الاحصاء

1430هـ ــ 1431هـ

2009م ــ 2010م

اسم الطالب : ......................................................................................

الـمــدرســـــــة : ......................................................................................

رقــــــم الإيـــــــــداع : 14٢7/379٢

ردمك : 1 - ٢4٢ - 48 - 9960

م

20

10

-م

20

09

/هـ

14

31

-هـ

14

30

ة

نيثا

ل ا

ةع

بط

ل ا

)ك

رت�ش

املج

منا

ربل)ا

ي و

انلث

ام

يعل

لت ا

ل

ماحت

االء و

صاإلح

ا

)البرنامج الم�شترك(

تعديل وتطوير

اإلحصـاء و

االحـتمـال)البـرنـامـج الم�شتـرك(

نـــور بنت �شعيد عــــلي باقــــادر

لجنة المراجعة

ثـــــــامـــــر بن حـــــمـــد العـيــــ�شــــى

نجوى بنت رجب محمد ال�شواابت�شام بنت �شعيد عمر من�شي

�شلمى بنت عبود محمد بايزيدلمــــياء بنت عبداهلل يحيى خان

ـــم �شــــــامــــي بــن اأحــــمـــــــد رحــيـــ

الطبـاعـــة

مـهـا بنـت عـبـدالعزيـز القـديـراإيـمـــــان بـنـت عـبـداللـه القثمي

الطبعة الثانية

1430 ـــ 1431 هـ

2009 ـــ 2010م

اأ�شرف على الت�شميم الفني والتعليمي

اأ. محمد بن عبد اهلل الب�شي�ص

اأ�شرف على الطباعة والتوزيع

الإدارة العامة للمقررات المدر�سية

وزارة التربية والتعليم ، 1427 هـ

له��ذا الكتاب قيم��ة مهمة وفائدة كبي��رة فحافظ عليه واجع��ل نظافته ت�شهد على

ح�شن �شلوكك معه .

اإذا ل��م تحتفظ بهذا الكتاب في مكتبتك الخا�شة في اآخر العام لال�شتفادة فاجعل

مكتبة مدر�شتك تحتفظ به .

وزارة التربية والتعليمموقع

www.moe.gov.sa

البوابة التعليمية للتخطيط والتطوير موقع

http://www.ed.edu.sa

اإدارة التعليم الثانويموقع

www.hs.gov.sa

البريد الإلكتروني لإدارة التعليم الثانوي

[email protected]

حقوق الطبع والن�شر محفوظة لوزارة التربية والتعليم � المملكة العربية ال�شعودية

فهر�شة مكتبة الملك فهد الوطنية اأثناء الن�شر

وزارة التربية والتعليم

اإح�شاء واحتمال )التعليم الثانوي( -1 الريا�ص ، 1427هـ

220�ص . x 27 21 �شم

ردمك :9960-48-242-1

-1 االح�شاء الريا�شي-كتب مدر�شية-2االحتماالت)الريا�شيات(-كتب درا�شية

-3 التعليم الثانوي-ال�شعودية-كتب درا�شية

العنوان

ديوي 519،712 1427/3792

رقم االإيداع : 1427/3792

ردمك : 9960-48-242-1

االإح�شاءاالإح�شاء3

د �لمر�صـليـــن، وعلى �آله و�صحبه �أجـمعين، ومن رب �لعالميـــن، و �ل�صـالة و�ل�صـالم على �صـي �لحمـــد هلل

تبعهم باإح�صـان �إلى يوم �لدين وبعد ...

ـيا لخطط هـــذ� كتـــاب �الإح�صاء و�الحتمال في نظام �لمقرر�ت بالتعليم �لثانوي �لذي ناأمل �أن يجيء ملب

ة ومتفقا مـــع تطلعاتـها في �إخر�ج جيل قادر على ـة �ل�صـعودي �لتنميـــة �لطموحة �لتي تعي�صـهـــا �لمملكـة �لعربي

مو�كبة �لع�صر ومتم�صـيا مع �لنه�صة �لتي تحياهـا، كل ذلك وفق �أهد�ف و�صـيا�صـة �لتعليم فيهـا.

ة الآتية : ولقد ��صـتند في تنظيم محتوى هذ� �لكتاب على المنطلقـات العام

ة للطالب. �لحـاجات �الأ�صـا�صـي

ات. طر�ئق تعليم وتعلم �لريا�صيـ

. �أ�صـاليب �لتفكير �لريا�صي

ة. ـات ومهار�ت وم�صـائل ريا�صي ة �لبناء �لريا�صي من مفهومات وم�صطلحـات وخو�رزمي نوعي

ـة. ـات و �الإح�صاء في �لحياة �لعملي �أوجه ��صـتخد�مات �لريا�صي

وتبرز مالمح الكتاب في التالي:

ة و�أهد�ف نظام ة للمـــاد 1- �النطـــالق فـــي تنظيـــم منهــــاج �الإح�صاء و�الحتمال مـــن �الأهـــد�ف �لعام

بـــاع �أ�صـاليب وطر�ئق ت�صـتند �لمقـــرر�ت بالتعليم �لثانوي، بما يتالءم وخ�صائ�ص نـمو �لطالب بات

�إلى نظريات �لتعلم �لمختلفة.

ـــات ... وتمييزها 2- روعـــي فـــي عر�ـــص �لمو�صوعات �إبـــر�ز �لمفهومـــات و�لمبادئ �لعلميـــة و�لنظري

و��صـتخد�مها في مو�قف تعليمية مختلفة بما يعين على تعميق معناها لدى �لطالب.

3- �الهتمام ببرهان �لحقائق و�لنظريات، ومر�عاة �لتو�زن بين �لمفهومات و�لمهار�ت.

4- توظيف �أ�صاليب �لتفكير �لعلمي في �لبحث و�ال�صتق�صاء و�لو�صول �إلى �ال�صتنتاجات و�لقر�ر�ت وحل

�لم�صكالت.

ق في ذلك 5- �ال�صتمـــر�ر فـــي تعزيز بناء �لمفهومات باال�صتناد �إلى معلومات �لطالب �ل�صابقة مع �لتعم

بمـــا يتفـــق وطبيعة �لمرحلـــة و�إي�صاح كل مفهوم من خـــالل �أمثلة متنوعة؛ لم�صاعـــدة �لطالب على

. �لتعلم �لذ�تي

ة 6- �إبـــر�ز جهـــود علمـــاء �لريا�صيات �لعـــرب و�لم�صـلمين و�أثرهم فـــي بناء وتطوير �لعلـــوم �لريا�صي

وتطبيقاتـها.

لجنـة الت�أليف

م ل��ه في المواد ��ة والإح�صائي��ة ببيئة الطال��ب وبالمفهومات التي تقد 7- رب��ط المفهوم��ات الريا�صي

دة. ة المتعد الأخرى، وتوظي�فها من خالل التطبيقات الحياتي

8- ت�صمين المحت�وى مجم�وعة كافية من الأمث�لة والتدريب�ات تعقب كل معلومة ريا�صية.

عة في ن�هاية كل وحدة، اإ�ص�افة اإلى التمارين التي تلي ة متن�و 9- اإثراء المحت�وى بمجموعة تم�ارين عام

ة التعلم. كل در�س؛ لتثب�يت الحق�ائق والمه�ارات وتاأكي�د ا�ص�تمراري

10- ا�صتخدام الآلة الحا�صبة كلما اأمكن ذلك.

نه��ا محت��وى كل وحدة من الوح��دات وذلك في ��ات ... الت��ي ت�صم 11- تلخي��س المفهوم��ات والنظري

ن�هايته.

ة لبع�س التمارين لكل وحدة ب�هدف تقويم الطالب لنف�ص�ه ذات�يا. 12- اإدراج قائمة بالإجابات النهائي

ة لكل وحدة من وحدات الكتاب في بدايت�ها. 13- اإدراج الأهداف التعليم�ي

��ة كلما دعت الحاجة ة والأ�ص��كال في تو�صيح المفهومات الريا�صي 14- ال�صتعان��ة بالر�ص��وم التو�صيحي

لذلك.

� يلي: ولقد ا�سـتفيد حين اإعداد الكت�ب مم

ة للمناهج ة الريا�صيات في المقررات بالتعلي��م الثانوي الجديد من الإدارة العام 1- تو�صي��ف منهج ماد

بالتطوير التربوي بوزارة التربية والتعليم.

ة ��ة، وبع�س الدول العربي رات الريا�صيات والإح�صاء ب��دول مجل�س التعاون لدول الخليج العربي 2- مق��ر

وغير العربية.

هذا ويقع الكت�ب في ثالث وحدات وهي:

2- الحتمال . 3- الإح�صاء . 1- الح�صاب التوافقي ونظرية ذات الحدين.

ق هذا الكتاب الأهداف الماأمولة له. نا لنرجو التوفيق وال�ص�داد من اهلل - تعالى - واأن يح�ق و اإ ن

الإح�س�ءالإح�س�ء

واهلل من وراء الق�صد.

)1-1( مبداأ العد

)1-2( التباديل والتوافيق

)1-3( رمز املجموع

ين )1-4( نظرية ذات احلد

اخلال�شة

متارين عامة

الوحدة الح�ساب التوافقي ونظرية ذات الحدين

الأولى

)2-1( ف�شاء العينة والحوادث

)2-2( نظريات االحتمال

اخلال�شة


الحتمال الوحدة

الثانية

10

16

41

46

55

57

64

79

100

102

االإح�شاء واالحتمال

مقدمة

)3-1( الجداول التكرارية

)3-2( التمثيل البياين للتوزيعات التكرارية

)3-3( مقايي�ص النـزعة املركزية

)3-4( االنحراف املعياري

)3-5( االرتباط

)3-6( الدرجة املعيارية

اخلال�شة


الإح�ساء الوحدة

الثالثة

108

111

127

137

166

179

193

201

203

الدرو�س

احل�ساب التوافقي

ونظرية ذات احلدينالوحدة

الأولى

ج��اء ف��ي مخطوط��ة " الباه��ر ف��ي

الجب��ر" لل�شموؤال المغرب��ي المتوفى

معام��الت مثل��ث اأن 570ه�� شن��ة

نظري��ة ذات الحدين يجب اأن ين�شب

ل�شاحبه العالم الم�شلم الفذ اأبو بكر

محمد ب��ن الحا�شب الكوفي المتوفى

ف��ي بغ��داد �شن��ة 421ه� ولي��ص كما

ي�شميه الغ��رب مثلث با�ش��كال ن�شبة

اإل��ى العال��م الفرن�شي بلي��ز با�شكال

)1032-1073م(

)1-1( مبداأ العد

)1-2( التباديل والتوافيق

ين )1-4( نظرية ذات الحد

)1-3( رمز المجموع

Combinatorics and Binomial Theorm

فاع مو�شوعة نوابغ العرب والم�شلمين في العلوم الريا�شية - د. علي الد

الأهداف

يتوقع من الطالب بعد درا�شـة هذه

الوحدة اأن يكون قادرا على اأن :

م�شائل ويحل العد مبداأ ف يتعر -1

تطبيقية عليه.

طبيعي عدد م�شروب مفهوم ف يتعر -2

وخ�شائ�شه.

والفرق والتوافيق التباديل ف يعر -3

بينهما.

اأو جبرية مقادير مجاميع �شيغ يكتب -6

ح�شابية با�شتخدام رمز المجموع.

الإيجاد الحدين ذات نظرية ي�شتخدم -7

ين. ة لمقدار ذي حد مفكوك قو

العنا�شر من توافيق عدد يوجد -5

ماأخوذة راء راء في كل مرة.

العنا�شر من تباديل عدد يوجد -4

ماأخوذة راء راء في كل مرة.

فاع مو�شوعة نوابغ العرب والم�شلمين في العلوم الريا�شية - د. علي الد

10االإح�شاء واالحتمال

الوحدة

االأولى

1-1

نواج��ه ف��ي حياتن��ا الكثي��ر م��ن

علين��ا يفر��ص الت��ي المواق��ف

فيها االختي��ار من بي��ن مجموعة

��رة و�شنتناول في اختي��ارات متوف

هذا الدر�ص اإحدى الطرق المفيدة

ف��ي ح�شاب عدد الط��رق الممكنة

الإجراء اختيار ما.

بكم طريقة يمكن اختيار رئي�ص ونائب له

ن لمجل��ص اإدارة اإحدى ال�ش��ركات المكو

م��ن اأربع��ة اأع�ش��اء : عم��ر ، عبداهلل ،

ح�شين ، اأحم�د ؟

مثال )1-1(

مـبــداأ العــد

Principle of Counting

االإح�شاء واالحتمال11

الحل

مبداأ العد

االختيارات الممكنة للرئي�ص ونائبهعملية اختيار نائب الرئي�صعملية اختيار الرئي�ص

نبداأ بعملية اختيار رئي�ص:

هن��اك اأربع اإمكانيات الختيار الرئي�ص، فيمك��ن اأن يكون الرئي�ص عمر اأو عبداهلل اأو ح�شين اأو

اأحم�د.

ويلي ذلك عملية اختيار نائب للرئي�ص:

ف��ي حالة اختي��ار اأحد االأع�شاء رئي�شا وليكن عمر - مثـــال- ، يبقى ثالثة اأع�شاء لنختار من

بينهم نائبا للرئي�ص، فيمكن اأن يكون نائب الرئي�ص عبداهلل اأو ح�شين اأو اأحمد، اأي اأنه توجد

ثالث طرق مختلفة الختيار نائب الرئي�ص لكل طريقة من الطرق االأربع الختيار الرئي�ص.

اإذا عدد الطرق الممكنة الختيار الرئي�ص ونائب له = 4 × 3 = 12 طريقة .

ح ذلك: والمخطط ال�شجري التالي يو�ش

عـــــــمر

عبد اهلل

ح�شـــين

اأحمـــد

ع�م��ر و عبداهلل

ع�م��ر و ح�شي��ن

اأحم��د و ع�م��ر

عب��داهلل و ع�مر

عبداهلل وح�شين

عبداهلل و اأحم�د

ع�م��ر و ح�شي��ن

ح�شين و عبداهلل

اأحم�د و ح�شي��ن

ع�م��ر و اأحم��د

عبداهلل و اأحم�د

ح�شين و اأحم��د

عبداهلل

ح�شين

اأحم��د

ع�مر

ح�شين

اأحم�د

ع�مر

عبداهلل

اأحم�د

ع�مر

عبد اهلل

ح�شين


الوحدة

االأولى

اإذا كان هن��اك عدد ك من االإجراءات المتتالية بحيث يمك��ن اأن يتم االإجراء االأول بع��دد1

من الطرق، واالإجراء الثالث بعدد من الطرق ...

م��ن الط��رق واالإج��راء الثاني بعدد

وهك��ذا اإل��ى اأن ن�ش��ل اإلى االإجراء االأخير الذي يمكن اأن يتم بع��دد من الطرق، فاإن هذه

االإجراءات جميعها يمكن اأن تتم على التتابع بعدد من الطرق.12

يمك��ن الح�ش��ول على ع��دد االأنواع

بر�شم المخطط ال�شجري التالي:

حريرقطن�شوف

اأزرق اأحمر اأخ�شر

متر مترانمتر متران متر مترانمتر مترانمتر متران متر متران


متر مترانمتر متران متر متران


ال�سنف

اللون

العر�س

ينت��ج م�شن��ع لالأقم�شة ثالثة اأ�شناف: �شوف ، قط��ن ، حرير، ومن كل �شنف ينتج ثالث��ة األوان: اأزرق،

اأحم��ر ، اأخ�ش��ر، ومن كل �شنف ولكل لون ينتج قيا�شين للعر�ص: مترا ، مترين. اأوجد عدد االأنواع التي

ينتجها الم�شنع.

مثال )2-1(

الحل

2

اإذا عدد االأنواع التي ينتجها الم�شنع نوعا .

في المثالين ال�شابقين و اأ�شباههما من االأمثلة ن�شتطيع اأن نقبل م�شداقية المبداأ االآتي والذي

. يه مبداأ العد ن�شم


مثال )3-1 (

الحل

نا من رقمين يمكن تكوينه با�شتخدام االأرقام 5 ، 6 ، 7 كم عددا مكو

( عندما ال ي�شمح بتكرار الرقم ؟ ب( عندما ي�شمح بتكرار الرقم ؟

: ( عندما ال ي�شمح بتكرار الرقم فاإن

عدد طرق اختيار رقم االآحاد = 3 ؛ الأن منزلة االآحاد يمكن اأن تكون 5 اأو 6 اأو 7 .

عدد طرق اختيار رقم الع�شرات = 2 ) بعد ا�شتبعاد الرقم الماأخوذ في االآحاد (.

اإذا عدد االأعداد التي يمكن تكوينها = 3 × 2 = 6 اأعداد .

: ب( عندما ي�شمح بتكرار الرقم فاإن

عدد طرق االختيار لكل رقم في االآحاد اأو الع�شرات ي�شاوي 3 .

اإذا عدد االأعداد التي يمكن تكوينها = 3 × 3 = 9 اأعداد .

ح حل المث��ال )1-3 ( في كل م��ن الحالتين ، ب ثم اكت��ب جميع االأعداد ��ا يو�ش ار�ش��م مخطط��ا �شجري

التي يمكن تكوينها في كل حالة.

تدريب ) 1-1 (

مثال )4-1 (

ة باأحد المطاعم اأربعة اأنواع م��ن ال�شوربة، خم�شة اأطباق مختلفة ت�ش��م قائمة الطعام الخا�ش

م��ن اللح��وم، �شتة اأطباق مختلف��ة من الحلوى، اأربعة اأنواع من الع�شي��ر . بكم طريقة يمكن

ن من ال�شوربة واللحم والحلوى والع�شير؟ اد هذا المطعم اأن يطلب وجبة تتكو الأحد رو

مبداأ العد


الوحدة

االأولى

بكم طريقة يمكن لخم�شة اأ�شخا�ص اأن ي�شتخدموا في اآن واحد اأجهزة الهاتف

في دائرة خدمات هاتفية تحتوي ثمانية اأجهزة ؟

بما اأن كل �شخ�ص �شي�شتخدم جهازا، فاإنه يكون اأمام ال�شخ�ص االأول 8 اختيارات، واأمام ال�شخ�ص

الثان��ي 7 اختي��ارات، واأمام ال�شخ�ص الثالث 6 اختيارات، واأم��ام ال�شخ�ص الرابع 5 اختيارات،

ويبقى في النهاية اأمام ال�شخ�ص الخام�ص 4 اختيارات.

اإذا عدد الطرق المطلوبة = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 6720 طريقة .

ج طال��ب من المرحلة الثانوي��ة واأراد اأن يكمل درا�شته في تخر

الجامع��ة، فوجد اأمامه خم��ص جامعات وف��ي كل جامعة منها

ثمان��ي كليات وف��ي كل كلية اأربع��ة اأق�شام. بك��م طريقة يمكن

للطالب اختيار درا�شته في الجامعة.

توجد 4 طرق ممكنة الختيار ال�شوربة،

حيث يوجد اأربعة اأنواع منها.

وتوجد 5 طرق ممكنة الختيار طبق اللحم.

كما توجد 6 طرق ممكنة الختيار الحلوى.

وتوجد 4 طرق ممكنة الختيار الع�شير.

اإذا عدد الطرق الممكنة الختيار الوجبة كاملة

= 4 × 5 × 6 × 4 = 480 طريقة .

مثال )5-1(

الحل

الحل

مثال )6-1(

الحل

عدد طرق اختيار الدرا�شة = 5 × ... × ... = 160 طريقة ) اأكمل الفراغ (.


) 1 -1 (

ا بحائل، رة مار يريد رج��ل ال�شفر من الريا��ص اإلى المدينة المن��و

ارة. كم طريقة ويمكن��ه اأن ي�شافر ف��ي كل رحلة بالطائرة اأو بال�شي

لل�شف��ر يمكن اأن يتبعها الرجل لكي ي�ش��ل من الريا�ص اإلى المدينة

. ح ذلك بالمخطط ال�شجري رة ؟ و�ش المنو

ة وكتاب نة م��ن كتاب باللغة االإنجليزي قة مجموعة من الكتب مكو بك��م طريق��ة يمكن اإهداء طالبة متفو

ة و7 كتب تاريخ و 3 كتب تف�شير ؟ تاريخ وكتاب تف�شير مختارة من 5 كتب باللغة االإنجليزي

علما باأن كتب كل علم مختلفة .

نة م��ن حرفين يمكن تكوينها من مجموعة االأحرف �ص ، ��ص ، ع ، ل ، علما باأنه لي�ص ك��م كلم��ة مكو

�شروريا اأن يكون للكلمة معنى اإذا كان:

( التكرار غير م�شموح به ؟ ب( التكرار م�شموح به ؟

ط �شجري . ح ذلك بمخط و�ش

نا من اأربعة اأرقام واأكبر من 3000 يمكن تكوينه من مجموعة االأرقام }1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6{، كم عددا مكو

اإذا كان:

( التكرار غير م�شموح به ؟ ب( التكرار م�شموح به ؟

ة لل�شيارات تب��داأ رموز كل منها م��ن اليمين بثالثة طل��ب من اأح��د الم�شانع عمل لوح��ات معدني

ح��روف م��ن حروف الهجاء العربية متبوعا بثالثة اأرقام من مجموع��ة االأرقام }0 ، 1 ، 2 ، ... ، 9{،كم

نعها في كل من الحالتين التاليتين: لوحة مختلفة يمكن �ش

( اإذا �شمح بتكرار الحروف واالأرقام ؟ ب( اإذا لم ي�شمح بتكرار الحروف واالأرقام ؟

ة اأماكن على رف المكتبة ؟ كم عدد الطرق التي يمكن ب�ها ترتيب �شتة كتب مختلفة في �شت

1

2

3

4

5

16

مبداأ العد

{}


الوحدة

االأولى

من المفيد قبل درا�شة التباديل تقديم التعريف التالي:

التباديل والتوافيق

2-1

اأوال - التباديل

هو حا�شل �شرب عوامل عددها تبداأ بالعدد ، وكل منها ينق�ص واحدا عن �شابقه وتنتهي دائما

بالعدد واحد.

تعريف )1- 1(

اإذا كان عددا طبيعيا فاإن حا�شل ال�شرب

اأو ى م�شروب ويرمز له بالرمز ي�شم

: اأي اأن

ونقول تعريفا اإن

Peremutations and Combinations

25P7

24227280002422728000=

7

ل25


اح�شب قيمة كل من : ، ،

اح�شب قيمة كل من : ، ، ،

من التعريف ) 1-1 ( نجد اأن :

مثال )7-1 (

الحل

تدريب ) 2-1 (

نتيجة )1-1(

مثال )8-1 (

الحل

اح�شب: ،


وعليه فاإن :

وهكذا...

18

الوحدة

االأولى


ا يلي: اأوجد قيمة التي تحقق الم�شاواة المعطاة في كل مم

مثال )9-1(

الحل

مثال )10-1(

الحل

ط المقدار ب�ش

هو حا�شل �شرب عوامل متتالية اأكبره��ا واأ�شغرها 1؛ لذلك فاإننا لحل هذه الفقرة

نق�ش��م الع��دد 24 على 1 ث��م نق�شم الناتج عل��ى 2 فنح�شل على ناتج اآخ��ر نق�شمه على 3

وهكذا ... حتى نح�شل على ناتج ي�شاوي الواحد:

اإذا:


) اأكمل الحل (

تباديل من العنا�شر

اإذا ا�شت��رك اأحمد ومحم��د وعبداهلل في م�شابقة لحفظ القراآن الكريم ف��اإن النتيجة النهائية

حة في الجدول االآتي: لهذه الم�شابقة يمكن اأن تكون على اإحدى ال�شور المو�ش

مثال )11-1(

المركز االأول

المركز الثاني

المركز الثالث

عبد اهللعبد اهللمحمدمحمداأحمداأحمد

محمدمحمد

محمد محمد

عبد اهللعبد اهلل

عبد اهلل اأحمداأحمدعبد اهلل

اأحمد اأحمد

جدول ) 1-1 (


:بما اأن : ،

20

الوحدة

االأولى


من الجدول ) 1-1 ( اأن نتيجة الم�شابقة يمكن اأن تظهر على �شت �شور مختلفة وهي موؤلفة

ة. من االأ�شخا�ص اأنف�شهم، لكن بترتيب مختلف في كل مر

��ى التراتيب المختلف��ة لمجموعة االأ�شخا�ص الثالثة تباديل ثالث��ة عنا�شر وكل ترتيب ت�شم

ى تبديلة ثالثة عنا�شر. منها ي�شم

اأن��ه يمك��ن معرفة عدد تراتي��ب االأ�شخا�ص الثالثة ف��ي المثال ال�شاب��ق ) عدد تباديل ثالث��ة عنا�شر (

با�شتخدام مبداأ العد كما ياأتي:

هن��اك ثالث عمليات اختي��ار يمكن اإجراوؤها، االأول��ى لتحديد الفائز بالمرك��ز االأول وتتم بثالث طرق،

والثاني��ة لتحدي��د الفائز بالمركز الثاني وتت��م بطريقتين، والثالثة لتحديد الفائ��ز بالمركز الثالث وتتم

بطريقة واحدة.

وح�شب مبداأ العد يكون:

ويمكن تعميم ذلك بالنظرية التالية:

تعريف ) 1- 2(

ى تبديلة من العنا�شر. كل ترتيب لعدد من العنا�شر ي�شم

نظرية )1-1(

عدد تباديل 3 عنا�شر

: وبالمثل يمكن ا�شتنتاج اأن



وهكذا ...

عدد تباديل من العنا�شر


تباديل من العنا�شر ماأخوذة راء راء

نا من خم�شة اأرقام مختلفة يمكن تكوينه با�شتخدام االأرقام 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ؟ كم عددا مكو

نة من رقمين اإذا كان لدينا اأربعة اأرقام : 2 ، 3 ، 4 ، 5 واأردنا الح�شول منها على االأعداد المكو

مختلفين، لوجدنا ب�شهولة اأن هذه االأعداد هي:

54 ، 53 ، 43 ، 52 ، 42 ، 32

45 ، 35 ، 34 ، 25 ، 24 ، 23

كل عدد من هذه االأعداد ناتج من اختيار رقمين مختلفين من االأرقام االأربعة ثم ترتيبها على

ى هذه االأعداد تباديل االأرقام االأربعة ماأخوذة مثنى مثنى. ن . وت�شم نحو معي

من الوا�شح اأنه عندما يكون التعريف ) 1-3 ( موافقا للتعريف ) 2-1 (.

نرمز لعدد تباديل من العنا�شر ماأخوذة راء راء بالرمز ويقراأ ) نون الم راء ( اأو ) نون تباديل راء (.

مثال )12-1(

الحل

مثال )13-1(

تعريف ) 1- 3(

وهذا يقودنا اإلى تو�شيع مفهوم التباديل الذي ورد في التعريف ) 1-2 ( على النحو التالي:


ى تبديلة من العنا�شر كل ترتيب لعدد من العنا�شر الماأخوذة من عن�شرا ي�شم

ماأخوذ منها عن�شرا حيث

بما اأن عدد اأرقام العدد المطلوب 5 ، عدد االأرقام الم�شموح تكوين العدد منها 5

ن كل منها من خم�شة اأرقام مختلفة ي�شاوي عدد تباديل 5 عنا�شر وهو اإذا عدد االأعداد المكو

عددا .

22

الوحدة

االأولى


نظرية )2-1(

)1-1(

البرهان

عن�ش��را من بين م��ن العنا�شر مع مراعاة الترتيب ، فاإنه ا�شتنادا اإلى مبداأ العد

يمكن ح�شاب هذا العدد على النحو التالي:

عدد طرق اختيار العن�شر االأول

عدد طرق اختيار العن�شر الثاني 1

عدد طرق اختيار العن�شر الثالث 2

حيث اأن عدد تباديل من العنا�شر ماأخوذة راء راء ي�شاوي عدد طرق اختيار

ل

عدد طرق اختيار العن�شر الرائي + 1

فيكون:

عدد تباديل من العنا�شر ماأخوذة راء راء هو:

.، حيث ل

1( من النظرية ) 1-2 ( ن�شتنتج اأن ي�شاوي حا�شل �شرب عوامل عددها تبداأ بالعدد وكل عامل

منها ينق�ص واحدا عن �شابقه.

ل

2( بالرج��وع اإل��ى المث��ال ) 1-13 ( نج��د اأن ع��دد تبادي��ل االأرق��ام االأربع��ة ماأخ��وذة مثنى مثن��ى هو :

ل 4 3 124

2


( اأثبت �شحة كل من العالقات الثالث في النتيجة ) 3-1 ( .

ب( اأعط تف�شيرا لكل من ، .

لج�( اح�شب قيمة كل من ، . ل0

52

6

6

ل1

ل

البرهان

نتيجة )2-1(

نتيجة )3-1(

تدريب ) 3-1 (


،

ل

1

ل

: من النتيجة ) 1-2 ( يمكننا ب�شهولة ا�شتنتاج اأن

)1

)2

)3

ل1

ل0

1

24

الوحدة

االأولى


مثال )15-1(

ا ياأتي: اأوجد قيمة كل مم

ن كل منها من اأربعة اأحرف مختلفة ماأخوذة من �شتة اأحرف مختلفة ؟علما ما عدد الكلمات المكو

باأنه لي�ص �شروريا اأن يكون للكلمة معنى.

مثال )14-1(

الحل

الحل

مثال )16-1(

ج�

ج�

ن كل منها من اأربعة اأحرف مختلفة ماأخ��وذة من �شتة اأحرف مختلفة اإن ع��دد الكلم��ات المكو

ي�شاوي عدد طرق اختيار اأربعة اأحرف مختلفة من �شتة اأحرف مختلفة مع مراعاة الترتيب.

اإذا عدد الكلمات الممكن تكوينها كلمة .

: اأثبت اأن


2 210

3 105

5 35

7 7

1

الحل

)2-1(

مثال )17-1(

الحل

ل

ل ا�شتخدام ف��ي البراهي��ن النظرية ت�شتخدم النتيج��ة ) 1-2 ( للتعوي�ص عن بينم��ا يف�ش

ة . النظرية ) 1-2 ( لح�شاب القيمة العددي

ل


1

اإذا كان ، . فما قيمة كل من ، ؟

وهذا يعني اأن 210 هو حا�شل �شرب عددين طبيعيين متتاليين،

14 15 210 : ومن تحليل العدد 210 نجد اأن

اإذا

وبما اأن :

اإذا:

وبجمع المعادلتين و يكون :

وبالتعوي�ص عن قيمة م في ينتج اأن :

12

1

1

2

26

الوحدة

االأولى


تعريف ) 1- 4(

543

453

534

354

435

345

432

342

423

243

324

234

532

352

523

253

325

235

542

452

524

254

425

245

ى توفيقة ة عدد عنا�شرها ماأخوذة من مجموعة عدد عنا�شرها ت�شم كل مجموعة جزئي

من العنا�شر ماأخوذ منها عن�شرا.

ثانيا - التوافيق

مثال )18-1(

وتج��در االإ�شارة هنا اإلى اأن توافي��ق العنا�شر االأربعة للمجموعة ماأخوذة ثالث��ة ثالثة في المثال ال�شابق

تختلف عن تباديل العنا�شر االأربعة للمجموعة ماأخوذة ثالثة ثالثة والتي يمكن كتابتها على النحو التالي:

ن كل منها من ثالث��ة عنا�شر من اإذا اأردن��ا كتاب��ة المجموع��ات الجزئية جميعها والتي يتك��و

2 ، 3 ، 4 ، 5 عنا�شر المجموعة �شنجد ب�شهولة اأن هذه المجموعات اأربعة وهي:

. 5 ، 4 ، 3 ، 5 ، 4 ، 2 ، 5 ، 3 ، 2 ، 4 ، 3 ، 2

ويمكن النظر اإلى هذه المجموعات الجزئية على اأن كال منها تمثل اختيارا لثالثة عنا�شر من

ب�شرف النظر عن ترتيب هذه العنا�شر الثالثة في كل مجموعة .

ى توفيقة. اإن كال من هذه االختيارات اأي ) المجموعات الجزئية ( ي�شم


432342423243324234

ة ه يمكننا ح�شاب دون اللجوء اإلى تكوين المجموعات الجزئية وذلك وفق النظري ومن هنا نجد اأن

التالية:

حي��ث اأن تبادي��ل م��ن العنا�ش��ر ماأخ��وذة راء راء تنتج من عمليتي��ن متتاليتين هما عملي��ة اختيار من

العنا�شر من بين من العنا�شر ) وتتم بطرق عددها ي�شاوي عدد توافيق من العنا�شر ماأخوذة راء راء (،

ثم عملية ترتيب هذه العنا�شر المختارة ) وتتم بطرق عددها ي�شاوي ( ، فاإنه ح�شب مبداأ العد يكون :

هذه التباديل ال�شت هي تباديل العنا�شر الثالثة للتوفيقة 2 ، 3 ، 4 ، وحاول اأن تكت�شف العالقة بين

عدد تباديل وعدد توافيق العنا�شر االأربعة للمجموعة ماأخوذة ثالثة ثالثة.

العالقه بين عدد تباديل وعدد توافيق من العنا�شر ماأخوذة راء راء


عدد تباديل من العنا�شر ماأخوذة راء راء عدد توافيق من العنا�شر ماأخوذة راء راء

واإذا رمزنا لعدد توافيق من العنا�شر ماأخوذة راء راء بالرمز ويقراأ ) نون قاف راء ( اأو )نون توافيق راء(

فاإنه يمكننا كتابة �شيغة العالقة ال�شابقة على النحو التالي:

ل

فرغ��م اأن كال م��ن هذه التوافي��ق والتباديل ناتج عن اختيار ثالثة عنا�شر من اأربع��ة عنا�شر اإال اأن التوافيق

والتبادي��ل تختلف��ان في م�شم��ون اأ�شا�شي هو الترتي��ب. فبينما في التبادي��ل نهتم بالترتيب ال��ذي نختار به

العنا�شر نجد اأننا في التوافيق ال ن�هتم بالترتيب .

فالتوفيقة 2 ، 3 ، 4 هي ذات�ها التوفيقة 2 ، 4 ، 3 . بينما 432 ، 342 تبديلتان مختلفتان.

ومن جهة اأخرى نجد اأن عدد تباديل العنا�شر االأربعة للمجموعة ماأخوذة ثالثة ثالثة ي�شاوي 24 وهو يقابل

اأربع توافيق للعنا�شر االأربعة للمجموعة ماأخوذة ثالثة ثالثة اأي اأن كل �شت تباديل يقابلها توفيقة واحدة .

فالتوفيقة 2 ، 3 ، 4 - مثال - يقابلها �شت تباديل مختلفة هي:

) 1 ــ 1 (

28

الوحدة

االأولى


نتيجة )4-1(

نظرية )3-1(

اأوج��د ع��دد المجموع��ات الجزئي��ة من المجموع��ة ، ب ، ج� ، د ، ه ، و ، ز والتي

يتك��ون كل منه��ا م��ن اأربع��ة عنا�ش��ر.

العدد المطلوب هو عدد توافيق 7 عنا�شر ماأخوذة اأربعة اأربعة وهو:

بكم طريقة يمكن لطالبة اختيار ثالثة اأ�شئلة من ورقة اختبار ب�ها خم�شة اأ�شئلة ؟

من النظرية ) 1-3 ( وبا�شتخدام النتيجة ) 1-2 ( يمكن ا�شتنتاج العالقة التالية:

مثال )19-1(

الحل

مثال )20-1(

الحل

مجموعة .

عدد طرق االختيار طرق .

عدد توافيق من العنا�شر ماأخوذة راء راء هو:

،

ل

.


نتيجة )5-1(

تدريب ) 4-1 (

اأثبت اأن :

مثال )21-1(

الحل

: من النتيجة ) 1-4 ( نتو�شل ب�شهولة اإلى اأن

)1

)2

)3

( اأثبت �شحة العالقات الثالث في النتيجة ال�شابقة.

ب( اأعط تف�شيرا لكل من ، ،


30

الوحدة

االأولى


ة في تب�شيط العمليات الح�شابية عند ح�شاب قيمة وهذا القانون يعرف بقانون التب�شيط حيث يفيدنا ب�شورة خا�ش

فمثال: يمكن ب�شهولة ح�شاب قيمة على النحو التالي:100

98

ل ا�شتخدام النظرية ) 3-1 ( في البراهين النظرية ت�شتخدم النتيجة ) 1-4 ( للتعوي�ص عن ، بينما يف�ش

ة ل� . لح�شاب القيمة العددي

)3-1(

)4-1(

البرهان

نتيجة )6-1(

يت�ش��ح م��ن القانون ال�شابق اأن عدد المجموعات الجزئية ذات عن�شرا ي�شاوي عدد المجموعات الجزئية

ذات ) ( عن�شرا ، اأي اأن عدد طرق اختيار من العنا�شر من بين من العنا�شر ي�شاوي عدد

طرق اختيار العنا�شر الباقية وهو ) ( عن�شرا .

مع كون ،

100

2

100

98


) اأكمل الفراغ (

نتيجة )7-1(

مثال )22-1(

الحل

مثال )23-1(

الحل

اإذا كان فاإن اأو + وهذه النتيجة نح�شل عليها مبا�شرة

من النتيجة ) 6-1 (.

بما اأن :

اإذا :

اإذا : اأو

............

............

ها ال تحقق ال�شرط ولكن مرفو�شة، الأن�

اإذا

اإذا كان : فاأوجد قيمة �ص .

بما اأن :

اإذا كان : ، فاأوجد قيمة . 98

8 9


32

الوحدة

االأولى


SHIFT2 5 7 2422728 000

pnr

لفيكون : 000 728 422 2 25

7

يليه ال�شغط على المفتاح ثم اإدخال العدد .

pnr

Permutation 2( مفتاح مكتوب اأعاله الرمز والذي يعني ، حيث حرف هو اخت�شار كلمة pnr

p ل

SHIFTلوالتي تعني تباديل ، والإيجاد قيمة نقوم باإدخال العدد ثم ال�شغط على مفتاح

لفمثال: لح�شاب ن�شتخدم المفاتيح االآتية على التوالي:25

7

فيكون : 600 001 479 12

ة المفاتيح التالية: يوجد في االآلة الحا�شبة العلمي

1x( مفت��اح مكت��وب اأع��اله الرم��ز وي�شتخ��دم الإيج��اد م�ش��روب اأي عدد وذلك باإدخ��ال العدد ثم x ال�شغط على مفتاح يليه ال�شغط على المفتاح

12 فمثال: لح�شاب ن�شتخدم المفاتيح االآتية على التوالي:

SHIFT

1 2 479 001 6 00xSHIFT

ة التي يمكن حلها با�شتخدام مفهومي التباديل والتوافيق. في هذا البند نتناول بع�ص الم�شائل الحياتي

ح كيفية ا�شتخدام االآلة الحا�شبة الإيجاد قيمة كل من ، ، وقبل ذلك �شنو�ش

وذلك توفيرا للوقت والجهد ال �شيما عندما تكون قيم ، كبيرة.

ل

ا�شتخدام االآلة الحا�شبة:

م�شائل وتطبيقات على التباديل والتوافيق


نة منها متجاورة ؟ بكم طريقة يمكن ترتيب �شتة كتب في رف بحيث تظل ثالثة كتب معي

ن كل منها من اأربعة اأرقام مختلفة من ماعدد االأعداد التي يتكو

المجموعة 0 ، 1 ، 4 ، 7 ؟

مثال )24-1(

الحل

مثال )25-1(

الحل

4

يمكننا اأن نعد الكتب الثالثة المتجاورة كتابا واحدا، ونوجد عدد طرق ترتيب 4 كتب على الرف

وهو ثم ن�شرب الناتج في عدد طرق ترتيب الكتب الثالثة المتجاورة وهو ، فيكون :

عدد الطرق المختلفة لترتيب هذه الكتب طريقة.

3

43246144

ن من 4 اأرقام ف��اإن ال�شفر ال يمكن اأن ي�شغل حي��ث اأن كال من االأع��داد المطلوب عددها يتكو

ن م��ن 3 اأرقام ؛ لذا ن�شغ��ل اأوال منزلة منزل��ة االأل��وف ، الحظ اأن الع��دد -0741 مثال - يتكو

االأل��وف باأح��د االأرق��ام 1 ، 4 ، 7 اأي )بطرق عددها 3 ( ويبقى بعد ذلك 3 اأرقام لترتيبها في

المن��ازل الث��الث )المئات والع�شرات واالآح��اد (، وذلك بطرق عددها ي�ش��اوي عدد تباديل 3

عنا�شر .

وح�شب مبداأ العد يكون :

3عدد االأعداد المطلوب 18 عددا. 3

فيكون: 995 921 563 43

9

Combinationهو اخت�شار كلمة C 3( مفتاح مكتوب عليه الرمز والذي يعني ، حيث حرفCn

r

9

43فمثال: لح�شاب ن�شتخدم المفاتيح االآتية على التوالي:

والتي تعني توافيق ، والإيجاد قيمة نقوم باإدخال العدد ثم ال�شغط على مفتاح على

ثم اإدخال العدد

Cn

r

Cn

r4 3 9 563 921 995Cn

r



الوحدة

االأولى

م للعمل في ال للتعيين في اأحد الم�شانع من بين اثني ع�شر متقد بكم طريقة يمكن اختيار ع�شرة عم

هذا الم�شنع ؟ وما عدد الطرق الممكنة في كل من الحالتين التاليتين :

مين ؟ ب اختيار �شخ�ص معين من المتقد ( اإذا توج

مين ؟ ب ا�شتبعاد �شخ�ص معين من المتقد ب( اإذا توج

بكم طريقة يمكن لطالب اختيار ثالثة اأ�شئلة من ورقة اختبار ب�ها خم�شة اأ�شئلة اإذا

ل ؟ ب اختيار ال�شوؤال االأو توج

نة من ع�شرة طالب . اأوجد عدد طرق اختي��ار ثالثة طالب من هذه المجموعة مجموع��ة مكو

في كل من الحالتين التاليتين :

( للقيام باأعمال مختلفة . ب ( للقيام بالعمل نف�شه .

مثال )26-1(

الحل

تدريب ) 5-1 (

مثال )27-1(

مين مين يعني اختيار 10 اأ�شخا�ص من بين المتقد ب( اإن ا�شتبعاد �شخ�ص معين من المتقد

الباقين وعددهم 11 فيكون :

��ب اختي��ار �شخ��ص معين فاإنن��ا نحتاج اإل��ى اختيار 9 اأ�شخا��ص اآخرين من ( اإذا توج

مين الباقين وعددهم 11 فيكون : المتقد

م طريقة. ال من بين 12 متقد عدد طرق اختيار 10 عم

عدد طرق االختيار طريقة.

عدد طرق االختيار طريقة.


نة من ت�شع طالبات ومجموعة اأخرى من طالبات ل الثانوي مكو مجموعة من طالبات ال�شف االأو

نة من �شبع طالب��ات. كم عدد الطرق التي يمك��ن ب�ها تكوين لجنة ال�ش��ف الثاني الثان��وي مكو

خما�شية من هوؤالء الطالبات في كل من الحاالت االآتية:

ن اللجنة من اأي طالبات من المجموعتين . ( تتكو

. ل الثانوي ، وطالبتين من ال�شف الثاني الثانوي ن اللجنة من ثالث طالبات من ال�شف االأو ب ( تتكو

. ل الثانوي ، وباقي االأع�شاء من ال�شف االأو ج� ( رئي�شة اللجنة واأمينة ال�شر من ال�شف الثاني الثانوي

اإن االختيار مع تمييز االأعمال يعني االهتمام بترتيب االختيار، بينما ال يكون للترتيب معنى في

حالة االختيار دون تمييز االأعمال .

وعليه يكون :

( حيث اأن عدد طالبات المجموعتين معا هو 16 طالبة

فاإن عدد طرق تكوين اللجنة الخما�شية من اأي طالبات من المجموعتين هو :

الحل

مثال )28-1(

الحل


( عدد طرق االختيار للقيام باأعمال مختلفة طريقة

ب( عدد طرق االختيار للقيام بالعمل نف�شه طريقة

طريقة


الوحدة

االأولى

��ات و�شبعة كتب مختلفة ف��ي الفيزياء. بكم يوج��د ف��ي مكتبة ع�شرة كت��ب مختلفة في الريا�شي

نة من اأربعة كتب ريا�شيات، وكتابين في الفيزياء على طريق��ة يمكن ترتيب �شتة كتب منها مكو

رف المكتبة ؟

مثال )29-1(

الحل

ل الثانوي ب( عدد طرق اختيار 3 طالبات من ال�شف االأو

وح�شب مبداأ العد يكون :

ة طريقة عدد طرق تكوين اللجنة الخما�شي

طريقة

طريقة عدد طرق اختيار طالبتين من ال�شف الثاني الثانوي

ج� ( الختيار طالبتين من ال�شف الثاني الثانوي بحيث تكون اإحداهما رئي�شة اللجنة و االأخرى

، البد لنا من االهتمام بالترتيب، وبالتالي يكون: اأمينة ال�شر

عدد طرق هذا االختيار طريقة

ل الثانوي طريقة بينما عدد طرق اختيار باقي االأع�شاء من ال�شف االأو

: وح�شب مبداأ العد فاإن

عدد طرق تكوين اللجنة الخما�شية طريقة

اإن هذا الو�شع يتم باإجراء ثالث خطوات هي :

اختيار كتب الريا�شيات ، اختيار كتب الفيزياء ثم ترتيب الكتب المختارة.

عدد طرق اختيار كتب الريا�شيات طريقة

عدد طرق اختيار كتب الفيزياء طريقة

عدد طرق ترتيب الكتب المختارة على الرف طريقة

وح�شب مبداأ العد نجد اأن :

عدد الترتيبات المختلفة طريقة


بدون ا�ستخدام الآلة الحا�سبة اأوجد قيمة كل من:1

با�ستخدام الآلة الحا�سبة اأوجد قيمة كل من:2

3


) 2 -1 (

�سع ما ياأتي في اأب�سط �سورة بدللة :


الوحدة

االأولى

اإذا كان ، فما قيمة كل من ، ؟5

اإذا علمت اأن ، فاأوجد قيمة . 6

7

8

9

10

ى �شنة421 هـ . الكرخي هو العالم الم�شلم الفذ اأبو بكر محمد بن الح�شن الكرخي المتوف

اإذا كان ، فاح�شب قيمة .

اإذا كان فاأوجد قيمة .

اأثبت اأن ثم ا�شتخدم ذلك في اإيجاد قيمة .

اأثبت اأن ) تعرف هذه العالقة بعالقة الكرخي(

ا�شتخدم ذلك في اإيجاد قيمة . ثم

ق الم�ساواة المعطاة: 4 ا يلي اأوجد قيمة التي تحق في كل مم


�شركة ا�شت�شارات اإدارية لديها اأربعة عقود الأربعة خبراء ، ما عدد الطرق الممكنة لترتيب لقاءات معهم ؟11

بكم طريقة يمكن اأن يقف �شبعة طالب في �شف واحد ؟12

ل��دى �شرك��ة ع�شرون مخزن��ا ويراد اختي��ار ثالثة مخازن منها الإج��راء فحو�شات عل��ى ثالثة منتجات 13

مختلفة، على اأن يجري فح�ص كل نوع في مخزن خا�ص به. فما عدد الطرق المختلفة لترتيب ذلك ؟

ما عدد الطرق المختلفة لجلو�ص اأربعة اأ�شخا�ص على �شبعة كرا�شي مو�شوعة في �شف واحد ؟ 14

كم لجنة ثالثية يمكن تكوينها من ت�شعة اأ�شخا�ص ؟15

حين اإذا كان ال يجوز منح 16 بكم طريقة يمكن توزيع ثالث جوائز مختلفة على ثالثة من ثمانية مر�ش

ح اأكثرمن جائزة واحدة ؟ المر�ش

ن م��ن ثالثة ع�شر ع�شوا ، بكم طريقة يمكن اأخذ قرار باتف��اق ت�ش��عة اأع�شاء �شد 17 مجل��ص اإدارة مكو

اأربع��ة اأع�ش��اء ؟

كم عدد الطرق التي يمكن ب�ها ترتيب حروف كلمة مكتب ؟ 18

�شريط��ة عدم تكرار 19

ك��م كلم��ة رباعي��ة يمك��ن تكوينها من االأح��رف �ص ، ��ص ، ع ، ل ، م ، ن ، ه ، و

اأي حرف في الكلمة، وال ي�شترط اأن يكون للكلمة معنى ؟


14


الوحدة

االأولى

كم عدد الطرق التي يمكن ب�ها اأن يرتب طفل خم�شة اأ�شكال هي:21

ع و المثلث متجاورين ؟ ع ، مثلث ، م�شتطيل ، معين ، دائرة بحيث يظل المرب مرب

بكم طريقة يمكن اختيار ع�شر كرات منها ثالث حمراء ، اثنتان بي�شاوان، خم�ص خ�شراء من خم�ص

كرات حمراء، اأربع كرات بي�شاء ، �شبع كرات خ�شراء ؟

20

نا من ثالثة اأرقام مختلفة يمكن تكوينه من عنا�شر المجموعة ؟ ( كم عددا مكو

نا من اأربعة اأرقام مختلفة يمكن تكوينه من عنا�شر المجموعة �شريطة اأن يكون ب ( كم عددا مكو

الرقم 7 في منزلة المئات ؟

اإذا كانت 0 ، 1 ، 2 ، ... ، 9

ي من الموقع ب اإلى الموقع 22 ي من الموقع اإلى الموقع ب، واأربعة طرق توؤد اإذا كان هناك �شتة طرق توؤد

ج�، فبكم طريقة يمكن االنتقال من الموقع اإلى الموقع ج� مرورا بالموقع ب ؟

لدينا 5 كتب مختلفة في الريا�شيات ، 4 كتب مختلفة في الفيزياء ، كتابان مختلفان في االأحياء ، بكم 26

طريقة يمكن ترتيب هذه الكتب بحيث تكون كتب كل علم على حدة ؟

ل، 4 للمقابلة في اليوم الثاني، من قائمة تت�شمن 14 طبيبا وطبيبة يتم اختيار 4 للمقابلة في اليوم االأو

6 للمقابلة في اليوم الثالث.فبكم طريقة يمكن ذلك ؟

ة بحيث يخت��ار ثالث طالبات من ال�ش��ف الثالث واثنتان من ي��راد اختيار هيئ��ة لتحرير مجلة مدر�شي

ل علما باأن اأعداد الطالبات في ال�شفوف الثالثة هي: ال�شف الثاني وواحدة من ال�شف االأو

15 ، 20 ، 25 عل��ى التوال��ي، فبكم طريقة يمك��ن اختيار هذه الهيئة ؟ وبكم طريق��ة يمكن اأن يتم هذا

االختيار اإذا كانت الرئي�شة والم�شاعدة واأمينة ال�شر من ال�شف الثالث ؟

21

23

24

25


��ة تظه��ر ف��ي كثي��ر م��ن الم�شائ��ل الريا�شي

ة اأو جبرية مثل: مجاميع لمقادير ح�شابي

��ب الجه��د المبذول ف��ي كتابة مثل ه��ذه المجاميع ن�شتخدم رم��ز المجموع ولتجن

لو�شع �شيغة مخت�شرة لكل مجموع من هذه المجاميع وذلك وفق التعريف االآتي:

على �شوء هذا التعريف يمكن التعبير عن المجاميع ال�شابقة كما يلي:

3-1رمز المجموع

تعريف ) 1- 5(

: نة، وكان ، عددين �شحيحين حيث فاإن ة معي اإذا كانت �ص ) ( عبارة ريا�شي

ويقراأ الطرف االأيمن مجموع

��ى متغي��ر المجم��وع بدلي��ل المجموع، بالح��د ال�شفلي للمجم��وع، بالحد العلوي وي�شم

ى الطرف االأي�شر مفكوك المجموع. للمجموع، كما ي�شم

رمز المجموع

3-1Sigma Symbol


الوحدة

االأولى

�ص ) ( ويتم ذلك بتحديد االأعداد د اأوال ة بداللة رمز المجموع نحد ة اأو جبري لكتابة مجموع مقادير ح�شابي

اأو الرموز التي ال تتغير من حد الآخر، ثم التي تتغير من حد الآخر وقاعدة تغيرها بداللة العدد ال�شحيح . واأخيرا

ل والحد االأخير في المجموع. ل قيمة واآخر قيمة ياأخذها العدد اعتمادا على الحد االأو د اأو نحد

اكتب المجاميع التالية با�شتخدام الرمز :

ا يلي: اكتب مفكوك المجموع في كل مم

)5-1(

مثال )30-1(

الحل

مثال )31-1(


ويمكن برهنة هذه الخوا�ص من التعريف ) 1-5 ( ب�شهولة، ونتركها للطالب كتدريب.

خوا�ص الرمز

الحل


: اإذا كان ثابتا، ، عددين �شحيحين حيث فاإن


الوحدة

االأولى

ا يلي: اأوجد قيمة كل مم

ة ) 2-1 (. ق من �شحة الخا�ش ثم تحق

اإذا

اح�شب قيمة كل من المجاميع التالية:

ة ) 4-1 ( ا�شتخدمنا الخا�ش



مثال )32-1(

الحل

مثال )33-1(

الحل


ا ياأتي:1 اكتب مفكوك المجموع في كل مم

اكتب المجاميع التالية با�ستخدام الرمز :

ن اأن بي

اأثبت �سحة ما ياأتي:

ا يلي: اأوجد قيمة كل مم

) 3 -1 (


2

4

5

3


الوحدة

االأولى

ين ة ذات الحد نظري

4-1

ل ، ب ين حيث ترمز للحد االأو ة ناأخذ المقدار ذي الحد وحتى ن�شتنتج م�شمون هذه النظري

: الثاني ونوجد مفكوكه عندما يكون مرفوعا لالأ�ص 2 ، 3 ، 4 وذلك بال�شرب المبا�شر فنجد اأن ترمز للحد

ن من اإذا كان لدين��ا مق��دار جب��ري مكو

ه ين ومرفوع الأ��ص �شحيح موجب فاإن حد

باإمكانن��ا الح�ش��ول عل��ى مفك��وك هذا

ات بقدر ة مر المقدار ب�شربه في نف�شه عد

االأ�ص المرف��وع اإليه. اإال اأن ذلك ي�شتغرق

الكثير من الوقت والجهد ال �شيما عندما

يك��ون هذا االأ�ص كبي��را ويمكننا بوا�شطة

ي��ن كتاب��ة مفكوك اأي ��ة ذات الحد نظري

ين مهما كان االأ�ص المرفوع مقدار ذي حد

اإليه كبيرا بي�شر و�شهولة.

ل في هذه المفكوكات نالحظ ما يلي: ين، وبالتاأم اإن االأطراف الي�شرى فيما �شبق هي نماذج لمفكوك ذات الحد

1( عدد الحدود في كل مفكوك يزيد واحدا عن االأ�ص في الطرف االأيمن.

ل في المفكوك هو العدد مرفوعا لنف�ص االأ�ص في الطرف االأيمن ثم ينق�ص االأ�ص للعدد 2( الحد االأو

�ص العدد ب بمقدار الوحدة على التوالي حتى ن�شل 3( الع��دد ب يب��داأ ظهوره في الحد الثاني ثم يزيد اأ

اإلى الحد االأخير في المفكوك وهو العدد ب مرفوعا لنف�ص االأ�ص في الطرف االأيمن.

ي��ن للعددي��ن ، ب ف��ي اأي حد من حدود المفك��وكات ثابت وي�شاوي االأ��ص في الطرف 4( مجم��وع االأ�ش

االأيمن.

ل في المفكوك ي�شاوي معام��ل الحد االأخير ي�شاوي الواح��د، ومعامل الحد الثاني 5( معام��ل الح��د االأو

ي�شاوي معامل الحد قبل االأخير وهكذا ...

في الحدود التالية بمقدار الوحدة على التوالي.

The Binomial Theorem


ه يمكننا كتابة مفكوك على ال�شكل التالي: ا �شبق نجد اأن مم

وحيث اأن

من العوامل

ات؛ ) وذلك الأن واأنه يمكن الح�شول على الرمز خالل اإجراء عملية ال�شرب عدد من المر

ه��ذا الرم��ز ينت��ج من اختيار الرمز ب من من العوامل والتي عددها ، واختيار الرمز من كل عامل من

العوامل المتبقية وعددها – ومن ثم �شرب هذه الرموز جميعها (.

ن�شتنتج اأن معامل في مفكوك وهو ي�شاوي .

ين للكرخي : وهذا يقودنا اإلى النظرية التالية والتي تعرف بنظرية ذات الحد

ق النظرية ) 1-4 ( الإيجاد مفكوكات طب

ين على ال�شورة المخت�شرة التالية: يمكننا با�شتخدام رمز المجموع كتابة مفكوك ذات الحد

7 1

نظرية )4-1(

: اإذا كان ، ب عددين حقيقيين، عدد �شحيح موجب فاإن

تدريب ) 6-1 (

)6-1(

.

نظرية ذات الحدين


الوحدة

االأولى

اأوجد مفكوك

بتطبيق القانون ) 1-7 ( يكون:

اأوجد مفكوك

بتطبيق القانون ) 1-7 ( يكون:

، ثم اأوجد مفكوك تحقق من اأن

مثال )34-1(

الحل

مثال )35-1(

الحل

تدريب ) 7-1 (


مثال )36-1(

الحل

ة: ا الجواب لثالثة اأرقام ع�شريب� . مقر

10ين اح�شب قيمة ) 1.03 ( با�شتخدام مفكوك ذات الحد

فن��ا عند الحد الخام�ص لظهور ثالثة اأ�شفار عن يمي��ن الفا�شلة الع�شرية حيث اأن اأنن��ا توق

المطلوب التقريب لثالثة اأرقام ع�شرية.

الحد العام في مفكوك

8

ى هذا الحد بالحد العام في المفكوك؛ الأنه بو�شع 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ... ، يمكننا الح�شول على اأي ي�شم

حد في المفكوك دون الحاجة اإلى اإجراء عملية الفك كلها.

ل الحد االأو

الحد الثاني

الحد الثالث

ة االأمر فاإن هو الحد الذي ترتيبه ويرمز له بالرمز اأي اأن : وعام

من النظرية )1-4( نجد اأن:

لحظ :

ين نظرية ذات الحد

6


الوحدة

االأولى

اأوجد الحد ال�شاد�ص في مفكوك

اأوجد معامل في مفكوك

وبو�شع

الحد العام

نفر�ص اأن الحد الذي فيه �ص مرفوعة لالأ�ص 5 هو:

مثال )37-1(

الحل

مثال )38-1(

الحل

:

:

:


اأوجد الحد الخالي من �ص في مفكوك

اإن الح��د الخال��ي من �ص هو الحد الذي في��ه �ص مرفوعة لالأ�ص �شفر وبفر�ص اأن هذا الحد

هو نجد اأن :

اإذا الحد الخالي من �ص هو:

وجدنا فيما �شبق اأن عدد حدود مفكوك هو وبذلك نكون اأمام اأحد اأمرين:

1( اإذا كانت زوجية، يكون عدد حدود المفكوك فرديا ويتعين حد اأو�شط واحد في المفكوك ترتيبه

اأي اأن الحد االأو�شط في هذه الحالة هو

مثال )39-1(

الحل

)7-1(

اأي اأن الحدين االأو�شطين هما والحد الذي يليه مبا�شرة.

ان اأو�شطان ترتيبا هما 2( اإذا كانت فردية، يكون عدد حدود المفكوك زوجيا ويتعين في هذه الحالة حد


:


الوحدة

االأولى

اأوجد الحد االأو�شط في مفكوك

ين االأو�شطين في مفكوك اأوجد الحد

) اأكمل الحل باإيجاد قيمة كل منهما (

ين االأو�شطين في مفكوك اأوجد الن�شبة بين معاملي الحد

ل هو ترتيب الحد االأو�شط االأو

ان االأو�شطان هما: اإذا الحد

مثال )41-1(

الحل

مثال )40-1(

الحل

تدريب ) 8-1 (

بما اأن اإذا ترتيب الحد االأو�شط هو

اإذا الحد االأو�شط هو

:

:


ا يلي:1 اكتب مفكوك كل مم

ين كال مما ياأتي: 2 اأوجد دون فك ذات الحد

الحد ال�شابع في مفكوك

الحد الخام�ص في مفكوك

الحد الخام�ص في مفكوك

الحد ال�شاد�ص في مفكوك

الحد الخالي من �ص في مفكوك

الحد الذي يحوي �ص4 في مفكوك

الحد االأو�شط في مفكوك

ين االأو�شطين في مفكوك الحد

) 4 -1 (



الوحدة

االأولى

ا ياأتي: 3 اأوجد كال مم

ـــا لرقمين 4 بـ يـــن الإيجاد قيمـــة كل ممـــا ياأتي مقر ا�شتعمـــل عـــددا منا�شبـــا مـــن حـــدود مفكـــوك ذات الحد

ع�شريين:

معامل �ص4 في مفكوك

معامل �ص2 �ص4 في مفكوك

اإذا كان معامل الحد الرابع في مفكوك ، فاأوجد قيمة . 5


ا التوفيقة فهي التبديل��ة ه��ي اأي ترتي��ب يمك��ن تكوينه من م��ن العنا�شر باأخذها كلها اأو بع�شه��ا اأم

مجموعة جزئية عدد عنا�شرها ماأخوذة من مجموعة عدد عنا�شرها .

1

قوانين التباديل والتوافيق:

دة الخطوات. ة متعد منا مبداأ العد وا�شتخدمناه الإيجاد عدد طرق اإجراء عملي قد

ع��دد ط��رق اختي��ار م��ن العنا�شر من بي��ن من العنا�ش��ر المختلفة هو ) ع��دد توافيق من

العنا�ش��ر ماأخ��وذة راء راء (، بينما عدد طرق اختيار من العنا�شر من بين من العنا�شر المختلفة

ثم ترتيبها اأي ) مع مراعاة الترتيب ( هو ) عدد تباديل من العنا�شر ماأخوذة راء راء ( ، وعدد

طرق ترتيب

ل

من العنا�شر هو ) عدد تباديل من العنا�شر (.

2

3

4

تعلمت في هذه الوحدة


الوحدة

االأولى


الوحدة

االأولى

ا�شتخدمنا االآلة الحا�شبة الإيجاد قيمة اأي من 5

قمنا بحل بع�ص الم�شائل التطبيقية معتمدين على مفهومي التباديل والتوافيق. 6

ين مفكوك ذات الحد 7

وي�شتخدم الإيجاد اأي حد في المفكوك دون فكه .

الحد العام في مفكوك هو : 8

في مفكوك يتعين

حد اأو�شط واحد هو

8

ان اأو�شطان هما اإذا كانت فرديةحد

اإذا كان زوجية


الوحدة

االأولى

�سع عالمة اأو عالمة عن يمين ما يلي:1

ا تحت االإجابة ال�شحيحة فيما يلي: 2 �شع خط

عدد طرق اختيار رئي��ص وم�شاعد له الإحدى

حين هو: ال�شركات من بين 6 مر�ش

عدد طرق اختيار 4 كتب من بين 9 كتب مختلفة

نا هو: بحيث ي�شمل االختيار كتابا معي

57

يمكن اأن ي�شاوي: د ج�

ه

اإذا كان فاإن و

ز

58

��ا يلي اختر من القائمة الثانية م��ا يكمل كل عبارة من القائم��ة االأولى لتح�شل على 3 ل��كل فقرة مم

عبارة �شحيحة :

القائمة الثانيةالقائمة االأولى

.........

.........

.........

.........

.........

.........

اإذا كانت مجموعة عدد عنا�شرها فاإن :

.........عدد تباديل عنا�شر

.........عدد تباديل عن�شرين من

.....عدد المجموعات الجزئية الثنائية من

ج�

59

القائمة الثانيةالقائمة االأولى

ه

د

.........

عدد طرق جلو�ص �شخ�شين على 7 مقاعد في

.........�شف

.........

ع��دد ط��رق اختيار لجنة موؤلف��ة من 3 طالب

من بين 7 طالب

عدد طرق اختيار لجنة موؤلفة من طالبين من

بين 7 طالب

.........

.........

.........

60

بكم طريقة يمكن خروج 7 اأطفال من حديقة لها خم�شة اأبواب ؟6

كم عدد الطرق التي يمكن اأن يجل�ص بها 8 اأ�شخا�ص في 13 مقعدا ؟ علما باأنه يلزم جلو�ص �شخ�ص7

ن منهم في المقعد االأو�شط. معي

ين العا�شر وال�شابع ع�شر في مفكوك ) �ص �ص ( مت�شاويين. فما قيمة ؟ 8 اإذا كان معامال الحد

اإذا كان ، فاأوجد: 4

اإذا كان ، فاأوجد: 5

اأثبت اأن 9

وا�شتنتج من ذلك قاعدة الإيجاد عدد المجموعات الجزئية لمجموعة عدد عنا�شرها .

ينة لكل من ، ب في مفكوك ) ب ( اأوجد قيمة المقدار :10 باإعطاء قيمة مع

61

لنظري��ة االحتمال تطبيق��ات كثيرة

ومهمة ف��ي مجال التخطيط للتنمية

االجتماعية واالقت�شادية، والت�شنيع

والبحث العلمي والكثير من ميادين

العمل اليومي.

الحتمال الوحدة

الثانية

Probability

الدرو�س

)2-1( ف�شاء العينة والحوادث

)2-2( نظريات االحتمال

االحتمال ونظريات م�شلمات ف يوظ

الإيجاد احتماالت وقوع حوادث معينة.

-5

يتوقع من الطالب بعد درا�شـة هذه


يوجد احتمـــاالت وقوع حوادث ب�شيطة

بة. واأخرى مرك

-4

يجري بع�ص العمليات على الحوادث. -3

لتجربـــة العينـــي الف�شـــاء يكتـــب

ع�شوائية.

-2

الع�شوائيـــة التجربـــة مفهـــوم ـــر يف�ش

وف�شاء العينة والحادثة.

-1

يحل م�شائل تطبيقية على االحتمال. -6

الأهداف

64

الوحدة

الثانية


ف�ساء العينة والحوادث

االحتمال فرع من فروع الريا�شيات

له اأهمية كبيرة في حياتنا اليومية،

��ر اإل��ى اتخ��اذ فكثي��را م��ا ن�شط

القرارات بناء على معلومات غير

كامل��ة، فنعتمد عل��ى االحتماالت

لت�شاعدنا على االختيار – فمثال –

ر �شركة طي��ران اإيقاف رحالتها الخارجية ليوم معين؛ الأن احتمال اأن يكون الجو ق��د تقر

ر عن هذه غي��ر منا�ش��ب للطيران ف��ي ذلك اليوم احتمال كبي��ر. واأحيانا نجد اأنن��ا نعب

االحتم��االت بتقدير ع��ددي كاأن نقول اإن احتم��ال �شقوط االأمطار غ��دا 20% ، واحتمال

نج��اح الطال��ب اأحمد 90% وهك��ذا ... ، وهذه التقديرات العددي��ة لالحتماالت ال ت�شتند

اإلى اأ�شا��ص ريا�شي، ولكن قد تعتمد على اأحداث وخبرات �شابقة عن الطق�ص، وعن تتبع

الحالة التعليمية للطالب اأحمد وهكذا...

التجرب��ة هي اأي اإجراء يمك��ن و�شفه و�شفا دقيقا ومالحظة ما ينتج عنه ويمك��ن تق�شيم التجارب من حيث

نتائجها اإلى نوعين:

دة : وهي ذل��ك النوع من التجارب الذي يعطي 1( التجـــارب المحـــد

النتيجة نف�شها عند تكرار التجربة تحت الظروف نف�شها، فمثال:

اإذا األقيت كرة في الهواء فاإنها البد واأن ت�شقط على االأر�ص مهما

تكررت هذه التجربة، كذلك اإذا تم ت�شخين الماء اإلى 100 درجة

ل اإلى مئوي��ة – في ظ��روف ال�شغط الجوي الع��ادي – فاإنه يتحو

بخار بغ�ص النظر عن عدد مرات اإجراء التجربة. هذا واإن الكثير

دة. من التجارب العلمية هي تجارب محد

التجربة الع�شوائية

مفاهيم اأ�شا�شية 1-2

Sample Space and Events

100


2( التجـــارب الع�شوائيـــة : وهي ذلك النوع من

التج��ارب الذي قد تتغي��ر نتيجتها مع تكرار

التجربة ومن االأمثلة التقليدية على التجارب

الع�شوائي��ة تجربة رمي قطع��ة نقود وتجربة

رم��ي مكعب و�ش��ع على اأوجه��ه ال�شتة نقاط

تمثل االأعداد: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 .

اأ فعن��د رمي قطع��ة نقود ال ن�شتطي��ع اأن نتنب

م��ا اإذا كان الوجه الذي �شيظهر هو �شعار اأو

كتاب��ة، وعند رمي مكعب ال نعل��م اأي االأوجه

ال�شتة للمكعب �شيظهر فعال.

ف�شاء العينة

بالرغ��م من ع��دم مقدرتنا على تحدي��د نتيجة

نا ن�شتطيع التجربة الع�شوائية قبل اإجرائها اإال اأن

تحديد مجموعة النتائج الممكنة لتلك التجربة،

ى ه��ذه المجموعة ف�ش��اء العينة و�شنرمز وت�شم

ل�ه��ا بالرمز . فف��ي تجربة رمي قطعة نقود

يكون ف�شاءالعينة هو ،

حي��ث ترم��ز لظهور ال�شعار، ترمز لظهور

الكتابة.

نة وفي تجربة رمي المكعب يكون ف�شاء العي

123456

ك�ش

ف�شاء العينة والحوادث


الوحدة

الثانية

مثال )1-2 (

الحل

اكتب ف�شاء العينة لتجربة اختيار طالب ع�شوائيا من قائمة اأ�شماء طالب ف�شل فيه 25 طالبا.

حي��ث يرم��ز كل عدد م��ن االأعداد من 1 اإل��ى 25 لطالب من طالب الف�ش��ل البالغ عددهم 25

طالبا.

مثال )2-2(

الحل

نة لتجربة اإلقاء المكعب مرتي��ن متتاليتين وقراءة العددين اللذين �شيظهران اكت��ب ف�شاء العي

في الرميتين.

) الرمية الثانية () الرمية االأولى (

ر – يعب حي��ث ال��زوج المرت��ب )6،2( – مث��ال

ع��ن ظهور العدد 2 في الرمية االأولى والعدد 6 في

الرمية الثانية.

حيث اأن عدد النواتج في الرمية االأولى 6 ، عدد النواتج في الرمية الثانية 6 ،فاإن عدد

نواتج هذه التجربة 6 6 36

ونكتب ف�شاء العينة لهذه التجربة كما يلي:


مثال )3-2 (

يحتوي �شندوق على ثالث كرات متماثلة اإال من حيث اللون: كرة �شوداء و كرة حمراء و كرة زرقاء ،

نة لتجربة �شحب كرتين الواحدة تلو االأخرى في كل من الحالتين التاليتين: اكتب ف�شاء العي

( اإرجاع الكرة الم�شحوبة اأوال اإلى ال�شندوق قبل �شحب الكرة الثانية.

ب( عدم اإرجاع الكرة الم�شحوبة اأوال اإلى ال�شندوق قبل �شحب الكرة الثانية.

نة: ب( عند عدم اإرجاع الكرة الم�شحوبة اأوال اإلى ال�شندوق قبل �شحب الكرة الثانية يكون ف�شاء العي

– يعني اأن الكرة الم�شحوبة اأوال �شوداء والكرة الم�شحوبة ثانيا زرقاء. حيث �ص ز – مثال

اإذا ا�شتخدمنا الرموز �ص ، ح ، ز للداللة على الكرات ال�شوداء والحمراء والزرقاء على

التوالي نجد اأنه :

نة: ( عند اإرجاع الكرة الم�شحوبة اأوال اإلى ال�شندوق قبل �شحب الكرة الثانية يكون ف�شاء العي

ة واحدة ن��ة للتجربة في المثال ال�شابق هو نف�شه ف�شاء العينة لتجربة اإلقاء مكعبين متمايزين مر ف�ش��اء العي

وقراءة العدد الظاهر على كل منهما ويق�شد بالتمايز هنا اأننا ن�شتطيع التمييز بين المكعبين اأي اأنهما لي�شا

متماثلين.

)1-2(

يا لل�شهولة و�شنتبع نا لم ن�شتخدم االأزواج المرتبة لكتابة عنا�شر ف�شاء العينة؛ توخ اأن

هذا االأ�شلوب مالم نخ�ص االلتبا�ص.

الحل



الوحدة

الثانية

نة عنا�شر ف�شاء العي

�ص �ص

�ص ح

�ص ز

ح �ص

ح ح

ح ز

ز �ص

ز ح

ز ز

�ص

ح

ز

�ص

ح

ز

�ص

ح

ز

الكرة الم�شحوبة ثانيا

�ص

ح

ز

ال الكرة الم�شحوبة اأو

نة الكرة الم�شحوبة ثانيا عنا�شر ف�شاء العي ال الكرة الم�شحوبة اأو

�ص ح

�ص ز

�ص

ح

ز

ح �ص

ح ز

ز �ص

ز ح

ح

ز

�ص

ز

�ص

ح

عدد عنا�شر ف�شاء العينة عدد طرق �شحب الكرة االأولى عدد طرق �شحب الكرة الثانية

نة لبع�ص التجارب الع�شوائية، وم��ن الجدير ذكره اأنه يمكن ا�شتخدام المخطط ال�شجري لكتاب��ة ف�شاء العي

فمثال المخطط ال�شجري لمثال ) 2-3 ( فقرة هو :

فيكون عدد عنا�شر ف�شاء العينة في فقرة

و ع��دد عنا�ش��ر ف�ش��اء العينة ف��ي فق��رة

:

:

و المخطط ال�شجري لفقرة ب هو :


مثال )4-2 (

الحل

نة لتجربة اإلقاء ثالث قطع نقود متمايزة ومالحظة اكت��ب ف�شاء العي

االأوجه الثالثة الظاهرة.

حي��ث العن�ش��ر �ص ك ك – مثال – يعني ظهور �شعار عل��ى القطعة االأولى وكتابة على كل من

القطعتين الثانية والثالثة.

ى بالثالثية المرتبة ) �ص ، ك ، ك (.والمخطط ه هنا اإلى اأن الرمز �ص ك ك يعد اخت�شارا لما ي�شم وننب

نة: ح ف�شاء العي ال�شجري التالي يو�ش

للقطعة الثالثة للقطعة االأولى

عنا�شر ف�شاء

نة للقطعةالثانية العي

الوجه الظاهر الوجه الظاهر الوجه الظاهر

�ص

ك

�ص

ك

�ص

ك

�ص

ك

�ص

ك

�ص �ص �ص

�ص �ص ك

�ص ك �ص

�ص ك ك

ك �ص �ص

ك �ص ك

ك ك �ص

ك ك ك

�ص

ك

�ص

ك

عدد عنا�شر عدد نواتج رمي القطعة االأولى عدد نواتج رمي القطعة الثانية عدد

نواتج رمي القطعة الثالثة



الوحدة

الثانية

ن��ة يحت��وي عل��ى من العنا�شر فاإن عدد المجموع��ات الجزئية من ف�شاء اإذا كان لدين��ا ف�ش��اء عي

في تجربة اإلقاء مكعب كتب على اأوجهه ال�شتة االأعداد: 13،11،7،5،3،2

نة هو يكون ف�شاء العي

الحادثة

مثال )5-2(

حادثة مركبة وهي حادثة ظهور عدد اأكبر من 9.

حادثة مركبة وهي حادثة ظهور عدد فردي.

حادثة ب�شيطة وهي حادثة ظهور العدد 3.

لي اأقل من 14. حادثة موؤكدة كاأن نقول – مثال – حادثة ظهور عدد اأو

حادثة م�شتحيلة كاأن نقول – مثال – حادثة ظهور عدد اأكبر من 13.

وتكون :

)2-2(

نا ن�هتم غالبا بمجموعة معينة من النتائج. وف��ي هذه الحالة ينح�شر اهتمامنا عن��د القيام بتجربة م��ا، فاإن

نة. ن مجموعة جزئية من ف�شاء العي نة المناظرة لهذه النتائج وهذه العنا�شر تكو على عنا�شر ف�شاء العي

نة حادثة، ونقول: اإن الحادثة ب�سيطة اإذا كانت مكونة من عن�شر واحد ى كل مجموعة جزئية من ف�شاء العي ت�شم

ى الحادثة بالحادثة الموؤكدة الأن�ها حادثة تقع دائما عند اإجراء التجربة، اأما الحادثة فقط.وت�شم

ى بالحادثة الم�ستحيلة الأن�ها حادثة ال تقع اأبدا عند اإجراء التجربة، واأي حادثة غير ب�شيطة وغير فت�شم

بة. ى حادثة مرك م�شتحيلة فاإنها ت�شم

– قد وقعت اإذا ظهر العدد 11 اأو العدد 13 عند اإجراء التجربة. – مثال نقول اإن الحادثة قد وقعت اإذا ظهر اأحد عنا�شرها عند اإجراء التجربة. ففي المثال ال�شابق نقول اإن الحادثة

فة على هو حادث��ة . وعليه فاإن عدد الح�وادث نة هو ، ومن ثم فاإن عدد الح�وادث المعر العي

فة على في المثال ال�شابق المع�ر


مثال )6-2 (

الحل

في المثال ) 2-2 ( اكتب كال من الحوادث االآتية:

حادثة ظهور عددين مجموعهما ي�شاوي 5.

حادثة ظهور العدد نف�شه في الرميتين.

حادثة ظهور عدد اأ�شغر من 4 في الرمية االأولى وظهور العدد 6 في الرمية الثانية.

مثال )7-2 (

الحل

في المثال ) 2-4 ( اكتب كال من الحوادث االآتية:

حادثة ظهور �شعارين فقط.

حادثة ظهور �شعارين متتالين.

حادثة ظهور �شعارين على االأكثر.

حادثة ظهور �شعارين على االأقل.



الوحدة

الثانية

العمليات على الحوادث

نة وعليه فاإن العملي��ات على الحوادث هي في الواقع عرفن��ا اأن الحادثة ه��ي مجموعة جزئية من ف�شاء العي

ح ذلك فيما يلي: عمليات على المجموعات ونو�ش

: ثانيا- اإذا كانت ، ب حادثتين في فاإن

1( هي الحادثة التي عنا�شرها تنتمي اإلى واإلى ب، ووقوعها يعني وقوع الحادثتين ، ب معا.

2( ه��ي الحادث��ة الت��ي عنا�شره��ا تنتم��ي اإلى اأو اإلى ب اأو كليهما، ووقوعه��ا يعني وقوع اأو ب اأو

كليهما ) اأي وقوع اإحدى الحادثتين اأو ب على االأقل (.

3( هي الحادثة التي عنا�شرها تنتمي اإلى وال تنتمي اإلى ب، ووقوعها يعني وقوع وعدم وقوع ب.

: اأوال- اإذا كانت حادثة في فاإن

ى هي الحادثة التي عنا�شرها تنتمي اإلى وال تنتمي اإلى ، ووقوعها يعني عدم وقوع الحادثة وت�شم

مة الحادثة . مة الحادثة بالن�شبة اإلى واخت�شارا متم متم

) اأكمل الفراغ (

: مما �شبق ن�شتنتج اأن

�شكل )1-2(

بب ب

ويمكننا ا�شتخدام اأ�شكال ) ( لتو�شيح العمليات على الحوادث حيث نمثل ف�شاء العينة بم�شتطيل،

انظر �شكل )1-2(


ى القانونان ال�شابقان بقانوني دي مورجان. ي�شم

هي حادثة ظهور عدد زوجي.اإذا كانت:

هي حادثة ظهور عدد فردي.

هي حادثة ظهور عدد اأكبر من 4.

هي حادثة ظهور عدد يقبل الق�شمة على 3.

فاإنه يمكن تكوين الحوادث االآتية:

مثال )8-2 (

)3-2(

: اإذا كان لدينا ن من الحوادث : فاإن

1( وقوع الحادثة يعني وقوع جميع هذه الحوادث معا.

2( وقوع الحادثة يعني وقوع حادثة واحدة على االأقل من هذه الحوادث.

م�شتخدما اأ�شكال ) (، اأقنع نف�شك ب�شحة القانونين التاليين:

52

3

في تجربة اإلقاء مكعب كتب على اأوجهه ال�شتة االأعداد: 6،5،4،3،2،1

حيث ف�شاء العينة

وهي حادثة ظهور عدد فردي اأو عدد زوجي.

وهي حادثة ظهور عدد زوجي اأقل من اأو ي�شاوي 4.

وهي حادثة ظهور عدد فردي اأو عدد اأكبر من 4.

وهي حادثة ظهور عدد فردي اأكبر من 4.

وهي حادثة ظهور عدد زوجي يقبل الق�شمة على 3.

وهي حادثة ظهور عدد ال يقبل الق�شمة على 3.



الوحدة

الثانية

الحوادث المتنافية وال�شاملة

اإن هذا التعريف يعني اأن الحادثتين المتنافيتين ال تقعان معا.

فمثال: الحادثتان في المثال )2-8( متنافيتان ؛الأن

تك��ون الح��وادث متنافي��ة، اإذا كان��ت متنافي��ة مثنى مثنى، ) اأي اإذا كانت كل حادثتين

منها متنافيتان (

في تجربة اإلقاء مكعب كتب على اأوجهه ال�شتة االأعداد 13،11،7،5،3،2 فاإن الحوادث

) لماذا ؟ (حوادث متنافية

مثال )9-2(

تعريف ) 2- 2(

تعريف ) 2- 1(

اأي اإذا كان:

�هما متنافيتان اإذا كان وقوع اإحداهما يمنع وقوع االأخرى، يقال للحادثتين ، ب اإن

)4-2(

ى الحوادث المتنافية حوادث متنافية و�شاملة، اإذا كان : ت�شم

وبعبارة اأخرى نقول:

اإن الح��وادث ح��وادث متنافي��ة و�شامل��ة اإذا كان��ت ه��ذه الحوادث متنافية مثنى مثنى

نة . وكان اتحادها ي�شاوي ف�شاء العي


مثال )10-2 (

في تجربة المثال ) 2-9 ( نجد اأن الحوادث:

: حوادث متنافية و�شاملة؛ الأن

) لماذا ؟ (التعريف )2-2( ال ينطبق على الحوادث في المثال )9-2(.

1( في اأي تجربة ع�شوائية تكون الحادثتان متنافيتين و�شاملتين.

)5-2(

تدريب ) 1-2(

بالرجوع اإلى مثال )2-8( ، �شع عالمة اأو عالمة عن يمين ما يلي:

الحوادث متنافية.

الحادثتان متنافيتان و�شاملتان.

الحادثتان متنافيتان و�شاملتان.

متنافية و�شاملة.

2( اإذا كانت فاإن الحوادث الب�شيطة



الوحدة

الثانية

�شحب رقم ع�شوائيا من اأرقام العدد 697512 ، اكتب ف�شاء العينة لهذه التجربة.

م مكعب متجان�ص بحيث يكون له وجهان يحمالن الرقم 1 ، وجهان يحمالن الرقم 3 ، وجهان يحمالن م �ش

ة واحدة ومالحظة العدد الظاهر. نة لتجربة اإلقاء هذا المكعب مر الرقم 5، اكتب ف�شاء العي

�شحبت بطاقتان ع�شوائيا من �شندوق يحتوي على اأربع بطاقات كتبت عليها االأحرف ، ب ، جـ ،

د. اكتب ف�شاء العينة في كل من الحاالت االآتيـة:

ب ( �شحبت البطاقتان واحدة بعد االأخرى دون اإرجاع.

ج� ( �شحبت البطاقتان معا.

( �شحبت البطاقتان واحدة بعد االأخرى مع االإرجاع.

في تجربة رمي قطعتي نقود متمايزتين، اكتب ف�شاء العينة ثم اكتب كال من الحوادث التالية:

حادثة ظهور كتابة على القطعة االأولى.

حادثة ظهور كتابة على اإحدى القطعتين.

حادثة ظهور كتابة واحدة على االأكثر.

حادثة ظهور كتابة على اإحدى القطعتين و�شعار على القطعة االأخرى.

ج�

مة باالأعداد من 1 اإلى 10، �شحبت منه كرة كي�ص غير �شفاف يحوي 10 كرات متماثلة مرق

ا، اكتب ف�شاء العينة وكال من الحوادث التالية: ع�شوائي

حادثة �شحب كرة تحمل عددا اأوليا.

حادثة �شحب كرة تحمل عددا يقبل الق�شمة على 2 اأو 5 .

حادثة �شحب كرة تحمل عددا اأقل من 9 ويقبل الق�شمة على 4 .

حادثة �شحب كرة تحمل عددا فرديا اأكبر من 8 .

حادثة �شحب كرة تحمل العدد 12 .

1

2

3

4

5

)1 -2 (


الأحمد الحق اأن يختار حبتين من الفاكهة في مطعم واحدة بعد االأخرى، وكان في المطعم برتقال

وتفاح. اكتب ف�شاء العينة وكال من الحوادث التالية:

ة واحدة على االأكثر. اأن يختار تفاحا مر

اأن يختار برتقاال اأو تفاحا مرتين.

ة واحدة على االأقل. اأن يختار برتقاال مر

قام عبد الرحمن برحلة من الظهران اإلى جدة على ثالث مراحل هي:

الظهران – الريا�ص ، الريا�ص – المدينة ، المدينة – جدة ، فاإذا كانت و�شيلة الموا�شالت في

ا طائرة اأو �شيارة فاكتب ف�شاء العينة لهذه الرحلة وكذلك كال من الحوادث التالية: كل مرحلة اإم

ا�شتخدام الطائرة في جميع مراحل الرحلة.

ا�شتخدام ال�شيارة في رحلة واحدة فقط.

ا�شتخدام الطائرة في رحلة واحدة على االأقل.

نة الذي م��ن بي��ن خم�شة موظفين ، ب ، ج� ، د ، ه� نريد اختيار لجنة من ثالثة اأع�شاء. اكتب ف�شاء العي

ر عن جميع اللجان الممكنة ثم اكتب كال من الحوادث التالية: يعب

حادثة ، ب لي�شا في اللجنة.

حادثة ب لي�ص في اللجنة.

حادثة ، ب في اللجنة.

حادثة اأو ب في اللجنة.

حادثة وقوع وعدم وقوع .

حادثة وقوع وعدم وقوع .

حادثة وقوع فقط من هذه الحوادث الثالث ) اأي حادثة وقوع وعدم وقوع و ( .

حادثة عدم وقوع اأي من هذه الحوادث الثالث .

ج�

6

7

8

ر رمزيا عن كل من الحوادث االآتية.9 نة فعب اإذا كانت حوادث من ف�شاء العي



الوحدة

الثانية

في تجربة اإلقاء المكعب مرتين متتاليتين ، اإذا كان :10

فاكتب كال من الحوادث التالية:

حادثة الفرق الموجب بين العددين الظاهرين 3 .

حادثة اأحد العددين الظاهرين يقبل الق�شمة على 3 .

حادثة مجموع العددين الظاهرين يزيد عن 9 .

في التجربة المعطاة في تمرين )4( :11

( اكتب كال من الحوادث التالية:

ب ( اأي من الحوادث ، ب ، ج� ، د يتنافى مع االآخر؟ وهل الحوادث ، ب ، ج� ، د متنافية؟

ج� ( من بين الحوادث ، ب ، ج� ، د اختر ثالث حوادث تكون متنافية و�شاملة.

: حادثة عدم وقوع

ب : حادثة وقوع اأو

: حادثة وقوع و

د : حادثة وقوع وعدم وقوع

ج�


المفهوم التجريبي لالحتمال

نظريات الحتمال

احتمال بكلم��ة المق�شود

ه��و التعبي��ر الع��ددي عن

لح��دوث عن��ا توق م��دى

ن��ة، وفيما يلي حادث��ة معي

م مفهومين الحتمال نق��د

حادثة.

دة، ففي حالة اإلقاء قطع��ة النقود اأو المكعب فاإن الوجه اإن الظ��روف المحيط��ة بتجربة ما كثيرة ومعق

ال��ذي يظهر بعد االإلقاء يعتم��د على ظروف كثيرة، بع�شها معروف وبع�شه��ا نجهله تماما، فهو يعتمد

على طريقة وقوة االإلقاء ونقطة اال�شطدام االأولى بالم�شتوي االأفقي وغير ذلك من االأمور التي ال يعلمها

اإال الذي كل �شيء عنده بمقدار - جلت قدرته - والتي تت�شبب في ظهور ذلك الوجه دون االآخر وبالتالي

ف��اإن وق��وع حادثة في ظرف ما قد ال يعاد ذاته في ظ��رف اآخر مما يدعو اإلى البحث عن احتمال حادثة

بتكرار التجربة عددا كبيرا من المرات.

ى قت من المرات فاإن الن�شبة ت�شم رنا تجربة ما مرات عددها ووجدنا اأن الحادثة تحق فلو كر

ع اأن تكبر اإذا كبرت ، ولكن التكرار الن�شبي للحادثة وتعد قيمة تقريبية الحتمال وقوع . ومن المتوق

لي��ص م��ن ال�شروري اأن تبقى الن�شب��ة ثابتة، اإال اأنه عند زيادة عدد مرات اإجراء التجربة زيادة

ى احتمال الحادثة . د ي�شم كبيرة فاإن الن�شبة ت�شتقر وتقترب من عدد محد

2-2

نظريات االحتمال

Probabiltiy Theorems


الوحدة

الثانية

مثال )11-2(

الحل

ة ، في تجربة رمي قطعة نقود، األقيت قطعة نقود من قبل اأحد االأ�شخا�ص 50 مر

ة. فظهر ال�شعار 26 مر

ة، وعندما قام هذا ال�شخ�ص بالتجربة نف�شها واألقى قطعة النقود 250 مر

ة. ظهر ال�شعار 127 مر

اأوجد القيمة التقريبية الحتمال ظهور ال�شعار في كل حالة.

في الحالة االأولى، احتمال ظهور ال�شعار

في الحالة الثانية، احتمال ظهور ال�شعار

القيمتين التقريبيتين الحتمال ظهور ال�شعار مختلفتان، اإال اأنهما قريبتان من العدد ، واأن القيمة

االأخيرة ) الناتجة عن زيادة عدد مرات تكرار التجربة ( هي االأقرب اإلى العدد .

ات ��ع اأن تقت��رب القيمة التقريبية لالحتمال �شيئ��ا ف�شيئا من العدد بزيادة عدد مر وم��ن المتوق

ات اإجراء التجربة كبيرا جدا، فاإن هذه القيمة التقريبية لالحتمال اإجراء التجربة، واإذا اأ�شبح عدد مر

��ى العدد حينئذ احتمال حادثة ظهور �شعار في تجربة رمي قطعة تثب��ت عن��د الع��دد ، وي�شم

نقود.

نا ��ا كان ح�ش��اب احتمال حادثة ما عن طريق اإجراء التجربة ع��ددا كبيرا من المرات اأمرا �شعبا فاإن ولم

مه فيما يلي: ى االحتمال المنتظم. ونقد �شنتعامل مع مفهوم اآخر لالحتمال ي�شم

81االإح�صاء واالحتمال

المفهوم النظري لالحتمال المنتظم

نة من عن�صر� ف�إن �أي �أن : � �إذ� ك�نت �لح�دثة مكو �أم

نة هو ف�ساء مت�س��اوي االحتم��االت اأي اأن لجميع حوادثه يعتم��د ه��ذا المفه��وم على افترا�ض اأن ف�س��اء العي

نة يتاألف من عن�سرا وكانت حادثة ب�سيطة في الب�سيطة االحتمال نف�سه، فاإذا كان ف�ساء العي

ورمزنا الحتمال الحادثة بالرمز ، فاإن .

وبعبارة اأخرى فاإن :

عدد طرق وقوع الحادثة

نة عدد طرق وقوع ف�ساء العي

)6-2(

��دة ف��اإن ع��دد عنا�س��ر ويك��ون ��ا اإذا ل��م تك��ن الحادث��ة الم�ستحيل��ة وال الموؤك اأم

ه اإذا كانت اأي حادثة فاإن ، وعليه يمكننا القول: اأن

واإذا كانت هي الحادثة الموؤكدة ) اأي اأن ( فاإن عدد عنا�سر ويكون في هذه الحالة

نة ف�ص�ء �لعي

ه اإذا كانت هي الحادثة الم�ستحيلة ) اأي اأن ( فاإن عدد عنا�سر ي�ساوي ال�سفر من الوا�سح اأن

ويكون



82

الوحدة

الثانية

الحل

مثال )12-2(

. لي اإذا األقي مكعب كتب على اأوجهه ال�شتة االأعداد 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 فما احتمال ظهور عدد اأو

. لي وبفر�ص اأن هي حادثة ظهور عدد اأو

فاإن

ويكون عدد عنا�شر

الحل

مثال )13-2(

في المثال ) 2-2 ( اأوجد احتمال ظهور عددين مجموعهما 8.

( اأوجد احتمال �شحب كرة حمراء من كي�ص يحوي ثالث كرات متماثلة اثنتين حمراوين وواحدة زرقاء.

ب( �ش��ع في كي�ص غير �شفاف ث��الث كرات متماثلة اثنتين حمراوين وواحدة زرقاء ثم قم عمليا ب�شحب كرة

ل لونها، اأعد التجربة مئة مرة ثم اأوجد قيمة الن�شبة: من الكي�ص و�شج

عدد مرات ظهور كرة حمراء

عدد مرات اإجراء التجربة

ة ثم اأوجد قيمة الن�شبة ال�شابقة. ر التجربة ال�شابقة 150 مر كر

ج�( قارن بين النتيجتين التي ح�شلت عليها في فقرة ب ثم قارنهما مع ما نتج لديك في فقرة . ماذا تالحظ ؟

تدريب ) 2-2(

عدد عنا�شر

بالرجوع اإلى حل المثال ) 2-2 ( نجد اأن عدد عنا�شر

واإذا كانت هي حادثة ظهور عددين مجموعهما 8 فاإن :




)7-2(

الحل

مثال )14-2(

�شندوق به 5 كرات بي�شاء، 4 كرات حمراء ، �شحبت منه كرتان معا، فما احتمال اأن تكون:

( الكرتان بي�شاوين.

ب( واحدة بي�شاء واالأخرى حمراء.

( نفر�ص اأن هي حادثة �شحب كرتين بي�شاوين.

اإذا عدد عنا�شر عدد طرق �شحب كرتين بي�شاوين من بين 5 كرات بي�شاء

ويكون

عدد عنا�شر عدد طرق �شحب كرة بي�شاء من بين 5 كرات بي�شاء عدد طرق �شحب

كرة حمراء من 4 كرات حمراء

نفر�ص اأن هي حادثة �شحب كرتين واحدة بي�شاء واالأخرى حمراء وح�شب مبداأ العد فاإن :

ن��ة ) اأو اأي حادثة ( دون كتابة جميع عنا�ش��ر ) اأو عنا�شر يمكنن��ا تعيي��ن ع��دد عنا�شر ف�ش��اء العي

الحادثة ( وذلك با�شتخدام مبداأ العد وقوانين التباديل والتوافيق.

نة عدد طرق �شحب كرتين من بين 9 كرات عدد عنا�شر ف�شاء العي



84

الوحدة

الثانية

الحل

مثال )15-2(

�شن��دوق به 12 تفاحة منها 4 تالف��ة. اختير ع�شوائيا ثالث تفاحات

واح��دة بعد االأخرى بدون اإرجاع. اح�شب احتمال اأن تكون جميعها

جيدة.

: وبفر�ص اأن هي حادثة اأن تكون التفاحات الثالث جيدة، فاإن

عدد عنا�شر عدد طرق اختيار ثالث تفاحات واحدة بعد االأخرى من بين 8 تفاحات

ويكون:

نة من 10 اأطباء امراأتين وثماني��ة رجال، اختيرت منهم لجنة من ثالثة اأطباء بطريقة مجموع��ة مكو

ع�شوائية.

اأوجد احتمال اأن تكون هذه اللجنة:

( جميعها من الرجال.

ب ( رجلين وامراأة.

ج� ( رجال وامراأتين.

تدريب ) 3-2(

نة عدد طرق اختيار ثالث تفاحات واحدة بعد االأخرى من بين ع��دد عنا�ش��ر ف�ش��اء العي

12 تفاحة ) اأي مع مراعاة الترتيب (.


نظريات اأ�شا�شية في االحتمال

��ة باالحتمال معتمدين في برهنته��ا على م�شلمات ث��الث تعرف بم�شلمات م فيم��ا يلي نظريات خا�ش �شنق��د

االحتمال وهي:

ويمكننا تعميم الم�شلمة 3 على النحو التالي:

: اإذا كانت حوادث متنافية فاإن

)8-2(

نة من عن�شر واحد – مثال – من ف�شاء �شنرم��ز – ب�ه��دف التب�شيط – الحتمال الحادثة الب�شيطة المكو

العينة بالرمز بدال من ونقول اإن هو احتمال العن�شر .

نتيجة )1-2(

: الأي حادثة فاإن

نة ل�ها. اأي اأن احتمال اأي حادثة ي�شاوي مجموع احتماالت العنا�شر المكو

: اإذا كانت حادثتين متنافيتين ) اأي اأن ( ، فاإن

: لكل حادثة فاإن



86

الوحدة

الثانية

البرهان

: حوادث متنافية، بما اأن

...........................................................................

) اأكمل الفراغ (.......................................................

تدريب ) 4-2(

في تجربة ما، اإذا كانت ، وكان ، فما قيمة ؟

: اإذا كانت حوادث متنافية و�شاملة، فاإن

البرهان

نتيجة )2-2(

الم�شلمة )2( ، )3(

تعريف ) 2-2 (

لت اإلى اأنه في تجربة ما يكون: لعلك تو�ش

1( مجموع احتماالت جميع الحوادث الب�شيطة ي�شاوي الواحد.

2( مجموع احتماالت الحوادث المتنافية اأقل من اأو ي�شاوي الواحد.

:

:


نظرية )1-2(

البرهان

مة للحادثة فاإن : اإذا كانت هي الحادثة المتم

نتيجة ) 2-2 (

: حادثتان متنافيتان و�شاملتان ملحوظة ) 2-5 ( بما اأن

تدريب ) 5-2(

ا�شتخدم نظرية ) 2-1 ( للتحقق من اأن

مثال )16-2(

الحل

اإذا كان فاأوجد

نظرية ) 1-2 (


:

:

:

:


88

الوحدة

الثانية

نظرية )3-2(

نظرية )2-2(

البرهان

اإذا كانت اأي حادثتين بحيث فاإن

بما اأن

اإذا يمكن التعبير عن ب باتحاد الحادثتين المتنافيتين :

انظر �شكل ) 2-2 (

من الم�شلمة )1(


فنكتب

�شكل )2-2(

ب

تدريب ) 6-2(

ا�شتخدم نظرية ) 2-2 ( للتحقق من اأنه : الأي حادثة يكون

: اإذا كانت اأي حادثتين فاإن

�شكل )3-2(

البرهان

يمكن التعبير عن باتحاد الحادثتين المتنافيتين :

انظر �شكل ) 3-2( فنكتب


ب


نظرية )4-2(

مثال )17-2(

الحل

اإذا كان وكان فاأوجد .

من نظرية ) 3-2 (

: اإذا كانت اأي حادثتين فاإن

من ال�شكل ) 2-4 ( نالحظ اأنه يمكن التعبير عن الحادثة

باتحاد الحادثتين المتنافيتين : فيكون:

تدريب ) 7-2(

ة من النظرية ) 4-2 ( تحقق من اأن الم�شلمة )3( هي حالة خا�ش

�شكل )4-2(

ب

البرهان

من نظرية ) 3-2 (



90

الوحدة

الثانية

الحل

مثال )18-2(

تدريب ) 8-2(

وفيما يلي نتناول اأمثلة متنوعة وتطبيقات من الحياة على ح�شاب احتماالت حوادث معينة مفتر�شين

نة هو ف�شاء مت�شاوي االحتماالت ما لم نذكر خالف ذلك. اأن ف�شاء العي

مثال )19-2(

لقيت مت بحيث اإن احتمال ظهور ال�شعار هو �شعف احتمال ظهور الكتابة، اأ م قطعة نق��ود �ش

نة، واأوجد احتماالت الحوادث الب�شيطة. ة واحدة. اكتب ف�شاء العي القطعة مر


الحل

مثال )20-2(

الحل

ة لقي��ت قطعة نقود مرتين متتاليتين، اأوجد احتمال اأن يظهر ال�شعار مراأ

واحدة على االأقل.

يمكن اإيجاد با�شتخدام نظرية ) 2-1 ( وذلك على النحو التالي:

ة واحدة على االأقل بفر�ص اأن هي حادثة ظهور ال�شعار مر



) لماذا ؟ (


�أنه

:


92

الوحدة

الثانية

الحل

مثال )21-2(

لقي كان م بحيث اإذا اأ م مكع��ب غي��ر متجان�ص كتب على اأوجهه االأعداد: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 �ش

احتمال ظهور اأي عدد يتنا�شب مع ذلك العدد، اح�شب احتماالت الحوادث الب�شيطة وا�شتخدمها

في ح�شاب احتمال:

ظهور عدد زوجي.

ظهور عدد فردي.

ظهور عدد زوجي اأو عدد فردي.

وعليه يكون :

��ه بف��ر�ص اأن ثاب��ت التنا�شب هو �ص وبم��ا اأن احتم��ال ظهور العدد يتنا�ش��ب مع هذا العدد فاإن

نح�شل على:

فيكون:

ولكن:


يمكننا اإيجاد باإيجاد ثم ح�شاب احتمال�ها.

مثال )22-2(

موؤتم��ر عالم��ي �ش��م 150 ع�شوا ، وج��د اأن 100 ع�شو منه��م يتحدثون اللغ��ة االإنجليزية، 60

ع�شوا يتحدثون اللغة الفرن�شية، 20 ع�شوا يتحدثون اللغتين معا. اختير ع�شو ع�شوائيا، اأوجد

احتمال اأن يكون هذا الع�شو:

يتحدث اللغة االإنجليزية اأو الفرن�شية.

ال يتحدث اأيا من اللغتين.

يتحدث اللغة االإنجليزية فقط.

نفر�ص اأن هي حادثة ظهور عدد زوجي

اإذا:

وبالتالي:

نفر�ص اأن ب هي حادثة ظهور عدد فردي

اإذا:

وبالتالي:

نفر�ص اأن ج� هي حادثة ظهور عدد زوجي اأو عدد فرديج�

اإذا:

الأن الحادثتين ، ب متنافيتان

)ماذا يعني ذلك؟(


�أنه


94

الوحدة

الثانية



ولكن: عدد عنا�شر




اإذا:

الحل


: هي حادثة اأن يكون هذا الع�شو يتحدث اللغة االإنجليزية، وبفر�ص اأن

ب هي حادثة اأن يكون هذا الع�شو يتحدث اللغة الفرن�شية،

تكون : هي حادثة اأن يكون هذا الع�شو يتحدث اللغتين معا،

هي حادثة اأن يكون هذا الع�شو يتحدث اللغة االإنجليزية اأو الفرن�شية.

وبالتالي :

حادثة اأن يكون هذا الع�شو ال يتحدث اأيا من اللغتين هي :

قانون ) 2-2 (

با�شتخدام �شكل ) 2-5 ( تحقق من �شحة االإجابات ال�شابقة.

�شكل )5-2(

ب

�شخ�ص�شخ�ص �شخ�ص

8040 20

10 اأ�شخا�ص

حادثة اأن يكون هذا الع�شو يتحدث اللغة االإنجليزية فقط هي:


مثال )23-2(

الحل

مة م��ن 1 اإلى 15 ، اأوجد احتم��ال اأن يكون �شحب��ت بطاقت��ان ع�شوائيا من بي��ن 15 بطاقة مرق

مجموع العددين على البطاقتين الم�شحوبتين فرديا في كل من الحاالت االآتية:

�شحبت البطاقتان معا.

�شحبت البطاقتان واحدة بعد االأخرى مع االإرجاع.

ا نفر�ص اأن هي حادثة �شحب بطاقتين معا مجموعهما فردي، ولكي يكون المجموع فردي

فالبد اأن تكون اإحدى البطاقتين فردية واالأخرى زوجية.

اإذا عدد عنا�شر

عدد طرق �شحب بطاقة فردية من بين 8 بطاقات فردية عدد طرق �شحب بطاقة زوجية من بين 7 بطاقات زوجية.

عدد عنا�شر عدد طرق �شحب بطاقتين معا من بين 15 بطاقة

نة عدد طرق �شحب بطاقتين واحدة بعد االأخرى مع االإرجاع. عدد عنا�شر ف�شاء العي

نفر�ص اأن ب هي حادثة �شحب بطاقتين واحدة بعد االأخرى مع االإرجاع مجموعهما فردي.

اأي اأن ب هي حادثة �شحب بطاقة فردية ثم بطاقة زوجية اأو �شحب بطاقة زوجية ثم فردية،

وبفر�ص اأن ج� هي حادثة �شحب بطاقة فردية ثم بطاقة زوجية،

د هي حادثة �شحب بطاقة زوجية ثم بطاقة فردية.



96

الوحدة

الثانية

تدريب ) 9-2(

اأعد حل المثال ) 2-23 ( اإذا �شحبت البطاقتان واحدة بعد االأخرى دون اإرجاع.

) لماذا ؟ (





:

:

:

:


( ظهور عدد فردي ب ( ظهور عدد يقبل الق�شمة على 3

ج� ( ظهور عدد زوجي د ( ظهور عدد �شالب

ه ( ظهور عدد اأقل من اأو ي�شاوي 15 و ( ظهور عدد اأكبر من 14

ة 1 األق��ى اأح��د الطلبة مكعبا كت��ب على اأوجهه االأع��داد: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 مئة مر

ة. ما االحتمال التجريب�ي لحادثة ظهور العدد 4 ؟ فظهر العدد 4 خم�ص ع�شرة مر

ف��ي اإح�شائي��ة اإحدى الم�شت�شفيات، اأجرى طبيب 1000 عملية جراحي��ة من النوع نف�شه، نجحت منها 2

980 عملية فما احتمال نجاح العملية - باإذن اهلل - على يد هذا الطبيب ؟

�شندوق به 3 كرات حمراء، 6 كرات زرقاء، 5 كرات بي�شاء. �شحبت كرة واحدة بطريقة ع�شوائية. 3

اإذا كانت جميع الكرات متماثلة فاح�شب احتمال اأن تكون الكرة الم�شحوبة:

األقي مكعب كتب على اأوجهه االأعداد: 11 ، 12 ، 13 ، 14 ، 15 ، 16 اح�شب احتمال كل من الحوادث االآتية:4

األقيت ثالث قطع نقود متمايزة، اح�شب ماياأتي:5

( حمراء ب ( زرقاء ج� ( بي�شاء

د ( لي�شت حمراء ه ( لي�شت زرقاء و ( لي�شت بي�شاء

ز ( حم��راء اأو زرق��اء ح ( حم��راء اأو زرق��اء اأو بي�ش��اء ط ( لي�ش��ت حم��راء وال زرق��اء

ي ( لي�شت حمراء وال زرقاء وال بي�شاء

( احتمال ظهور �شعار واحد اأو �شعارين.

ب ( احتمال ظهور �شعار واحد اأو ثالث �شعارات.

ج� ( احتمال ظهور �شعار واحد على االأقل.

د ( احتمال ظهور �شعار اأو عدم ظهور كتابة.

) 2 -2 (2

1

6



98

الوحدة

الثانية

6

7

اختيـــر عـــدد من الع�شرين عـــددا ال�شحيحة الموجبـــة االأولى بطريقة ع�شوائيـــة، اح�شب احتمال اأن

يكون العدد:

8

9

10

لقي مكعبان متمايزان من النوع المو�شوف في تمرين )4(، فما احتمال اأن يكون مجموع العددين اإذا اأ

على الوجهين العلويين 24 اأو 29 .

ج�

ا اأو يقبل الق�شمة على 3 . زوجي

ا اأو يقبل الق�شمة على 5 . ب فردي

ج� يقبل الق�شمة على 2 اأو على 3 .

د ال يقبل الق�شمة على 2 اأو ال يقبل الق�شمة على 3 .

ه ال يقبل الق�شمة على 3 اأو زوجيا.

وقوع و ب معا .

عدم وقوع اأو عدم وقوع ب .

اإذا كان احتمال نجاح طالب ما في مادة الريا�ش�يات هو ، احتمال نج�اح الطالب نف�شه في مادة

ة واحدة الفيزياء هو ، واحتمال نجاحه في المادتين معا هو ، فما احتمال نجاحه في ماد

منهما على االأقل.

اإذا كان ب ، وكان ح ) (= 0.4 ، ح )ب(= 0.7 فاأوجد:

اإذا كان ح) ب( = 0.6 ، وكان ح ) ( = 0.3 ، ح )ب( = 0.5 فاأوجد احتمال كل من :


11

عين على النحو االآتي :13 في كلية العلوم باإحدى الجامعات 73 طالبا موز

40 طالبا يدر�شون الريا�شيات ، 35 طالبا يدر�شون الفيزياء ، 25 طالبا

يدر�ش��ون الكيمي��اء ، اإال اأن 11 طالب��ا يدر�شون الريا�شي��ات والفيزياء

فق��ط ، 6 طالب يدر�شون الكيمي��اء والفيزياء فقط ، 4 طالب يدر�شون

الريا�شيات والكيمياء فقط ، 3 طالب يدر�شون المواد الثالث.

اختير طالب منه��م ع�شوائيا. اح�شب احتمال اأن يكون هذا الطالب من

بين الذين :

ا يوجـــد فـــي �شنـــدوق 10 م�شابيح ، 3 م�شابيـــح منها غير �شالحة ونريد �شحـــب م�شباحين ع�شوائي

واحدا بعد االآخر دون اإرجاع. اح�شب احتمال كل من الحوادث االآتية:

الم�شباحان غير �شالحين.

الم�شباحان �شالحان.

اأحد الم�شباحين على االأقل غير �شالح. ج�

ا 12 ا يقروؤون جريـــدة عكاظ فقـــط ، 22 �شخ�ش ـــا وجـــد اأن 27 �شخ�ش فـــي عينـــة ع�شوائيـــة مـــن 75 �شخ�ش

ا يقروؤون الجريدتيـــن معا. فاإذا اختير �شخ�ص من هذه يقـــروؤون جريـــدة الجزيرة فقط ، 18 �شخ�ش

العينة فاأوجد:

اء جريدة الجزيرة. احتمال اأن يكون من قر

ا من الجريدتين.احتمال اأن يكون ممن ال يقراأ اأي�

اء اإحدى الجريدتين دون االأخرى. احتمال اأن يكون من قر ج�

( يدر�شون الريا�شيات ب ( يدر�شون الكيمياء

ج� ( يدر�شون الفيزياء د ( يدر�شون الريا�شيات اأو الكيمياء

ه ( يدر�شون الريا�شيات اأو الفيزياء و ( يدر�شون الفيزياء اأو الكيمياء

ز ( يدر�شون الريا�شيات فقط ح ( يدر�شون الفيزياء و الكيمياء

ط ( يدر�شون الكيمياء فقط ي( ال يدر�شون الريا�شيات وال الكيمياء

ك ( ال يدر�شون الريا�شيات ويدر�شون الكيمياء

ريا�شياتفيزياء

كيمياء

11

463


100

الوحدة

الثانية

ا ال ن�شتطيع اأن 1 فن��ا التجربة الع�شوائية باأن�ها كل اإجراء نعلم م�شبقا جميع النواتج الممكنة له واإن كن عر

اأ بال�شبط اأي هذه النواتج �شيتحقق فعال. نتنب

نة لتجربة ما باأنه مجموعة جميع النواتج الممكنة ل�هذه التجربة ورمزنا له بالرمز 2 فنا ف�شاء العي عر

نة، ودر�شنا العمليات على الحوادث.3 عرفنا اأن الحادثة هي مجموعة جزئية من ف�شاء العي

4

5

عرفن��ا اأن الح��وادث تك��ون متنافي��ة اإذا كان��ت متنافي��ة مثن��ى مثن��ى

) اأي اأن ( حي��ث وتك��ون ه��ذه الح��وادث

متنافية و�شاملة ، اإذا كانت متنافية وكان

منا م�شلمات االحتمال الثالث وهي:6 قد

ا من المرات، من��ا المفه��وم التجريب�ي لالحتمال والذي يعتمد على اإجراء التجربة ع��ددا كبيرا جد قد

منا المفهوم النظري لالحتمال المنتظم والذي يعتمد على افترا�ص اأن لجميع النواتج المختلفة كما قد

نة احتماالت مت�شاوية ومن ذلك ا�شتنتجنا اأن احتمال اأي حادثة هو: في ف�شاء العي



لكل حادثة فاإن

اإذا كانت ، ب حادثتين متنافيتين فاإن ج�



منا نظريات االحتماالت االأ�شا�شية وهي :7 قد

منا تطبيقات من الحياة وتطبيقات على اإيجاد احتمال حادثة با�شتخدام مبداأ العد وقوانين التباديل 8 قد

والتوافيق.

مة للحادثة فاإن اإذا كانت هي الحادثة المتم

اإذا كانت ، ب اأي حادثتين بحيث فاإن

اإذا كانت ، ب اأي حادثتين فاإن ج�

اإذا كانت ، ب اأي حادثتين فاإن د

ومنها اإذا كان

�شع عالمة اأو عالمة عن يمين ما يلي:1

ن ومالحظة عدد الفئ��ران التي تموت بفعل هذا م معي ن��ة في تجربة حقن 7 فئ��ران ب�ش ف��راغ العي

م هو : ال�ش

رات متتالية ومالحظة الوجه الظاهر هو 8 نة في تجربة اإلقاء قطعة نقود 4 م عدد عنا�شر فراغ العي

لي زوجي حادثة م�شتحيلة. في تجربة اإلقاء المكعب تكون حادثة ظهور عدد اأو

ا. الأي حادثتين متنافيتين ، ب تكون ، ب متنافيتين اأي�ش

الأي حادثتين ، حيث فاإن

اإذا كان ، فاإن

اإذا كان ، فاإن عدد عنا�شر عدد عنا�شر

اإذا كان ، فاإن غير متنافيتين.

اإذا كان ، فاإن

102

ا يلي:2 اختر االإجابة ال�شحيحة لكل مم

لي في تجربة رمي مكعب كتب على اأوجهه االأعداد 2 ، 4 ، 6 ، 8 ، 10 ، 12 هي حادثة ظهور عدد اأو

دة ( حادثة :) ب�شيطة ، م�شتحيلة ، موؤك

ج�

دة ( حادثة ظهور �شعار اأو كتابة في تجربة اإلقاء قطعة نقود هي حادثة: ) ب�شيطة ، م�شتحيلة ، موؤك

اإذا ت�شابق 3 طالب ، ب ، ج� في ال�شباحة وكان احتمال فوز الطالب ي�شاوي احتمال فوز الطالب

ج�� ، واحتم��ال فوز الطالب ب �شعف احتمال فوز الطالب ف��اإن احتمال فوز الطالب اأو الطالب

ب هو :

ف��ي تجرب��ة تكوي��ن ع��دد م��ن رقمي��ن مختلفين من مجموعة االأرقام فاإن

ن زوجيا ورقم ع�شراته زوجيا هو : احتمال اأن يكون العدد المكو

د

و

ه

اب م�شعد خالل دقيقة اأثناء وقوفه بالدور االأر�شي، اإذا وجد ما يلي: في درا�شة لعدد رك

ه �شيادان بندقيتيهما نحو غزال فاإذا كان احتمال اأن ي�شيب ال�شياد االأول الغزال هو يوج

واحتمال اأن ي�شيب ال�شياد الثاني الغزال هو واحتمال اأن ي�شيب االثنان معا الغزال هو

، فاإن احتمال اأن ي�شاب الغزال هو :

اب راكبين فاأكثر هو: فاإن احتمال اأن يكون عدد الرك

اب عدد الرك

االحتمال

فاأكثر 01234

0.3 0.24 0.22 0.18 0.06

103

تق�ش��ي تجربة برم��ي مكعبين متجان�شي��ن مرقمي الوجوه م��ن 1 اإلى 6، 3

نة. وح�شاب مجموع العددين الظاهرين. اكتب ف�شاء العي

5

ادها.4 حديقة ل�ها ثالثة اأبواب لدخول وخروج رو

ن��ة لتجربة الدخول ثم الخروج م��ن الحديقة با�شتخدام ه��ذه االأبواب ثم اكتب اكت��ب ف�شاء العي

الحوادث االآتية:

حادثة ا�شتخدام نف�ص الباب في الدخول اأو الخروج.

في الدخول.1حادثة ا�شتخدام ب

في الدخول اأو الخروج.1حادثة عدم ا�شتخدام ب

اأي من الحوادث يتنافى مع االآخر. وهل الحوادث متنافية ؟

في تجربة رمي قطعة نقود مرتين متتاليتين، اأوجد:

احتمال ظهور كتابة في الرميتين.

احتمال ظهور �شعار في الرميتين.

احتمال ظهور �شعار في الرميتين على االأكثر.

احتمال ظهور الوجه نف�شه في الرميتين.

ج�

د

لقي يكون احتمال 6 م بحيث اإذا اأ م مكعب غير متجان�ص كتب على اأوجهه االأعداد 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، �ش

ظه��ور كل م��ن االأع��داد 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 مت�شاويا، واحتمال ظهور الع��دد 6 ي�شاوي ثالثة اأمثال احتمال

ظهور العدد 1 ، اح�شب احتمال ظهور عدد زوجي.

نة لتجربة ع�شوائية ما وكان: 7 اإذا كانت ، ب حادثتين في ف�شاء عي

احتمال وقوع حادثة واحدة على االأقل من الحادثتين ، ب.

احتمال وقوع اإحدى الحادثتين فقط.

1

2

104

�شندوق به 15 كرة متماثلة ، 10 كرات منها بي�شاء ، 5 كرات �شوداء.8

�شحبت كرة ع�شوائيا من ال�شندوق. اح�شب احتمال اأن

تكون هذه الكرة بي�شاء.

�ها بي�شاء ، بعد ذلك �شحبت كرة وو�شعت جانبا وظهر اأن

�شحبت كرة اأخرى، اح�شب احتمال اأن تكون هذه الكرة

ا. بي�شاء اأي�ش

�شحبت كرتان واحدة بعد االأخرى مع االإرجاع ، اح�شب

احتمال اأن تكون الكرتان بي�شاوين.

�شحبت خم�ص كرات معا . اح�شب احتمال اأن يكون بين الكرات الخم�ص الم�شحوبة كرتان بي�شاوين

وثالث كرات �شوداء.

�شحب��ت ثالث ك��رات واحدة بعد االأخرى بدون اإرجاع، اح�شب احتم��ال اأن تكون األوان الكرات الثالث

مختلفة على التتابع.

ج�

د

ه

��ف جمعي��ة تحفيظ القراآن الكريم في اإح��دى المدار�ص الثانوية من 24 طالب��ا ) 16 من الم�شتوى 9 تتاأل

الثاني، 8 من الم�شتوى الثالث ( ، فاإذا اأراد الم�شرف على الجمعية ت�شكيل لجنة منهم للتوعية االإ�شالمية

تتاألف من ثالثة طالب، فما احتمال:

اأن تكون اللجنة من الم�شتوى الثاني.

اأن ت�شم اللجنة اثنين فقط من الم�شتوى الثاني.

اأن ت�شم اللجنة اثنين فقط من الم�شتوى الثالث.

اأن ت�شم اللجنة اثنين على االأكثر من الم�شتوى الثاني.

ج�

د

105

الدرو�س

الإح�ساء الوحدة

الثالثة

)3-1( الجداول التكرارية.

التمثيل البياين للتوزيعات )2-3(

التكرارية

)3-3( مقايي�ص النـزعة املركزية .

)3-4( االنحراف املعياري

)3-5( االرتباط

)3-6( الدرجة املعيارية

Statistics

ع��رف االإح�ش��اء قديم��ا ، وحديثا ،

وتتعدد ا�شتخدامات��ه لت�شمل مجاالت

يهت��م وه��و . الحي��اة ف��ي ع��دة

بجم��ع البيان��ات وتنظيمه��ا وتحليلها

وا�شتخال��ص النتائج منه��ا ، ومن ثم

اتخاذ القرارات المبنية عليها.

الأهداف

هذه درا�شـة بعد الطالب من يتوقع


لدرا�شـــــــــة الالزمـــــــــــة البيــــــانـــات يجمـــع -1

مهـــا في جـــداول تكرارية . يـــة و ينظ اإح�شائ

: با�شتخـــدام تكراريـــة توزيعـــات ـــل يمث -2

التكـــراري، الدائرية،المـــدرج القطاعـــات

الم�شلع التكراري.

3- يح�شـــب كال مـــن الو�شـــط الح�شابي والو�شيط

والمنوال لبيانات مبوبة وغير مبوية.

بة 5- يح�شب االنحراف المعياري لبيانات مبو

بة. وغير مبو

ف 6- يوجد معامل االرتباط بين متغيرين ويوظ

ته. ذلك في تحديد نوع االرتباط و�شد

8- يوجد الدرجة المعيارية لدرجة معطاة في

ظاهرة معينة.

4- يوجد كال من الو�شيط والمنوال بالر�شم.

7- ي�شتعمل �شكل االنت�شار لتحديد نوع االرتباط

و�شدته.

108 االإح�شاء واالحتمال

الوحدة

الثالثة

ة نتو�شل اإليها بالتجريب ها يعتمد على التخطيط ال�ش�ليم الذي يعتمد على نتائج علمي م االأمم ورقي اإن تقد

ى االأ�ش�لوب والم�ش�اه��دة في كثير من العلوم مثل علم االقت�ش��اد وعلم االجتماع وعلم النف�ص وغيرها، وي�ش�م

��ات علمية جديدة باالأ�شـلوب ال��ذي نتبعه في تعميم التجرب��ة ومعالجة النتائج للح�ش�ول على قوانين ونظري

االإح�شائـــي للبحث،فاالإح�ش��اء من اأهم و�ش�ائل البحث العلمي وال�ش�يما ف��ي العلوم التي يعتمد البحث فيها

عل��ى درا�ش�ة الم�ش�اهدات والتو�شل اإل��ى نتائج وقوانين.والنتائج المختلفة للقيا��ص، كالدرجات التي ح�شل

عليها مجموعة من الطالب في اختبار ما، اأو اأ�ش�عار ال�ش�لع، اأو مقادير االإنتاج، كل هذه النتائج وغيرها تظل

اإلى حد كبير عديمة الفائدة والمعنى ما لم يرد تف�ش�ير ل�ها.

اإن العلم الذي نلجاأ اإليه لتف�ش�ير النتائج وا�ش�تنتاج ما يمكن اأن ن�ش�تنبطه منها هو علم االإح�شاء.

ة اأو تجريبية وذلك عن ويمكن تعريف االإح�شاء باأنه االأ�ش�لوب العلمي للبحث الذي يهتم بدرا�ش�ة ظاهرة كوني

ا اأو بيانيا وتلخي�شها بغر�ص تف�ش�ير الظاهرة طريق جمع البيانات الالزمة عنها، وت�شنيفها وعر�شها جدولي

المدرو�ش��ة وا�ش�تنتاج اأو تقدير العالقات الريا�شية التي تحك��م ت�شرفها التخاذ القرار المنا�ش�ب ب�ش�اأن اأي

م��ن هذه الظواهر. وقد ا�ش�تخدم االإح�ش��اء منذ زمن بعيد، وكان ا�ش�تخدامه قا�ش��را على الحكومات التي

ة، في الغالب لمعرفة قدرت�ها على خو�ص الحروب ة اأو االقت�شادي كانت ت�هدف من جمع االإح�شاءات ال�ش�كاني

ين من الفراعنة، واإح�شاء ال�ش�كان في ة ال�شرائب التي يمكن جمعها مثل اإح�شائيات قدماء الم�شري اأو كمي

اليونان في عام 590 قبل الميالد )تقريبا(.

ر االإن�ش�ان بعجزه وق�شوره عن عز وجل في اإحدى ع�ش�رة اآية ، تذك

وقد ورد ذكر االإح�شاء في كتاب اهلل

ل اإلى اإح�شاء اأمور كثيرة كقوله تعالى : التو�ش

وقوله جل من قائل :

ء عددا ى كل �شي ح�شحاط بما لديهم واأ

واأ

)1(

وها ال تح�ش

وا نعمت اهلل واإن تعد

)2(

نات االإن�ش�ان اأن اأعماله مح�شاة عليه: ر هذه االآيات البي كما تذك

غيرة وال ا فيه ويقولون يا ويلتنا مال هذا الكت��اب ال يغادر �ش ��ع الكت��اب فترى المجرمين م�شفقي��ن مم وو�ش

اها ح�شكبيرة اإال اأ

)3(

)1(

)2(

�شورة الكهف، من االآية )49(.)3(

�شورة اإبراهيم، من االآية )34(.

�شورة الجن، من االآية )28(.


تعالى قد اأح�شاه:

مت يداه فاإن اهلل واأن االإن�ش�ان اإن ن�ش�ي ما قد

ء �شهيد على كل �شي

ون�شوه واهلل

اه اهلل ح�ش

ئهم بماعملوا اأ جميعا فينب

يوم يبعثهم اهلل

)4(

)5(

)4(

عنه، اإبان خالفته تقدير ما يجب عليه اأن يفر�ص للم�ش�لمين، جمع

وعندم��ا اأراد الف��اروق عمر ر�شي اهلل

�ش�تين م�شكينا واأطعمهم الخبز، فاأح�شوا ما اأكلوا فوجدوه يخرج من جريبين، ففر�ص لكل اإن�ش�ان منهم

ر لكل اإن�ش�ان اأكلتين في اليوم. كما ولعياله جريبين في ال�ش�هر، الأن الجريبين تكفي �ش�تين اأكلة، فكاأنه قد

عنه، بكتابة اأ�ش�ماء النا�ص في قوائم ح�ش�ب اأ�ش�بقيتهم لالإ�ش�الم.

اأمر ر�شي اهلل

وعندم��ا دخلت العراق نطاق الخالفة االإ�ش�المية، قي�ش�ت م�ش�اح��ات االأرا�شي ال�شالحة للزراعة وجرى

كها وما تنتجه من محا�شيل، كما تم ذلك بالن�ش�بة لالأرا�شي الزراعية في بالد ال�ش�ام تعيينها ح�ش�ب مال

وم�شر.

اأخبراني

وفي غزوة بدر الكبرى، عندما وجد الم�ش�لمون رجلين ي�ش�قيان لقري�ص �شاأل�هما ر�ش�ول اهلل

:

وراء هذا الكثيب الذي ترى بالعدوة الق�شوى، فق��ال ل�هما ر�ش�ول اهلل

ع��ن قري��ص، قاال: ه��م واهلل

ك��م الق��وم؟ قاال: كثير، قال: ما عدت�هم؟ قاال: ال ندري، قال: كم ينحرون كل يوم، قاال: يوما ت�ش�عا ويوما

: الق��وم بين الت�شعمائ��ة واالألف فاتبع هذا االأ�ش�ل�وب الإح�شاء

ع�ش��را، فق��ال ر�ش��ول اهلل

�نة من االأمر. ، ليكون الم�شلمون على بي جند العدو

قال: اأح�شوا لي كم يلفظ

ا مع ر�ش�ول اهلل تعال��ى عنه، قال: كن

ع��ن حذيف��ة ب��ن اليمان ر�شي اهلل

اأتخاف علينا ونحن بين ال�ش�تمائ��ة وال�ش�بعمائة؟، قال: اإنكم ال

باالإ�ش��الم ، ق��ال: فقلنا: يا ر�ش��ول اهلل

ا. تدرون لعلكم تبتلوا، قال: فابتلينا، حتى جعل الرجل ال ي�شلي اإال �ش�ر

)5(

�شورة المجادلة، االآية )6(.

يلفظ االإ�شالم اأي ينطق به- رواه م�شلم/ باب 67.

فاالإح�ش��اء لي�ص غريبا علينا اإذن- نحن الم�ش�لمي��ن- ولي�ص بدعا بالن�ش�بة لنا اال�ش�تفادة من علم االإح�شاء

باع مه وازدهاره، اإذ اإن اإجراء االإح�شاءات وات في بناء مجتمعنا وتنميته والعمل على �ش�د حاجاته، وعلى تقد

ر منذ بدء بناء المجتمع االأ�ش�اليب االإح�شائية، وجمع المعلومات، ب�هدف اتخاذ القرارات بداأت في وقت مبك

االإ�ش�المي وتاأ�ش�ي�ص دولة االإ�ش�الم الحنيف،ونورد ما يلي من الحوادث على �ش�بيل المثال ال الح�شر:

’’


الوحدة

الثالثة

دة من الن�ش�اطات دت ا�ش�تخدامات االإح�شاء لت�ش�مل مج��االت متعد ة تعد م الح�ش��ارة االإن�ش�اني وم��ع تقد

��ة، كال�شح��ة وال�شناع��ة والتج��ارة والتعليم وكاف��ة ج��وانب التنمي��ة. كما ا�ش�تخدم��ت كثير من االإن�ش�اني

الموؤ�ش��ش��ات - حت��ى غير الحكومي��ة - الحديثة االإح�شائيين الإع��داد الدرا�ش�ات والبح��وث لتو�شيح مقدار

مها اأو لتر�ش�يدها، �ع في الخدمات التي تقد تها، وكذلك التخطيط للتو�ش الخدمات التي تقوم ب�ها ومدى اأهمي

ت الفو�شى في االقت�شاد العالمي. ولوال علم االإح�شاء لما ا�ش�تطعنا اأن نربط االإنتاج باال�ش�تهالك ولعم

والجدي��ر بالذك��ر اأنه عندما يراد بحث ظاهرة من الظواهر اأو م�شكل��ة من الم�شكالت فاإن الباحث يلجاأ اإلى

الدرا�شة االإح�شائية والتي تتلخ�ص خطواتها فيما يلي :

ة. تحديد الم�ش�كلة ) اأو هدف البحث ( بدق )1

جمع البيانات الالزمة لدرا�ش�ة الم�ش�كلة بعناية. )2

ة المنا�شبة. ة، اأو البياني عر�ص البيانات ملخ�شة بالطرق الجدولي )3

�طات اأو خالفها. اخت�شار البيانات بح�ش�اب بع�ص المتو�ش )4

ا�ش�تنتاج اأ�ش�باب الم�ش�كلة اأو مقارنتها مع غيرها اأو اقتراح حلول ل�ها. )5

خطوات الدرا�شـة االإح�شائية

وف��ي اأيام الخليفة الزاهد عمر بن عبد العزي��ز، جرى اإح�شاء للفقراء والمعاقين في الدولة االإ�ش�المية

المترامية االأطراف، لدفع رواتب منتظمة ل�هم من بيت مال الم�ش�لمين.


3-1 جمع البيانات ة يتم عند القيام باأي درا�ش��ة اإح�شائي

اأوال تحدي��د م�شكل��ة البح��ث تحدي��دا

ا، كما يتم تحديد مجتمع البحث اأو تام

��ى بالمجتمع االإح�شائي والذي ما ي�شم

هو عبارة عن مجموعة المفردات التي

له��ا عالقة بالم�شكل��ة مو�شوع البحث.

فمثـــال اإذا كان مو�ش��وع البح��ث ه��و

درا�ش��ة اأعم��ار الط��الب ف��ي مدر�شة

ثانوي��ة ف��اإن المجتم��ع االإح�شائي هو مجموعة ط��الب تلك المدر�شة . و بعد ذل��ك ننتقل اإلى

المرحل��ة الثاني��ة من خطوات الدرا�ش��ة االإح�شائية و ه��ي جمع البيان��ات االإح�شائية و التي

نة من م�شدر قة عن ظاهرة معي حة و الد يق�ش��د بها الح�ش��ول على معلومات تت�ش��ف بال�ش

دة و بطريقة �شليمة . ن في فترة زمنية محد معي

تنق�شم م�شادر جمع البيانات الالزمة الأي درا�شة اإح�شائية اإلى نوعين :

نة في �شجالت �شابقة مثل ن�شرات م�شلحة 1( م�شـــادر تاأريخيـــة : وهي بيانات جاهزة لال�شتخدام و مدو

االإح�ش��اءات العامة بوزارة المالية و االقت�شاد الوطن��ي ، و الكتاب ال�شنوي الإح�شاءات التعليم الذي

ت�ش��دره وزارة التربي��ة و التعلي��م ، و الكتاب االإح�شائي ل��وزارة الداخلية ، اأو اإنج��ازات التنمية التي

ت�شدره��ا وزارة التخطيط ، و ي�شاعد ا�ش��تخدام ه��ذه الم�شادر في توفير الوق��ت و الجهد الب�ش��ري

و التكاليف المادية .

2( م�شـــادر ميدانيـــة : اأما في حالة عدم توافر البيانات االإح�شائية في الم�شادر التاأريخية ، فال بد من

ب��اع اأ�شلوب جمع البيانات من الميدان اأو حقل الدرا�شة و ذلك عن طريق اإعداد بطاقة ) ا�شتبانة ( ات

اإح�شائية تت�شمن مجموعة من االأ�شئلة و اال�شتف�شارات حول مو�شوع الدرا�شة . و تجمع البيانات من

ة طرق منها : المقابلة ال�شخ�شية ، المرا�شلة بالبريد ، الهاتف . الم�شادر الميدانية بعد

م�شادر جمع البيانات :

الجداول التكرارية


The Frequency Tables


الوحدة

الثالثة

1( الح�شر ال�شامل : و يكون فيه جمع البيانات من جميع اأفراد مجتمع الدرا�شة . و ي�شتخدم في حالة كون

المجتمع �شغيرا مثل طالب مدر�شة ثانوية اأو في حالة تباعد االأزمنة التي فيها الدرا�شة كالتعداد ال�شامل

لل�ش��كان و ال��ذي يف�ش��ل اإجراوؤه كل ع�ش��ر �شنوات . و يمتاز الح�ش��ر ال�شامل في اإعط��اء الباحث �شورة

ة في كامل��ة عن مجتمع الدرا�ش��ة . و من عيوبه تكاليفه الباهظة ، و طول الوق��ت الالزم الإجرائه و خا�ش

انية الكبيرة . المجتمعات ذات الكثافة ال�شك

نة . 2( العينـــة : يت��م ف��ي هذا االأ�شلوب جم��ع البيانات من مجموعة جزئية من مجتم��ع اإح�شائي ت�شمى عي

لة لة للمجتمع االإح�شائي ، بمعن��ى اأن تكون كل خ�شائ�ص المجتمع ممث و يت��م اختياره��ا بحيث تكون ممث

نة على المجتمع ن��ة المختارة و ذلك من اأج��ل تعميم النتائج التي نح�شل عليها م��ن درا�شة العي ف��ي العي

نة في درا�شة المجتمعات الكبيرة جدا كما ي�شاعد في توفير االإح�شائ��ي جميع��ه . و ي�شتخدم اأ�شلوب العي

الجه��ود و التكاليف ، و تكون اأحيانا هي االأ�شلوب الوحيد لدرا�شة مجتمع ما فلو اأردنا _ مثال_ معرفة

ع��دد كريات الدم الحم��راء في الملليمتر المكع��ب لمجموعة من المر�شى ، عندئ��ذ ي�شتحيل ا�شتخدام

ة �شغيرة من نة اأو كمي اأ�شل��وب الح�ش��ر ال�شامل لكل دم المري�ص ، حيث نلجاأ في هذه الحالة اإلى اأخذ عي

الدم و فح�شها .

و�شنعر�ص فيما يلي مجموعة من البيانات االإح�شائية المختلفة:

��ف اأح��د الط��الب بت�شجيل تقدي��رات 48 طالبا في اختبار م��ادة الريا�شيات لل�ش��ف االأول الثانوي 1( كل

فح�شل على البيانات التالية:

جيد جدا جيد

مقبول

ممتاز

�شعيف

جيد جدا

جيد جدا

جيد

مقبول

جيد

جيد

�شعيف

جيد جدا

�شعيف

مقبول

�شعيف

جيد جدا

جيد

ممتاز

جيد جدا

جيد

جيد جدا

جيد

جيد

ممتاز

جيد

جيد جدا

ممتاز

�شعيف

جيد

جيد

مقبول

جيد

جيد

�شعيف

�شعيف

جيد

جيد

جيد

ممتاز

مقبول

جيد جدا

ممتاز

جيد

جيد جدا

جيد

جيد

مقبول

بيانات ) 3 - 1 (

اأ�شلوب جمع البيانات :


ن من ال�شيارات عند �شكان اإحدى لة لنوع معي 2( اأراد وكي��ل اإحدى �ش��ركات ال�شيارات معرفة االألوان المف�ش

دة وت�شجيل المدن ، فكلف اأحد موظفيه بالوقوف في اأحد الميادين الرئي�شية في المدينة خالل فترة محد

ارة تمر اأمامه من هذا النوع فح�شل على البيانات التالية: لون كل �شي

اأبي�ص

اأحمر

اأبي�ص

اأزرق

اأزرق

اأحمر

اأبي�ص

اأبي�ص

اأ�شفر

اأبي�ص

اأزرق

اأحمر

اأبي�ص

اأحمر

اأزرق

اأبي�ص

اأزرق

اأبي�ص

اأبي�ص

اأبي�ص

اأبي�ص

اأحمر

اأزرق

اأحمر

اأحمر

اأزرق

اأحمر

اأبي�ص

اأ�شفر

اأ�شفر

اأ�شفر

اأبي�ص

اأبي�ص

اأزرق

اأحمر

اأحمر

بيانات ) 3 - 2 (

ل عدد اأفراد اأ�شرته 3( اأراد معلم معرفة عدد اأفراد اأ�شرة كل طالب من طالب ف�شله فجعل كل طالب ي�شج

على ال�شبورة و ح�شل بذلك على البيانات التالية:

4( البيانات التالية تمثل عدد الف�شول في 35 مدر�شة متو�شطة للبنات بجدة في اأحد االأعوام :

بيانات ) 3 - 3 (

5

3

3

7

5

6

2

4

5

5

3

4

4

6

5

3

7

4

7

3

7

3

5

3

4

6

5

3

6

7

بيانات ) 3 - 4 (

20

14

12

12

18

19

15

15

17

19

14

18

14

18

17

15

15

16

20

15

18

15

18

15

17

18

15

14

16

12

14

19

16

15

17

ف البيانات االإح�شائية ال�شابقة ؟ حاول اأن ت�شن



الوحدة

الثالثة

ـــة( : وه��ي البيانات التي ال يمك��ن التعبير عن مفرداتها باأرق��ام عددية مثل ـــة )و�شفي بيانـــات نوعي )1

ارة ، لون العينين ، الجن�ص ، الحالة االجتماعية ، ... اإلخ التقدير في االمتحان ، لون ال�شي

بيانات كمية ) عددية ( : وهي البيانات التي يمكن التعبير عن مفرداتها بقيم عددية مثل عدد اأفراد )2

االأ�شرة ، االأعمار ، االأطوال ، االأوزان ، درجات الحرارة ، ... اإلخ

تدريب ) 1-3 (

لة لثالثي��ن فردا من جيران��ك اأو اأق�ارب��ك الذين تتراوح 1( اجم��ع البي�ان��ات الت��ي تمثل الهواي��ات المف�ش

اأعم�ارهم بين 15 - 20 عاما .

ا . ك في المذاكرة يومي 2( اجمع البيانات التي تمثل عدد ال�شاعات التي ي�شتغرقها كل طالب من �شف

ف البيانات في كل من )1( ، )2( . 3( �شن

التوزيعات )الجداول( التكرارية

بع��د جمع البيانات وت�شجيله��ا فاإنه يلزم تنظيمها وتبويبها في جداول لتب�شيط درا�شتها وا�شتخال�ص النتائج

ـــة. و�شنعر�ص في هذا البند كيفية و�شع ��ى هذه الجداول بالجـــداول ) اأو التوزيعات ( التكراري منه��ا ، وت�شم

ة اأو كمية . البيانات االإح�شائية في جداول تكرارية ح�شب نوع البيانات من حيث كونها نوعي

ح ذلك . ا ب�شيطا والمثال التالي يو�ش ى جدوال تكراري يتم تبويب البيانات النوعية في جدول ي�شم

مثال )1-3(

ى بجـــدول التفريغ لتوزيع �شنق��وم بتفري��غ بيان��ات ) 3 - 1 ( في جدول ) 3 - 1 ( و الذي ي�شم

ن من ثالثة اأعمدة كما يلي : التقديرات و يتكو

لت اإلى اأن البيانات االإح�شائية ت�شنف اإلى نوعين : لعلك تو�ش

تبويب البيانات النوعية :


وبح��ذف عم��ود العالمات من ج��دول التفريغ

نح�شل على الجدول التكراري الب�شيط لتوزيع

التقديرات المجاور :

ويمكننا كتابة هذا الجدول اأفقيا كما يلي :

جدول التفريغ

جدول ) 3 - 1 (

التقدير

ممتاز

جيد جدا

جيد

مقبول

�شعيف

المجموع

التكرار )عدد الطالب(العالمات

6

10

19

6

7

48

جدول ) 3 - 2 (

الجدول التكراري الب�شيط

التقدير

ممتاز

جيد جدا

جيد

مقبول

�شعيف

المجموع

6

10

19

6

7

48

التكرار )عدد الطالب(

التقدير

التكرار )عدد الطالب(

المجموع�شعيفمقبولجيدجيد جداممتاز

610196748

ل فيه التقديرات التي ح�شل عليها ى في هذا المثال عمود التقدير ، ن�شج و ي�شم

الطالب وهي : ممتاز ، جيد جدا ، جيد ، مقبول ، �شعيف .

ل فيه عالمات ت��دل على تكرار كل تقدير وذلك ��ى عمود العالمات ، ن�شج وي�شم

باأن نقراأ التقديرات الموجودة في بيانات ) 3 - 1 ( وليكن ذلك اأفقيا- مثال -،

ا مائال ون�شع خط

) / ( اأم��ام اأي تقدي��ر كلما ظهر ، وفي حالة الح�ش��ول على اأربع��ة خطوط

نا ن�شع الخط الخام�ص في االتجاه االآخر ) ( عند ظهور ) ( فاإن

ى ) ( بالحزمة . ة الخام�شة ، و ي�شم ذلك التقدير للمر

ى هذه ل فيه عدد العالمات اأم��ام كل تقدير وت�شم ��ى عم��ود التكرار ، ن�شج وي�شم

االأعداد بالتكرارات ، ويج��ب مالحظة اأن يكون مجموع التكرارات م�شاويا لعدد

مفردات بيانات ) 3 - 1 (

العمود الثالث

العمود الثاني

العمود االأول



الوحدة

الثالثة

تدريب ) 2-3 (

ل لدى اأكبر عدد من ��ارة المف�ش د لون ال�شي اأن�ش��ئ الج��دول التكراري الب�شي��ط لبيانات ) 3 – 2 ( و منه حد

ان . ال�شك

ة باإحدى الطريقتين التاليتين : يتم تبويب البيانات الكمي

1( تبويب البيانات الكمية في جدول تكراري ب�شيط :

نتبع في هذه الطريقة ما اتبعناه في تبويب البيانات النوعية

الحل

مثال )2-3(

ح في بيانات ) 3 - 3 ( و منه اأن�شئ الجدول التكراري الب�شيط لتوزيع عدد اأفراد االأ�شر المو�ش

اأوجد ما يلي:

نة من ثالثة اأفراد . 1( عدد االأ�شر المكو

2( عدد االأ�شر التي يقل عدد اأفرادها عن 5

3( عدد االأ�شر التي يزيد عدد اأفرادها عن 4

نرتب اأعداد اأفراد االأ�شر الواردة في بيانات ) 3 - 3 ( ت�شاعديا كما يلي : 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7

لها في العمود االأول بهذا الترتيب ، وفيما يلي جدول التفريغ لتوزيع عدد اأفراد االأ�شر . ون�شج


جدول ) 3 - 3 (

التكرار )عدد االأ�شر (العالماتعدد اأفراد االأ�شرة

المجموع

7

6

5

4

3

2

30

5

4

7

5

8

1

تبويب البيانات الكمية :


و بحذف عمود العالمات نح�شل على الجدول التكراري الب�شيط لتوزيع عدد اأفراد االأ�شر التالي :

الجدول التكراري الب�شيط

جدول ) 3 - 4(

التكرار )عدد االأ�شر (عدد اأفراد االأ�شرة

المجموع

7

6

5

4

3

2

5

4

7

5

8

1

30

ومنه نجد اأن :

1( عدد االأ�شر المكونة من ثالثة اأفراد = 8 .

2( عدد االأ�شر التي يقل عدد اأفرادها عن 5 = 5+8+1 = 14 .

3( عدد االأ�شر التي يزيد عدد اأفرادها عن 4 = 5+4+7 = 16 .

رة بال�شنوات : ا ب�شيطا للبيانات التالية التي تمثل اأعمار 40 زائرا الأحد الم�شانع مقد اأن�شئ جدوال تكراري

تدريب ) 3-3 (

16

35

34

22

20

37

24

21

38

39

26

19

35

28

28

39

40

29

27

40

17

17

18

41

32

21

24

23

32

43

20

16

31

30

22

38

15

33

44

38



الوحدة

الثالثة

2( تبويب البيانات الكمية في جدول تكراري ذي فئات :

اإذا كانت البيانات كثيرة وتحتوي على عدد كبير من القيم غير المت�شاوية ، فاإنه من غير المنا�شب و�شعها

ا ف��ي ج��دول تكراري ب�شيط ، حي��ث اأن مثل هذا الجدول �شيك��ون طويال جدا وت�شع��ب درا�شته اإح�شائي

ح ذلك : ى بالجدول التكراري ذي الفئات ، و المثال التالي يو�ش ولذلك نلجاأ اإلى تبويبها فيما ي�شم

مثال )3-3(

لعل��ك الحظت عند تبويب البيانات في تدري��ب ) 3 - 3 ( في جدول تكراري ب�شيط اأن الجدول

الذي ح�شلت عليه طويل ولي�ص من ال�شهل ا�شتخال�ص النتائج منه ، و لتبويب مثل هذه البيانات

في جدول تكراري ذي فئات نتبع الخطوات التالية :

1( نب��داأ بالبح��ث عن اأ�شغر قيمة واأكب��ر قيمة في البيانات وهما هن��ا 15 ، 44 تواليا ، ثم

د عدد عنا�شر المجموعة )مجموعة االأعداد الطبيعية نحد

ى عدد عنا�شر هذه المجموعة المتتالي��ة التي تبداأ بالعدد 15 وتنتهي بالعدد 44( وي�شم

بالمدى ، ويتم ح�شاب المدى من القاعدة التالية :

) 3 – 1 (المدى= اأكبر قيمة - اأ�شغر قيمة + 1

فيكون المدى هنا = 44- 15 + 1 =30

م المجموعة اإلى مجموعات جزئية منف�شلة ومت�شاوية نق�ش )2

ى عدد عنا�شر الفئة بطول الفئة . ى كل واحدة منها فئة ، وي�شم في عدد عنا�شرها ت�شم

ويت��م ذلك ب��اأن نختار طول منا�شب للفئة ثم بق�شمة المدى على طول الفئة نح�شل على

عدد الفئات ، و ال توجد قاعدة معينة الختيار طول الفئة بل يعتمد ذلك على الخبرة في

المقام االأول اإال اأنه ال بد من مراعاة ما يلي :

ر عن خ�شائ�ص اأال يك��ون ط��ول الفئة كبيرا وبالتالي يك��ون عدد الفئات �شغي��را ال يعب

انت�شار البيانات.


و في هذا المثال نختار طول الفئة = 5 وعليه فاإن عدد الفئات = 30 5 = 6 فئات حيث :

الفئة االأولى تحوي االأعمار من 15 اإلى ما هو اأ�شغر من 20 وتكتب 15-20 واخت�شارا 15-

الفئة الثانية تحوي االأعمار من 20 اإلى ما هو اأ�شغر من 25 و تكتب 20 -25 واخت�شارا 20-

... و هكذا اإلى اأن ن�شل اإلى الفئة االأخيرة و تحوي االأعمار من 40 اإلى ما هو اأ�شغر من

45 و تكتب 45-40

ل في العمود االأول ن جدوال تفريغيا ) جدول ) 3 – 5 (( من ثالثة اأعمدة حيث ن�شج 3( نكو

فئ��ات االأعمار ،وفي العمود الثاني العالمات كما فعلنا ف��ي االأمثلة ال�شابقة مع مالحظة

ل في العمود الثالث اأننا هنا ن�شع عالمة لكل مفردة اأمام الفئة التي تنتمي اإليها ، ون�شج

ى تكرار الفئة. )عمود التكرار( عدد العالمات في كل فئة والذي ي�شم


جدول ) 3 - 5 (

عدد الزوار)التكرار(العالماتفئات االأعمار

المجموع

45-40

-35

-30

-25

-20

-15

40

5

8

6

5

9

7

اأال يكون طول الفئة �شغيرا وبالتالي يكون عدد الفئات كبيرا فينتفي الهدف من تلخي�ص

البيانات في فئات.

) من المنا�شب اأال يقل عدد الفئات عن �شتة وال يزيد عن اثني ع�شر (

الفئة االأولى البد اأن ت�شتمل اأو تبداأ باأ�شغر قيمة و الفئة االأخيرة البد اأن ت�شتمل على اأكبر قيمة.



الوحدة

الثالثة

جدول ) 3 - 6(

ار )التكرار(فئات االأعمار عدد الزو

المجموع

45-40

-35

-30

-25

-20

-15

5

8

6

5

9

7

40

4( نح��ذف عمود العالمات من ج��دول التفريغ فنح�شل على الجدول التكراري ذي الفئات

ار التالي : لتوزيع اأعمار الزو

ي الفئة االأولى 15- حيث 15 هو الحد االأدنى ي العددين 15 و 20 حـــد 1( ف��ي الج��دول ) 3 - 6 ( ن�شم

ا الفئة الثانية 20- حيث للفئة االأولى ، 20 هو الحد االأعلى للفئة االأولى، والعددين 20 و 25 هما حد

20 هو الحد االأدنى للفئة الثانية ، 25 هو الحد االأعلى للفئة الثانية، ... وهكذا .

2( ن�شتنتج من )1( اأن :

ى مركز الفئة ، و نالحظ اأنه بعد توزيع المفردات على الفئات 3( القيمة الواقعة في منت�شف الفئة ت�شم

داخ��ل الج��دول التكراري تختفي هذه المفردات وت�شيع معالمها ، وكل ما يمكن معرفته عن اأي منها

ه��ا واحدة من مفردات فئة معينة في الجدول ولل�شهول��ة نفر�ص اأنها تاأخذ قيمة مركز هذه الفئة . اأن

ويتم ح�شاب مركز الفئة با�شتخدام اإحدى ال�شيغتين :

) 2 – 3 ( طول الفئة الحداالأعلى للفئة الحد االأدنى للفئة

م بع�ص المفهومات االإح�شائية التي �شتفيدنا الحقا : وفيما يلي نقد


) 3 – 3 ( مركز الفئة الحد االأعلى للفئة الحد االأدنى للفئة

) 4 – 3 ( طول الفئةالحد االأدنى للفئة مركز الفئة

ففي المثال ال�شابق :مركز الفئة االأولى )با�شتخدام ال�شيغة )3-3( (

اأوجد مراكز الفئات االأخرى في المثال ال�شابق )با�شتخدام ال�شيغة )4-3( ( .

مثال )4-3(

ح كمية االأمط��ار التي �شقطت على مدين��ة ما خالل 100 ي��وم بالمليمتر البيان��ات االآتي��ة تو�ش

ب. المكع

اأن�شئ جدوال تكراريا ذا فئات يمثل هذه البيانات.

71

83

98

83

99

80

91

86

129

75

100

94

84

110

85

90

92

90

102

90

80

70

66

99

84

72

85

86

87

87

93

97

107

98

65

120

101

88

91

109

70

95

82

92

106

111

81

77

103

96

115

95

97

125

77

92

67

95

103

79

62

93

72

117

108

102

91

72

88

82

116

96

118

93

113

74

112

105

69

89

78

97

98

73

94

99

122

89

86

105

96

128

101

119

71

114

109

75

104

97



الوحدة

الثالثة

الحل

د المدى : 1( نحد

المدى = اأكبر قيمة - اأ�شغر قيمة + 1 = 1+62-129= 68

2( نخت��ار ط��وال منا�شبا للفئة ، وفي هذا المثال يكون اأن�ش��ب طول للفئة هو ) 10 ( ، وحيث اإن

68 10 =8‚6 يكون عدد الفئات = 7 فئات وهي : 60- ، 70- ، 80- ، 90- ، ... ،120- 130

ن جدول التفريغ ) 3 - 7 ( التالي : 3( نكو

4( نح��ذف العم��ود االأو�شط )عمود العالمات( من الج��دول ) 3 – 7 ( فنح�شل على الجدول

)3 - 8 ( و هو الجدول التكراري ذو الفئات المطلوب .


جدول ) 3 - 7 (

عدد االأيام )التكرار(العالم��اتفئات كمية االأمطار بالملم3

-60

-70

-80

-90

-100

-110

130-120

المجموع

5

15

20

30

15

10

5

100

جدول ) 3 - 8(

فئات كمية االأمطار بالملم3

-60

-70

-80

-90

-100

-110

130-120

المجموع

5

15

20

30

15

10

5

100

عدد االأيام )التكرار(


مثال )5-3 (

الحل

باالعتماد على جدول ) 3 – 8 ( في المثال ال�شابق ، اأوجد ما يلي:

ة االأمطار ال�شاقطة فيها �شمن الفئة 80 – عدد االأيام التي تقع كمي

ة االأمطار التي تكرارها 30. فئة كمي

ة االأمطار ال�شاقطة فيها اأقل من 90 ملم3. عدد االأيام التي كمي

ة االأمطار ال�شاقطة فيها 110 ملم3 فاأكثر. عدد االأيام التي كمي

ج�

د

عدد االأيام التي تقع كمية االأمطار ال�شاقطة فيها �شمن الفئة 80 – ي�شاوي 20 يوما

ة االأمطار التي تكرارها 30 هي 90 – فئة كمي

عدد االأيام التي كمية االأمطار ال�شاقطة فيها اأقل من 90 ملم3 = 5+15+20 =40 يوما

ة االأمطار ال�شاقطة فيها 110 ملم3 فاأكثر =10+ 5= 15 يوما عدد االأيام التي كمي

ج�

د

قي�شت اأطوال 48 طالبا بال�شنتيمتر في اإحدى المدار�ص الثانوية فكانت على النحو التالي:

ن جدوال تكراريا ذا فئات يمثل هذه البيانات . كو

تدريب ) 4-3 (

147

162

157

162

170

160

171

167

149

149

173

182

173

169

161

146

166

175

165

177

165

179

156

158

167

172

149

153

155

173

168

169

170

159

161

162

167

169

158

144

180

168

178

164

159

160

162

154



الوحدة

الثالثة

1

)1 -3 (

لة لدى 25 طالبا في اإحدى المدار�ص: تمثل البيانات التالية الريا�شة المف�ش

ح المهن المختلفة لثالثين عامال :2 البيانات التالية تو�ش

تمثل البيانات التالية عدد االأخطاء التي ارتكبها 45 طالبا في اختبار مادة التالوة :3

اأن�شئ جدوال تكراريا ب�شيطا لهذه البيانات.

ال. د المهنة التي يزاولها اأكبر عدد من العم اأن�شئ جدوال تكراريا ب�شيطا لهذه البيانات و منه حد

ا ب�شيطا للبيانات ال�شابقة. ن جدوال تكراري كو

الم�شي

كرة ال�شلة

كرة القدم

كرة القدم


ال�شباحة

كرة القدم

كرة القدم

ال�شباحة

تن�ص الطاولة


كرة القدم

األعاب قوى

الم�شي

ال�شباحة

الم�شي

ال�شباحة

الم�شي

كرة القدم

ال�شباحة

كرة القدم

تن�ص الطاولة

الم�شي

األعاب قوى


اء بن

اد حد

اء بن

ار نج

كهربائي

كهربائي

ار نج

ار نج

اء بن

اد حد

ار نج

اء بن

كهربائي

اد حد

ار نج

اء بن

كهربائي

اد حد

كهربائي

اء بن

كهربائي

اء بن

اء بن

اد حد

ار نج

ار نج

ار نج

اد حد

كهربائي

اء بن

2

5

0

6

7

5

7

9

4

5

6

6

6

4

0

3

3

8

5

4

8

3

1

4

4

2

8

7

1

4

7

1

2

9

3

1

7

3

7

1

1

2

5

0

8


باالعتم��اد على الجدول التك��راري المجاور وال��ذي يمثل 4

اأوزان 30 طالبا بالكغم، اأوجد ما يلي:

عدد الطالب الذين وزن كل منهم 50 كغم .

عدد الطالب الذين تقل اأوزانهم عن 54 كغم .

عدد الطالب الذين تزيد اأوزانهم عن 51 كغم . ج�

فيما يلي درجات 36 طالبا من طالب ال�شف االأول ثانوي في اختبار مادة الريا�شيات :5

نة من 30 اأ�شرة من اأحد المجتمعات :6 نة مكو البيانات التالية تمثل الدخل ال�شهري بالريال لعي

ن جدوال تكراريا ذا فئات يمثل هذه البيانات بحيث يكون طول الفئة = 1000 . كو

و المطلوب :

ا ذا فئات يمثل هذه البيانات م�شتخدما الفئات : 3 - 7 ، 7 - 11 ، 11 - 15 ، ... ن جدوال تكراري كو

كم عدد الطالب الذين تقل درجة كل منهم عن 11 .

التكرارالوزن بالكغم

48

49

50

51

52

53

54

المجموع

2

2

6

4

7

8

1

30

25

27

28

29

9

14

24

15

26

20

15

18

24

15

21

29

10

25

26

19

29

18

18

21

27

30

14

27

21

22

14

24

7

21

3

22

2100

3950

3780

6900

4200

3500

2814

3332

2010

4600

2910

3620

6990

6200

4610

2400

5600

2390

4520

2800

5510

6760

3900

6730

5483

6700

5220

5700

4659

2450



الوحدة

الثالثة

االلت��زام بقواعد المرور مطلب وطني وم�شوؤولية م�شتركة حفاظ��ا على �شالمة الجميع .وفيما يلي عدد 7

بطت في اإحدى المدن خالل 40 يوما : مخالفات المرور اليومية التي �ش

ن جدوال تكراريا ذا فئات يمثل هذه البيانات. كو

باالعتماد على الجدول التكراري التالي والذي يمثل اأعمار 30 ع�شوا ينتمون لناد ريا�شي ، اأوجد مايلي :8

عدد االأع�شاء الذين تقل اأعمارهم عن 20 عاما .

عدد االأع�شاء الذين تبلغ اأعمارهم 30 عاما فاأكثر .

150

100

172

80

71

70

140

90

100

120

100

125

130

68

140

130

72

85

155

105

110

125

110

140

100

185

75

120

150

89

120

110

155

110

95

90

160

115

180

165

الفئات

التكرار

-10

5

-15

6

-20

9

-25

3

-30

5

40-35

2


اأوال - القطاعات الدائرية .

ة التمثيل البياني للتوزيعات التكراري

2-3

ة �شيوعا ، ففي الوق��ت الحا�شر تظهر هذه ط��ات البياني يع��د التمثيل بالقطاع��ات الدائرية من اأكثر المخط

ل ذلك االنت�شار الوا�شع الأجهزة الحا�شب الدوائر البيانية في �شفحات كثيرة من المجالت وال�شحف وقد �شه

ة ) وقد �شبق دة ببرامج لهذا الغر��ص. ويمكننا ب�شهولة تف�شير البيانات الممثلة بقطاعات دائري االآل��ي المزو

لك درا�شة ذلك في المرحلة االبتدائية (.

�شكل ) 3 -1 (

ال�شباحة

كرة

ال�شلة

كرة التن�ص

كرة القدم

Graphing Data

ة ف��ي �شكل ) 3 - 1 ( فمثـــال : با�شتخ��دام التمثي��ل البياني بالقطاعات الدائري

�لة لدى طالب اإح��دى المدار�ص و عدده�م480 ح الريا�ش��ة المف�ش و ال��ذي يو�ش

طالبا نجد اأن :

الريا�شة التي تلقى قبوال اأكثر عند طالب هذه المدر�شة هي كرة القدم.

ل طالب هذه المدر�شة ال�شباحة على كرة التن�ص. يف�ش

لون كرة ال�شلة طالباعدد طالب هذه المدر�شة الذين يف�ش

التمثيل البياني للتوزيعات التكرارية

ا بعد تنظيم وتلخي�ص البيانات االإح�شائية بوا�شطة جداول تكرارية مختلفة فاإنه يتم تمثيلها بياني

رات لت�شهيل عر�ص البيانات وا�شتخال�ص النتائج ، وهناك عدة طرق للتمثيل البياني منها : الم�شو

ج التكراري والم�شل��ع التكراري، وفي هذا البند ندر�ص ة ، المدر ، ا الأعم��دة ، القطاع��ات الدائري

كالمن: القطاعات الدائرية، المدرج التكراري، الم�شلع التكراري .


الوحدة

الثالثة

مها اإلى قطاعات دائرية بحيث تتنا�شب م�شاحة كل قطاع مع تكرار الجزء الممثل بهذا القطاع نر�شم دائرة ثم نق�ش

مفتر�شين اأن م�شاحة الدائرة تمثل مجموع التكرارات ، وحيث اأنه كلما ازداد قيا�ص زاوية القطاع ازدادت م�شاحته

فاإنه يمكن ر�شم القطاعات الدائرية بتحديد الزاوية المناظرة لكل قطاع وذلك با�شتخدام العالقة التالية :

)5 – 3 ( زاوية القطاع

تكرار الجزء الممثل بالقطاع

مجموع التكرارات

الحل

مثال )6-3(

لة لدى 36 طالبا في ال�شف الثاني المتو�شط . ح المادة المف�ش الجدول التالي يو�ش

ة . والمطلوب تمثيل هذه البيانات بالقطاعات الدائري

نر�شم دائرة ذات ن�شف قطر منا�شب.

لة المادة المف�ش

عدد الطالب

الن�شو�صالعلومالريا�شياتاللغة

االإنجليزيةالمجموعالفقه

36 14 3 9 4 6

ولتمثيل البيانات بالقطاعات الدائرية نتبع االآتي :

وبع��د ذلك ن�شتخ��دم المنقلة لر�شم القطاع��ات الدائرية مع مالحظة اأن مجموع زواي��ا القطاعات يجب اأن

ي�شاوي 360، ويتم عادة تمييز كل قطاع بلون ) اأو تظليل ( مختلف عن غيره .

اأكمل الجدول التالي :

لة الريا�شة المف�ش

عدد الطالب

كرة القدمال�شباحةكرة التن�صكرة ال�شلة

40


�شكل ) 3 -2 (

الن�شو�ص

الفقهالعلوم

الريا�شيات

اللغة

االنجليزية

تدريب ) 5-3 (

ة . ار متحف خالل اأحد االأ�شابيع ، والمطلوب تمثيل هذه البيانات بالقطاعات الدائري يبين الجدول التالي عدد زو

اليوم

ار 30عدد الزو

ال�شبت

50

االأحد

40

االثنين

60

الثالثاء

70

االأربعاء

80

الخمي�ص

70

الجمعة

400

المجموع

الدائ��رة عل��ى ال�شابق��ة القطاع��ات نر�ش��م

ن كال منها بلون يميزها با�شتخدام المنقل�ة ونلو

عن بقية القطاعات كما في ال�شكل ) 3 - 2 (.

ج�


نح�شب زاوية القطاع لكل مادة با�شتخدام العالقة ) 3 – 5 ( كما يلي :

زاوية قطاع مادة الريا�شيات

زاوية قطاع مادة العل�وم

زاوية قطاع مادة الن�شو�ص

زاوية قطاع مادة اللغة االإنجليزية

زاوية قطاع مادة الفقه


الوحدة

الثالثة

ة التي ح�ش��ل عليها 40 طالبا في ج تك��راري يمثل الدرجات النهائي ال�ش��كل ) 3 - 3 ( ه��و لمدر

مادة الريا�شيات .

مثال )7-3 (

ج فاإنه يمكن��ك تف�شير البيان��ات الممثلة فيه ، فمث��ال يمكنك ب�شهولة ل��ت ه��ذا الم��در و اإذا تاأم

ا�شتنتاج اأن :

عدد الطالب الذين تقع درجاتهم �شمن الفئة 70 - 75 ي�شاوي 6 .

طالبا واحدا فقط ح�شل على درجة تقع �شمن الفئة 60 - 65 .

و االآن اأكمل الفراغات التالية باالإفادة من �شكل ) 3 – 3 (:

فئة الدرجات التي ح�شل عليها اأكبر عدد من الطالب هي .............

عدد الطالب الذين ح�شلوا على 90 درجة فاأكثر ي�شاوي .............

�شكل ) 3 -3 (

ثانيا - المدرج التكراري .

بة في جدول تكراري ذي فئات ، وهو عبارة عن مجموعة ج التكراري لتمثيل البيان��ات المبو ي�شتخ��دم المدر

من الم�شتطيالت المتال�شقة تمثل قاعدة كل م�شتطيل منها طول الفئة ، ويمثل ارتفاعه تكرار هذه الفئة .


تدريب ) 6-3 (

ج التكراري في ال�شكل ) 3 - 3 ( اكتب الجدول التكراري الممثل بالمدر

�ص المحور االأفقي للفئات والمحور الراأ�شي للتكرارات. 1( نر�شم محورين متعامدين ، يخ�ش

ج المحور الراأ�شي ابتداء ��م المح��ور االأفقي اإلى اأق�شام مت�شاوية يمثل كل ق�شم طول الفئة ، وندر 2( نق�ش

من ال�شفر بحيث ي�شمح بظهور اأكبر تكرار في الجدول التكراري.

3( نر�شم م�شتطيال على كل فئة ، طول قاعدته ي�شاوي طول الفئة و طول ارتفاعه ي�شاوي تكرار هذه الفئة

ج التكراري. وبذلك نح�شل على المدر

حة في جدول ) 3 - 8 ( ، نجد اأن التوزيع ي�شتمل ف��اإذا اأردنا ر�شم الم��درج التكراري للبيانات المو�ش

جه ��م المحور االأفقي اإلى �شبعة اأق�ش��ام مت�شاوية، وندر عل��ى �شبع فئ��ات مت�شاوية الطول ولذلك نق�ش

ج المحور الراأ�شي ابتداء من ال�شفر وحتى 30 وهو اأكبر تكرار في ابتداء من 60 وحتى 130 ، ثم ندر

رج التكراري كما في ال�شكل ) 3 - 4 ( . الجدول ، وبتطبيق الخطوة )3( نح�شل على المد

ولر�شم المدرج التكراري نتبع الخطوات االآتية:

�شكل ) 3 -4 (



الوحدة

الثالثة

ثالثا- الم�شلع التكراري .

بة في جدول ج التك��راري فاإن الم�شلع التك��راري ي�شتخدم لتمثيل البيان��ات المبو كم��ا ه��و الحال في المدر

تكراري ذي فئات و يمكن االإفادة منه في تف�شير هذه البيانات.

ج التكراري . مهما كما في المدر 1( نر�شم محورين متعامدين و نق�ش

2( نمثل لكل فئة نقطة اإحداثيها ال�شيني )االأفقي(مركز الفئة واإحداثيها ال�شادي )الراأ�شي(هو التكرار

المناظر لهذه الفئة.

3( ن�شل النقط بقطع م�شتقيمة فنح�شل على الم�شلع التكراري .

حة في جدول ) 3 – 8 ( �شنحت��اج اإلى اإن�شاء ف��اإذا اأردن��ا ر�ش��م الم�شلع التكراري للبيان��ات المو�ش

ح الفئات و مركز كل فئة و التكرار المناظر كما في جدول ) 3 – 9 ( جدول يو�ش

وبتطبيق الطريقة ال�شابق ذكرها نح�شل على الم�شلع التكراري كما في ال�شكل ) 3 - 5 ( .

جدول ) 3 -9 (

التكرارمراكز الفئاتفئات كميات االأمطار

5

15

20

30

15

10

5

65

75

85

95

105

115

125

-60

-70

-80

-90

-100

-110

130-120

ولر�شم الم�شلع التكراري نتبع الخطوات االآتية:


ج التكراري، وذلك بتحديد النقط التي تقع في منت�شف القواعد ويمك��ن ر�شم الم�شل��ع التك�راري من المدر

ج التكراري ثم ن�شل هذه النقط بقطع م�شتقيمة ،كما في ال�شكل ) 3 - 6 ( . العل�يا لم�شتطيالت المدر

�شكل ) 3 -6 (

�شكل ) 3 -5 (



الوحدة

الثالثة

تدريب ) 7-3 (

ح توزيع االأجر اليومي بالريال لعدد من ا لعمال في اإحدى المن�شاآت . الم�شلع التكراري في ال�شكل ) 3 – 7 ( يو�ش

باالإفادة من هذا الم�شلع اأكمل الفراغ في كل مما يلي:

ال يقع �شمن الفئة ............. 1 االأجر اليومي الأكبر عدد من العم

2 فئتا االأجر اللتان لهما التكرار نف�شه هما ............. و ..............

ال الذين اأجرهم اليومي اأقل من 30 رياال ي�شاوي ............ 3 عدد العم

ج التكراري لهذا التوزيع على ال�شكل نف�شه . ار�شم المدر

�شكل ) 3 -7 (


) 2 -3 (

اإذا كان دخ��ل اأ�ش��رة �شعودي��ة 6000 ري��ال �شهري��ا ، وكانت ميزاني��ة االأ�شرة لتوزيع ه��ذا الدخل على 1

مجاالت االإنفاق ح�شب الجدول التالي :

ح تق�شيم اأحد الموظفين لوقته خالل 24 �شاعة :2 الجدول التالي يو�ش

ة. مثل هذه البيانات با�شتخدام القطاعات الدائري


عة :3 الجدول التالي يبين م�شاحة محيطات العالم بماليين الكيلومترات المرب


مجال االإنفاق

قيمة االإنفاق

الم�شكن

1500

الماأكل

1500

الملب�ص

500

فواتير

400

موا�شالت

600

م�شروفات

500

خار اد

1000

اأخرى

تق�شيم الوقت

عدد ال�شاعات

في النوم

7

في العمل

8

في ممار�شة

2

في القراءة

3

اأن�شطة اأخرى

4

الريا�شة

القطبي

12.4

المحيط

الم�شاحة

القطبي

19.7

الهندي

72.8

االأطلنطي

106.7

الهادي

138.4

ال�شمالي الجنوبي



الوحدة

الثالثة

ن اأوزان 100 موظف بالكيلوغرام باإحدى ال�شركات.4 الجدول التالي يبي

5

مثل هذه البيانات م�شتخدما كال من :

ج التكراري . المدر

الم�شلع التكراري .

فئات االأوزان

عدد الموظفين

-50

5

-56

15

-62

20

-68

30

-74

1510

92-86

5

-80

اإذا كان الج��دول التك��راري التالي يمثل اأع��داد ال�شيارات ح�شب الحمولة بالراك��ب و التي عبرت اأحد

ة بي��ن 20 و 30 من ذي القعدة في ��ة قا�ش��دة مك��ة المكرمة في مو�شم الحج في المد المناف�ذالحدودي

اأحد االأعوام.

ج التكراري والم�شلع التكراري لهذه البيانات . ار�شم المدر

ارات التي تحمل 27 راكبا فاأكثر . اأوجد عدد ال�شي

اب فئات اأعداد الرك

عدد ال�شيارات

-9

12

-18

3640

-36

20

-45

12

-27

ح الجدول التالي توزيع درجات الحرارة في اإحدى المدن في 120 يوما .6 يو�ش

ج التكراري و الم�شلع التكراري على الر�شم نف�شه . مثل البيانات ال�شابقة بالمدر

فئات -8

عدد االأيام

درجات الحرارة

6

-12

12

-16

20

-20

30

-24

24

-28

16

-32

8

40-36

4


ة مقاييـ�س النـزعة المركزي

3-3

وبالنظ��ر اإل��ى مفردات اأي ظاهرة ) مثل ظاه��رة دخل الفرد في مجتمع ما، اأو ع��دد الطالب في المدار�ص

ب�ها على عباده -ف��ي اإحدى مدن المملكة، اأو

��ب -التي يمن اهلل ��ة االأمطار بالمليمتر المكع ��ة، اأو كمي الثانوي

عز

اأط��وال اأو اأوزان اأ�شخا��ص ف��ي منطقة ما ...اإلخ ( نالح��ظ اأن غالبية هذه المف��ردات- بتقدير من اهلل

ع اأو التمركز حول قيم��ة معينة، ويقل ه��ذا الميل كلما ابتعدنا ع��ن هذه القيمة من وج��ل- تمي��ل اإل��ى التجم

ى النـزعة ز حول ه��ذه القيمة.هذه النزعة ت�ش�م الجانبي��ن بمعن��ى اأن هناك نزعة تجعل هذه المفردات تترك

ـط الظاهرة ـطة للظاهرة اأو متو�ش ى القيمـــة المتو�ش ز المفردات حول�ها ت�ش�م ـــة والقيم��ة التي تترك المركزي

�طي نا نجد اأن معظمهم متو�ش فمثـــال: االأف��راد الذين نقابلهم في حياتنا اليومية مختلفون في اأطوال�هم ولكن

نا ال نكاد نقابل االأقزام اأو العمالقة اإال ا اإال اأ ن �ط زيادة اأو نق�ش الطول وعددا قليال منهم يختلف عن المتو�ش

في خلقه ولن نجد

ة اهلل ة الب�ش��ر ...، تلك �ش�ن ن��ادرا وينطب��ق االأمر نف��شه على ظاهرة الوزن و الذكاء وحد

ة مقايي��ص ابتكرها االإح�شائيون تعرف با�ش�م مقايي�ص �طة توجد عد ته تبديال. ولتحديد القيمة المتو�ش ل�ش�ن

ها: ـطات، اأه�م النـزعة المركزية اأو المتو�ش

�طات �شيوعا. �ط الح�ش�ابي ( ويعد من اأكثر المتو�ش 1( الو�ش�ط الح�ش�ابي ) اأو المتو�ش

2( الو�ش�يط.

3( المنوال.

ه اإذا ذكر لفظ وال يمك��ن تف�شي��ل اأح��د هذه المقايي�ص على االآخر، فل��كل منها مزاياه و عيوبه، ويالح��ظ اأن

ط فقط دون تحديد فيق�شد به الو�ش�ط الح�ش�ابي. المتو�ش

مقاييـ�ص النـزعة المركزية

بعد جمع البيان��ات وعر�شها جدوليا وبيانيا، ننتقل اإلى خطوة

ة من خطوات الدرا�ش�ة االإح�شائية وهي اخت�شار البيانات مهم

ر عن جميع باإيجاد مقيا�ص يمثل الظاهرة محل الدرا�ش�ة ) يعب

قيمها ( وي�ش�تخدم للمقارنة بين�ها و بين الظواهر االأخرى.

كمية االأمطار الهاطلة على مدينة خالل 100يوم

-60

5

-70

15

-80

20

-80

30

-90

15

-100

10

-110

5

130-120

100

الكمية

بالملم3

عدد

االأيام

Measures of Central Tendency


الوحدة

الثالثة

ال- الو�شـط الح�شـابي اأو

تعريف ) 3- 1(

الو�ش��ط الح�ش�ابي لمجموعة من القيم هو القيم��ة التي لو حلت محل قيمة كل مفردة من

مفردات الظاهرة لكان مجموع القيم الجديدة م�ش�اويا لمجموع القيم االأ�شلية.

ومن ذلك نرى اأن الو�ش�ط الح�ش�ابي ي�ش�اوي مجموع القيم مق�شوما على عددها.

ز بين حالتين هما: لح�ش�اب الو�ش�ط الح�ش�ابي نمي

بة ) اأي التي بة ) اأي التي لم يتم و�شعها في جداول تكرارية (، وحالة البيانات المبو حالة البيانات غير المبو

ة ب�ش�يطة اأو ذات فئات (. تم و�شعها في جداول تكراري

وحيث اإن :

طرق ح�شـاب الو�شـط الح�شـابي

الو�ش�ط الح�ش�ابي

مجموع القيم

عدد القيم

نا للتعبير عن هذا القانون ب�شيغة رمزية في الحاالت جميعها،نرمز للو�شط الح�شابي بالرمز �ص ويقراأ: فاإن

�ص �ش�رطة، ولقيم الظاهرة بالرمز �ص ، وللمجموع بالرمز .

بة ال- في حالة البيانات غير المبو اأو

ر عن مجموع قيم الظاهرة. حيث �ص تعب

) 6 – 3 (

ة التالية: اإذا كان عدد مفردات الظاهرة فاإن قانون الو�ش�ط الح�ش�ابي يكتب بال�شيغة الرمزي


اأوجد الو�ش�ط الح�ش�ابي لدرجات ع�ش�رة طالب في مادة الريا�شيات من البيانات التالية:

58 ،86 ،90 ،61 ،93 ،74 ،55 ،77 ،74 ،82

مثال )8-3 (

الحل

الو�ش�ط الح�ش�ابي لدرجات الطالب هو:

بة ثانيا- في حالة البيانات المبو

بة في جدول تكراري ب�شـيط البيانات المبو

م��ن المعلوم اأن لكل ق��راءة في الجدول التك��راري الب�ش�يط تكرارا مقابال ل�ها، لذا ف��اإن مجموع القيم

ي�ش�اوي مجموع حوا�شل �شرب القراءات في تكرارات�ها.

الو�ش�ط الح�ش�ابي

مجموع حوا�شل �شرب القيم في تكرارات�ها

مجموع التكرارات

: اأي اأن

فاإذا رمزنا للتكرارات المقابلة لقيم الظاهرة بالرمز ك ، فاإن قانون الو�ش�ط الح�ش�ابي يكتب بال�شيغة

ة التالية: الرمزي

) 7 – 3 (



الوحدة

الثالثة

خروه من م�شروفهم لعمل خيري كما في الجدول التالي: ا اد ع 40 طالبا مم تبر

مثال )9-3(

الحل

الو�ش�ط الح�ش�ابي لما تبرع به الطالب هو:

ع به الطالب. اح�شب الو�ش�ط الح�ش�ابي لما تبر

تدريب ) 8-3 (

حة بالجدول ) 3 - 4 ( اح�شب الو�شط الح�شابي للبيانات المو�ش

المبلغ بالريال

3عدد الطالب

50

6

60

9

70

9

80

8

90

5

المجموع100

100

جدول ) 3 -10(

المبلغ بالريال

) �ص (

عدد الطالب

التكرار ) ك (

المبلغ × عدد الطالب

) �ص × ك (

50

المجموع

60

70

80

90

100

3

6

9

9

8

5

150

360

630

720

720

500


بة في جدول تكراري ذي فئات البيانات المبو

ف��ي هذه الحال��ة تكون مراكز الفئ��ات و التكرارات بمثابة ج��دول تكراري ب�ش�يط و بالتال��ي فاإن قانون

ر عن الو�ش��ط الح�ش�ابي يكتب بال�شيغ��ة ) 3- 7 ( نف�ش�ها، حيث �ص تمثل قيم مراكز الفئات والتي تعب

قيم الظاهرة.

اح�ش��ب الو�ش�ط الح�ش�ابي لكمية االأمطار التي �ش�قطت على مدينة ما خالل 100 يوم بالمليمتر

حة بيانات�ها بالجدول ) 3 – 8 ( المكعب والمو�ش

مثال )10-3 (

ة االأمطار هو: الو�ش�ط الح�ش�ابي لكمي

جدول ) 3 -11(

ة االأمطار بالملم3 فئات كمي

مراكز الفئاتعدد االأيام

) �ص (

�ص × ك

) التكرار ك (

1009350المجموع

-60

-70

-80

-90

-100

-110

130-120

5

15

20

30

15

10

5

65

75

85

95

105

115

125

325

1125

1700

2850

1575

1150

625



الوحدة

الثالثة

تعريف ) 3- 2(

ثانيا- الو�شـيط

ا �ط ه��ذه القيم بعد ترتيب�ها ت�شاعدي الو�ش�ي��ط لمجموعة من القيم هو القيمة التي تتو�ش

اأو تنازليا.

من هذا التعريف، نالحظ اأن عدد القيم االأ�شغر من الو�ش�يط ي�ش�اوي عدد القيم االأكبر منه.

طرق ح�شـاب الو�شـيط


) 8– 3 ( قيمة الو�شيط

الو�ش�ط الح�ش�ابي للقيمتين اللتين ترتيبهما

القيمة التي ترتيب�ها

اإذا كان زوجيا

اإذا كان فرديا

2 2

2

مثال )11-3(

اأوجد الو�ش�يط الأوزان ت�ش�ع طالب بالكيلوغرام اإذا كانت اأوزان�هم هي :

58 ،57 ،51 ،53 ،48 ،55 ،49 ،50 ،62

الإيجاد الو�ش�يط لمجموعة من القيم عددها نتبع االآتي:

ا اأو تنازليا. 1( نرتب هذه القيم ترتيبا ت�شاعدي

نا ا اإذا كان زوجيا فاإن ا، اأم 2( ناأخ��ذ القيم��ة الت��ي تقع في الو�ش�ط تماما اإذا كان عدد القيم فردي

�طتين، فتكون هي قيمة الو�ش�يط.اأي اأن ناأخذ الو�ش�ط الح�ش�ابي للقيمتين المتو�ش


الحل

ثم باإكمال الحل كما �شـبق.

نرتب االأوزان ت�شاعديا كالتالي:

62 ،58 ،57 ،55 ،53 ،51 ،50 ،49 ،48

ن��ا ناأخ��ذ القيم��ة الت��ي ترتيب�ه��ا ، ف��اإ ن وحي��ث اإن ع��دد االأوزان وه��و ع��دد ف��ردي

5 وهي 53 وبذلك يكون الو�ش�يط 53 كيلوغرام

2

2( يمكن اإيجاد الو�ش�يط بترتيب االأوزان تنازليا كالتالي:

48 ،49 ،50 ،51 ،53 ،55 ،57 ،58 ،62

1( عدد القيم االأ�شغر من 53 ي�ش�اوي عدد القيم االأكبر منه

62 ،58 ،57 ،55 ،53 ،51 ،50 ،49 ،48

الو�ش�يط

مثال )12-3 (

الحل

ة الريا�شيات و المعطاة في المثال ) 3 - 8 ( و هي اأوجد الو�ش�يط لدرجات الطالب في ماد

58 ،86 ،90 ،61 ،93 ،74 ،55 ،77 ،74 ،82

�ط الدرجتين 74 ، 77 وبذلك يكون الو�ش�يط هو متو�ش

نرتب الدرجات ت�شاعديا كما يلي:

93 ،90 ،86 ،82 ،77 ،74 ،74 ،61 ،58 ،55

وحيث اإن عدد الطالب وهو عدد زوجي

اأي اأن الو�ش�يط درجة

22

نا ناأخذ من القيم المرتبة، الدرجتين اللتين ترتيبيهما فاإن

22



الوحدة

الثالثة


ا اأو ترتي��ب الو�ش�ي��ط في هذه الحال��ة عبارة عن ن�شف مجموع التك��رارات )�ش�واء كان ه��ذا المجموع فردي

زوجيا ( اأي اأن

) 9– 3 ( ترتيب الو�شي�ط


اإذا الو�ش�يط 400 ريال

مثال )13-3 (

بة في جدول تكراري ب�ش�يط نتبع االآتي: لح�ش�اب الو�ش�يط لبيانات مبو

1 نوجد ترتيب الو�ش�يط.

2 نجمع التكرارات على التوالي بدءا من تكرار اأول قيمة في الجدول وحتى ن�شل اإلى اأقل مجموع اأكبر

من اأو ي�ش�اوي ترتيب الو�شي�ط.

3 نعين القيمة المقابلة للتكرار االأخير في التجميع فتكون هي قيمة الو�ش�يط.

تدريب ) 9-3 (

ع به الطالب. في المثال ) 3 - 9 ( اأوجد الو�ش�يط لما تبر

الحل

ح الدخل االأ�ش�بوعي لثمانين عامال. الجدول االآتي يو�ش

ال. اأوجد الو�ش�يط للدخل االأ�ش�بوعي ل�هوؤالء العم

القيمة التي تقابل التكرار 32 ) التكرار االأخير في الجمع ( هي 400

ترتيب الو�شي�ط

اأقل مجموع اأكبر من اأو ي�ش�اوي ترتيب الو�ش�يط هو

الدخل االأ�ش�بوعي بالريال

ال ) التكرار( عدد العم

المجموع250300350400450500

391432121080



ال في الم�شنع ح�ش��ب فئات العمر هو الجدول ع ال�شاع��د لعدد العم ف��اإن الج��دول التكراري المتجم

) 3 - 12 ( التال��ي:

جدول ) 3 -12(

الفئات

20-

ع ال�شاعدالحدود العليا للفئاتالتكرار ) ك ( التكرار المتجم

25-

30-

35-

40-

4

15

39

29

5

اأقل من 25

اأقل من 30

اأقل من 35

اأقل من 40

اأقل من 45

ع ال�شاعد. ى بجدول التكرار المتجم لح�ش�اب الو�ش�يط في هذه الحالة نعتمد على ما ي�ش�م

ع ال�شاعد. م طريقة اإن�ش�اء وتمثيل جداول التكرار المتجم وفيما يلي �ش�نقد

ع ال�شاعد من جدول تكراري ذي فئات باإ�شافة عمودين على الجدول يتم اإن�ش�اء الجدول التكراري المتجم

��ص لكتابة الحدود العلي��ا للفئات، حيث يكتب اأم��ام كل فئة الحد ل منهما يخ�ش ، االأو التك��راري االأ�شل��ي

عة، حيث يكتب �ص لكتابة التكرارات المتجم ا العمود االآخر فيخ�ش االأعل��ى م�ش�بوقا بكلم��ة ) اأقل من (، اأم

اأمام كل فئة ناتج جمع تكرار هذه الفئة على مجموع تكرارات الفئات ال�ش�ابقة ل�ها، وهذا الناتج هو التكرار

��ع ال�شاع��د ل�هذه الفئة و الذي يمثل عدد المفردات التي تقل قيمه��ا عن الحد االأعلى ل�هذه الفئة، المتجم

عة تكون في ازدياد م�ش�تمر وهذا هو �ش�بب ت�ش�مية الجدول التكراري ومن ذلك يت�شح اأن التكرارات المتجم

ع ال�شاعد المقابل للفئة االأخيرة يكون م�ش�اويا لمجموع التكرارات ع ال�شاعد، واأن التكرار المتجم المتجم

االأ�شلية. وعلى �شبيل المثال:

ال في م�شنع ما ح�ش�ب فئات العمر. اإذا كان الجدول االآتي جدوال تكراريا لعدد العم

ع ال�شاعد اإن�شـاء جداول التكرار المتجم


ال ) التكرار( عدد العم

المجموعفئات العمر

92

20-

4

25-

15

30-

39

35-

295

40-54


الوحدة

الثالثة

ع ال�شاعد بيانيا تمثيل جداول التكرار المتجم

�ص المح��ور االأفقي للحدود العليا للفئ��ات، والمحور الراأ�ش�ي 1 نر�ش��م محوري��ن متعامدين ونخ�ش

ع��ة ال�شاع��دة، مع مراع��اة اأخذ مقيا�ص ر�ش��م منا�ش�ب بحي��ث يت�ش�ع المحور للتك��رارات المتجم

ع. الراأ�ش�ي الأكبر تكرار متجم

ع د النقاط التي اإحداثيها االأفقي هو الحد االأعلى للفئة و اإحداثيها الراأ�ش�ي هو التكرار المتجم 2 نحد

ال�شاعد.

ع ال�شاعد. ى المنحني المتجم د ي�ش�م 3 ن�شل بين هذه النقاط بمنحن ممه

ع ال�شاعد للجدول ) 3 - 12 ( وال�شكل ) 3 – 8 ( يبين المنحني المتجم

�شكل ) 3 -8 (

ع ال�شاعد نتبع الخطوات التالية: لتمثيل جدول التكرار المتجم


ده النقاط ) �ص ، �ص ( حيث �ص هو الحد االأعلى للفئة، �ص ع ال�شاعد هو منحن تحد 1( اإن المنحني المتجم

ع ال�شاعد المقابل له. هو التكرار المتجم

ع ال�شاعد الح�شول على بع��ص النتائج التي من اأجل�ها يتم تكوين الجدول 2( يمكنن��ا من المنحني المتجم

ال الذين تقل اأعماره�م ��ع ال�شاعد- فمثال- في ال�ش�كل ) 3 – 8 ( لمعرف��ة عدد العم التك��راري المتجم

ع ال�شاعد عند ع��ن 29 عام��ا نقيم عمودا على المح��ور االأفقي عند النقطة 29 يقابل المنحن��ي المتجم

النقطة ، نمد من عندها م�ش�تقيما يوازي المحور االأفقي، ويقابل المحور الراأ�ش�ي في النقطة ب، فتكون

ال الذين عددهم 76 ال المطلوب. وبالعك��ص، اإذا اأردنا معرفة الحد االأعلى الأعم��ار العم ه��ي ع��دد العم

ن��ا نر�ش�م م�ش�تقيما من النقط��ة 76 على المحور الراأ�ش��ي موازيا المحور االأفق��ي ليقابل المنحني ف��اإ ن

ف��ي النقطة ج��، فن�شقط منها عمودا على المح��ور االأفقي ليقابله في نقطة د، فتك��ون هي الحد االأعلى

المطلوب لالأعمار.

)1-3(

بة هو بمثابة ترتيب ت�شاعدي ل�هذه ع ال�شاعد لبيانات مبو ا �ش�بق اأن جدول التكرار المتجم لعل��ك اأدرك��ت مم

ع ال�شاعد بة باأ نه القيمة التي تكرارها المتجم البيان��ات؛ ل��ذا فاإ نه من الممكن تعريف الو�ش�يط لبيانات مبو

ي�ش�اوي ترتيب الو�ش�يط. وهناك طريقتان لح�ش�اب الو�شي�ط في هذه الحالة وهما:

ة 1( الطريقة الح�ش�ابي

2( الطريقة البيانية ) بالر�ش�م (

ح هاتين الطريقتين من خالل المثال التالي: و�ش�نو�ش

مثال )14-3 (

ة االأمطار التي �ش�قطت على مدينة ما خالل 100 يوم و التي بيانات�ها في الإيج��اد الو�ش�ي��ط لكمي

الجدول التكراري ) 3 – 8 (

بالطريقة الح�ش�ابية

نوجد ترتيب الو�ش�يط

وهنا يكون ترتيب الو�شي�ط



الوحدة

الثالثة

ع ال�شاعد، كما يلي: ن جدول التكرار المتجم نكو

ع ع ال�شاعد، القيمة المق�ابلة للتكرار المتج�م ��ن من الجدول التكراري المتجم نعي

50) ترتي��ب الو�ش�يط(، لتكون هي قيمة الو�ش�يط، فاإن ل��م نجد هذا التكرار في الجدول

) كما في مثالنا هذا (، وجدناه بين تكرارين وهنا نجده بين 40 ، 70 ، وهذان التكراران

اة بالفئة ي الفئة التي تحوي الو�ش�يط والم�ش�م يقاب��الن العددين 90 ، 100 الممثالن لح��د

الو�ش�يطية وهي ) -90 (

ج�

ة االأمطار كانت اأقل من 90 مل��م3 في االأيام ا ل 40 االأولى كمي

ة االأمطار تكون اأقل من قيمة الو�شـيط في االأيام ا ل� 50 االأولى كمي

ة االأمطار كانت اأقل من 100 مل��م3 في االأيام ا ل� 70 االأولى كمي

نوجد الو�ش�يط من التنا�ش�ب التالي :د

جدول ) 3 -13(

الحدود العليا للفئاتفئات كمية االأمطارع التكرار المتجم

ال�شاعد



60-

70-

80-

100-

110-

130-120

5

15

20

15

10

5

اأقل من 70

اأقل من 80

اأقل من 110

اأقل من 120

اأقل من 130

5

20

85

95

100

90-30

اأقل من 90

اأقل من 100

40

70

50ترتيب

الو�شيطالو�شيط

الفئة الو�شيطية


: ة االأمر فاإن وعام

الو�شيط – الحد االأدنى للفئة الو�شيطية

طول الفئة الو�شيطيةتكرار الفئة الو�شيطية

ومن هذا التنا�شب يمكننا ا�ش�تنتاج القانون التالي لح�ش�اب الو�ش�يط.

الطريقة البيانية ) بالر�ش�م (

) 10– 3 (

تكرار الفئة الو�شيطية

الو�شيط

الحد االأدنى

للفئة الو�شيطية

الفئ��ة ط��ول

الو�شيطية

ع ال�شاعد كما يلي: نوجد الو�ش�يط بالر�ش�م من المنحني المتجم

. ) وهو هنا 50 (. ال- نعين ترتيب الو�ش�يط ) ( على المحور الراأ�ش�ي اأو

ع ال�شاعد في ثانيـــا- نر�ش�م من نقطة ترتيب الو�ش�يط م�ش�تقيم��ا اأفقيا يقطع المنحني المتجم

نقطة ، ون�ش�قط منها عمودا على المحور االأفقي يقابله في نقطة ب، فتكون هي قيمة الو�ش�يط

��ح طريق��ة اإيج��اد الو�ش�يط ل�هذا ) وه��ي هن��ا 93 مل��م3 تقريب��ا ( ، وال�ش��كل ) 3 - 9 ( يو�ش

المثال.

ع المقابل التكرار المتجم

ة للحد االأدنى للفئة الو�شيطي

ترتيب الو�ش�يط –

ع المقابل التكرار المتجم

ة للحد االأدنى للفئة الو�شيطي

ترتيب الو�ش�يط –


() الحظ أن


الوحدة

الثالثة

)2-3(

�شكل ) 3 -9 (

ع عل��ى �شوء م��ا �ش�بق يمكننا الق��ول باأن الو�ش�يط ه��و االإحداثي االأفق��ي للنقطة على المنحن��ي المتجم

ال�شاعد والتي اإحداثيها الراأ�ش�ي هو ترتيب الو�ش�يط.


ثالثا- المنوال

تعريف ) 3- 3(

المنوال لمجموعة من القيم هو القيمة االأكثر تكرارا اأو �ش�يوعا.

وعلى �شوء هذا التعريف يمكننا ت�شنيف البيانات من حيث منوال�ها اإلى:

1( بيانات وحيدة المنوال:

ر اإحدى قراءات�ها اأكثر من اأي قراءة اأخرى. وهي البيانات التي تتكر

ة المنوال: 2( بيانات ثنائي

وهي البيانات التي ل�ها قراءتان بالتكرار نف�شه، وتكرارهما اأكبر من اأي قراءة اأخرى.

دة المنوال: 3( بيانات متعد

وهي البيانات التي ل�ها اأكثر من قراءتين بالتكرار نف�شه، وهذا التكرار اأكبر من تكرار اأي قراءة اأخرى.

4( بيانات عديمة المنوال ) ال منوال ل�ها (:

ر . وهي البيانات التي ال توجد فيها اأي قراءة تتكر

طرق ح�شـاب المنوال


يتم ح�ش�اب المنوال في هذه الحالة من واقع التعريف مبا�ش�رة.

مثال )15-3 (

ل الثانوي في اإحدى المدار�ص نة م��ن 11 طالبا من ال�شف االأو نة مكو اأوج��د المنوال الأطوال عي

اإذا كانت بيانات�ها بال�شنتيمتر كما يلي:

158 ، 162 ، 160 ، 156 ، 154 ، 162 ، 158 ، 160 ، 164 ، 160 ، 163



الوحدة

الثالثة

مثال )17-3 (

الحل

ر 3 مرات، وهو اأكثر تكرارا من اأي عدد اآخر. نة قد تكر نالحظ اأن العدد 160 في العي

اإذا المنوال 160�شم

مثال )16-3 (

الحل

نة من االأ�ش�ر كما يلي: اإذا كان الدخل ال�ش�هري بالريال لعي

6455 ، 1850 ، 2619 ، 5612 ، 4530 ، 9600 ، 16800 ، 7580 ، 2470 ، 6320 ، 9500 ، 7340

فاأوجد المنوال للدخل ال�شهري لهذه االأ�شر .

رة ( وبالتالي فاإن ة واحدة ) اأي غير مكر نالح��ظ اأن كل ق��راءة من القراءات ال�شابقة تظهر مر

البيانات ال منوال ل�ها.

الحل

ا، ات اأي�ش رت 8 مر ات، و اأن القراءة 7 تكر رت 8 مر نالحظ اأن القراءة 8 تكر

ة المن��وال ��ا الق��راءات االأخرى 6 ، 9 فلم ي�شل تكرارها اإلى 8 وبالتالي فاإن البي�انات ثنائي اأم

و منواالها هما 7 ، 8

نة من طالب ال�شف الثاني االبتدائي في اإحدى المدار�ص هي: اإذا كانت اأعمار عي

8 ، 7 ، 8 ، 7 ، 8 ، 8 ، 7 ، 7 ،8 ، 6 ، 7 ، 9 ، 7 ، 8 ، 7 ، 9 ، 8 ، 7 ، 8

فناق�ص وجود المنوال من عدمه.



�شنكتفي في هذه الحالة بتحديد المنوال لبيانات وحيدة المنوال.


في هذه الحالة تكون قيمة المنوال هي القيمة التي تقابل اأكبر تكرار في الجدول التكراري.

مثال )18-3 (

الحل

اإذا كانت بيانات عدد االأفراد في 50 اأ�ش�رة كما يلي:

فاأوجد المنوال لعدد اأفراد االأ�ش�رة.

من الجدول ال�ش�ابق يت�شح اأن اأكبر تكرار هو 12 ، واأن القيمة المقابلة له هي 5

اإذا المنوال لعدد اأفراد االأ�ش�رة 5 اأفراد.

عدد االأفراد

عدد االأ�ش�ر

23

7

4

8

5

12

6

9

7

5

8

4 5

تدريب ) 10-3 (

)3-3(

اأوجد المنوال للدخل االأ�ش�بوعي للعامل في مثال ) 3 - 13 (

ن الجدول نا نكو بة اإذا كان عدد القيم كبيرا بحيث ي�شعب تحديد تكرار كل قيمة فاإن ف��ي البيان��ات غير المبو

التكراري الب�ش�يط ل�هذه البيانات ثم نوجد المنوال من الجدول كما �ش�بق تو�شيحه.



الوحدة

الثالثة

ا اأن مركز الفئ��ة المنوالية هو قيمة ة نفتر��ص مبدئي لتحدي��د موق��ع المنوال داخل الفئ��ة المنوالي

��ة للمن��وال اإال اأن المن��وال في الغالب ينحرف عن مركز الفئة نحو بدايته��ا اأو ن�هايتها قليال اأو تقريبي

ة االخت��الف بين قيمتي التكرارين في الفئتين ال�ش�ابق��ة والالحقة للفئة المنوالية، كثي��را ح�ش�ب �ش�د

ة اأكبر من تكرار الفئة الالحقة ل�ها فاإن المنوال يميل نحو فاإذا كان تكرار الفئة ال�ش�ابقة للفئة المنوالي

ة �ة بن�ش�بة عك�ش�ي ة والعك�ص �شحيح، وعلى ذلك فاإن المنوال يق�ش�م الفئة المنوالي بداي��ة الفئة المنوالي

لتكراري الفئتين ال�ش�ابق�ة والالحق�ة ل�ها . ويمكننا ت�ش�بيه ذلك بقانون الرافع�ة :

) القوة × ذراع�ها المقاومة × ذراع�ها (.

رنا اأن ف��اإذا ر�ش�من��ا قطع��ة م�ش�تقيمة ، بحيث يكون طول�ها م�ش�اويا طول الفئة المنوالية وت�شو

هذه القطعة بمثابة ق�شيب لرافعة في�ها:

ر عند الطرف ) بداية الفئة المنوالية (. ة بمثابة قوة توؤث التكرار ال�ش�ابق لتكرار الفئة المنوالي

ر عند الطرف ب ) ن�هاية الفئة المنوالية (. ة بمثابة مقاومة توؤث والتكرار الالحق لتكرار الفئة المنوالي

والمنوال بمثابة مركز الرافعة بحيث يكون بعده عن هو �ص ومن ثم يكون بعده عن ب هو :

طول الفئة المنوالية - �ص، كما في ال�ش�كل ) 3 - 10 (.


في هذه الحالة ال ن�ش�تطيع تحديد القيمة االأكثر تكرارا من الجدول مبا�ش�رة ولكن يمكننا تحديد الفئة

ذات التكرار االأكبر وهي الفئة التي يقع فيها المنوال وتعرف با�ش�م الفئة المنوالية.

ومن ثم يمكننا اإيجاد المنوال بطريقتين وهما: الطريقة الح�شـابية و الطريقة البيانية.

الطريقة الح�شابية 1

المنوال

التكرار الالحق لتكرار الفئة المنوالية

التكرار ال�شابق لتكرار الفئة المنوالية

طول الفئة المنوالية

�شكل ) 3 -10 (


: ن�شـتنتج اأن

المنوال بداية الفئة المنوالية �ص

وبتطبيق قانون الرافعة نح�شل على العالقة التالية:

و يمكننا من هذه العالقة ا�ش�تنتاج القانون التالي لح�ش�اب المنوال.

التكرار ال�شابق لتكرار الفئة المنوالية × �ص

التكرار الالحق لتكرار الفئة المنوالية×) طول الفئة المنوالية �ص (

) 11– 3 (

مثال )19-3 (

الحل

ة االأمطار الت��ي �ش�قطت على مدينة ما خ��الل 100 يوم بالمليمتر ��ا لكمي اأوج��د المنوال ح�شابي

حة بيانات�ها في الجدول ) 3 - 8 (. ب والمو�ش المكع

: يت�شح من الجدول ) 3 – 8 ( اأن اأكبر تكرار هو 30، وعليه فاإن

ة 10، الفئة المنوالية ) الفئة المقابلة للتكرار 30 ( هي ) -90 (، طول الفئة المنوالي

التكرار ال�ش�ابق لتكرار الفئة المنوالية هو 20،

التكرار الالحق لتكرار الفئة المنوالية هو 15.

ومن القانون ) 3 - 11 ( نجد اأن :



الوحدة

الثالثة

)4-3(

اإذا المنوال

ة �ص ، فاإنه يمكن اإيجاد قيمة المنوال في المثال ال�ش�ابق بح�ش�اب حيث اإن المنوال بداية الفئة المنوالي

حها الرافعة الممثلة في ال�ش�كل ) 3 - 11 ( قيمة �ص من العالقة التالية التي تو�ش

�شكل ) 3 -11 (

المنوال

الطريقة البيانية 2

ج التكراري، واإن كان يكتفى بر�ش��م الم�ش�تطيالت التي يت��م ح�ش��اب قيمة المنوال بالر�ش�م من الم��در

ة والفئة ال�ش�ابقة والالحق��ة ل�ها، ثم ن�شل الراأ�ص االأيمن العل��وي لم�ش�تطيل الفئة ��ل الفئ��ة المنوالي تمث

��ة بالراأ��ص االأيمن العلوي للم�ش�تطيل ال��ذي يمثل الفئة ال�ش�ابقة للفئ��ة المنوالية وكذلك ن�شل المنوالي

الراأ��ص االأي�ش�ر العلوي لم�ش�تطي��ل الفئة المنوالية بالراأ�ص االأي�ش�ر العل��وي للم�ش�تطيل الذي يمثل الفئة

الالحقة للفئة المنوالية، فيتقاطعان في نقطة ن�ش�قط منها عمودا على المحور االأفقي يقابله في نقطة

تكون هي قيمة المنوال.


مثال )20-3 (

الحل

ب اأوجد المنوال بيانيا لكمية االأمطار التي �ش�قطت على مدينة ما خالل 100 يوم بالمليمتر المكع

حة بيانات�ها في الجدول ) 3 - 8 (. والمو�ش

�شكل ) 3 -12 (

من الر�ش�م نجد اأن قيمة المنوال ≈ 94ملم3 .



الوحدة

الثالثة

)5-3(

��ة ال�ش�ابقة الإيج��اد المنوال مرتبطة باإحدى الط��رق الح�ش�ابية الإيج��اد المنوال وتعرف اإن الطريق��ة البياني

بطريقة الفروق ولكننا لن نتناول درا�ش�تها في هذا الكتاب.

مثال )21-3 (

الحل

��ن توزيع مجموعة من الطالب وفق فئات الدرج��ات التي ح�شلوا عليها في الج��دول التالي يبي

اختبار اإحدى المواد:


قيمة الو�ش�ط الح�ش�ابي للدرجات التي ح�شل عليها الطالب.

قيمة الو�ش�يط ح�ش�ابيا وبيانيا.

قيمة المنوال ح�ش�ابيا وبيانيا. ج�

فئات الدرجات

عدد الطالب

المجموع 6-

3

10-

6

14-

10

18-

17

22-

12

30-26

553

جدول ) 3 -14(

المجموع

فئات الدرجات

عدد الطالب


مركز الفئة

) �ص (�ص × ك

6-

10-

14-

18-

22-

30-26

3

6

10

17

12

5

8

12

16

20

24

28

24

72

160

340

288

140

531024


الو�ش�ط الح�ش�ابي للدرجات هو:

ترتيب الو�شي�ط

ع ال�شاعد لدرجات الطالب كما في الجدول ) 3 - 15 (. ن الجدول التكراري المتجم نكو

و با�شتخدام القانون ) 3 - 10 ( نجد اأن :

جدول ) 3 -15(

الحدود العليا للفئاتفئات الدرجاتع التكرار المتجم

ال�شاعد



6-

10-

14-

22-

30-26

3

6

10

12

5

اأقل من 10

اأقل من 14

اأقل من 26

اأقل من 30

3

9

48

53

18-17

اأقل من 18

اأقل من 22

19

36

26.5ترتيب

الو�شيطالفئة الو�شيطية



الوحدة

الثالثة

ع ال�شاعد كما ف��ي ال�ش�كل) 3 - 13 ( والإيج��اد الو�ش�ي��ط بيانيا نر�ش�م المنحن��ي المتجم

فنجد من الر�ش�م اأن :

قيمة الو�ش�يط ≈ 19.8 درجة.

�شكل ) 3 -13 (

يت�شح من الجدول الوارد في هذا المثال اأن اأكبر تكرار هو 17، ج�

اإذا الفئة المنوالية ) الفئة المقابلة للتكرار 17 ( هي -18 ، وطول�ها 4،

ة ��ة هو 10 ، التكرار الالحق لتك��رار الفئة المنوالي التك��رار ال�ش�اب��ق لتكرار الفئة المنوالي

هو 12.


وبالتعوي�ص في القانون ) 3 - 11 ( نجد اأن :

وبيانيا نجد من ال�ش�كل ) 3 - 14 ( اأن المنوال ≈ 20.3 درجة

المنوال

�شكل ) 3 -14 (



الوحدة

الثالثة

مزايا وعيوب مقايي�ص النـزعة المركزية

ال- مزايا مقايي�ص النـزعة المركزية اأو

مزايا الو�شـط الح�شـابي

ياأخذ في ح�ش�ابه جميع القيم.

�ش�ائع اال�ش�تعمال وكذا يمكن اال�ش�تدالل به في كثير من الدرا�ش�ات االإح�شائية.

ال يحتاج في ح�ش�ابه اإلى ترتيب البيانات ب�شورة معينة.

مزايا الو�شـيط

�طات المو�شعية. ا ( الأ نه من المتو�ش ا اأو ال�شغيرة جد ة ) الكبيرة جد ال يتاأثر بالقيم ال�ش�اذ

��ة التي ل�ها �شفة الترتي��ب، مثل بيانات التقدي��رات ) را�ش�ب، يمك��ن ح�ش�اب��ه للبيانات النوعي

ا، ممتاز ( مقبول، جيد، جيد جد

مزايا المنوال

ة ( نحو الكبر اأو ال�شغر. فة ) ال�ش�اذ ال يتاأثر بالقيم المتطر

يمكن ح�ش�ابه للبيانات النوعية.

يمك��ن ح�ش�اب��ه للبيانات المفتوحة اأي التي لم يعرف الحد االأدن��ى للفئة االأولى اأو الحد االأعلى

للفئة االأخيرة فيها.

ثانيا- عيوب مقايي�ص النـزعة المركزية

ج�

1

2

3

1

2

1

2

3

عيوب الو�شـط الح�شـابي

ة (. فة ) ال�ش�اذ يتاأثر بالقيم المتطر

ال يمكن ح�ش�ابه في حالة البيانات النوعية.

نة من ا لبيانات مكو قد ال ي�ش�اوي اأ يا من القيم الداخلة في ح�ش�ابه، فقد يحتوي جزء ا ك�ش�ري

اأعداد �شحيحة.

عيوب الو�شـيط

ال ياأخذ في ح�ش�ابه جميع القيم.

ي�شعب اال�ش�تدالل به منفردا في الدرا�ش�ات االإح�شائية.

عيوب المنوال

ال ياأخذ في ح�ش�ابه جميع القيم.

قد يكون للبيانات اأكثر من منوال وبالتالي ال معن�ى الإيراده في بع�ص الدرا�ش�ات االإح�شائية.

ج�

1

2

3

1

2

1

2


) 3 -3 (

ف على وفرة اأعداد النخيل 1 ب�ها على بالدنا الحبيبة كثرة اإنتاج التمور الذي يتوق

من النعم التي من اهلل

في مدن بالدنا المختلفة. وفيما يلي بيان باأعداد النخيل ) بالمليون ( في خم�ص مدن:

1.75 ، 2.25 ، 0.5 ، 2.25 ، 5.75

اأوجد الو�ش�ط الح�ش�ابي والو�ش�يط والمنوال للبيانات ال�ش�ابقة.

ات ي اإل��ى انقطاع التيار ب�ش�بب االأحم��ال الزائدة على محط اإن االإ�ش��راف ف��ي ا�ش�تهالك الكهرباء يوؤد

التوليد و�ش�بكات التوزيع. فاإذا كان ا�ش�تهالك ع�ش�رة منازل من الكهرباء بمئات الكيلو واط هو:

17 ، 5.6 ، 6.4 ، 12 ، 13.2 ، 7.4 ، 8.4 ، 12.4 ، 8.4 ، 9.2

اأوجد الو�ش�ط الح�ش�ابي والو�ش�يط والمنوال لال�ش�تهالك.

فت نتيجة االأجزاء الع�ش�رة ن نة من 200 طالب من مدار�ص تحفيظ القراآن الكريم و�ش ن��ة مكو خ��ذت عياأ

االأخيرة التي يحفظه�ا الطالب من القراآن الكريم كما في الجدول التالي:


الو�ش�ط الح�ش�ابي لعدد االأجزاء التي يحفظها الطالب.

الو�ش�يط لعدد االأجزاء.

المنوال لعدد االأجزاء. ج�

الحرام القادمين من الخارج منذ عام 1413 وحتى عام

اج بيت اهلل ح اأعداد حج الجدول التالي يو�ش

: 1418

اج. اح�شب الو�ش�ط الح�ش�ابي والو�ش�يط والمنوال لعدد الحج

العام

اج عدد الحج

1413 14141415 141614171418

9928139956111043274108046511685911132344

1عدد االأجزاء

12عدد الطالب

2

19

3

35

4

50

6

32

7

16

8

12

9

13

10

11


2

3

4


الوحدة

الثالثة

نت في جدول تكراري كاالآتي:5 قي�ش�ت معامالت ذكاء 100 تلميذ و دو

م ال�ش�كاني وزيادة الطل��ب على المياه ظهرت م�ش�كلة المياه وقد 6 الم��اء ع�شب الحياة، وب�ش�بب الت�شخ

ة المحافظة على المي��اه و�شرورة تر�ش�يد ا�ش�تخدامها، والجدول التالي اتف��ق الراأي العالمي على اأهمي

را بالمليون جالون (. يبين توزيع اال�ش�تهالك اليومي من المياه العذبة باإحدى دول مجل�ص التعاون ) مقد

اأوجد الو�ش�ط الح�ش�ابي والو�ش�يط والمنوال لمعامالت الذكاء.

ا اختيرت بطريقة 7 نة من 90 �ش�خ�ش نة مكو اأج��رت اإحدى �ش�ركات �شناعة المالب�ص درا�ش�ة الأط��وال عي

منا�ش�بة فكانت النتائج كما يلي:


الو�ش�ط الح�ش�ابي لال�ش�تهالك اليومي من المياه العذبة.

الو�ش�يط بالح�ش�اب وبالر�ش�م.

المنوال بالح�ش�اب وبالر�ش�م. ج�


الو�ش�ط الح�ش�ابي الأطوال االأ�ش�خا�ص.

ة والبيانية. الو�ش�يط الأطوال االأ�ش�خا�ص بالطريقتين الح�ش�ابي

ة والبيانية. المنوال الأطوال االأ�ش�خا�ص بالطريقتين الح�ش�ابي ج�

85 معامل الذكاء

2التكرار

95

10

105

25

115

40

125

20

135

3

المجموع

100

-50

4

-60

10

-70

8

-80

2

100-90

1

المجموع

25

اال�ش�تهالك اليومي


الطول بال�ش�نتيمتر

عدد االأ�ش�خا�ص

-130

10

-140

24

-150

36

170-160

20


�ن:8 ح توزيع القوى العاملة في اإحدى المدن ح�ش�ب ال�ش الجدول االآتي يو�ش

المطلوب اإيجاد قيمة:

. الو�ش�ط الح�ش�ابي

الو�ش�يط بالح�ش�اب وبالر�ش�م.

المنوال بالح�ش�اب وبالر�ش�م. ج�

في اإحدى الدرا�ش�ات االإح�شائية لظاهرة ما كانت النتائج على النحو التالي:

المنوال = 23 طول الفئة المنوالية = 10

التكرار ال�شابق للفئة المنوالية = 21 التكرار الالحق للفئة المنوالية = 9

اأوجد الحد االأدنى للفئة المنوالية.

��ة الإحدى الدول بماليين الرياالت كانت النتائج ف��ي اإحدى الدرا�شات االإح�شائية على الواردات اليومي

التالية:

الو�ش�يط =80 بداية الفئة الو�ش�يطية = 76

ع المقابل للحد االأدنى للفئة الو�شيطية =125 التكرار المتجم

ع المقابل للحد االأعلى للفئة الو�شيطية = 195 التكرار المتجم

�ش�تورد فيها = 360مجموع التكرارات لالأيام التي اأ

اأوجد طول الفئة الو�ش�يطية .

-18 �ن فئات ال�ش

القوى

العاملة بالمئات

المجموع

97

-24

176

-30

235

-36

187

-42

157

-48

112

60-54

361000


8

9


الوحدة

الثالثة

النحراف المعياري

الت�شـتت

4-3

تها ؛ فهي ة ) الو�ش�ط الح�ش�اب��ي و الو�ش�يط والمنوال ( ل�ه��ا اأهمي ال�ش��ك اأن مقايي��ص الن�زع��ة المركزي

مة عن الظاه��رة، اإال اأ نها ال تعطي فك��رة وافية عن مفردات ه��ذه الظاهرة اإذ تعط��ي معلوم��ات مفي��دة وقي

��ن طبيع��ة الظاهرة وال كيفية توزي��ع مفردات�ها، وعلى ذلك ال يمكننا المقارن��ة بين ظاهرتين بناء على ال تبي

�طات اإح��دى الظاهرتين م�ش�اوية لقيمة طات�هم��ا فق��ط؛ اإذ قد تكون قيمة واح��د ) اأو اأكثر ( من متو�ش متو�ش

�طات المناظرة ل�ها ( من الظاهرة االأخرى، بينما تكون مفردات اإحدى ��ط المن��اظر له) اأو المتو�ش المتو�ش

الظاهرتي��ن متجان�ش��ة اأي متقارب��ة بع�شها م��ن بع�ص في حين تكون مف��ردات الظاهرة االأخ��رى م�ش��تتة

اأي متباع��دة ع��ن بع�شه��ا- فمثال- لو فر�شن��ا اأن لدينا الدرج��ات االآتية لمجموعة من الط��الب في مادتي

ة: الريا�شيات واللغة االإنجليزي

درجات الريا�شيات : 40 ، 58 ، 72 ، 80 ، 100

ة : 64 ، 67 ، 72 ، 71 ، 76 درجات اللغة االإنجليزي

The Standard Deviation

يرمز الى

االنحراف المعياري


: نا �ش�نجد اأن فاإ ن

الو�ش��ط الح�ش�اب��ي لكل من هاتين الظاهرتين هو 70 درج��ة ، واأن الو�ش�يط لكل منهما هو 72 درجة فاإذا ما

نا ن�ش�تنتج اأن م�ش�توى الطالب هو ين ) اأو الو�ش�يطين ( للظاهرتين فاإ ن اكتفين��ا بمقارن��ة الو�ش�طين الح�ش�ابي

ز حول ��ة متقاربة من بع�شها وتترك تين وه��ذا يخالف الواقع حيث اإن درجات اللغة االإنجليزي نف�ش��ه في الماد

و�ش�طه��ا ) مث��ال ( بينما درجات الريا�شيات متباعدة ومبعثرة ف��ي مدى كبير، وعلى ذلك ال يمكننا اقت�شار

طات�ها فقط، بل يجب البح��ث عن مقيا�ص اآخر يبين مدى تقارب اأو تباعد المقارن��ة بين الظواهر على متو�ش

ة مقايي�ص اأخرى تظهر مفردات الظواهر بع�شها عن بع�ص، اأي يجب اأن ن�شيف اإلى مقايي�ص الن�زعة المركزي

درجة ت�شـتت القيم اأي تباعدها بع�شها عن بع�ص.

وهذا الت�ش�تت يكون �شغيرا اإذا كان االختالف بين قيم المفردات قليال ويكون كبيرا اإذا كان االختالف بينها

ا كبي��را اأي اإذا كانت الفروق بين قيم المجموعة كبيرة، وعلى ذلك يمكننا اتخاذ مقدار ت�ش�تت القيم مقيا�ش�

لمعرفة تقارب القيم اأو تباعدها من بع�شها البع�ص.

ة للت�ش�تت تختلف من حيث ط��رق ح�ش�اب�ها ومجال ا�ش�تخدامها، كم��ا اأ نها تختلف من وهن��اك مقايي��ص ع��د

تها، و�ش�نق�شر درا�ش�تنا في هذا الكتاب على اأحد اأهم مقايي�ص الت�شـتت واأكثرها ا�ش�تعماال في علم حيث دق

. االإح�شاء وهو االنحراف المعياري


اإن االنح��راف المعي��اري هو اأف�شل واأدق مقايي�ص الت�ش�تت الأ نه يقي�ص مدى تقارب اأو تباعد القراءات عن

و�ش�طها الح�ش�ابي وذلك يعني اأن جميع القراءات تدخل في ح�ش�ابه.

: م فيما يلي مفهوم االنحراف المعياري �شـنقد

وه��ذه االنحراف��ات تك��ون �شغي��رة اإذا كان��ت الق��راءات قريب��ة م��ن و�ش�طه��ا الح�ش�اب��ي اأي اإذا كان��ت

الق��راءات متقارب��ة من بع�شها، وبالعك��ص فاإن هذه االنحرافات تك��ون كبيرة اإذا كانت الق��راءات متباعدة

��ط انحراف��ات القراءات ع��ن و�ش�طه��ا الح�ش�ابي ��ه يمكننا ا�ش�تخ��دام متو�ش بع�شه��ا ع��ن بع�ص؛ ل��ذا فاإ ن

كمقيا��ص للت�ش�ت��ت ولكن مجم��وع انحرافات القراءات ع��ن و�ش�طها الح�ش�اب��ي الأي بيانات ي�ش��اوي �شفرا،

بفر��ص اأن ق��راءات الظاه��رة الت��ي لدين��ا ه��ي : واأن و�ش�طه��ا الح�ش�اب��ي هو

فاإن انحرافات هذه القراءات عن و�ش�طها الح�ش�ابي



الوحدة

الثالثة

اإذ اإن بع��ص االنحراف��ات موجب وبع�شها االآخر �ش�الب، وعند جمع ه��ذه االنحرافات يتال�ش�ى الموجب منها

م��ع ال�ش�الب. ولتجاوز هذه الم�ش�كلة ناأخذ الو�ش�ط الح�ش�ابي لمربعات هذه االنحرافات بدال من االنحرافات

ة للقراءات. ع الوحدات االأ�شلي ى بالتباين و وحدته هي مرب نف�ش�ها، فنح�شل بذلك على ما ي�ش�م

نا ناأخذ الج��ذر التربيعي للتباين ة اأن يك��ون لمقيا�ص الت�ش�تت وحدات المف��ردات نف�ش�ها فاإ ن ونظ��را الأف�شلي

. ى االنحراف المعياري كمقيا�ص للت�ش�تت وي�ش�م

تعريف ) 3- 4(

االنح��راف المعياري هو الجذر التربيعي للو�ش�ط الح�ش�ابي لمربعات انحرافات القراءات

عن و�ش�طها الح�ش�ابي

ونرمز لالنحراف المعياري بالرمز

طرق ح�شـاب االنحراف المعياري


يح�ش�ب االنحراف المعياري في هذه الحالة من التعريف مبا�ش�رة و الذي يمكن التعبير عنه بالقانون التالي :

) 12– 3 (

مثال )22-3 (

اأوج��د االنح��راف المعياري للقراءات التالية: 15 ، 12 ، 10 ، 9 ، 14 التي تمثل درجات الحرارة

ة. في خم�ش�ة اأيام مختلفة في مدينة الطائف الأقرب درجة مئوي


الحل

ال قيمة الو�ش�ط الح�ش�ابي نح�ش�ب اأو

ل للقراءات والعمود الثان��ي للفرق بين القراءات ن جدوال للح�ش�ابات يكون في��ه العمود االأو نك��و

��ا ال�شف االأخير من الجدول فيحتوي على ع الفرق. اأم والو�ش��ط الح�ش�ابي والعمود الثالث لمرب

. مجموع كل من القراءات ومربعات فروقها عن الو�ش�ط الح�ش�ابي

جدول ) 3 -16(

فيكون االنحراف المعياري هو


15

12

10

9

14

3

0

2-

3-

2

9

0

4

9

4

0


الوحدة

الثالثة

)6-3(

، �ش�نكتب القانون ) 3- 12 ( ب�شيغة مخت�شرة على النحو التالي: لت�ش�هيل ح�ش�اب االنحراف المعياري

وذل��ك يعني اأن االنحراف المعياري في �شيغته المخت�شرة هو الجذر التربيعي للفرق بين الو�ش�ط الح�ش�ابي

ع الو�ش�ط الح�ش�ابي للقراءات، وب�هذه ال�شيغة المخت�شرة يمكننا ح�ش�اب االنحراف لمربعات القراءات ومرب

. المعياري دون ح�ش�اب االنحرافات عن الو�ش�ط الح�ش�ابي

مثال )23-3 (

الحل

اأوجد االنحراف المعياري لبيانات المثال ) 3 - 22 ( م�ش�تخدما القانون بال�شيغة المخت�شرة .

ل للق��راءات والثاني لمربعات القراءات، ويك��ون ال�شف االأخير ن جدوال م��ن عمودين االأو نك��و

عات�ها كما يلي: لمجموع القراءات ومجموع مرب

جدول ) 3 -17(

15

12

10

9

14

225

144

100

81

196

) 13– 3 (


ومن ذلك يكون االنحراف المعياري :

ا�شتخـــدام االآلـــة الحا�شبة العلمية الإيجـــاد الو�شط الح�شابي واالنحـــراف المعياري

بة للبيانات غير المبو

ة اأهمي��ة بالغة في اإج��راء الح�شابات االإح�شائي��ة حيث يمكنن��ا ا�شتخدامها الإيجاد لالآل��ة الحا�شب��ة العلمي

ة اإيجاد كل من الو�شط الح�شابي و بة ، و تعد عملي الو�شط الح�شابي واالنحراف المعياري للبيانات غير المبو

ة باالإح�شاء ة و توجد مفاتيح خا�ش ة في االآلة الحا�شبة العلمي االنحراف المعياري من العمليات غير االأ�شا�شي

و هي مميزة باللون االأزرق �شن�شتخدم منها المفاتيح االآتية :

4( وي�شتخدم الإيجاد االنحراف المعياري.

3( وي�شتخدم الإيجاد الو�شط الح�شابي .

2( وي�شتخدم الإدخال البيانات .

1( و ي�شتخدم لم�شح البيانات ال�شابقة من ذاكرة االإح�شاء .



الوحدة

الثالثة

مثال )24-3 (

الحل

الإيجاد الو�شط الح�شابي اأو االنحراف المعياري ندخل البيانات على النحو التالي :

با�شتخدام االآلة الحا�شبة اأوجد الو�شط الح�شابي واالنحراف المعياري لبيانات المثال ) 3 - 22 (

ة بالتتابع التالي : وبا�شتخدام المفاتيح المبين

اأي اأن االنحراف المعياري 2.28

نجد اأن الو�شط الح�شابي 12

وم��ن الجدي��ر ذكره اأنه قبل البدء بح�ش��اب الو�شط الح�شابي و االنحراف المعياري الب��د اأوال من و�شع االآلة

الحا�شبة على نظام االإح�شاء SD وذلك بال�شغط على مفتاح اختيار النظام ثم على ،

و بعد ذلك نم�شح ذاكرة االإح�شاء بال�شغط على ثم على ثم على

تدريب ) 11-3 (

با�شتخ��دام االآلة الحا�شبة اأوجد الو�شط الح�شاب��ي و االنحراف المعياري لبيانات

مثال ) 3 - 8 (

نة بالتتابع التالي : وللح�شول على االنحراف المعياري ن�شتخدم المفاتيح المبي




) 14– 3 (

بة في جدول تكراري م��ن التعري��ف ) 3-4 (، يمكن ا�ش�تنتاج �شيغة االنحراف المعياري للبيانات المبو

ب�ش�يط وهي :

) 15– 3 (

وتكون ال�شيغة المخت�شرة لالنحراف المعياري في هذه الحالة هي :

مثال )25-3 (

��ر �ش�لبا عل��ى م�ش�توى تح�شيل الط��الب ب�شفة ��ا ال�ش�ك في��ه اأن الغياب ع��ن المدر�ش�ة يوؤث مم

��ة وفيما يلي بيانات الط��الب الغائبين في اإحدى المدار�ص ح�ش�ب اأيام غياب�هم خالل العام عام

الدرا�ش�ي.

��ر �ش�لبا عل��ى م�ش�توى تح�شيل الط��الب ب�شفة ��ا ال�ش�ك في��ه اأن الغياب ع��ن المدر�ش�ة يوؤث مم

��ة وفيما يلي بيانات الط��الب الغائبين في اإحدى المدار�ص ح�ش�ب اأيام غياب�هم خالل العام عام

الدرا�ش�ي.

اأوجد االنحراف المعياري ل�هذه الظاهرة.

عدد اأيام الغياب

عدد الطالب الغائبين

1

35

2

16

5

11

6

15

8

1

10

2



الوحدة

الثالثة

الحل

جدول ) 3 -18(

ال الو�ش�ط الح�ش�ابي نح�ش�ب اأو


نا ناأخذ في ه��ذه الحالة ال تختل��ف ه��ذه الحال��ة كثيرا عن حال��ة الجدول التك��راري الب�ش�ي��ط، اإال اأ ن

انحراف��ات مراكز الفئات بدال من انحرافات القي��م، وبالتالي فاإن �شيغة االنحراف المعياري في هذه

الحالة هي ال�شيغة ) 3 - 15 ( نف�ش�ها حيث �ص تمثل قيم مراكز الفئات.

عدد االأيام ) �ص (

1

�ص كالتكرار ) ك (

2

5

6

8

10

35

16

11

15

1

2

35

32

55

90

8

20

35

64

275

540

64

200


مثال )26-3 (

الحل

الإيجاد االنحراف المعياري نكون الجدول التالي با�شتخدام االآلة الحا�شبة والتقريب الأقرب رقمين ع�شريين :

��ة ح�ش�ب عدد االأطب��اء في�ها نة م��ن 40 من�ش�اأة �شحي اأوج��د االنح��راف المعي��اري لبيان��ات عي

حة في الجدول التالي: والمو�ش

عدد االأطباء

4عدد المن�ش�اآت ال�شحية

-10

4

-15

6

-20

10

-25

6

-30

5

-35

4

-40

1

50-45

جدول ) 3 -19(

مراكز الفئاتعدد المن�ش�اآت

�ص�ص ك

كال�شحية

عدد االأطباء

)الفئات(

المجموع

-10

-15

-20

-25

-30

-35

-40

50-45

4

4

6

10

6

5

4

1

12.5

17.5

22.5

27.5

32.5

37.5

42.5

47.5

50

70

135

275

195

187.5

170

47.5

625

1225

3037.5

7562.5

6337.5

7031.25

7225

2256.25



الوحدة

الثالثة

تدريب ) 12-3 (

اأوجد االنحراف المعياري لبيانات المثال ) 3 - 21 (.


) 4 -3 (

اإذا كانت درجات طالب في االختبار الن�شفي لخم�ص مواد درا�ش�ية هي كما يلي:1

20 ، 16 ، 21 ، 23 ، 18 فاأوجد االنحراف المعياري للدرجات م�شتخدما القانون.

اإن االإ�ش�راف في ا�ش�تهالك الزيت النباتي في طهي الطعام يعد من الظواهر غير ال�شحية. فاإذا كانت 2

كمية اال�ش�تهالك ال�ش�هري ل�ش�بع اأ�ش�ر من الزيت النباتي في الطهي ) باللتر ( هي:

2 ، 6.5 ، 7 ، 4.5 ، 8 ، 10 ، 4 فاأوجد االنحراف المعياري لال�ش�تهالك م�شتخدما القانون.

ة لكواكب المجموعة ال�شم�ش�ية:3 ح ال�ش�رعة المداري الجدول التالي يو�ش

��ة 72410 والو�شط الح�ش�ابي لدرجات�ه 4 ع��ات درجات طالب في المقررات الدرا�ش�ي اإذا كان مجم��وع مرب

ة ل�ه اإذا علمت اأن االنحراف المعياري لدرجات�ه في هذه ل ( 85 فاأوجد عدد المقررات الدرا�ش�ي ) المعد

المقررات ي�شاوي 4.

ة اأوج��د با�شتخدام االآل��ة الحا�شبة كال من الو�ش��ط الح�ش�ابي و االنحراف المعي��اري لل�ش�رعة المداري

ة. لكواكب المجموعة ال�شم�ش�ي

ف��ي التمري��ن )4 ( من مجموعة التمارين ) 3 – 3 ( كانت بيان��ات حفظ الع�ش�رة االأجزاء االأخيرة من 5

القراآن الكريم لمئت�ي طالب كما يلي:

اأوجد االنحراف المعياري لعدد االأجزاء التي يحفظها الطالب.

الكواكب

عة ل�ش�ر ا

كم/ث

عطارد

47.8

الزهرة

35.1

االأر�ص

29.8

المريخ

24.1

الم�شتري

13

زحل

9.7

اأورانو�ص

6.8

نبتون

5.5

بلوتو

4.8

1

12

2

19

3

35

4

50

6

32

7

16

8

12

9

13

10

11

عدد

االأجزاء

عدد

الطالب



الوحدة

الثالثة

في المثال ) 3 - 18 ( كانت بيانات عدد االأفراد في 50 اأ�ش�رة كما يلي: 6

اأوجد االنحراف المعياري لال�ش�تهالك اليومي من المياه العذبة للبيانات المعطاة في تمرين ) 6 (من 7

مجموعة التمارين ) 3 - 3 ( وهي:

ة البن�زين التي ت�ش�تهلكها مجموعة من ال�ش�يارات كانت النتائج كالتالي:8 في درا�ش�ة لكمي

9. ن مجموعتين من القراءات ل�هما الو�ش�ط الح�ش�ابي نف�ش�ه وتختلفان في انحرافهما المعياري كو

عدد االأفراد

عدد االأ�ش�ر

23

7

4

8

5

12

6

9

7

5

8

4 5

اأوجد االنحراف المعياري لعدد اأفراد االأ�ش�رة.

اأوجد االنحراف المعياري لعدد الكيلو مترات لكل جالون.

50- اال�ش�تهالك اليومي

4عدد االأيام

المجموع

25

60-

10

70-

8

80-

2

100-90

1

عدد الكيلومترات لكل جالون

عدد ال�شيارات

25-

5

27-

7

29-

9

31-

5

33-

4


الرتباط

5-3

ر واح��د ( ، وفي هذا البند �شنتطرق اإلى زا على درا�شة ظاهرة واحدة ) متغي كان اهتمامن��ا فيم��ا �شبق مرك

رين و التي تتطلبها الكثير من الم�شائل العلمية ، و من االأمثلة على ذلك : درا�شة العالقة بين متغي

العالقة بين طول الطفل و وزنه .

لعالقة بين وزن المري�ص و �شغط دمه .

العالقة بين حوادث المرور و تجاوز الحد االأق�شى لل�شرعة .

العالقة بين الم�شتوى االجتماعي لالأ�شرة و م�شتوى الذكاء الأبناء االأ�شرة .

العالقة بين دخل الفرد و اإنفاقه.

العالقة بين تكاليف الدعاية لمنتج معين و كميات المبيعات منه .

العالقة بين تكلفة اإنتاج �شلعة و �شعرها .

رين . رين ارتباطا بين هذين المتغي ى العالقة بين اأي متغي ن�شم

االرتباط

The Correlation


الوحدة

الثالثة

ح مفهوم االرتباط من خالل المناق�شة التالية : و�شنو�ش

نعلم اأنه كلما زاد طول الطفل زاد وزنه ، فالتغير في الطول مقترن بالتغير في الوزن ، و لكن لكل قاعدة

�شواذ فهناك اأطفال طوال نحاف اأخف وزنا من اآخرين ق�شار �شمان.

ه ارتباط اإيجابي . ف االرتباط ) العالقة ( بين طول الطفل و وزنه باأن ن�ش

و اإذا در�شنا العالقة بين الحجم و ال�شغط في الغازات نجد اأنه كلما زاد الحجم قل ال�شغط و هذا يعني اأن

هناك ارتباط بين حجم الغاز و �شغطه يو�شف باأنه ارتباط �شلبي .

اأعط مثاال الرتباط ايجابي و اآخر الرتباط �شلبي بين متغيرين .

رين بحي��ث اإذا علمنا قيمة اأحدهما ن�شتطيع و ف��ي الواق��ع اإذا كانت هناك عالق��ة ريا�شية تربط بين المتغي

رين معرف��ة قيم��ة االآخر -كما هو الحال في االرتباط بين حجم الغاز و �شغط��ه - فاإن االرتباط بين المتغي

ا ى ارتباطا تام ي�شم

تام ؟هل االرتباط بين طول الطفل و وزنه ارتباط

هل هناك ارتباط بين طول الطالب و درجته في االختبار ؟

)1(

لعلك تو�شلت من المناق�شة ال�شابقة اإلى اأنه :

حجم الغاز )1(ثابت

�شغط الغاز

1( لالرتباط نوعان هما :

ر االآخر . رين ) اأو معظمها ( بزيادة قيم المتغي ارتباط ايجابي : و فيه تزداد قيم اأحد المتغي

ر االآخر . رين ) اأو معظمها ( بزيادة قيم المتغي ارتباط �شلبي : و فيه تنق�ص قيم اأحد المتغي

ته فهناك : 2( يتفاوت االرتباط في �شد

ر االآخر . رين اإذا علمت قيمة المتغي ارتباط تام : وفيه يمكن معرفة قيمة اأحد المتغي

ر االآخر . رين اإذا علمت قيمة المتغي ارتباط غير تام : وفيه يمكن معرفة قيمة تقريبية الأحد المتغي

ر االآخر . رين اإذا علمت قيمة المتغي ارتباط منعدم : وفيه ي�شتحيل معرفة قيمة اأحد المتغي

ة ) �شكل االنت�شار( و اأخرى ة طرق ندر�ص منها : طريقة بياني رين هناك عد ولدرا�شة االرتباط بين متغي

ح�شابية ) معامل االرتباط (


�شكل االنت�شار

ران اإذا كان لدينا المتغي

ر القيم : و اأخذ المتغي

ر القيم : و اأخذ المتغي

فاإنه بتعيين النق��اط :

ى �شكل االنت�شار . في الم�شتوي الديكارتي نح�شل على �شكل يبين انت�شار هذه النقاط في الم�شتوي ي�شم

و ل�شكل االنت�شار �شور مختلفة ، فاإذا كانت النقاط جميعها تقع على خط م�شتقيم كما في ال�شكل ) 3 - 15 ( اأو

رين خطي نا نقول اإن االرتباط بين المتغي ع حول خط م�شتقيم كما في ال�شكلين ) 3 – 16 ( ، ) 3 – 17 ( فاإن تتجم

ع حول منحن و هناك حاالت اأخرى تقع فيها النقاط جميعها على منحن كما في ال�شكل ) 3 – 18 ( اأو تتجم

نا لن نتطرق لدرا�شة هذه الحاالت في هذا الكتاب كما في ال�شكل ) 3 – 19 ( ، اإال اأن

�شكل ) 3 -17 (�شكل ) 3 -16 (�شكل ) 3 -15 (

�شكل ) 3 -19 ( �شكل ) 3 -18 (

االرتباط


الوحدة

الثالثة

ا ) لماذا؟ ( ، وفي الواقع يمكننا من �شكل االنت�شار درا�شة نوع االرتباط ،ففي ال�شكل ) 3 - 15( يكون االرتباط اإيجابي

بينما في ال�شكل ) 3 - 16 ( يكون االرتباط �شلبيا ) لماذا؟ ( .

ما نوع االرتباط في �شكل ) 3 - 17 ( ؟

ة االرتباط بين المتغيرين، وذلك على النحو التالي : كما يمكننا كذلك من �شكل االنت�شار تحديد �شد

1( اإذا كان��ت النق��اط تق��ع جميعها على خ��ط م�شت�قيم - كما في ال�ش��كل ) 3 - 15 (- ف��اإن االرتباط بين

ا )لماذا ؟( . رين يكون تام المتغي

د العالقة الريا�شية بين المتغيرين �ص ، �ص في ال�شكل ) 3 - 15 (. حد

ع حول خط م�شتقيم ، فاإن االرتباط بين 2( اإذا كان��ت النق��اط ال تقع جميعها على خط م�شتقي��م اإال اأنها تتجم

رين يكون غير تام ،كما في ال�شكلين ) 3 - 16 ( ، ) 3 - 17 ( . وفي االرتباط غير التام كلما كانت المتغي

ط هذه النق��اط كلما كان االرتباط بين مجموع��ة النقاط في �شكل االنت�ش��ار قريبة من خط م�شتقيم يتو�ش

ا، فمثال : يمكن اأن نعد االرتباط بين المتغيرين في كل من ال�شكلين ) 3 - 16 ( ، ) 3 - 17 ( رين قوي المتغي

اأق�وى من االرتباط بين المتغيرين في كل من ال�شكلين ) 3 - 20 ( ، ) 3 - 21 ( .

ة على مدى قوة االرتباط غير التام . اعلم اأننا ال ن�شتطيع من �شكل االنت�شار الحكم بدق

رين فاإن ��ا و ب�شورة ت��دل على ا�شتحالة وج��ود اأي رابط بي��ن المتغي 3( اإذا كان��ت النق��اط تنت�ش��ر ع�شوائي

رين يكون منعدما ، كما في ال�شكل ) 3 – 22 ( . االرتباط بين المتغي

�شكل ) 3 -22 ( �شكل ) 3 -21 (�شكل ) 3 -20(


مثال )27-3 (

الحل

��ن الدرجات التي ح�شل عليه��ا مجموعة من الطالب ف��ي االختبار النهائي الج��دول التالي يبي

لمادة الريا�شيات و عدد ال�شاعات التي ا�شتغرقها كل طالب في مذاكرة المادة :

ة االرتباط بين عدد �شاعات المذاكرة د نوع و �شد ار�ش��م �شكل االنت�شار للبيانات ال�شابقة ثم حد

و درجة االختبار .

رين ال�شكل ) 3 - 23 ( يمثل �شكل االنت�شار للبيانات ال�شابقة ، ومنه يت�شح اأن االرتباط بين المتغي

اإيجابي غير تام .

1 2 3 4 5 6 7 8

36

32

28

24

20

16

12

8

4

0

عدد ال�شاعات

درجة االختبار

�شكل ) 3 -23 (

عدد �شاعات المذاكرة

20درجة االختبار

4

28

5

20

2

24

6

28

7

14

1

18

2

26

7

12

1

30

7

24

3

22

5

االرتباط


الوحدة

الثالثة

تدريب ) 13-3 (

ة االرتباط في كل من االأ�شكال التالية : د نوع و�شد حد

�شكل ) 3 -27 (�شكل ) 3 -26 (�شكل ) 3 -25 (�شكل ) 3 -24 (

معامل االرتباط

ة ة االرتباط م��ن حيث القو د �ش��د ��ل معام��ل االرتباط اأه��م المقايي�ص ف��ي درا�شة االرتب��اط حيث يحد يمث

نة من من نة مكو ا اأو �شلبيا، ف��اإذا كان لدينا عي د ن��وع االرتباط من حيث كونه اإيجابي و ال�شع��ف كم��ا يحد

ل بالرمز �ص ��ر االأو ري��ن ورمزنا للمتغي المف��ردات و ح�شلن��ا م��ن هذه المفردات عل��ى بيانات عن قيم متغي

رين �ص ، �ص والذي يرمز له بالرمز يعطى ر الثاني بالرمز �ص ، فاإن معامل االرتباط بين المتغي وللمتغي

م منها ال�شيغة التالية والتي تعرف بقانون بير�شون لالرتباط : ة �شيغ نقد بعد

) 16– 3 (

رين حيث : الو�شط الح�شابي لحا�شل �شرب المتغي

ر الو�شط الح�شابي للمتغي

ر الو�شط الح�شابي للمتغي

ر االنحراف المعياري للمتغي

ر االنحراف المعياري للمتغي


ننا هذه القيمة من درا�شة االرتباط بين ق ال�شرط ، وتمك اإن قيمة معامل االرتباط تحق

رين ، حيث: المتغي

ا اإذا كانت �شالبة . ا اإذا كانت موجبة و �شلبي 1( تدل اإ�شارة على نوع االرتباط، اإذ يكون االرتباط اإيجابي

ـــا كلما كانت قريبة من الواحد ، ويكون االرتباط ة االرتباط ، فيكون االرتباط قوي د قيم��ة �شد 2( تح��د

ـا ، بينما في حالة �شعيفا كلما قربت من ال�شفر . وفي حالة فاإن االرتباط يكون تام

رين : ة االرتباط بين متغي ، فاإن االرتباط يكون منعدمـا . و قد اتفق على الت�شنيف التالي ل�شد

االرتباط

ت��ام

قوي

متو�شط

�شعيف

منع��دم

غير ت��ام

نة من خم�شة اأ�شخا�ص لمعرفة العالقة بين وزن ال�شخ�ص و طوله : جمعت البيانات التالية لعي

ته. د نوع هذا االرتباط و �شد اأوجد معامل االرتباط بين وزن ال�شخ�ص و طوله ثم حد

مثال )28-3 (

70

180

68

160

65

165

62

120

64

130

الوزن بالكغم

الطول بال�شم

االرتباط


الوحدة

الثالثة

الحل

70

68

65

62

64

180

160

165

120

130

4900

4624

4225

3844

4096

32400

25600

27225

14400

16900

12600

10880

10725

7440

8320

نح�شب الو�شط الح�شابي لكل من : �ص ، �ص ، �ص �ص

ثم نح�شب االنحراف المعياري لكل من : �ص ، �ص

ن الجدول التالي : نفر�ص اأن وزن ال�شخ�ص هو �ص وطوله �ص، ونكو


و عليه فاإن االرتباط بين وزن ال�شخ�ص و طوله ارتباط اإيجابي قوي .

د ذلك . انظر �شكل االنت�شار ) 3 - 28 ( الذي يوؤك

من العالقة )3-16(فيكون معامل االرتباط

�شكل ) 3 -28 (

الوزن بالكغم

الطول بال�شم

االرتباط


الوحدة

الثالثة

تدريب ) 15-3 (

اأوجد معامل االرتباط للبيانات الواردة في مثال )27-3(

تدريب ) 16-3 (

اإذا علمت اأن كال من االأعداد : - 1 ، -0.4 ، 0.67 ، 0.98 هو معامل ارتباط مقابل الأحد االأ�شكال

الواردة في تدريب )3-13( ، اكتب تحت كل �شكل معامل االرتباط المقابل له .

تدريب ) 14-3 (

ق من قيمة معامل االرتب��اط م�شتخدما االآلة الحا�شبة في اإيجاد ف��ي المث��ال ال�شابق تحق

قيمة كل من :


) 5 -3 (

د ج�

1157

7621

32

41

78

55

55

53

65

60

62

50

24

30

43

35

45

35

48

47

55

45

40

32

2

8

3

7

6

4

8

2

9

1

ج�

2

ا يلي م�شتخدما اأحد االأ�شكال التالية : 1 اأكمل الفراغات في كل مم

ا يلي : ته في كل مم د نوع االرتباط و �شد ار�شم �شكل االنت�شار و منه حد

ال�شكل الذي يمثل ارتباطا منعدما هو .............

ال�شكل الذي يمثل ارتباطا �شلبيا غير تام هو .............

ا هو ............. ل�شكل الذي يمثل ارتباطا اإيجابيا تام

ال�شكل الذي يمثل ارتباطا اإيجابيا غير تام هو .............

االرتباط


الوحدة

الثالثة

الجدول التالي يبين درجات ع�شرة طالب في االختبار الن�شفي لمادتي الريا�شيات )1( و الفيزياء )1(:3

15

18

10

15

18

20

20

23

23

25

15

20

18

18

13

20

25

25

20

18

درجة

الريا�شيات )1(

درجة

الفيزياء )1(

3

9

1

5

2

7

5

14

4

10

العمر

الطول

ته . د نوع االرتباط و �شد ار�شم �شكل االنت�شار للبيانات ال�شابقة و منه حد

ة االرتباط المنا�شبة له في القائمة :4 �شل كل معامل ارتباط في القائمة بنوع و�شد

يبين الجدول التالي اأعمار اأحد االأنواع من االأ�شجار بال�شنوات و اأطوال هذه االأ�شجار باالأقدام :5

ة االرتباط . د نوع و �شد اح�شب معامل االرتباط ثم حد

ار�شم �شكل االنت�شار .

اإيجابي متو�شط

اإيجابي تام

�شلبي تام

�شلبي �شعيف

�شلبي قوي

اإيجابي �شعيف

منعدم

اإيجابي قوي


الياردة وحدة لقيا�ص الطول و هي ت�شاوي 91.44 �شنتيمتر )1(

ة االرتباط في كل مما يلي :6 د نوع و �شد اأوجد معامل االرتباط ثم حد

ج�

43

46

37

40

25

28

12

15

10

13

3

22

10

2

12

3

6

9

9

6

7

4

1

5

5

10

13

11

11

13

5

8

3

8

9

18

10

17

2

12

2

17

9

2

9

17

0

27

4

21

4

18

10

10

6

16

االرتفاع

درجة الحرارة

ن درجات الحرارة الخارجية بالدرجات المئوي��ة ، و االرتفاع باآالف االأقدام الإحدى 7 البيان��ات االآتية تبي

الطائرات في اأوقات مختلفة :

البيانات االآتية تمثل االإنتاج من اأحد المحا�شيل عند ا�شتخدام نوع من ال�شماد بكميات مختلفة8

ة االرتباط . د نوع و �شد اح�شب معامل االرتباط بين االرتفاع ودرجة الحرارة ثم حد

ته . د نوعه و �شد اأوجد معامل االرتباط ثم حد

0

160

1

168

2

176

3

179

4

183

5

186

6

189

7

186

8

184

كمية ال�شماد

50غم / ياردة مربعة

كمية االإنتاج

كغم / 500 ياردة مربعة

)1(

االرتباط


الوحدة

الثالثة

ن الدخل واال�شتهالك اليومي بع�شرات الرياالت ل�شبع اأ�شر في اأحد االأحياء بمدينة ما 9 الجدول التالي يبي

38

24

32

21

42

27

48

30

40

27

44

33

50

36 اال�شتهالك

الدخل

ه��و 10 ، 1 ، 0.87 ، 0.63 ، 0.81- ، 0.91- ، 1- : التالي��ة االأع��داد م��ن كال اأن علم��ت اإذا

معام��ل ارتب��اط الأح��د االأ�ش��كال التالي��ة ، ف��ا كتب تح��ت كل �ش��كل معام��ل االرتب��اط المنا�شب له .

ته . د نوعه و �شد اأوجد معامل االرتباط ثم حد


الدرجة المعيارية

6-3

تواجهن��ا في حياتنا اليومية في المدر�شة اأو خارجها حاالت ت�شتوجب مقارنة مفردتين و قد ت�شعب المقارنة

اإذا كانت المفردتان تنتميان اإلى ظاهرتين مختلفتين من حيث الو�شط الح�شابي واالنحراف المعياري ، فقد

ة اأخرى اأو مقارنة درجة طالب في نحت��اج _ مثـــال _ لمقارنة درجة طالب في اأحد الم��واد بدرجته في ماد

اختباري��ن لكل منهما درجة نهائية تختلف عن االأخرى . فاإذا كانت درجة طالب في اللغة العربية 80 ودرجته

��ات 75 فاإنه يتبادر اإلى الذهن اأن م�شتوى تح�شيل الطالب ف��ي اختبار اللغة العربية اأف�شل من ف��ي الريا�شي

دا فقد تك��ون درجته في الريا�شيات م�شت��وى تح�شيله ف��ي اختبار الريا�شيات ، غير اأن ه��ذا لي�ص اأمرا موؤك

ه اأف�شل منها في اللغة العربية ، و للمقارنة بين درجتين مختلفتين اتفق على اأن بالن�شبة لدرجات طالب �شف

نقي��ص بعد كل درجة منهما عن و�شطها الح�شاب��ي بانحرافها المعياري ) اأي با�شتخدام االنحراف المعياري

كوحدة ( فنح�شل على درجة جديدة قابلة للمقارنة تعرف بالدرجـــة المعيـــارية ،

الدرجة االأ�شلية – الو�شط الح�شابي = الدرجة المعيارية × االنحراف المعياري وهذا يعني اأن :


Standard Score


الوحدة

الثالثة

) 17– 3 ( ة الدرجة المعياري


الو�شط الح�شابيالدرجة االأ�شلية

ل اإلى القانون التالي : و بذلك نتو�ش

ة بالرمز د نح�شل على : واإذا رمزنا للدرجة المعياري

) 18– 3 (

ة ، الو�شط الح�شابي ، االنحراف المعياري حيث : الدرجة االأ�شلي

)7-3(

ة د قد تكون موجبة اأو �شالبة اأو �شفرا . 1( الدرجة المعياري

ة فوق الو�شط الح�شابي اأو تحته . وعليه فاإن اإ�شارة د تدل على موقع الدرجة االأ�شلي

) لماذا ؟ ( فتكون

اإذا كان الو�ش��ط الح�ش�اب��ي لدرجات طالب �شف في الريا�شيات 88 و االنحراف المعياري 8 ،

و الو�شط الح�شابي لدرجاتهم في الفيزياء 65 و االنحراف المعياري 6 ، و اإذا كانت درجة اأحد

ة لدرجة الطالب في كل الطالب في الريا�شيات 80 و في الفيزياء 77 ، فاأوجد الدرجة المعياري

من الريا�شيات و الفيزياء .

مثال )29-3 (

ة التي تنحرفها المفردة عن الو�شط ة تمثل عدد االنحرافات المعياري 2( القيمة المطلقة للدرجة المعياري

الح�شابي .


2

2

الحل

تين لدرجتي الطالب في مادتي الريا�شيات و الفيزياء هما بفر�ص اأن الدرجتين المعياري

على الترتيب ، وبالتعوي�ص عن قيم في العالقة )3-18( نجد اأن :

في المثال ال�شابق الحظ اأن :

ا درجة الطالب المعيارية في الريا�شيات )-1( تعني اأن درجته االأ�شلية )80( تنحرف انحرافا معياري

واحدا تحت الو�شط الح�شابي بينما درجته المعيارية في الفيزياء )2( تعني اأن ............

)اأكمل الفراغ(

ه - اأف�شل من درجته في وهذا يعني اأن درجة الطالب في الفيزياء - مقارنة بطالب �شف

الريا�شيات، على الرغم من اأن الدرجة االأ�شلية في الريا�شيات اأكبر منها في الفيزياء .

تدريب ) 17-3 (

معتمدا على البيانات الواردة في الجدول المقابل اأكمل الفراغات التالية :

م�شتوى الطالب )1( اأف�شل في اختبار مادة ........



الو�شط الح�شابي


درجة الطالب )1(



اللغة

العربية

اللغة

االإنجليزية

64

10

82

70

50

56

12

56

70

48


2


الوحدة

الثالثة

مثال )30-3 (

الحل

ة اللغ��ة ن��ة من خم�شة طالب ، وكان��ت درجاتهم في االختب��ار الن�شف��ي لماد اإذا كان لدين��ا عي

ة المقابلة لهذه الدرجات . االإنجليزي��ة هي : 10 ، 12 ، 15 ، 18 ، 20 فاأوجد الدرجات المعياري

الإيجاد الدرجات المعيارية نح�شب اأوال

10

12

15

18

20

100

144

225

324

400

1193 75


ة كما وبالتعوي�ص عن قيم في العالقة )3- 18( نح�شل على الدرجات المعياري

ح في الجدول التالي: هو مو�ش

ة التي ح�شلت عليها في اأوج��د الو�شط الح�شابي و االنحراف المعياري للدرج��ات المعياري

مثال )30-3(.

لعل��ك الحظ��ت اأن الو�شط الح�شاب��ي للدرجات المعيارية = 0 و االنح��راف المعياري = 1 ،

ه اإذا قمنا بتحويل جميع الدرجات االأ�شلية في توزيع ما اإلى درجات وهذا �شحيح دائما ، اأي اأن

ن��ا نح�شل على توزيع جدي��د و�شطه الح�شابي ي�شاوي �شف��را و انحرافه المعياري ��ة فاإن معياري

ح كون المقارنة بين درجتين م��ن توزيعين مختلفين ت�شبح ممكنة ي�ش��اوي الواح��د ، وهذا يو�ش

ان مفردتين في تي��ن تعد تين ؛ ذل��ك اأن الدرجتين المعياري بع��د تحويلهم��ا اإلى درجتين معياري

توزيعين لهما الو�شط الح�شابي نف�شه و االنحراف المعياري نف�شه .



الوحدة

الثالثة

اإذا كان��ت درج��ة ط�الب في االختب��ار الن�شفي لم��ادة االأحياء 22 و الو�ش��ط الح�شابي لدرجات طالب

ه 18 و االنحراف المعياري 3، بينما درجته في االختبار النهائي لهذه المادة 41 و الو�شط الح�شابي �شف

ه 38 و االنحراف المعياري 4 ، فقارن بين م�شتوى تح�شيل الطالب في االختبارين . لدرجات طالب �شف

1

تي اللغة معتم��دا عل��ى البيانات الواردة في الجدول التالي قارن بين م�شت��وى تح�شيل كل طالب في ماد

العربية و االجتماعيات .

2

)6 -3 (

ة التوحي��د ه��ي : 5 ، 11 ، 15 ، 22 ، 24 ، 25 ، فاأوجد ن��ة م��ن الطالب في ماد اإذا كان��ت درج��ات عي

الدرجات المعيارية المقابلة لهذه الدرجات .

3

ح درجات طالب في اأربع م��واد و الو�شط الح�شابي و االنحراف المعياري لدرجات الج��دول التالي يو�ش

ة . ه في كل ماد طالب �شف

4

بة ح�شب م�شتوى تح�شيل الطالب في كل منها بدءا من المادة ذات الم�شتوى االأف�شل . اكتب هذه المواد مرت






اللغة

العربية

االجتماعيات

26

5

25

22

27

24

4

28

22

24

ة الريا�شياتالماد

87

73

4

الكيمياء

90

84

3

الفيزياء

75

80

2

االأحياء

92

95

3

درجة الطالب




نة من الطالب ي�ش��اوي 60 و االنحراف المعياري ي�شاوي 8 ،اأوجد اإذا كان الو�ش��ط الح�شاب��ي لدرجات عي

التي تنحرف انحرافين

2

التي تنحرف انحرافين معياريين فوق الو�شط الح�شابي و الدرجة �ص1

الدرجة �ص

معياريين تحت الو�شط الح�شابي .

5

ة لهم على اإذا كان��ت درج��ات ثالث��ة طالب في اأح��د ال�شفوف ه��ي : 34 ، 31 ، 30 و الدرج��ات المعياري

الترتيب هي :3 ، ل ، م فاأوجد كال من ل ، م علما باأن الو�شط الح�شابي لدرجات الطالب هو 31 .

7

اإذا ح�ش��ل الطالب��ان محمد و عبد الرحمن في اختبار للريا�شيات عل��ى الدرجتين 70 ، 85 على الترتيب

و كان��ت درجتاهما المعياريتان هما -1 ، 2 على الترتي��ب، اح�شب الو�شط لح�شابي و االنحراف المعياري

هما. لدرجات طالب �شف

9

اإذا كانت درج�ات ثالثة طالب في اأحد ال�شفوف هي : 82 ، 70 ، 65 و كانت درج�ات�هم المعيارية هي :

2 ، 1 ، م على الترتيب فاأوجد قيمة م .

10

نة من �شتة طالب و كانت درجاتهم المعي��ارية هي : 3 ، -1 ، -1.5 ، 0 ، -2 ، ، فاأوجد 6 اإذا كان لدينا عي

قيمة .

ة لهم على الترتيب 8 اإذا كانت درجات ثالثة طالب في اأحد ال�شفوف هي : 80 ، 75 ، 82 و الدرجات المعياري

هي : ، ب ، 1 فاأوجد كال من ، ب علما باأن االنحراف المعياري لدرجات الطالب هو 25 .



الوحدة

الثالثة

)اأن�شطة اإثرائية( ا�شتخدام الحا�شب االآلي في درا�شة االإح�شاء

الة في عل��م االإح�شاء ، اإذ يع��د برنامج الج��داول االلكتروني��ة ) Excel ( من برامج الحا�ش��ب االآلي الفع

ي�شاع��د عل��ى تنظيم البيانات و المعلومات و تحليلها و عر�شها ، فمث��ال : يمكننا اإيجاد قيم كل من : الو�شط

ة با�شتخدام هذا الح�شاب��ي ، الو�شي��ط ، المنوال ، االنحراف المعياري ، معامل االرتب��اط و الدرجة المعياري

البرنامج .

ن من اإجراء العمليات ومن المفيد للطالب اأن يبحث عن طريقة ا�شتخدام برنامج الجداول االلكترونية ليتمك

االإح�شائية التي در�شها في هذا المقرر بي�شر و �شهولة .

ا�شتخدم برنامج الجداول االلكترونية لحل بع�ص الم�شائل التي �شيقترحها عليك معلمك .


ة واأ�ش�رنا اإلى ا�ش�تفادة الم�ش�لمين من علم االإح�شاء ة االإح�شاء في الحياة العملي مة عن اأهمي اأوردنا مقد

منذ ن�ش�اأة المجتمع االإ�ش�المي.

1

ة و كمية.2 فنا البيانات اإلى نوعين : نوعي فنا على م�شادر و اأ�شلوب جمع البيانات االإح�شائية و �شن تعر

عر�شنا طريقة تبويب البيانات في جداول تكرارية وكذلك طريقة تمثيلها با�شتخدام : 3

ج التكراري ، الم�شلع التكراري. ة ، المدر القطاعات الدائري

فنا اأهم مقايي�ش�ها وهي: الو�ش�ط الح�ش�ابي والو�ش�يط والمنوال. منا مفهوم الن�زعة المركزية، وعر قد 4

�شها فيما يلي: اأو�شحنا طرق ح�ش�اب مقايي�ص الن�زعة المركزية في جميع الحاالت، ونلخ 5

بة هو : ال- الو�ش�ط الح�ش�ابي للبيانات غير المبو اأو

ب��ة ه��و ، حي��ث ��ص ترمز لمراكز الفئات في والو�ش��ط الح�ش�اب��ي للبيان��ات المبو

حالةالجدول التكراري ذي الفئات .

ا اأو تنازليا ( هو : بة ) بعد ترتيبها ت�شاعدي ثانيا- الو�ش�يط للبيانات غير المبو

القيمة التي ترتيب�ها اإذا كان فرديا2

الو�ش�ط الح�ش�ابي للقيمتين اللتين ترتيبهما اإذا كان زوجيا 22

بة في جدول تكراري ب�ش�يط هو : والو�ش�يط للبيانات المبو

القيمة المقابلة للتكرار االأخير في تجميع التكرارات المتتالية التي تبداأ من تكرار اأول قيمة في الجدول

لتعطي اأقل مجموع اأكبر من اأو ي�شاوي ترتيب الو�شيط .

بة في جدول تكراري ذي فئات من القانون التالي: ويح�ش�ب الو�ش�يط للبيانات المبو

بة ي�ش�اوي ( )حيث ترتيب الو�ش�يط للبيانات المبو


بة هو القيمة االأكثر تكرارا. ثالثا- المنوال للبيانات غير المبو

ة المنوال بداية الفئة المنوالي

ة × طول الفئة المنوالية التكرار الالحق لتكرار الفئة المنوالي

ة التكرار الالحق لتكرار الفئة المنوالية التكرار ال�شابق لتكرار الفئة المنوالي

ج التكراري الإيجاد 6 ��ا و ا�شتخدمنا المدر ع ال�شاعد الإيجاد الو�ش�يط بياني ا�شتخدمن��ا المنحني المتجم

المنوال بيانيا.

عر�شنا اأهم مزايا وعيوب مقايي�ص الن�زعة المركزية.7

8. ها وهو االنحراف المعياري فنا اأهم مقايي�ص الت�ش�تت واأدق منا مفهوم الت�ش�تت وعر قد

بة .10 ا�شتخدمنا االآلة الحا�شبة في اإيجاد الو�شط الح�شابي و االنحراف المعياري لبيانات غير مبو

بة .9 االنحراف المعياري للبيانات غير المبو

وللبيانات المبوبة هو حيث �ص ترمز لمراكز الفئات في حالة الجدول

التكراري ذي الفئات.

منا مفهوم االرتباط. 11 قد

ة االرتباط.12 ا�شتخدمنا �شكل االنت�شار لتحديد نوع و�شد

عر�شنا معامل االرتباط كاأهم المقايي�ص لدرا�شة االرتباط وا�شتخدمنا لح�شابه ال�شيغة :13

عر�شنا تطبيقات حياتية على االرتباط والدرجة المعيارية.15

منا مفهوم الدرجة المعيارية د وا�شتنتجنا اأن :14 قد

ومنها عرفنا اأن د قد تكون موجبة اأو �شالبة اأو �شفرا

بة في جدول تكراري ب�ش�يط هو القيمة التي تقابل اأكبر تكرار ويح�ش�ب المنوال والمنوال للبيانات المبو

بة في جدول تكراري ذي فئات من القانون التالي: للبيانات المبو


الوحدة

الثالثة

�شع عالمة اأو عالمة عن يمين ما يلي:1

يتميز المنوال باإمكانية ح�ش�ابه للبيانات النوعية.

بة ي�شاوي 23 فاإن عدد مفردات الظاهرة ي�شاوي 46. اإذا كان ترتيب الو�ش�يط لبيانات غير مبو

الو�ش�ط الح�ش�ابي للبيانات 1، 2، 4، 3 ي�ش�اوي و�ش�يطها.

توجد بع�ص الظواهر انحرافها المعياري > 0

اإذا كانت فاإن

اإذا كان فاإن

االرتباط بين عدد اأيام غياب الطالب و تح�شيلهم الدرا�شي ارتباط �شلبي .

ا . في اختبار ما يكون االرتباط بين عدد االإجابات ال�شحيحة و عدد االإجابات الخاطئة �شلبي

معامل االرتباط يمكن اأن ي�شاوي 3.

البيانات التي لها معامل ارتباط 0.2 يكون ارتباطها اأقوى من البيانات التي لها معامل ارتباط -5.9 .

ة اأكبر من ال�شفر دائما. الدرجة المعياري

ة لدرجة طالب في اختب��ار ما ت�شاوي 1 و االنحراف المعياري لدرجات اإذا كان��ت الدرجة المعياري

ه ي�شاوي 1 فاإن درجة الطالب االأ�شلية = الو�شط الح�شابي لدرجات الطالب . طالب �شف

اإذا كانت

، فاإن معامل االرتباط بين �ص ، �ص ي�شاوي تقريبا 0.87

203

ا يلي: اختر االإجابة ال�شحيحة لكل مم 2

البيانات :

بة اإذا كان ترتي��ب الو�ش�ي��ط لبيان��ات مبو

ي�ش�اوي 16 فاإن عدد القراءات هو:

31 32

9 8

للبيان��ات: 2 ، 2 ، 0 ، 4 ، 4 تك��ون قيم��ة ج�

الو�ش�يط هي:

االرتباط بين �ص ، �ص في و

�ش��كل االنت�ش��ار المجاور

هو ارتباط :

اإيجابي تام اإيجابي غير تام

�شلبي تام �شلبي غير تام

معام��ل االرتب��اط بين �ص ز

، ��ص في ال�ش��كل المجاور

يمكن اأن ي�شاوي :

معامل االرتب��اط بين محي��ط الدائرة و طول ح

ن�شف قطرها ي�شاوي :

ة لدرجة طالب ت�شاوي ط اإذا كانت الدرجة المعياري

ه 1 و االنح��راف المعي��اري لدرجات ط��الب �شف

ة ي�ش��اوي 2 ، فاإن انح��راف درجة الطالب االأ�شلي

عن الو�شط الح�شابي للدرجات ي�شاوي :

االنحراف المعياري للبيانات: د

3 ، 3 ، 3 ، 3 ، 3 هو:

اإذا كان فاإن االنحراف ه

المعياري ي�ش�اوي:

�ص

�ص

�ص

�ص

دة المنوال ة المنوال متعد ثنائي

عديمة المنوال وحيدة المنوال

0 3

4 2

5 4-

5- 4

0.2- 0.8

0.8- 0.2

0.1- 0.5

1 .

2- 2

0.5- 0.5

204

اإذا كان انحراف درجة طالب عن الو�شط ي

ه ت�شاوي الح�شاب��ي لدرجات ط��الب �شف

االنح��راف المعياري لدرج��ات الطالب،

ة لدرج��ة الطالب ف��اإن الدرج��ة المعياري

ت�شاوي :

0 1

2 1-

نة من ك اإذا كان الو�شط الح�شابي لدرجات عي

الطالب ي�ش��اوي 70 و االنح��راف المعياري

ي�ش��اوي 6، فاإن درج��ة الطالب التي تنحرف

انحرافين معياريين تحت الو�شط هي :

ع :3 ات بالمليون كيلومتر مرب ح م�شاحات القار الجدول التالي يو�ش

ة . مثل هذه البيانات با�شتخدام القطاعات الدائري

ة االإن�ش��ان، الأ نه يحتوي على �ش�موم كثيرة منها النيكوتين، ففي تجربة ب�ش�يطة 4 ��ر التدخين في �شح يوؤث

ة النيكوتين بالملغرام في كل منها فكانت على لت كمي خذت 6 �ش�جائر من اأنواع كثيرة من التبغ و�ش�جاأ

النحو التالي: 12.3 ، 18.1 ، 15.7 ، 10 ، 16 ، 21.2 . اأوجد ما يلي:

ة النيكوتين في هذه ال�ش�جائر. مقايي�ص الن�زعة المركزية جميعها ) التي در�ش�تها ( لكمي

ة النيكوتين. االنحراف المعياري لكمي

اأوجد الو�ش�ط الح�ش�ابي و الو�ش�يط لم�ش�افة الطرق بين هذه المدن ومكة المكرمة.

هل يوجد منوال لم�ش�افات الطرق بين هذه المدن ومكة المكرمة؟

ة 5 ة ال�ش�عودي ة المكرمة وعدد من المدن االأخرى في المملكة العربي اإذا كانت اأبعاد الطرق بالكيلومتر بين مك

حة بالجدول. مو�ش

اأفريقيا

30

اآ�شيا

50

اأوروبا

5

االأمريكيتان

47

اأ�شتراليا

8

المجموع

140

ة القار

الم�شاحة

المدينة

المدينة

898

نجران

989

الريا�ص

606

اأب�ها

88

الطائف

1452

الخبر

442

المدينة

المنورة

894

حائل

1456

الدمام

1069

الخرج

915

بريدة

822

العال

1133

تبوك

الم�شافة

الم�شافة

968

عنيزة

72

جدة

2484

عرعر

2722

طريف

58 82

62 78

205

6 اإذا كانت اأرباح بائع في اأ�ش�بوعين متعاقبين كما يلي:

نة تتاألف من مئة �شخ�ص: ر عن اأوزان عي الجدول التالي يعب 7

ك الأقرب �شنتيمتر و من ثم : اكتب اأطوال طالب �شف 8

فاأوجد ما يلي:

الو�ش�يط الأرباح البائع في االأ�ش�بوعين المتعاقبين.

المنوال لالأرباح.

االنحراف المعياري لالأرباح. ج�


الو�ش�يط لالأوزان ح�ش�ابيا وبيانيا.

المنوال لالأوزان ح�ش�ابيا وبيانيا.

االنحراف المعياري لالأوزان. ج�

ا يمثل االأطوال وفق فئات منا�ش�بة . ن جدوال تكراري كو

ج التكراري و الم�شلع التكراري لالأطوال . ار�شم المدر

اأوجد الو�ش�يط ح�ش�ابيا وبيانيا لالأطوال.

اأوجد المنوال ح�ش�ابيا وبيانيا لالأطوال.

اأوجد االنحراف المعياري لالأطوال.

ج�

د

ه

61

5

64

18

67

42

70

27

73

8

مراكز الفئات

التكرار

0 االأرباح بمئات الرياالت

عدد االأيام )التكرار(

60758090100

212153

206

يبين الجدول التالي الدرجات النهائية ل�شبعة طالب في مادتي ريا�شيات )1( و ريا�شيات )2( 9

اأثبت اأن ال�شيغة التالية لمعامل االرتباط هي �شيغة مكافئة لل�شيغة ) 3 - 16(10

اختار معلم الريا�شيات طالبين ع�شوائيا من ال�شف فكان الفرق بين درجتيهما في اأحد االختبارات 12 12

و الفرق بين درجتيهما المعياريتين 1.5 فاأوجد االنحراف المعياري لدرجات الطالب علما باأن الو�شط

الح�شابي لدرجات طالب ال�شف 60.

ار�شم �شكل االنت�شار للبيانات ال�شابقة .

ة االرتباط . د نوع االرتباط و �شد اح�شب معامل االرتباط و منه حد

في اأي المادتين كان تح�شيل الطالب )4( اأف�شل . ج�

��م اختبارين لطالب��ه ، االأول درجته النهائي��ة 100 فكان الو�شط الح�شاب��ي للدرجات 70 و 11 اأج��رى معل

االنح��راف المعياري 6 ، و الثاني درجته النهائية 40 فكان الو�شط الح�شابي للدرجات 30 و االنحراف

المعي��اري 3 ، ف��اإذا ح�شل اأحد الطلبة على الدرجتي��ن 75 ، 35 في االختبارين على الترتيب ، ففي اأي

االختبارين كان تح�شيله اأف�شل ؟

الطالب

)1(

75

الطالب

)2(

الطالب

)3(

الطالب

)4(

الطالب

)5(

الطالب

)6(

الطالب

)7(

826590778768

70855590708260

الدرجة في

ريا�شيات )1(

الدرجة في

ريا�شيات )2(

207

)1 -1 (

الح�ساب التوافقي ونظرية ذات الحدين

105 طريقة . 2

12 كلمة ، 16 كلمة . 3

240 عددا ، 864 عددا . 4

21952000 لوحة ، 14152320 لوحة . 5

720 طريقة . 6

3

4

448 عددا .648 عددا 1680 كلمة 19 20

990 9 5 6 7

5040 طريقة .24 طريقة 8 11 12

84 طريقة .840 طريقة 6840 13 14 15

24 طريقة .715 طريقة 336 16 17 18

1260 طريقة .24 طريقة 23 22 21

21021034560 24 26 25

الوحدة

الأولى

208

4 طرق . 1

48 طريقة

216125012967500

)2 -1 (

209

)3 -1 (

)4 -1 (

5

2

ه

3

4

5

8 7 6 5 4

3215

252011880

210

)2 -2 (

الحتمالالوحدة

الثانية

ه

ه

4

5

7

8

9

10

ه 6

11

3

211

5

ه 8

9

6

12

ه

13

ز

ي

ح

ك

ط

212

)1 -3 (

)3 -3 (

الإح�ساءالوحدة

الثالثة

16 طالب29 طالب 4

5 عدد الطالب الذين تقل درجة كل منهم عن 11 ي�شاوي 4

الو�ش�ط الح�ش�ابي =10 ، الو�ش�يط =8.8 ، المنوال = 8.4 2

الو�ش�ط الح�ش�ابي = 2.5 مليون ، الو�ش�يط = 2.25 مليون ، المنوال = 2.25 مليون 1

الو�ش�ط الح��شابي = 1068850 ، الو�ش�يط = 1061870 ، عدد الحجاج ال منوال ل�ه 3

4.91444 4

الو�ش�ط الح�ش�ابي = 112.5 ، الو�ش�يط = 118.25 ، المنوال = 119.29 5

152.3153154.3 7

36.735.833.308 8

205 9 10

69.468.567.5 6

7 اأع�شاء 11 ع�شو 8

213

)4 -3 (

)5 -3 (

9.82.6 7 8

2.42.4919.614.46 1 2 3

102.51.7 6 5 4

ارتباط �شلبي تام ارتباط اإيجابي غير تام ارتباط �شلبي غير تام 2

ارتباط اإيجابي غير تام 3

ارتباط اإيجابي قوي . 5

ارتباط �شلبي قوي . 7



ارتباط اإيجابي تام .

ارتباط اإيجابي �شعيف .

ارتباط �شلبي �شعيف . 6

214

)6 -3 (

4 الريا�شيات ، الكيمياء ، االأحياء ، الفيزياء .

5

7

8

9

0.58 10

6

الو�ش�ط الح�ش�ابي =15.55 ، الو�ش�يط = 15.85 ، عديمة المنوال . 4

5

8

9

6

12

ارتباط اإيجابي قوي .

الاحصاء

Documents