程组 求解线性方程组

如 : 某同学的学号为 02107656, 则该同学取 b = [0,2,1,0,7,6,5,6]T 做这个数学实验 .

目的目的 : 1. 了解 MATLAB 软件 , 学会 MATLAB 软件 的一些基本操作 .

2. 熟悉 MATLAB 软件的一些数值计算功能 .

要求要求 : 1. 用 3 种不同的方案做这个数学实验 . 2. 实验报告用 A4 纸打印 , 参考附录的

格式 .

3. 练习编写简单的 MATLAB 程序 .

练习 练习 实验实验 2 2 研究三个平面的位置关系 研究三个平面的位置关系

实验实验 2. 2. 研究三个平面的位置关系研究三个平面的位置关系 内容内容 : 用 MATLAB 研究下面的 3 个平面 1: x + y + z = 1

2: x + y = 2

3: 2x + t2z = t

当 t 取何值时交于一点 ?

当 t 取何值时交于一直线 ?

当 t 取何值时没有公共的交点 ?

练习 练习 实验实验 2 2 研究三个平面的位置关系 研究三个平面的位置关系

并在每一种情形下 , 用 MATLAB 在同一个坐标 系内绘制出这 3 个平面的图形 , 其中 , 没有公共的交点的情况 , 只要给 t 取一个 适当的值并绘制出相应的图形即可 ).

目的目的 : 1. 练习编写简单的 MATLAB 程序 .

2. 掌握用 MATLAB 软件绘制简单图形 的方法 .

要求要求 : 1. 实验报告中要附上所绘制的图形 . 2. 实验报告用 A4 纸打印 , 参考附录的

格式 .

附录 附录 实验报告参考模板 实验报告参考模板

...

实验实验 1. 1. 求解线性方程组求解线性方程组

实验内容实验内容 : 用 MATLAB 求解如下线性方程组…

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数学实验报告 学号 : ______, 姓名 : ______, 得分 : ______ ______

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