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1

生 物 統 計 學

郭寶錚著

陳玉敏

五南圖書出版公司 印行

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1

目 錄

曾經聽過學生詮釋所謂的「統計學」為「通通忘記之

學」。的確，當需要面對這麼多的定理公式時，要想不「通

通忘記」也難。自己曾思考過為什麼大多數的學生會視統計

學為畏途呢？我想其中原因固然很多，但缺乏適當的中文參

考教材為主要原因之一。如以生物統計學教科書為例，坊間

已有數本不錯的教科書可供選擇，撰寫此書的目的，主要由

於作者曾教授過不同背景的學生，包括大學生、碩士班研究

生，甚至博士班的在職醫生，另外也常為醫生及研究人員做

統計諮詢的工作，深感大多數的學生、醫生及研究人員，都

有想把生物統計學「搞懂弄熟」的迫切需求，因此想藉由過

去教學及研究經驗，整理出一本以「觀念為導向」的生物統

計學教科書，以供大家參考，期貢獻棉薄之力於生物統計觀

念的推廣與普及。

本書除適合技術學院、大學及研究所之醫、護、公衛及

農學等相關科系學生使用外，另對有心自修者亦很合適。由

於各領域的修習學分不同，因此授課老師可自行就教學所需

加以取捨，以利教學。本書例題多數具有關聯性，希望藉此

建立學習者整體性的觀念。

這本書的順利完成，除要感謝中國醫藥學院賴主任俊雄

的鼓勵與題序，也要感謝多位學生幫忙打字及繪圖，倉促完

成，疏忽與錯誤在所難免，還希望先進不吝賜教，以期能盡

善盡美。

郭寶錚 謹誌民國八十九年九月四日於

中興大學農藝學系生物統計研究室

自

序

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生物統計學………………

……

…2

郭老師自中興大學畢業後，負笈美國深造，取得愛荷華

州立大學統計學碩士及維吉尼亞聯邦大學--維吉尼亞醫學院

生物統計學博士後，回國到母校農學院擔任教職工作，在任

教期間也發揮所長，曾擔任中華民國超音波學會統計諮詢及

維吉尼亞臨床研究組織(VCRO)生物統計諮詢等服務工作。

環顧國內有關生物統計的書籍，能以深入淺出的介紹，

並且有系統的整理者，實不多見。郭老師從事生物統計的教

學、研究與服務多年，在生物統計領域中是幾位年青有為的

佼佼者之一，郭老師將所學應用在公共衛生、醫學、護理及

生物學上，並將從事多年的教學經驗寫成「生物統計學」這

本書，誠屬難能可貴。郭老師的夫人陳玉敏老師，目前服務

於中國醫藥大學護理學系，從事老人長期照護相關研究，共

同參與本書的撰寫，而使本書更臻完整。

這本書的特點在於他有極高的可讀性，郭老師以清晰易

讀的字句，論述由淺入深、劃分清晰，並將重點有系統地加

以詳細描述，寫成一本內容廣泛且富含專業知識的書，這本

書對於初入門的同學是一本極優良且難得的課程教材，也是

提供從事此方面相關人員的參考書。

賴俊雄中國醫藥大學教授兼副校長暨公共衛生學院院長

推薦序

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3

目 錄

本書一版獲得市場廣大的迴響，使我們感到欣慰，但這

是一種責任。此次再版，我們修正一版書中部分不妥或錯誤

的內容，以求正確及完善，另外也增添了 Excel 的應用，希

望能藉 Excel 所提供的統計功能，幫助讀者更加熟悉所介紹

的統計觀念，本版書中也加入了索引，將有助於讀者查考相

關內容。

作者一直希望能提供一本深入淺出，內容清晰詳實且實

用的生物統計學教材，供有心學好生物統計學的相關人士使

用，但作者才疏學淺，相信書中仍有不周全之處，企盼先進

能隨時加以指正，以供未來修正之參考。

作者 謹識2004 年 7 月

再版序

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Ⅰ目 錄

第 1 章 緒 論 …………………………………

一、生物統計學的定義及重要性 3

二、統計資料 4

三、變數、觀測單位及觀測值 5

四、量測尺度 5

五、測量工具的信度與效度 7

習題 9

第 2 章 抽樣及實驗 …………………………

一、抽樣觀念的介紹 13

二、使用抽樣的原因 14

三、使用抽樣時所產生的誤差 15

四、抽樣方法 15

五、實驗與樣本調查 20

六、隨機比較實驗 20

七、區集設計 22

習題 23

目

錄

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Ⅱ 生物統計學

第 3 章 資料的整理、摘要與呈現 …

一、未分組資料及分組資料 27

二、次數分布表 28

三、圖 33

習題 42

第 4 章 資料集中趨勢及變異性的測度

‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧

一、集中趨勢的測度 45

二、變異性的測度 51

習題 55

第 5 章 機率理論 ……………………………

一、實驗及事件 59

二、事件的運算 60

三、機率的定義 61

四、機率加法規則 63

五、條件機率 65

六、機率乘法規則 66

七、獨立事件 66

八、貝氏定理 67

九、敏感度、特異性、偽陰性率及偽陽性率

68

習題 70

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Ⅲ目 錄

第 6 章 隨機變數及分立機率分布 …

一、隨機變數的種類 75

二、機率分布 76

三、分立隨機變數的期望值與變異數 76

四、二項分布 79

五、布瓦松分布 84

六、兩個隨機變數的聯合機率分布 86

七、共變異數 89

八、兩隨機變數間互相獨立 90

九、兩隨機變數的期望值及變異數性質 91

習題 93

第 7 章 連續機率分布及常態分布 …

一、連續機率分布 97

二、常態分布 99

三、常態分布近似二項分布 107

習題 109

第 8 章 抽樣分布 …………………………

一、樣本平均數的抽樣分布 113

二、中央極限定理 114

三、兩樣本平均數差的抽樣分布 116

四、樣本比例的抽樣分布 118

五、兩樣本比例差的抽樣分布 120

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Ⅳ 生物統計學

習題 122

第 9 章 估 計 ……………………………

一、點估計 127

二、單一母群體平均數的信賴區間 128

三、t 分布 131

四、兩個母群體平均數差的信賴區間 135

五、配對樣本下兩個母群體平均數差的信賴區

間 139

六、單一母群體比例的信賴區間 141

七、兩母群體比例差的信賴區間 142

八、單一母群體變異數的信賴區間 143

九、兩個母群體變異數比值的信賴區間 145

重點提示 148

習題 150

第 10 章 假設檢定 ………………………

一、基本概念 155

二、單一母群體平均數的假設檢定 161

三、兩個母群體平均數差的假設檢定 167

四、配對樣本下兩母群體平均數差的假設檢定

171

五、單一母群體比例的假設檢定 173

六、兩個母群體比例差的假設檢定 174

七、母群體變異數的假設檢定 176

八、兩個母群體變異數比值的假設檢定 178

重點提示 180

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Ⅴ目 錄

習題 182

第 11 章 檢力及樣本大小的決定 …

一、錯誤的種類 187

二、檢力 190

三、樣本大小的決定 192

習題 194

第 12 章 卡方檢定…………………………

一、適合度檢定 197

二、獨立性檢定 199

三、Fisher's 精準檢定 204

四、McNemar's 檢定 207

習題 209

第 13 章 變異數分析 ……………………

一、單向變異數分析 214

二、多重比較 217

習題 221

第 14 章 迴歸與相關 ………………………

一、簡單線性迴歸 226

二、複迴歸 234

三、相關係數與決定係數 235

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Ⅵ 生物統計學

四、邏輯迴歸及勝算比 238

習題 242

第 15 章 無母數檢定 ………………………

一、符號檢定 245

二、Wilcoxon 符號等級檢定 248

三、Wilcoxon 等級和檢定 250

四、Kruskal-Wallis 檢定 252

五、Spearman 等級相關係數 255

習題 258

附錄 1 Excel 之應用 261

附錄 2 連加符號 319

附錄 3 習題解答 327

附 表 345

參考書目 369

索 引 373

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第 5 章 機率理論 59

在前面的章節中，我們曾經利用一些敘述統計量

來描述資料的特性，除了描述所蒐集到的樣本資料

外，我們更希望由樣本資料中所得到的訊息，對此樣

本所來自的母群體做推論，而這統計推論的基礎就建

立在以下所要介紹的機率理論。

一、實驗及事件

在機率學中，實驗泛指任何資料蒐集過程，例如：我們

可藉實驗來獲得以下資料：

‧擲一個骰子可能出現的點數。

‧服用威而剛 後是否出現副作用。

‧ 歲以上老人參加健檢，所測得的膽固醇值。

‧台灣地區因意外事故死亡的原因順序。

一個實驗包含了許多在相同的條件下互相獨立的試行

或稱為重複，例如每擲一次骰子就是一次試行。其結果

則為 、 、 、 、 、 中任一點數。而樣本空間

，以 代表，是一個實驗所有可能結果所形成

的集合，每一個可能的結果則稱為樣本點 。例

如觀察擲一個骰子正面所出現點數的實驗，其樣本空間為

＝｛ ｝。而事件 是一個實驗的結果或可能

的結果，例如在擲骰子的實驗中，我們可考慮「出現的點數

為奇數」或「出現的點數為偶數」的事件外，也可以單單考

慮「出現的點數為 點」的事件，因此事件也就是樣本空間

的部分集合。事件為定義機率的基本要素，一般以大寫英文

字母代表。如 、 、 …。例如，考慮某縣 名 歲

以上老人參加健檢時，其膽固醇的測量值及性別資料如下：

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60 生物統計學

表 5.1 某縣 70 歲以上老人參加健檢所測得的膽固醇值及性別

分布

膽固醇測量值

(mg/1 00ml )

小於 110110 至 220大於 220

總 計

性 別

女

6146892850

7600

男

6547191716

6500

總 計

12694084566

14100

因此，如果我們觀察性別，那麼樣本空間為 ＝｛女，

男｝；如果考慮膽固醇測量值，則樣本空間為 ＝｛膽固醇

測量值小於 ，膽固醇測量值在 至 ，膽固醇測量

值大於 ｝。我們可以：

：代表在 位 歲以上的受檢老人中性別為女

的事件。

：則代表 位 歲以上的受檢老人中性別為男

的事件。

：代表在 位 歲以上的受檢老人中測得的膽

固醇量低於 的事件。

：代表在 位 歲以上的受檢老人中測得的膽

固醇量在 到 間的事件。

：代表在 位 歲以上的受檢老人中測得的膽

固醇量高於 的事件。

二、事件的運算

事件既然是集合，那麼我們定義以下的運算：

兩事件的交集

上例中，事件 與事件 的交集 ，以符號

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第 5 章 機率理論 61

表示，定義成「 且 」，指的是 歲以上參加健

檢的老人中其性別為女性，並且測得膽固醇量高於

者所構成的事件，也就是 與 同時發生的

事件。

兩事件的聯集

在上例中，事件 與事件 的聯集 ，以符號

表示，定義成「 或 」，指的是受檢老人其性別是

女性者，或是受檢老人所測得的膽固醇量高於

者，或是膽固醇測量值高於 的女性受檢老人，

也就是 發生或 發生或兩者皆發生的事件。

一事件的餘事件

上例中，事件 的餘事件 ，以符號

表示，定義為「非 」，指的是 歲以上參加健檢的老人

中，性別為男性者所構成的事件，也就是 不發生的事件。

三、機率的定義

假如在相同的條件下，有一個實驗被重複 次，其中事

件 總共出現 次，當 逐漸增大時，則 會趨近一個定

值，則事件 的機率可定義為：

＝

也就是說，一個事件 的機率，是指在相同的條件下，

重複實驗的次數逐漸變大時，則事件 的相對次數，即為事

件 的機率，其值介於 與 之間，即 。此種機

率亦稱為相對次數機率 。

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62 生物統計學

【Q1】 在老人健檢資料中，分別求事件 A 及事件 的機

率。

【Ans】 事件A的機率P(A)指的是從 14,100 位年齡在 70 歲

以上的受檢老人中，隨機找出一位老人，其性別是

女性的機率，其值為：

＝ ＝

而事件 的機率 ，指的則是從 14,100 位年

齡在 70歲以上的受檢老人中，隨機找出一位老人，

其測得的膽固醇量高於 220 mg/100 ml 的機率，其

值為：

＝ ＝

【Q2】 試求 P(A)＋ P(A')及 ＋ ＋ 。

【Ans】 根據相對次數機率定義可得：

P(A)＋ P(A') ＝ ＋ ＝

且 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋

＝ 1

也就是說，樣本空間中所包含的所有事件之機率總

和等於 1。

【Q3】 求事件 A 與事件 交集的機率。

【Ans】 事件 A 與事件 交集的機率 ，是指從

14,100 位年齡在 70 歲以上的受檢老人中，隨機找

出一老人，其膽固醇量大於 220 mg/100 ml 的女性

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第 5 章 機率理論 63

的機率，其值為：

＝ ＝

由於機率的範圍介於 與 之間，我們分別考慮當機率

等於 或 的情形。

【Q4】 試求事件 A 與其餘事件 A'的聯集的機率。

【Ans】 因為P(A∪A')＝P(A或A')＝P(70 歲以上參加健檢

的老人中，性別為女性者，或 70 歲以上參加健檢

的老人中，性別為男性者)＝ 1

也就是說，某事件的機率為 1 時，代表此事件一定

發生。

【Q5】 計算事件 A 與其餘事件 A'的交集的機率。

【Ans】 因為 P(A∩A') ＝ P(A 且 A') ＝ P(70 歲以上參加健

檢的老人中，性別為女性者，且 70 歲以上參加健

檢的老人中，性別為男性者)＝ 0

當某事件的機率為 時，代表此事件一定不發生，稱之

為虛無事件 以 表示。而當兩事件不可能同時發

生時，則兩事件稱為互斥 ，例如上例中，

事件 與其餘事件 為互斥，寫成 ∩ ＝ 且 ∩ ＝

。換句話說，兩互斥事件其交集機率為 。

四、機率加法規則

當事件 與事件 互斥時，則機率加法規則

可寫成以下公式：

P(A∪B)＝ P(A)＋ P(B)

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64 生物統計學

也就是事件 與事件 聯集的機率，等於事件 的機率加

上事件 的機率。

【Q6】 在老人健檢資料中，計算事件 與事件 聯集的

機率。

【Ans】 由於事件 與 互斥，所以 ：

＝ ＋ ＝ ＋ ＝ 0.676

其代表的意思是，從所有 70 歲以上參加健檢的老

人中隨機找出一位老人其測得的膽固醇量小於

110 mg/100 ml，或介於 110 至 220 mg/100 ml 之間

的機率為 0.676。

當事件 A 與事件 B 不為互斥時，則：

P(A∪B)＝ P(A)＋ P(B) P(A∩B)

也就是事件 A 與事件 B 聯集的機率，等於事件 A 的機率

加上事件B的機率，再減去事件A與事件B交集的機率。

【Q7】 同樣考慮老人健檢資料，求事件 A 與事件 聯集

的機率。

【Ans】 因為事件 A 與事件 不為互斥，所以

＝ ＋

＝760014100＋

456614100

285014100

＝ 0.661

其代表的意思是，從所有 70 歲以上參加健檢的老

人中隨機找出一位老人，其性別為女性，或測得的

膽固醇量大於 220 mg/100 ml 者，或者膽固醇大於

220 mg/100 ml 的女性之機率為 0.661。

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第 5 章 機率理論 65

由於事件 與其餘事件 互斥且 ＝ ，根據機

率加法規則，可寫成： ∪ ＝ ＋ ＝ ，因此事

件 的餘事件 ，其機率 等於 － ，所以在

中，求得 ＝ ，則 ＝ － ＝ ，也就

是說從 位年齡在 歲以上的受檢老人中，隨機找出

一位老人，其性別是男性的機率是 。

五、條件機率

我們經常想知道某一事件發生後，另一事件才發生的機

率，也就是想要了解，當事件 發生後，是否會造成事件

機率的改變，因此我們可以 代表在事件 發生的條

件下，事件 才發生的機率

，寫成公式：

＝

這裡 ≠ ，此即條件機率 。

【Q8】 試求從所有 70 歲以上女性受檢老人中，隨機找出

一人，其測得的膽固醇值大於 220 mg/100 ml 的條

件機率。

【Ans】 以 代表從所有 70歲以上女性受檢老人中，

隨機找出一人，其測得的膽固醇值大於220 mg/100 ml

的條件機率，則：

＝

＝ ＝ ＝

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66 生物統計學

六、機率乘法規則

由上面的條件機率公式，我們可寫成 ∩ ＝

，稱為機率乘法規則

。也就是說，事件 與事件 同時發生的機率，等於事

件 發生的機率乘上事件 發生後，事件 才發生的條件

機率，當然，如果 ≠ ，我們也可以寫成：

P(A∩B)＝ P(B)P(A | B)

【Q9】 利用機率乘法規則求 。

【Ans】 因為 ＝

＝

＝ ＝

我們得到與 Q3 相同的答案。

七、獨立事件

當一個事件的發生與否，不會影響到另一事件發生的機

率時，則此兩事件獨立，稱為「獨立事件」

。事件 與事件 獨立時，因為 ＝ ，又根

據機率乘法規則，所以可寫成：

P(A∩B)＝ P(A)P(B | A)＝ P(A)P(B)

【Q10】老人健檢資料中，事件 A 與事件 是否獨立？

【Ans】 已知 ＝

＝

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第 5 章 機率理論 67

＝

因為 ，所以事件 A 與事件

不獨立。

八、貝氏定理

貝氏定理 是由

～ 首先提出，假設 、 、…、 ，是 個互斥

且周延 的事件，也就是說：

… )＝ ＋ ＋…＋ ＝ 1

那麼對每一個 ， 藉由事件 和 ，貝氏定理可以寫

成：

＝＋…＋

【Q11】同樣以 70 歲以上老人參加健檢所測得的膽固醇值

為例，計算 之值。

【Ans】 因為 ＝ ， ＝

＝ ， ＝

＝ ， ＝

所以

＝＋ ＋

＝ ＝

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68 生物統計學

這與利用條件機率公式所得到的答案一致。而此值

指的是有一個受檢的 70 歲以上老人，在這老人必

須是女性的條件下，測得其膽固醇值大於

220 mg/100 ml 的機率為 0.375。

貝氏定理可幫我們了解在獲得新的訊息下，某事件機率

的改變，例如 ＝ ，但 ＝ ，代表當

我們知道某一受檢的 歲以上老人為女性時，其測得的膽

固醇值大於 的機率，會比不知其性別是男或

是女時的機率稍高。

九、敏感度、特異性、偽陰性率及偽陽性率

藉著診斷檢查 的結果，可以決定受檢

者是否罹患某疾病，但是經常會發現診斷檢查的結果是陽性

時，但受檢者實際卻未罹患此疾病，同樣的，診斷檢查的結

果是陰性，但受檢者實際卻罹患此疾病。因此為了要了解一

個診斷檢查的正確性，可借助以下幾個條件機率。

首先介紹敏感度 ，一個檢查的敏感度就是當

受檢者罹患某疾病下，檢查的結果呈陽性反應的機率，而特

異性 則為當受檢者未罹患某疾病下，檢查的結果

呈陰性反應的機率，而 減去敏感度為偽陰性

率， 減去特異性為偽陽性 率。

為了便於說明，我們定義以下符號：

：代表診斷檢查呈陽性反應。

：代表診斷檢查呈陰性反應。

：代表實際罹患某疾病的事件。

：代表實際未罹患某疾病的事件。

因此敏感度為 ，特異性為 ，偽陰性

率為 ＝ － ，偽陽性率為 ＝

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第 5 章 機率理論 69

。

【Q12】新試劑用來診斷受檢人是否罹患某疾病，若以 代

表經試劑檢查結果為陽性， 則代表陰性結果，

另以 代表受檢人實際罹患此疾病，而以 代表

實際未罹患此疾病，所得數據為：敏感度為

＝ ，特異性為 ＝ ，並

且 知 道 ＝ ，試 求 及

。

【Ans】 因為 ＝ ， ＝ ，

而 ＝ ， ＝

又知 ＝ ＋

＝ ＋

＝ 0.000001 0.97 ＋ 0.999999 0.02

＝ 0.00000097 ＋ 0.01999998

＝ 0.02000095

＝ ＋ ＋

＝ ＋

＝ 0.000001 0.03 ＋ 0.999999 0.98

＝ 0.00000003 ＋ 0.97999902

＝ 0.97999905

所以 ＝ ＝

＝ ＝

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70 生物統計學

幎習題

擲一個銅板兩次的實驗中，試寫出樣本空間及樣本點。

擲骰子兩次的實驗中，定義事件 A 為兩次之和為 3 的事

件，即 A ＝｛(1, 2), (2, 1)｝，B 則為第一次出現 2 的事

件，即 B ＝｛(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)｝，

C為第二次出現 2 的事件，所以C＝｛(1, 2), (2, 2), (3, 2),

(4, 2), (5, 2), (6, 2)｝，試求：

A∩B

B∩C

A∩C

A∪B

A∪C

投擲兩個骰子的實驗中，若以A代表至少有一個骰子出現

奇數點的事件，B 代表二個骰子均出現奇數點的事件，試

求以下機率：

P(A)

P(B)

P(A∩B)

P(A∪B)

P(B | A)

P(A | B)

P(A')

P(B')

試問事件 A 與事件 B 是否獨立？

試問事件 A 與事件 B 是否互斥？

在 200 位曾修習某名師所教授的生物統計課程的學生中，

有 150 位未曾被當，其中 80 位是男性，70 位是女性。50

位曾被當的學生中，有35位男性，15位女性，資料如下：

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第 5 章 機率理論 71

男

女

總計

未曾被當

80

70

150

曾經被當

35

15

50

總計

115

85

200

假如從這 200 位同學中隨機抽出一位同學，若A為抽中的

同學為男性的事件，B 為抽中的同學曾經被當的事件，試

求：

P(A)

P(B)

P(A∩B)

P(A | B)

P(B | A)

P(A∩B')

P(A'∩B)

P(A'∩B')

上題中，事件 A 與事件 B 是否獨立？為什麼？

內文 Q12 中，求 及 。

在一個評估利用某徵候來診斷某疾病發生與否的可行性之

研究中，於 387 位罹患此疾病的患者中發現有 372 位具有

此徵候，另外 690 位未罹患此疾病的人中發現有 11 位亦

具有此徵候，試計算利用此徵候來診斷此疾病發生與否的

敏感度、特異性、偽陰性率及偽陽性率。

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