大学物理学电子教案

武警学院教学课件

刚体的转动 (2)

4-2 转动定律4-3 角动量 角动量守恒定律

复 习

刚体的概念刚体的运动——平动和转动描述刚体转动的物理量——角速度和角加速度

dt

d＝2

2

dt

d

dt

d ＝

力矩 FrM

转动定律 JM

转动惯量 dmrJ 2i

iirmJ 2＝

五、刚体定轴转动的转动定律的应用五、刚体定轴转动的转动定律的应用

题目类型已知两个物理量，求另一个：

1. 已知 J 和 M ，求2. 已知 J 和 ，求 M3. 已知 M 和 ，求 J

解题步骤1. 确定研究对象；2. 受力分析；3. 选择参考系与坐标系；4. 列运动方程；5. 解方程；6. 必要时进行讨论。

注意以下几点：1. 力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的；2. 要选定转轴的正方向，以便确定已知力矩或角加速度、角速度的正负；3. 系统中有转动和平动，

转动物体——转动定律平动物体——牛顿定律

4 － 2 力矩 转动定律 转动惯量（下）

例１、一个质量为 M 、半径为 R 的定滑轮上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为 m 的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体 m 由静止下落高度h 时的速度和此时滑轮的角速度。

解：

RamaTmgm : 1对

21 2

1 MRJJRTMM ＝＝＝：对

Mm

mgh

RR

v

2

41

2

42

Mm

mghahv

gMm

ma

2解方程得：

定轴 O·

R

t h

mv0=0绳

例 2 、一根长为 l 、质量为 m 的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对 O 的力矩。 棒上取质元 dm, 当棒处在下摆角时，重力矩为：

xdmggxdmM＝

XO

dmg

dm

x

CmgxM

据质心定义 cmxxdm

cos2

1lxc

cos2

1mglM

l

g

ml

mgl

J

M

2

cos3

31

cos21

2

d

d

dt

d

d

d

dt

d

ddl

gcos

2

3

00

cos2

3dd

l

g

2

2

1sin

2

3 l

g

l

g sin3

dd

再求角速度

XO

dmg

dm

x

例 3(4-15) 匀质圆盘的质量为 m ，半径为 R ，在水平桌面上绕其中心旋转，如图所示。设圆盘与桌面之间的摩擦系数为 μ ，求圆盘从以角速度 ω0 旋转到静止需要多少时间？ 解：以圆盘为研究对象，它受重力、桌面的支持力和摩擦力，前两个力对中心轴的力矩为零。 在圆盘上任取一个细圆环，半径为 r ，宽度为 dr ，整个圆环所受摩擦力矩等于圆环上各质点所受摩擦力矩之和。由于圆环上各个质点所受摩擦力矩的力臂都相等，力矩的方向都相同，若取 ω0 的方向为正方向，则整个圆环所受的力矩为

grdmdM

22

22

R

mrdrrdr

R

mdSdm

drR

rmgdM 2

2

2

整个圆盘所受的力矩为

mgRdrR

rmgM

R

3

22

02

2

根据转动定律，得

R

g

mR

mgR

J

M

3

4

2132

2

角加速度为常量，且与 ω0 的方向相反，表明圆盘作匀减速转动

t 0

当圆盘停止转动时， ω=0 ，则得

g

Rt

4

3 00

4 － 3 角动量 角动量守恒定律一、质点的角动量定理和角动量守恒定律一、质点的角动量定理和角动量守恒定律

1 、质点的角动量m

o r

PL

θ

vmrPrL 大小： L ＝ rmvsin

方向：右手螺旋定则判定

单位： kgm2/s 量纲： ML2T-1

质点质量 m ，速度 v ，位置矢量为 r ，定义质点对坐标原点 O 的角动量 L 为该质点的位置矢量与动量的矢量积

说明•角动量是物理学的基本概念之一。•角动量与质点的运动和参考点有关。•作圆周运动的质点的角动量

L ＝ mrv

•质点作匀速直线运动时，质点的角动量 L 保持不变。

P L

ro

2 、质点的角动量定理设质点的质量为 m ，在合力 F 的作用下，运动方程

dt

vmdF

dt

vmdrFr

vmdt

rdvm

dt

drvmr

dt

d

考虑到

0 vvvdt

rd

得 vmr

dt

dFr

LddtM

dt

LdM

＝

所以

Mdt 叫作冲量矩

12

2

1

LLdtMt

t

质点的角动量定理：对同一参考点，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。成立条件：惯性系

3 、质点的角动量守恒定律若质点所受的合外力矩为零，即 M=0 ，

＝恒矢量＝ vmrL

角动量守恒定律：当质点所受的对参考点的合外力矩为零时，质点对该参考点的角动量为一恒矢量。

两种情况：a 、质点所受的外力为零

b 、外力不为零，合力矩为零

特例：•在向心力的作用下，质点对力心的角动量都是守恒的

•匀速直线运动。

rL

v

二、刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律二、刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律1 、刚体定轴转动的角动量

刚体上的一个质元 ,绕固定轴做圆周运动角动量为：

2iii rmL 所以刚体绕此轴的角动量为：

)( 2 i

iii

i rmLL

刚体对固定转动轴的角动量 L, 等于它对该轴的转动惯量和角速度的乘积。

JL mi

o

oL

ri

vi

2 、刚体定轴转动的角动量定理

由转动定律 dt

LdM

得 LddtM

积分得0

00

LLLddtML

L

t

t

当转动惯量一定时0

0

JJdtM

t

t

－

当转动惯量变化时 00 0

JJdtM

t

t

－

刚体的角动量定理：当转轴给定时，作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量。

3 、刚体定轴转动的角动量守恒定律若刚体所受的合外力矩为零，即 M=0

＝恒矢量J

角动量守恒定律：当刚体所受的的合外力矩为零，或者不受合外力的作用，则刚体的角动量保持不变。

讨论：分两种情况：1) 如果转动惯量不变，刚体作匀速转动；2) 如果转动惯量发生改变，则刚体的角速度随转动惯量也发生变化，但二者的乘积不变。当转动惯量变大时，角速度变小；当转动惯量变小时，角速度变大。

•花样滑冰运动员的旋转表演

跳水运动员

茹可夫斯基凳

直升飞机

例 1 、如图所示 , 一质量为 m 的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端 ,穿出后速度损失 3/4, 求子弹穿出后棒的角速度。已知棒长为 l, 质量为 M 。

v0 vm

M

解 :以 f 代表棒对子弹的阻力 , 对子弹有 :

00 4

3)( mvvvmfdt

子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为：

Jdtflldtf

因 f ’= - f由两式得

200

3

1

4

9

4

3MlJ

Ml

mv

J

lmv 这里

例 2 、如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量 m 与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度 h0，令它自静止状态下垂 ,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度 h 。

chc

h’h=3h0/2

ba

m

l

ho

l

解 : 碰撞前单摆摆锤的速度为

00 2ghv

令碰撞后直杆的角速度为，摆锤的速度为 v ＇。由角动量守恒，有

在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的 :

l

vvv

2

3,

200 二式联立解得：

20 3

1,)( mlJJvvml 式中

2220 2

1)(

2

1 Jvvm

按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度显然为 40h

h

而杆的质心达到的高度满足cmghJ 2

2

1

2

32 0h

hh c 由此得

小结•刚体转动惯量的计算•刚体定轴转动的转动定律的应用•质点的角动量•刚体的角动量

作业：思考题：

P148 5 ， 6 ， 9 ， 10

习 题： P149 16 ， 20 ， 22 ，24

预 习： 4-4 ， 4-5 ， 4-6