На площині У просторі

(x;y)

(x;y;0)

(x;y;z)

(x;0;0)

(0;0;z) (0;y;z)(x;0;z)

(0;0;y)(x;0)

(0;y)

A(x1;y1)

B(x2;y2)C(xc;yc)

M (x1;y1;z1)

N(x2;y2;z2)K(xc;yc;zc)

На площині У просторі

Xc=x1+x2

2

yc=y1+y2

2

Xc=x1+x2

2

yc=y1+y2

2

zc=z1+z2

2

На площині У просторі

N(x1;y1;z1)

K(x2;y2;z2)B(x2;y2)

A(x1;y1)

Координати вектора

Довжина вектора (абсолютна величина вектора)

a =(x2-x1;y2-y1)=(a1;a2)

ab

a =(x2-x1;y2-y1;z2-z1)=(a1;a2;a3)

b = a1*a2 *a32 22a = a1* a2

2 2

На площині У просторіРівні вектори

Колінеарні вектори

ab

a b

a = b ab

a b

a = b

У векторів відповідні координати пропорційні

a b c

ab

ca c b

b1 a1

b2= a2

c1

a1 = c2

a2 a1

b1 = b2

a2 =b3

a3

c1 c2 c3

a1 = a2 = a3

ac

b

На площині У просторіДодавання векторів

Віднімання векторів

Множення вектора на число

ab

a

b

a

b

a

b

a+b=(a1+b1;a2+b2) a+b=(a1+b1;a2+b2;a3+b3)

a-b=(a1-b1;a2-b2) a-b=(a1-b1;a2-b2;a3-b3)

a

maa

mama=(ma1;ma2) ma=(ma1;ma2;ma3)

На площині У просторі

Через координати

Через кут між векторами

ab a b

ab=a1b1+a2b2ab=a1b1+a2b2+a3b3

a

bα

a

bα

ab= a b cosα ab= a b cosα

Тестові завданняРозв'яжи та виберіть правильну відповідь

1.Дано точки А(3;2;-1),В(0;-1;2),С(1;2;-4). Знайти точку D(x;y;z) таку, що АВ = СD.

1 2 3 4 5D(2;-1;1) D(-2;-1;-1) D(2;-1;1) D(2;1;1) D(-2;-1;1)

2. Дано точку А(-1;7;2),В(-1;3;4),С(1;2;9). Знайти координати вектора m=АВ +2BС.

m=(-4;6;12)m=(4;-6;12)m=(-4;6;-12)m=(-4;-6;12)m=(4;6;12)54321

Розв'язок завдань

Розв'язання1) Рівні вектори мають

рівні координати, тому знайдемо координати векторівАВ і СD.

2) Прирівняємо відповідні координативекторів АВ і СD і знайдемо невідомі.

3) Координати точки D.

1.Дано точки А(3;2;-1),В(0;-1;2),С(1;2;-4). Знайти точку D(x;y;z) таку, що АВ = СD.

АВ(0 - 3; -1 - 2; 2 +1) = АВ(-3; - 3; 3).СD(х-1',у-2;z+4).

-3=x-1, х = -2. -3=у-2, у = -1. 3=z+4, z=-1. D(-2;-1;-1).

Відповідь: D(-2;-1;-1).

Розв'язок завдань

Розв'язання1)Знайдемо

координати векторів АВ іВС:

2)Знайдемо координати вектора 2ВС:

3)Знайдемо суму векторів АВ і 2ВС:

2. Дано точку А(-1;7;2),В(-1;3;4),С(1;2;9). Знайти координати вектора m=АВ +2BС.

АВ(0;-4;2), ВС(2;-1;5).

2ВС = (2*2;-1*2;5*2); 2BC(4;-2;10).

т =АВ + 2ВС =(0;- 4; 2) + (4; -2; 10) = (4; -6; 12).

Відповідь: m=(4;-6;12).

Тестові завдання

1 2 3 4 5m=-11;n=-3 m=11;n=3 m=10;n=-3 m=11;n=-4 m=11;n=-3

3.Дано точки А(m;-1;2),В(1;n;3),С(-4;2;6),D(1;3;5). Знайти m і n, якщо відомо, що вектори АВ і СD колінеарні.

4. Знайти косинус кута D паралелограма АВСD, якщо А(4;2;-2),В(1;-2;0),С(0;0;0),D(3;4;-2).

A

CB

cos( D)= 6/29cos( D)= 5/9cos( D)= 3/29cos( D)= 5/20cos( D)= 5/2954321

D

Розв'язок завдань

Розв'язання1)Знайдемо

координати векторів МИ і РК:

2)Якщо вектори МИ і РК колінеарні,то їх координати пропорційні:

3.Дано точки А(m;-1;2),В(1;n;3),С(-4;2;6),D(1;3;5). Знайти m і n, якщо відомо, що вектори АВ і СD колінеарні.

MN (-m;n + 1;3-1);РK(1 + 4;3-2;5-6);МN(1 - т;n + 1;2);

РК(5;1;-1)

Відповідь :

1-m = -2; m = 11

1-m = n+1 = 2 5 1 -1

5 1 n+1 = - 2; n= - 3

m = 11; n = -3

Розв'язок завдань4. Знайти косинус кута D паралелограма АВСD, якщо

А(4;2;-2),В(1;-2;0),С(0;0;0),D(3;4;-2).

1)Розглянемо паралелограм АВСD кут D утворений векторами DА і DС.

2)Знайдемо координати і абсолютні величини векторів DА і DС.

3)Знайдемо скалярний добуток DА і DС.

4)За формулою cos D =( a*b)/( a *

b )маємо:

Розв'язання A

CB

D

DA(1,-2,0); DA = 1+4+0 = 5

DC(-3;-4;2); DC = 9+16+4 = 29DA*DC = (1;-2;0)*(-3;-4;2) = - 3+8+0 = 5

cos D = DA * DC = 5 = 5 DA * DC 5 * 29 29

Відповідь: cos D = 529

Тестові завдання

5. Точка M(2;6;3) середина відрізка, кінці якого знаходяться на осі Ох і в площині yz. Знайти координати кінців і довжину відрізка.

1 2 3 4 5N(-4;0;0)K(0;12;6)KN=14

N(4;0;0)K(0;-12;6)KN=14

N(4;0;0)K(0;12;6)KN=12

N(4;0;0)K(0;12;6)KN=14

N(4;0;0)K(0;12;-6)KN=14

K(0;y1;y1)

N(x2;0;0)M(2;6;3)

Розв'язок завдань5. Точка M(2;6;3) середина відрізка, кінці якого знаходяться на осі

Ох і в площині yz. Знайти координати кінців і довжину відрізка.

K(0;y1;y1)

N(x2;0;0)M(2;6;3)

Довільна точка, що лежить на осі Ох, має координати (х; 0; 0) ; довільна точка, що лежить у площині уz, має координати (0; у;z). Нехай точка М(2; 6; 3) є серединою відрізка, кінцями якого є точки А(х; 0; 0), B(0; у;z).

Відповідь: A(4;0;0), B(0;12;6), AB = 14

Тоді: 2 = x+0 , 6 = 0+y , 3 = 0+z ,

2 2 2

Звідки x = 4, y = 12, z = 6.

Отримаємо А(4; 0; 0), B(0; 12;6), AB = (-4) + 12 + 6 = 142 2 2