第 28 頁  

八、相對論

1. 古典運動觀：

(a) Aristotle（亞里斯多德）：

a. 自然運動－與物質的本質有關

(1) 每個物體都有一個適合的位置

(2) 越重的物體，掉落的速度越快

b. 外力運動－必須有一個拉力或推力

(b) Galileo（伽利略）：

a. 由觀察和實驗得到結果

b. 斜面實驗（Inclined Plane）：

(1) 發現摩擦力（Friction）。

(2) 物體抗拒改變的能力稱為慣性

（Inertia），可由質量獲得。

(c) Newton（牛頓）：

牛頓三大運動定律中的慣性定律。

(d) Galileo：

a. 古典機械觀的定律在所有慣性坐標系中都是不變的。（The laws of

classical mechanics are invariant in all inertial reference frames.）

b. Galilean velocity transformation：

Galilean Transformation：

(1) 有( ‘ )的架構（Frame）以相對於原架構v的速度移動。

(2) 於t 0時，兩個框架重疊。

(3) 伽利略轉換：以移動的座標來形容固定的座標。

第 29 頁  

位置 --------

速度

加速度

※參考框架與固定框架中的觀測者量測到的加速度相同（ .）

2. 對伽利略轉換（Galileo Transformation）的挑戰：

a. Maxwell的電磁波方程式在此種坐標系下是會改變的（Not Invariant）。

b. 在真空空間中，於所有坐標系下，光速為定值。

c. 為了解釋上述兩項情形，Maxwell提出了乙太（ether）作為光介質的概念

→在1887年的邁可森干涉實驗中，並無任何介質的現象產生。

◎儀器：Michelson Interferometer（邁可森干涉儀）

◎結果：沒有乙太出現的跡象。

◎證明：沒有偵測到地球相對於乙太的運動。

3. 狹義相對論的兩大基本假設：

a. 相對論的定律（The Principle of Relativity）：

所有物理定律在任何坐標系下都適用，即物理定律皆有相同的數學形式

b. 光速為定值（The universal speed of light）：

在任何坐標系下，真空時的光速皆為c = 3.00 x 108 m/s。

(1) 存在於第一假設之下，並藉由實驗證明

(2) 解釋了邁可森實驗的錯誤結果

(3) 相對論在測量光速上是不重要的

(4) 對於常識的時空觀必須有所改變

第 30 頁  

4. 勞倫茲轉換（Lorentz Transformation）：

The Lorentz Transformaiton

) (1)

(2)

且

(3)

→推導過程：

a. 由第一假設：物理定律皆有相同的數學形式

(a) 對S’座標：

對S座標： γ

(b) 將(1)帶入(2)中，可得： γ

整理後得： 1

－(1)

－(2)

－(3)

b. 由第二假設：光速恆為定值

對S’座標：

對S座標： x ct

－(4)

－(5)

c. 利用上述五個方程式推導：

將方程式(3)帶入(4)： 1

又因為由方程式(5) 得： x ct 且， t

故可以得到： 1

展開前項的 並消掉 1

兩邊消去 ，並同除 1 1

1

兩邊移項得： γ

1

1

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5. 勞倫茲轉換的解釋：

對 S 座標

γ

對 S’座標

a. 依據相對的觀念：S’以相對 S 的速度v ，則 S 以 v 的速度對 S’運動

b. 上述的 8 條方程式中只有四條是獨立的。

c. 在t 0時，兩座標系是完全相等（四維空間全部向度）。

d. 勞倫茲轉換在速度很小（v<<c）的時候即為伽利略轉換。

e. 速度 v 無法超越光速，否則γ會變為無限大（或複數）。

f. 兩坐標系的時刻不同（t ），代表的是如果觀察者 O 在兩事件中量

測了時間差∆t，則一般而言，O’會於兩事件之間量測到另一個∆t 。

g. 如果兩個事件對於 O 而言是「同時性」，則對 O’而言不一定為同時。

6. 愛因斯坦的速度加成規則（Einstein’s velocity addition Rule）

a. 轉換在慣性坐標系中量測的速度(u)至在移動坐標系中的速度（v），產

生新的相對速度(u’)。

b. 對 A 而言，物體 C 的運動速度為：ux；對 B 而言，則為 u’

且： ′

1 ′ ′

1

c. 證明：假設一個在慣性坐標系中的物質於 dt 時間內移動了 dx：

對移動坐標系(S’)而言，它於時間 dt γ dt

移動了 dx γ dx vdt 的距離。

由上述兩式： γ dx vdt

γ dt 1 1

dy

γ dt 1 1

※註：y 和 z 軸雖然位置不變，但因時間改變而產生了坐標系速度。

C

第 32 頁  

7. Gamma 因子（ Factor）

a. 產生空間壓縮（Length Contraction）及時

間延遲（time dilation）的現象。

b. 速度極小的狀態，此效應不顯著。

c. 在速度接近光速時，此效應大幅增加。

8. 相對論的幾何觀

a. 時間視為第四維度（Fourth Dimension）：

dt γ dt 若速度相對小，勞倫茲轉換接近伽利略轉換。

γ 1 ⇒ x x vt ，且∆ ∆

b. 即時性的相對性（The Relativity of Simultaniety）：

◎當∆t 0時， ∆t γ ∆

◎在一的系統中具有同時性時，在另一個系統中必定缺乏此同時性。

※實驗證明－閃電打火車

 

a. 兩束光線同時間抵達Ｏ。因此，觀察者 O 認為兩束光線穿越相

同距離，並同時擊中火車。

b. 在光線抵達 O 之前，火車上的人 O’已經移動了。

c. 對於火車上的人而言，於火車前端的光線較後端的光線提早遇

到，又因為光速恆定，所以火車上的觀察者會認為前面的閃電

先發生。

d. 上述兩種說法都對，因為各處於不同的坐標系中。

第 33 頁  

c. 時間膨脹（Time Dilation）

◎條件：兩事件必須發生同一點上，對靜止坐標系的觀察者而言。

◎對火車上的觀察者而言， ∆t2

對地上的觀察者而言， ∆t

2∆2

則我們得到－ ∆t

2 1

1 /∆ ′

於此， ∆t ∆ ′ ，∆ ′，proper time = 移動座標系的時間

∆t γ ∆ ∆ ′ ∆x 0 ⇒ ∆t γ∆t γτ

為 Proper Time，在同一地、兩事件間於靜止坐標系測得的時間

※實驗證明－渺子的運動（詳情請見後）

a. 渺子難以穿透大氣層，然而，卻在意面能接受到許多粒子

b. 渺子的半衰期只有 1.56 微秒，在穿透的過程，因為期接近光

速，導致相對性的時間膨脹，使其穿透較長的距離。

第 34 頁  

d. 空間（勞倫茲）壓縮（Lorentz Contraction）

◎在移動坐標系中運動的方向上會有收縮的情形發生。

◎移動座標系上的觀察者而言， ∆t 2∆ ′

－(1)

靜止座標系上的觀察者而言， ∆∆ ∆

∆∆ ∆

→由上式得： ∆∆

以及， ∆∆

◎來回的時間總合為 ∆t ∆ ∆ 2∆ 1

1 /

且依據勞倫茲收縮 ∆t∆tγ

1 / ∆ －(2)

合併(1)和(2)， ∆t 2∆ ′

2∆ 1

1 /1 /

最後可以得： ∆∆

1 /∆

◎在移動坐標系中， 。在初始時間∆t 0時，∆ ∆ 。

※實驗證明－渺子的運動（詳情請見後）

a. 渺子難以穿透大氣層，然而，卻在地面能接受到許多粒子

b. 渺子的半衰期只有 1.56 微秒，在穿透的過程，因為期接近光速，導

致相對性的時間膨脹，使其穿透較長的距離。

第 35 頁  

9. 四維向量（Four Vectors）及其不變量

Review：三維空間的不變量

從不同坐標系中觀看此向量，三軸的分量

皆會有所改變。

唯一恆定不變的是 ∙ （棒長的平方）

∙ | | | | | | | |

◎定義 ≡ 且 β ≡ ⁄ 一公尺 表示光在真空行進一公尺的時間

若 ， ， ，

則根據勞倫茲轉換解讀：

′

以矩陣方式表達，則為：

′

0 00 0

0 0 1 00 0 0 1

最後，簡化矩陣得：

註 1：⋀稱為勞倫茲轉換矩陣

（Lorentz Transformation Matrix）

註 2：μ－行；ν－列

◎由上述結果出發： 我們定義四向量（four-vector）為任何在勞倫茲轉

換下，遵守（ , , , ）的規則。

及

※依據矩陣規則，我們得出，此四維向量的內積在勞倫茲轉換下是定值。

T

 x

z

y

第 36 頁  

◎定義 為「同變向量」（Covariant），與 「反變向量」（Cotravariant）不同。

兩者的差異在於第零項的符號不同： , , , ≡ , , ,

上述向量的內積現在可以寫作： ，簡單表示為：

導出：

◎不變量的間距（The invariant interval）

假設事件 A 發生於 , , , ，且事件 B 發生於 , , ,

兩者的區間∆ ≡ 稱為四維向量的位移。

於此，∆t為兩事件的經過的時間，d 為兩事件的空間差異。

◎方程式的意義：

a. 兩事件的恆定區間 I ≡ ∆ ∆ C ∆

b. 在勞倫茲轉換中，A、B 兩事件的位置與時間皆不相同，但恆定區間

（Invariant Interval, I）恆為定值。

c. 三種情形：

Interval Interpretation

I < 0 Time-like 兩事件於同地點發生（d=0）

只有時間上的差異

I = 0 Light-like 兩事件的傳遞以光速進行

I > 0 Space-like 兩事件於同時間發生（t=0）

只有空間上的差異

第 37 頁  

10. 相對論的效應及其實驗

a. Muon’s Experiment

(a) 資訊與基本理論假設：

(1) 大氣層高度 10km(=104m)

(2) 渺子的速度：0.98C

渺子的半衰期 T0：1.56 10-6s

渺子的質量：207me

(3) 運動穿越大氣層所需要的時間：

T=104/(0.98)(3x108)=21.8T0

→存活率：0.3 out of 1,000,000

(b) 在地球坐標系中的觀察者：

(1) 大氣層高度 10km(=104m)

(2) 於地面測得的渺子含量為：49,000 out of 1,000,000

(3) 由此可知，其存活的時間約為：34 10-6 s =4.36To

(4) 根據的半衰期以及現存粒子數，

渺子任為只過了 4.36To，

但是地球上的觀察者卻認為，已經過了 21.8T0

(5) 因此，Tearth=5 Tmuon

渺子的時間膨脹了（單位時間可行距離變大了）

→Time Dilation

(c) 在渺子座標系的觀察者：

(1) 對渺子而言，如上所述，認為自己只跑了 4.36To，

但這個時間以它的速度卻只能跑 2000 公尺。換句

話說，渺子的距離比地球座標系上的距離要小。

(2) 因此，我們可以說，渺子的空間被壓縮了

→Space (Lorentz) Contracted

(d) 實驗結果：

第 38 頁  

b. 光線的都卜勒效應（Doppler Effect in Light）

(a) 令 T 為電磁波在靜止座標系(S)上的周期（Proper Time）。

(b) 橫向（Transverse）都卜勒效應

◎公式：

11 Ps. 我們令 β ≡

◎解釋：

(1) 永遠比 還要小（0 β 1），因此會造成紅移現象。

(2) 都卜勒效應的最根本原因在於「時間膨脹」（Time Dilation），完全在

於相對論之中提到的原理所造成的影響。

(c) 縱向（Longitudinal）都卜勒效應

◎公式：

(1)  如果光源遠離觀察者： 

 

(2) 如果光源移近觀察者：

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c. The Twin Paradox:

(a) 狹義相對論指出物理現象對慣

性坐標系中的觀測者（沒有加

速運動）才具有同等意義，沒

有任何一個參考系（frame of

reference）是會獲得優待的。

(b) 換句話說，火箭是在非慣性坐標系上（會加速），故不一定有等同的觀測。

(c) 留在地球上的兄弟在整個航程中都是在慣性坐標系。

→可從時空區間（spacetime interval）中的世界線（world lines）計算。

(d) 故搭乘火箭回來的兄弟仍然會比較年輕。

相似的實驗 c-1: The bug-Rivet Paradox

※觀念：相對性的「同時性」（Simultaneity）在參考坐標系中看似是同時間發

生，但並不表示在運動坐標系中看到的是同一個時間。

參考

坐標 交互影響的觀察者（皆位於慣性坐標系中）

活塞

活塞時空：進入洞口時間 t’=0

右端觸碰到牆 t’=29.63ps 左端觸碰到底 t’=16.14ps （勞倫茲收縮）

在右端觸碰牆之前，左端已經碰到底部，故蟲子會被壓扁。

蟲子時空：進入洞口時間 t=0

右端觸碰到牆 t = γ(t'+vx'/c2) = 12.9 ps 左端碰觸到底 t = 37.04 ps

對蟲子而言，右端碰到牆在左端碰到底之前，故我不會被壓扁。

蟲子

活塞時空：

右端觸碰到牆 t' = γ(12.9 ps) = 29.63 ps    

左端觸碰到底 t' =γ(37.04 ps ‐ .9c(.01)/c2) = 16.14 ps.

在右端觸碰牆之前，左端已經碰到底部，故蟲子會被壓扁。

蟲子時空：進入洞口時間 t=0

右端觸碰到牆 t = γ(t'+vx'/c2) = 0.8 cm/0.9cγ = 12.91 ps

對蟲子而言，右端碰到牆在左端碰到底之前，故我不會被壓扁。