6 33202 · 2 2 x 3 o เท่ากับข้อใด ก. 7 5 ข. 7 6 ค. 7 8 ง. 7 9 8. x...

เอกสารประกอบการสอน เรอง แคลคลสเบองตน วชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค33202 จดท าขนเพอใชเปนเครองมอส าหรบปรบปรง พฒนาผลสมฤทธทางการเรยนและเจตคตของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 6 นอกจากนยงเปนคมอในการสอนซอมเสรมแกผเรยน เพอลดปญหาเรองความแตกตางระหวางบคคลไดดวย โดยไดรวบรวมเนอหาทเปนความรจากต ารา และเอกสารทางวชาการหลากหลาย มตวอยางและขอค าถามเพอทบทวนความรความเขาใจในบทเรยน และเมอเสรจสนกระบวนการเรยนรตามล าดบขนตอนแลว นกเรยนจะไดรบการทดสอบ เพอประเมนผลการเรยนร โดยก าหนดเนอหายอยออกเปน 9 เลม ดงน เลมท 1 ลมตของฟงกชน เลมท 2 ความตอเนองของฟงกชน

เลมท 3 อตราการเปลยนแปลงของฟงกชน เลมท 4 อนพนธของฟงกชน เลมท 5 ความชนของเสนโคง เลมท 6 อนพนธของฟงกชนคอมโพสท และอนพนธอนดบสง เลมท 7 การประยกตอนพนธ เลมท 8 กระบวนการตรงกนขามกบการหาอนพนธ หรอการอนทเกรต เลมท 9 พนททปดลอมดวยเสนโคง ผจดท าหวงเปนอยางยงวาเอกสารประกอบการสอน เรอง แคลคลสเบองตน วชา

คณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค33202 ชดน จะมสวนชวยในการศกษาเนอหาใหเขาใจไดงาย ตลอดเสรมสรางการเรยนรดวยตนเองใหมความชดเจนยงขน สามารถพฒนาผลสมฤทธทางการเรยนและเจตคตของผเรยนใหสงขนได และหวงวาคงเปนประโยชนตอผสนใจทจะน าไปใชเปนแนวทางในการปรบปรงการเรยนการสอน และนวตกรรมทางการศกษา

วชร ขนเชอ

ค าน า

ก

หนา ค าน า ก สารบญ ข ค าชแจงการใชเอกสารประกอบการสอนส าหรบคร ค ค าชแจงการใชเอกสารประกอบการสอนส าหรบนกเรยน ง แบบทดสอบวดผลสมฤทธกอนเรยน 1

ใบความรท 1 เรอง ลมตของฟงกชน 5 แบบฝกทกษะชดท 1 เรอง การหาลมตขางเดยวของฟงกชน 12 แบบฝกทกษะชดท 2 เรอง การหาลมตขางเดยวของฟงกชนจากกราฟ 13 แบบฝกทกษะชดท 3 เรอง การหาลมตสองดาน 15 ใบความรท 2 เรอง ลมตของฟงกชน 17

แบบฝกทกษะชดท 4 เรอง การหาลมตของฟงกชนทอยในรปไมก าหนด

0

0 23

แบบฝกทกษะชดท 5 เรอง การลมตของฟงกชนโดยการใชสตร 26 แบบทดสอบวดผลสมฤทธกอนเรยน 28 ภาคผนวก เฉลยแบบฝกทกษะชดท 1 เรอง การหาลมตขางเดยวของฟงกชน 32 เฉลยแบบฝกทกษะชดท 2 เรอง การหาลมตขางเดยวของฟงกชนจากกราฟ 33

สารบญ

ข

เฉลยแบบฝกทกษะชดท 3 เรอง การหาลมตสองดาน 34

เฉลยแบบฝกทกษะชดท 4 เรอง การหาลมตของฟงกชนทอยในรปไมก าหนด

0

0 36

เฉลยแบบฝกทกษะชดท 5 เรอง การลมตของฟงกชนโดยการใชสตร 38 เฉลยแบบทดสอบวดผลสมฤทธกอนเรยน 39 เฉลยแบบทดสอบวดผลสมฤทธหลงเรยน 39

เอกสารประกอบการสอน เรอง แคลคลสเบองตน วชาคณตศาสตรเพมเตม 6 (ค33202)

ชนมธยมศกษาปท 6จดท าขนเพอเปนเครองมอชวยในการจดกจกรรมการเรยนการสอนกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร เปนสอการเรยนการสอนทนกเรยนสามารถใชเปนคมอเพอพฒนา การเรยนรดวยตนเองใหบรรลวตถประสงคอยางมประสทธภาพ ครผสอนควรด าเนนการดงน

1. ครผสอนตองศกษาและท าความเขาใจเกยวกบคมอคร แผนการจดการเรยนรเพอใหครน าเอกสารประกอบการสอน เรอง แคลคลสเบองตน ไปใชจดกจกรรมการเรยนรไดอยางมประสทธภาพตอไป

2. ผสอนจดเตรยมสอการเรยนการสอนอนๆ พรอมใบงานตางๆ ส าหรบนกเรยนใหพรอมและเพยงพอ

3. กอนด าเนนการจดกจกรรมการเรยนร ครตองจดเตรยมเอกสารประกอบการสอนใหเพยงพอกบจ านวนนกเรยน

ค าชแจงการใชเอกสารประกอบการสอนส าหรบคร เอกสารประกอบการสอน เรอง แคลคลสเบองตน

วชาคณตศาสตรเพมเตม 6 (ค33202) ชนมธยมศกษาปท 6

ค

4. กอนด าเนนการปฏบตกรรมการเรยนร ครตองชแจงใหนกเรยนรจกและเขาใจบทบาทหนาทของนกเรยนในการเรยนรโดยใชเอกสารประกอบการสอน เรอง แคลคลสเบองตน ชนมธยมศกษาปท 6 เพอใหเกดประสทธภาพในการเรยนรดงน 4.1 ศกษาสาระส าคญ ผลการเรยนร และจดประสงคการเรยนรในเรองทจะเรยนใหเขาใจเสยกอน 4.2 นกเรยนท าแบบทดสอบกอนเรยน 4.3 ศกษาเนอหาในใบความร และท าแบบฝกทกษะใหครบ แลวตรวจค าตอบ บนทกคะแนนของแตละแบบฝกทกษะใหครบ 4.4 ถาพบวามนกเรยนคนใดท าแบบฝกทกษะไดผลสมฤทธต ากวา รอยละ 80 ใหยอนกลบไปศกษาเนอหาใบความรใหม และท าการประเมนความรจากแบบฝกทกษะอกครง 4.5 นกเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยน 4.6 ตรวจค าตอบแบบทดสอบกอนเรยนและแบบทดสอบหลงเรยน 4.7 นกเรยนตองมความซอสตยตอตนเอง โดยไมดเฉลยค าตอบทงกอน และ ระหวางการท าแบบฝกทกษะโดยเดดขาด

เอกสารประกอบการสอน เรอง แคลคลสเบองตน วชาคณตศาสตรเพมเตม 6 (ค33202) ชนมธยมศกษาปท 6เปนเอกสารทนกเรยนสามารถศกษาในชนเรยนปกตหรอเรยนรดวยตนเอง ใหนกเรยนอานค าแนะน า ท าตามค าชแจงแตละขนตอนตงแตตนจนจบ นกเรยนจะไดรบความรอยางครบถวน โดยปฏบตตามขนตอนดงตอไปน

ค าชแจงการใชเอกสารประกอบการสอนส าหรบนกเรยน เอกสารประกอบการสอน เรอง แคลคลสเบองตน

วชาคณตศาสตรเพมเตม 6 (ค33202) ชนมธยมศกษาปท 6

ง

1. ศกษาสาระส าคญ ผลการเรยนร และจดประสงคการเรยนรในเรองทจะเรยนใหเขาใจเสยกอน

2. นกเรยนท าแบบทดสอบกอนเรยน 3. ศกษาเนอหาในใบความร และท าแบบฝกทกษะใหครบ แลวตรวจค าตอบ บนทก

คะแนนของแตละแบบฝกทกษะใหครบ 4. ถาพบวามนกเรยนคนใดท าแบบฝกทกษะไดผลสมฤทธต ากวา รอยละ 80 ให

ยอนกลบไปศกษาเนอหาใบความรใหมและท าการประเมนความรจากแบบฝกทกษะอกครง 5. นกเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยน 6. ตรวจค าตอบแบบทดสอบกอนเรยนและแบบทดสอบหลงเรยน 7. นกเรยนตองมความซอสตยตอตนเอง โดยไมดเฉลยค าตอบทงกอนและระหวาง

การท าแบบฝกทกษะโดยเดดขาด 8. หากนกเรยนตองการศกษาเพมเตมสามารถศกษาไดจากหนงสอเรยนและเอกสาร

ทปรากฏในบรรณานกรมทายเลมเอกสารประกอบการสอน เรอง แคลคลสเบองตน ชนมธยมศกษาปท 6

ค าชแจง : แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรอง ลมตของฟงกชน ฉบบนมขอสอบ 15 ขอ

เปนแบบปรนย ชนดเลอกตอบ 4 ตวเลอก ใหนกเรยนท าเครองหมาย

หนาค าตอบทถกทสดเพยงขอเดยว ขอละ 1 คะแนน เวลาทใชในการสอบ 20 นาท

แบบทดสอบวดผลสมฤทธกอนเรยน

เรอง การลมตของฟงกชน 1

1. จากกราฟทก าหนดให ขอใดไมถกตอง

ก. 1f(x)lim

1x

ข. 0f(x)lim

1x

ค. f(x)lim1x

หาคาไมได ง. 1,0f(x)lim1x

2. จากกราฟทก าหนดใหขอใดไมถกตอง

ก. 3f(x)lim

2x

ข. 2f(x)lim

2x

ค. 3,2f(x)lim1x

ง. f(x)lim2x

หาคาไมได

3. ก าหนดให f(x) =

1-1

0 x เมอ0 x เมอ

แลว f(x) มลมตท 0 หรอไม

ก. ม เพราะ 1f(x)lim0x

ข. มเพราะ 1f(x)lim0x

ค. ไมม เพราะ f(x)limf(x)lim0x0x

ง. ไมม เพราะ 1f(x)lim0x

4. 4x

16xlim

2

4x

มคาตรงกบขอใด

ก. 5 ข. 6

ค. 7 ง. 8

2

5. 3x

65xxlim

2

3x

เทากบขอใด

ก. 1 ข. 3

ค. -1 ง. -3

6. 1x

1xlim

1x

เทากบเทาใด

ก. 0 ข. 0.25

ค. 0.50 ง. 0.65

7. 12xx

6xxlim

2

2

3x


ก. 7

5 ข. 7

6

ค. 7

8 ง. 7

9

8. 1x

1xlim

3

1x


ก. 3 ข. 2

ค. 1 ง. 0

9. 2x

4xlim

4x


ก. 0 ข. 4

ค. -4 ง. 6

10. ถา f(x) =

12x

3x

2 ;

;

2x

2x

แลว f(x)lim2x


ก. 6 ข. 9

ค. 11 ง. หาคาไมได

11. ถา f(x) =

3

1 x

;

;

3x

3x

แลว f(x)lim3x


3

ก. 7 ข. 9


12. 32xlim2x


ก. -1 ข. 1

ค. -3 ง. หาคาไมได

13. 1xxlim 4

5x

มคาเทากบขอใด

ก. 500 ข. 5

ค. 2,500 ง. 75

14. x1

9xlim

2

3x


ก. ข. 0

ค. 6 ง. -6

15. ขอใดตอไปนไมถกตอง

ก.

5x

25xlim

2

5x= 10 ข.

x9

x3lim

9x =

6

1

ค.

2xx

1xlim

21x= 1 ง.

54xx

3x2xlim

2

2

1x=

6

5

ลมตของฟงกชน

4

ผลการเรยนร หาอนพนธของฟงกชนทก าหนดใหได

จดประสงค นกเรยนสามารถบอกไดวาฟงกชน y = f(x) ทก าหนดใหมลมตท a

หรอไม และถามสามารถหาลมตของฟงกชนได

สาระส าคญ

ก าหนดฟงกชน f(x) และ a เปนจ านวนจรงแลว ลมตของฟงกชน f(x) ในขณะ

ท x เขาใกล a มคาเทากบ L กตอเมอ คาของ f(x) มคาเขาใกล L ในขณะท x เขาใกล a ทง

ทางดานซายมอและขวามอของ a เขยนแทนดวยสญลกษณ = L

นนคอ = Lกตอเมอ =

เรมศกษา เรอง ลมตของฟงกชน พรอมกนเลยนะคะ

1. ลมตดานเดยว (One-side limits)

1.1 ลมตซาย (left-hand limits)

ก าหนดฟงกชน f(x) และ a เปนจ านวนจรง กลาววา ลมตของ f(x) เมอ x เขาใกล a

ทางซายมอ กตอเมอมจ านวนจรง L ทท าใหคาของ f(x) เขาใกล L ในขณะท x เขาใกล a ทาง

ซายมอ เขยนแทนดวยสญลกษณ f(x)limax

= L

1.2 ลมตขวา (right-hand limits)

ก าหนดฟงกชน f(x) และ a เปนจ านวนจรง กลาววา ลมตของ f(x) เมอ x เขาใกล a

ทางขวามอ กตอเมอมจ านวนจรง L ทท าใหคาของ f(x) เขาใกล L ในขณะท x เขาใกล a ทาง

ขวามอ เขยนแทนดวยสญลกษณ f(x)limax

= L

ลมตของฟงกชน อานวา “ลมตของ f(x) เมอ x เขาใกล a” หมายถง

คาประมาณของ f(x) เมอ x มคาประมาณ a เชน ถา f(x) = 2x + 5 จะเหนวาเมอ x ประมาณ 4 จะได f(x) ประมาณ2(4) + 5 = 8 + 5 = 13 ดงนนอาจสรปไดวา = 13

ใบความรท 1 เรอง ลมตของฟงกชน (Limit of function)

5

x 2.9 2.99 2.999 … f(x) = x2 + x + 1 12.31 12.9301 12.993001 …

ดงนน 1xxlim 2

3x

= 13

2) สรางตารางความสมพนธของ x และ y เมอ x > 3 และมคาเขาใกล 3 บางคา ดงน

x 3.1 3.01 3.001 … f(x) = x2 + x + 1 13.71 13.0701 13.007001 …

ดงนน 1xxlim 2

3x

= 13

ตวอยางท 2 ก าหนดให f(x) = 42xx 2 เมอ x เขาใกล 2 จงหา 1) f(x)lim

2x

2) f(x)lim2x

2x 2x

2 วธท า 1) สรางตารางความสมพนธของ x และ y เมอ x <2และมคาเขาใกล 2 บางคา ดงน

x 1.9 1.99 1.999 … f(x) = x2 3.61 3.9601 3.996001 …

ดงนน f(x)lim2x

= 4

2) สรางตารางความสมพนธของ x และ y เมอ x >2 และมคาเขาใกล 2 บางคา ดงน

x 2.1 2.01 2.001 …

ตวอยางท 1 ก าหนดให f(x) = จงพจารณาวา f(x) เมอ x เขาใกล 3

จงหา 1)

2)

วธท า 1) สรางตารางความสมพนธของ x และ y เมอ x < 3 และมคาเขาใกล 3 บางคา ดงน 6

f(x) = x + 2 4.1 4.01 4.001 …


= 4

ตวอยางท 3 ก าหนดให f(x) =

1 xเมอ 91 xเมอ 61 xเมอ 5 2x

จงหา 1) f(x)lim1x

2) f(x)lim1x

วธท า 1) สรางตารางความสมพนธของ x และ y เมอ x <1และมคาเขาใกล 1บางคา ดงน

x 0.9 0.99 0.999 …

f(x) = x + 5 6.8 6.98 6.998 …


= 7

2) สรางตารางความสมพนธของ x และ y เมอ x >1และมคาเขาใกล 1บางคา ดงน

x 1.1 1.01 1.001 …

f(x) = 9 9 9 9 …


= 9

จะเหนไดวา f(x)lim1x

≠ f(x)lim1x

หนเขาใจแลวคะคณคร

7

2. ลมตสองดาน (Two-side limits)

เปนการพจารณาลมตของฟงกชนทงทางซายและลมตทางขวา ของจ านวนจรง จ านวนหนง นนคอ ตองการพจารณาคาของ f(x) ในขณะท x เขาใกล a ซงค าวา “เขาใกล a” หมายถง เขาใกลทงสองดาน คอ ดานซายมอของ a และดานขวามอของ a

เชน ก าหนดฟงกชน f(x) = x + 3 เปนกราฟเสนตรง ดงรป

จากกราฟ f(x) จะพบวา เมอ x เขาใกล 2 จะพบวา ถา 2x แลวจะได f(x)lim

1x = 5

ถา 2x แลวจะได f(x)lim1x

= 5

สรปไดวา ลมตของ f(x) ในขณะท x เขาใกล 2 มคาเทากบ 5 จงเขยนแทนไดดวย =

5

หมายเหต สญลกษณ x 2 หมายถง x เขาใกล 2 ทงสองดาน

8


0 xเมอ 1x2

10 xเมอ 12x

จงหา 1) f(x)lim

0x 2) f(x)lim

2x

วธท า

จากกราฟของ f(x) จะพบวา

1) เมอ x < 0 แลวจะได f(x)lim0x

= 1)(xlim 2

0x

= 1

เมอ x > 0 แลวจะได f(x)lim0x

= 1)(xlim 2

0x

= 1

ก าหนดฟงกชน f(x) และ a เปนจ านวนจรงแลว ลมตของฟงกชน f(x)

ในขณะท x เขาใกล a มคาเทากบ L กตอเมอ คาของ f(x) มคาเขาใกล L ในขณะท x

เขาใกล a ทงทางดานซายมอและขวามอของ a เขยนแทนดวยสญลกษณ

= L นนคอ = L กตอเมอ =

f(x) = x2 + 1

f(x) =

9

2) เมอ x < 2 แลวจะได f(x)lim2x

= 1)x2

1(lim

2x

= 2

เมอ x > 2 แลวจะได f(x)lim2x

= 1)x2

1(lim

2x

= 2

สรปหลกการของลมตดานเดยวและลมตสองดานของฟงกชน

ถาก าหนดฟงกชน f และ a เปนจ านวนจรงแลว ลมตของ f(x) ในขณะท x

เขาใกล a มคาเทากบ L กตอเมอ คาของ f(x) มคาเขาใกล L ในขณะท x เขา

ใกล a ทงทางซายและทางขวา ซงเขยนขอความของ ลมตของ f(x) ในขณะท x เขา

ใกล a มคาเทากบ L แทนดวยสญลกษณ

= L

ดงนนจงกลาวไดวา = L กตอเมอ = L และ = L

หมายเหต

1. กรณท = A และ = B โดยท A≠B จะกลาววา


2. ถา หรอ หาคาไมได แลวจะกลาววา


ผมเขาใจแลวครบ

10


2x

2x

1 xเมอ1 xเมอ

จงหา f(x)lim1x

วธท า จะเหนวาฟงกชน f แบงเปน 2 กรณ ทงในกรณ 1x และกรณ 1x

ดงนนจงตองแยกหาลมตซายขวา

f(x)lim1x

= 2

1xxlim

= 2(-1) = 1

f(x)lim1x

= 2xlim1x

= 2(-1) = 1

จะเหนวา f(x)lim1x

= f(x)lim1x


= 1


2x

2x


จงหา f(x)lim1x



f(x)lim1x

= 2

1xxlim

= 21 = 1

f(x)lim1x

= 2xlim1x

= 21 = 3


≠ f(x)lim1x



11

ตวอยางท 7 ก าหนดให f(x) =x

x จงหา f(x)lim0x

วธท า จะเหนวาฟงกชน f มคาสมบรณของ x ดงนน ฟงกชน f จะถกแบงออกเปน 2 กรณ

ดงน

f(x) =

x

x-

x

x

0 xเมอ

0 xเมอ

จะเหนวาฟงกชน f แบงเปน 2 กรณ ทงในกรณ 0x และกรณ 0x


f(x)lim0x

= x

xlim

0x

= 1lim0x

= -1

f(x)lim0x

=x

xlim

0x

= 1lim0x

= 1


≠ f(x)lim0x



ค าชแจง จงหาลมตของฟงกชนโดยพจารณาลมตขางเดยวโดยใชตารางแสดงความสมพนธ

1. จงพจารณาฟงกชน f(x) = x + 5 ขณะท x เขาใกล 2 โดยเตมคาของ f(x) ลงในตารางตอไปน

x < 2 x > 2

x f(x) x f(x)

1.5

1.9

….…………

….…………

2.5

2.1

….…………

….…………

= ……………………………

= ……………………………

= ……………………………

แบบฝกทกษะชดท 1 เรอง การหาลมตขางเดยวของฟงกชน

12

1.99

1.999

….…………

….…………

2.01

2.001

….…………

….…………

2. จงพจารณาฟงกชน f(x) = 2x – 1 ขณะท x เขาใกล 3 โดยเตมคาของ f(x) ลงในตารางตอไปน

x <3 x >3 x f(x) x f(x)

2.5 2.9 2.99 2.999

….………… ….………… ….………… ….…………

3.5 3.1 3.01 3.001

….………… ….………… ….………… ….…………

ค าชแจง จงหาลมตจากกราฟทก าหนดให 1.

= ……………………………

= ……………………………

= ……………………………

แบบฝกทกษะชดท 2 เรอง การหาลมตของฟงกชนจากกราฟ

13

2.

3.

= ………………………………………..

= ……………………………….………..

= ………………………………………..

= ……………………………….………..

= ………………………………………..

= ……………………………….………..

14

4.

ค าชแจง จงหาคาของลมตจากฟงกชนทก าหนดใหตอไปน

1. จงหาคาของ f(x)lim1x

เมอ f(x) =

1-4x

12x


............................................................................................................................. .......................................

= ………………………………………..

= ……………………………….………..

= ……………………………….………..

แบบฝกทกษะชดท 3

เรอง การหาลมตสองดาน

ไมเขาใจใหถามคณครนะคะ

15

........................................................................................... .........................................................................

............................................................................................................................. .......................................

.............................................................................................................................................. ......................

2. จงหาคา f(x)lim0x

เมอ f(x) =

13x

x-2


............................................................................................................................. .......................................

........................................................................................... .........................................................................

............................................................................................................................. .......................................

.............................................................................................................................................. ......................


เมอ f(x) =

32x

x2

23xx2


............................................................................................................................. .......................................

........................................................................................... .........................................................................

............................................................................................................................. .......................................

.............................................................................................................................................. ......................


เมอ f(x) = 1x

1x2

............................................................................................................................. .......................................

........................................................................................... .........................................................................

............................................................................................................................. .......................................

.............................................................................................................................................. ......................

16


เมอ f(x) = 23xx

2x2

................................................................................................................................................................... .

............................................................................................................................. .......................................

............................................................................................................................. .......................................

............................................................................................................................. .......................................

ใบความรท 2

เรอง การหาลมตของฟงกชน

เกงมากคะ นกเรยนท าแบบฝกทกษะ ถกหมดทกคนเลย เยยมมากคะ

17

ในการหา f(x)limx a

เราจะลองแทนคา x = a กอนเปนอนดบแรก

เชน

7-2xlim1x

= (2×1) – 7 = -5

32x-xlim 2

3x

= (-3)2 – 2(-3) + 3 = 9 + 6 + 3 = 18

32lim x

1x

=

2

1 + 3 =2

7

เมอเราหาคา f(x)limx a

ดวยการแทนคา x = a กอน เปนอนดบแรกดงตวอยางขางบน

แตถาบางกรณทเราไมสามารถค านวณ f(a) ได ซงไดกรณทการหารดวยศนยขน ในกรณน

จะมกรอบของค าตอบของลมตดงน

•ถาตวตงไมเปนศนยแตตวหารเปนศนย สรปวาทนทวา f(x)limx a


เชน x

5lim

0x=

0

5 = หาคาไมได

x1

xlim

1x =

(-1)1

1-

=

0

1- = หาคาไมได

1-x

2xlim

1x

=

1-1

21 =0


2xx

1-xlim

22x =

0


• ถาตวตงเปนศนยแตตวหารไมเปนศนย สรปวาทนทวา f(x)limx a

= 0

เชน 22xx

1-xlim

21x =

5

0 = 0

• ถาตวตงเปนศนย แลวตวหารกเปนศนยดวยตองจดรป f(x) ใหมกอน เปาหมายของ

การเปลยนรป f(x) คอ เพอใหเกดการตดกนของ x - a จากนนคอยลองแทน a ลงไปใหมการ

เปลยนรป f(x) จะใชการแยกตวประกอบ หรอ ไมกใชคอนจเกทคณ

การหา f(x)limax

โดยการน า a ไปแทนดวย f(x) แลวไดผลเปน f(a) ออกมาในรป 0

0

แลว f(x)limax

อาจจะหาคาไดโดยพยายามเปลยนรปของ f(x) ใหม เพอใหสามารถตดทอนกน

ไดระหวางตวเศษและตวสวน และคอยน าไปหาลมตโดยมหลกการเปลยนรปของ f(x) ดงน

1. โดยใชเทคนคการแยกตวประกอบ

2. โดยใชการคณการคอนจเกท

การจดรปโดยเทคนคการแยกตวประกอบ

ตวอยางท 8 ก าหนดให f(x) = 2x

4x 2

แลวจงหาคาของ f(x)lim2x

วธท า ตรวจสอบดวยการน า x = 2 ไปแทนคาใน f(x) แลวมคาเปน 0

0 แสดงวา

เราตองเปลยนรปของ f(x) ใหมโดยการใชการแยกตวประกอบพหนาม ดงน

2x

4xlim

2

2x

=

2x

2)2)(x-(xlim

2x

= 2)(xlim2x

= 2 + 2

= 4

การคอนจเกท หรอ สงยค หมายถง การจดรปของฟงกชนใหอยในรปการแยก ตวประกอบพหนามของผลตางก าลงสอง ดงน (น + ล)(น – ล) = น2 – ล2

เชน คอนจเกทของ คอ และ การคณการคอนจเกทจะได =

การหาลมตของฟงกชนทอยในรปทไมก าหนด ( )

18

ตวอยางท 9 จงหาคาของ 10x2x

23xxlim

2

2

2x

วธท า ลองแทนคา x = 2 กอนเปนอนดบแรกจะได 102)2(2

23(2)22

2

= 1028

264

= 0

0 แสดง

วาเราตองเปลยนรปของ f(x) ใหมโดยการใชการแยกตวประกอบพหนาม ดงน

5)2)(2x-(x

1)-2)(x-(xlim

2x =

5)(2x

1)-(xlim

2x

= 52(2)

12

= 9

1

ตวอยางท 10 ก าหนดให f(x) = 1x2x

1x2

2

แลวจงหาค าตอบของ f(x)lim1x

วธท า น า x = 1 ไปแทนใน f(x) = 112(1)

112

2

= 22

0

=

0

0

ตองเปลยนรปของฟงกชน f ใหม โดยการคณการแยกตวประกอบพหนาม

จะได 1)-x-(2x

1-xlim

2

2

1x =

1)1)(x(2x

1)-1)(x(xlim

1x

= 1)(2x

1)(xlim

1x

= 12(1)

1)(1

= 3

2

19

ตวอยางท 11 จงหาคาของ 27)-(x

x-3lim

33x

วธท า น า x = 3 ไปแทนใน f(x) = 273

333

= 2727

0

=

0

0

ตองเปลยนรปของฟงกชน f ใหม โดยการแยกตวประกอบพหนาม

จะได 27)-(x

x-3lim

33x =

9)3x3)(x-(x

x)(3lim

23x

= 9)3x(x

1-lim

23x

= 93(3)3

1-2

= 93(3)3

1-2

= 27

1

ตวอยางท 12 ก าหนดให f(x) = x

2x4 แลวจงหาคาของ f(x)lim0x

วธท า แทนคา x = 0 ใน f(x) = 0

204 = 0

0 ตองเปลยนรปของฟงกชน f ใหม โดยใช

การคอนจเกท

จะได x

2x4lim

0x

=

24

24

x

2x4lim

0x

x

x

= 2)x4x(

4x4lim

0x

= 2)04(1)(

1lim

0x

แยกตวประกอบพหนามผลตางก าลงสาม น3– ล3 = (น – ล) (น2 + นล+ ล2)

การหาลมตของฟงกชนโดยใชการคณการคอนจเกท

20

= 4

1

ตวอยางท 13 จงหา5x-3

x-4lim

2

2

2x

วธท า ตรวจสอบโดยแทนคา x = 2ใน f(x) = 52-3

24

2

2

= 0

0

จงตองเปลยนรปของฟงกชน f ใหมกอน โดยใชการคอนจเกท

จะได 5x-3

x4lim

2

2

2x

=

5x3

5x3

5x-3

x4lim

2

2

2

2

2x

= 5)(x-9

)5x)(3x-(4lim

2

22

2x

= 2

22

2x x4

)5x)(3x-(4lim

= 5x3lim 2

2x

= 3+ 522 = 6

ตวอยางท 14 จงหาคาของ1x

45xxlim

2

1x

วธท า ตรวจสอบโดยแทนคา x = 1 ใน f(x) = 1-1

45-1 = 0

0

จงตองเปลยนรปของฟงกชน f ใหมกอน โดยใชการคอนจเกท

จะได 1x

45xxlim

2

1x

=

1x

1x

1x

45xxlim

2

1x

= 221x 1)x(

1)x4)(-1)(x-(xlim

= 1x

1)x4)(-1)(x-(xlim

1x

21

= 1)x4)(-(xlim1x

= (1 - 4) (1 + 1) = -6

สรปหลกการหาลมตของฟงกชน

พจารณา ใหแทน x ดวย a (ใชวธการแทนคาตรงๆ)

- ถาได จะไดวา =

- ถาได จะไดวา = 0

- ถาได จะไดวา = หาคาไมได

- ถาได จะไดวา = สรปไมได

ถาเขาใจแลวใหนกเรยน ท าแบบฝกทกษะชดท 4 ตอเลยนะคะ

22

ค าสง จงแสดงวธการหาค าตอบอยางเปนขนตอน

1. จงหาคาของ 34xx

30xxlim

2

3

3x

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. จงหาคาของ

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. จงหาคาของ 3x3x

276xlim

23

24

3x

x

x

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกทกษะชดท4

เรอง การหาลมตของฟงกชนทอยในรปไมก าหนด 23

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. จงหาคาของ 35x

2-xlim

22x

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. จงหาคาของ x-3

x1-2lim

3x

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เขาใจแลวคะ งายมากเลยคะ

24

เมอ a, L และ M เปนจ านวนจรงใดๆ ถา f และ g เปนฟงกชนทมโดเมน

และเรนจเปนสบเซตของเซตของจ านวนจรง โดยท f(x)limx a

= L และ g(x)limx a

= M แลวจะ

ไดวา

1. climax

= cเมอ c เปนคาคงตวใดๆ

2. xlimax

= a

3 n

axxlim

= na เมอ In

4. cf(x)limax

= c f(x)limax

= cLเมอc เปนคาคงตวใดๆ

5. g(x)][f(x)limax

= g(x)limf(x)limaxax

= L + M

ทฤษฎบทเกยวกบลมต

25

6. g(x)][f(x)limax


= L - M

7. g(x)][f(x)limax


= L M

8.

g(x)

f(x)lim

ax=

g(x)lim

f(x)lim

ax

ax

=M

L เมอ M ≠ 0

9. n

ax[f(x)]lim

= n

axf(x)]lim[

= nL เมอ In

10. n

axf(x)lim

= n

axf(x)lim

= n L เมอ In - {1} และ RLn

11. f(x)limax

= L , L 0 และ g(x)limax

= M = 0 แลว g(x)

f(x)lim

ax หาคาไมได

ค าชแจง จงหาคาของลมตจากฟงกชนทก าหนดให

1. xlim2x

……………………………………………………………………………………………………………………………………

2. 2

1xxlim

…………………………………………………………………………………………………………………….………………

3. xlim4x

……………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกทกษะชดท 5

เรอง การลมตของฟงกชนโดยการใชสตร

26

4. 3xlim2x

……………………………………………………………………………………………………………………………………

5. 2xxlim 2

3x

……………………………………………………………………………………………………………………………………

6. 105xxlim 2

1x

……………………………………………………………………………………………………………………………………

7. 3)1)(x(xlim2x

……………………………………………………………………………………………………………………………………

8. 2x

4xlim

1x

3)1)(x(xlim

2x

……………………………………………………………………………………………………………………………………

9. 32xxlim 2

2x

3)1)(x(xlim

2x

……………………………………………………………………………………………………………………………………

10. 2x

1xlim

2x

3)1)(x(xlim

2x

……………………………………………………………………………………………………………………………………

11. 2

3x1)(xlim

3)1)(x(xlim

2x

……………………………………………………………………………………………………………………………………

12. 1-3xxlim 3

5x

3)1)(x(xlim

2x

……………………………………………………………………………………………………………………………………

27

13. 2x

8xlim

3

2x

3)1)(x(xlim

2x

……………………………………………………………………………………………………………………………………

14. 5x

25xlim

2

5x

3)1)(x(xlim

2x

……………………………………………………………………………………………………………………………………

15. 94x13x4x

3-2x-5x2xlim

23

23

3x

3)1)(x(xlim

2x

……………………………………………………………………………………………………………………………………

ค าชแจง : แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรอง ลมตของฟงกชน ฉบบนมขอสอบ 15 ขอ

เปนแบบปรนย ชนดเลอกตอบ 4 ตวเลอก ใหนกเรยนท าเครองหมาย

หนาค าตอบทถกทสดเพยงขอเดยว ขอละ 1 คะแนน เวลาทใชในการสอบ 20 นาท

2. จากกราฟทก าหนดใหขอใดไมถกตอง

แบบทดสอบวดผลสมฤทธหลงเรยน

เรอง การลมตของฟงกชน

ท าแบบทดสอบวดผลสมฤทธหลงเรยน ตอนะคะ

28

ก. 3f(x)lim

2x

ข. 2f(x)lim

2x

ค. 3,2f(x)lim1x

ง. f(x)lim2x


1. จากกราฟทก าหนดให ขอใดไมถกตอง

ก. 1f(x)lim

1x

ข. 0f(x)lim

1x

ค. f(x)lim1x

หาคาไมได ง. 1,0f(x)lim1x

5. 3x

65xxlim

2

3x


ก. 1 ข. 3

ค. -1 ง. -3

3. ก าหนดให f(x) =

1-1

0 x เมอ0 x เมอ

แลว f(x) มลมตท 0 หรอไม

ก. ม เพราะ 1f(x)lim0x

ข. มเพราะ 1f(x)lim0x

ค. ไมม เพราะ f(x)limf(x)lim0x0x

ง. ไมม เพราะ 1f(x)lim0x

4. 4x

16xlim

2

4x

มคาตรงกบขอใด

29

ก. 5 ข. 6

ค. 7 ง. 8

8. 1x

1xlim

3

1x


ก. 3 ข. 2

ค. 1 ง. 0

6. 1x

1xlim

1x

เทากบเทาใด

ก. 0 ข. 0.25

ค. 0.50 ง. 0.65

7. 12xx

6xxlim

2

2

3x


ก. 7

5 ข. 7

6

ค. 7

8 ง. 7

9

9. 2x

4xlim

4x


ก. 0 ข. 4

ค. -4 ง. 6

11. ถา f(x) =

3

1 x

;

;

3x

3x

แลว f(x)lim3x


ก. 7 ข. 9


12. 32xlim2x


ก. -1 ข. 1

ค. -3 ง. หาคาไมได

30

10. ถา f(x) =

12x

3x

2 ;

;

2x

2x

แลว f(x)lim2x


ก. 6 ข. 9


15. ขอใดตอไปนไมถกตอง

ก.

5x

25xlim

2

5x= 10 ข.

x9

x3lim

9x =

6

1

ค.

2xx

1xlim

21x= 1 ง.

54xx

3x2xlim

2

2

1x=

6

5

13. 1xxlim 4

5x


ก. 500 ข. 5

ค. 2,500 ง. 75

14. x1

9xlim

2

3x


ก. ข. 0

ค. 6 ง. -6

ภาคผนวก

ค าชแจง จงหาลมตของฟงกชนโดยพจารณาลมตขางเดยวโดยใชตารางแสดงความสมพนธ 1. จงพจารณาฟงกชน f(x) = x + 5 ขณะท x เขาใกล 2 โดยเตมคาของ f(x) ลงในตารางตอไปน

x < 2 x > 2

x f(x) x f(x)

1.5

1.9

1.99

1.999

6.5

6.9

6.99

6.999

2.5

2.1

2.01

2.001

7.5

7.1

7.01

7.001

2. จงพจารณาฟงกชน f(x) = 2x – 1 ขณะท x เขาใกล 3 โดยเตมคาของ f(x) ลงในตารางตอไปน

x <3 x >3

x f(x) x f(x)

2.5

2.9

4

4.8

3.5

3.1

6

5.2

= …………7…………………

= …………7…………………

=

…………7…………………

= ……………5………………

= ……………5………………

=

……………5………………

เฉลยแบบฝกทกษะชดท 1 เรอง การหาลมตขางเดยวของฟงกชน

32

2.99

2.999

4.98

4.998

3.01

3.001

5.02

5.002

1.

2.

3.

4.

= ……………0………………..

= ………หาคาไมได…………

= ………0………………………………

= ………1…………………….………..

= ……………0………………

= …………หาคาไมได……

เฉลยแบบฝกทกษะท 2 เรอง การหาลมตของฟงกชนจากกราฟ

33

1. จงหาคาของ f(x)lim1x

เมอ f(x) =

1-4x

12x



f(x)lim1x

= 14xlim1x

= 3

f(x)lim1x

= 12xlim1x

=3


= f(x)lim1x


= 3


เมอ f(x) =

13x

x-2



f(x)lim0x

= 13xlim0x

= 1

f(x)lim0x

= x2lim0x

= 2

= …………0………………………

= …………2…………………….…

เฉลยแบบฝกทกษะชดท 3

เรอง การหาลมตสองดาน

34


f(x)lim0x


= หาคาไมได


เมอ f(x) =

32x

x2

23xx 2



f(x)lim0x

= 32xlim0x

= - 3

f(x)lim0x

=x2

23xxlim

2

0x

= 1


f(x)lim0x


= หาคาไมได


เมอ f(x) = 1x

1x2

วธท า จะเหนวาฟงกชน f มคาสมบรณของ x ดงนน ฟงกชน f จะถกแบงออกเปน 2 กรณ ดงน

f(x) =

x

1)(x

x

1x

1 xเมอ

1 xเมอ

จะเหนวาฟงกชน f แบงเปน 2 กรณ ทงในกรณ 1x และกรณ 1x

f(x)lim1x

= x

1)(xlim

1x

= 0

f(x)lim1x

=x

1xlim

1x

= 0


= f(x)lim1x


= 0


เมอ f(x) = 23xx

2x2

วธท า จะเหนวาฟงกชน f มคาสมบรณของ x ดงนน ฟงกชน f จะถกแบงออกเปน 2 กรณ

ดงน

35

f(x) =

23xx

2)(x

23xx

2x

2

2

2 xเมอ

2 xเมอ

f(x)lim2x

= 23xx

2)(xlim

22x

= 1)2)(x(x

2)(xlim

2x

= -1

1. จงหาคาของ 34xx

30xxlim

2

3

3x

วธท า 34xx

30xxlim

2

3

3x

=

3)1)(x(x

3)10)(x3x(xlim

2

3x

= 1)(x

10)3x(xlim

2

3x

= 13

103(3)32

= 2

28 = 14


16x11x6xlim

2

23

3

1x

วธท า 311x6x

16x11x6xlim

2

23

3

1x

= 3)1)(2x(3x

1)3x1)(2x(3xlim

2

3

1x

= 3)(2x

1)3x(2xlim

2

3

1x


เรอง การหาลมตของฟงกชนทอยในรปไมก าหนด 36

= 3

3

12

13

13

3

12

2

= 21

2


276xlim

23

24

3x

x

x

วธท า 3x3x

276xlim

23

24

3x

x

x = 1)3)(x(x

3)3)(x(x3xlim

2

2

3x

= 1)(x

3)(x3xlim

2

2

3x

= 13)(

3)3)(33(2

2

= 10

72 = 5

36

4. จงหาคาของ 35x

2xlim

22x

วธท า 35x

2xlim

22x

=

35x

35x

35x

2xlim

2

2

22x

= 4x

3)5x2)((xlim

2

2

2x

= 2)2)(x(x

3)5x2)((xlim

2

2x

=

22

33

= 2

3

5. จงหาคาของ x3

x12lim

3x

วธท า x3

x12lim

3x

=

x12

x12

x3

x12lim

3x

= )x1x)(2(3

x)(14lim

3x

= )x1x)(2(3

x)(3lim

3x

=

22

1

=

4

1

37

1.

xlim2x

ตอบ 2

2.

2

1xxlim

ตอบ 1

3.

xlim4x

ตอบ 2

4.

3xlim2x

ตอบ 5

5. 2xxlim 2

3x

ตอบ 15

6.

105xxlim 2

1x

ตอบ 16

7. 3)1)(x(xlim2x

ตอบ15

8. 2x

4xlim

1x

ตอบ 3


เรอง การลมตของฟงกชนโดยการใชสตร

38

9. 32xxlim 2

2x

ตอบ 3

10. 2x

1xlim

2x

ตอบ

2

1

11.

2

3x1)(xlim

ตอบ16

12. 1-3xxlim 3

5x

ตอบ 109

13. 2x

8xlim

3

2x

ตอบ 4

14. 5x

25xlim

2

5x

ตอบ 0

15. 94x13x4x

3-2x-5x2xlim

23

23

3x

ตอบ 0

ขอ ตอบ ขอ ตอบ ขอ ตอบ

1 ง 6 ค 11 ง

2 ค 7 ก 12 ก

3 ค 8 ก 13 ค

4 ง 9 ข 14 ข

5 ก 10 ง 15 ค

เฉลยแบบทดสอบวดผลสมฤทธกอนเรยน เรอง ลมตของฟงกชน

เฉลยแบบทดสอบวดผลสมฤทธหลงเรยน เรอง ลมตของฟงกชน

39

ขอ ตอบ ขอ ตอบ ขอ ตอบ

1 ค 6 ก 11 ก

2 ง 7 ค 12 ง

3 ก 8 ก 13 ค

4 ค 9 ข 14 ค

5 ง 10 ง 15 ข

กนกวลอษณกรกลและรณชยมาเจรญทรพย. (2548). แบบฝกหดและประเมนผลการเรยนรคณตศาสตร

เพมเตมม.6 เลม 2. กรงเทพฯ : เดอะบคส.

กมลเอกไทยเจรญ. แคลคลส 1.(2537).กรงเทพฯ : ไฮเอดพบลชชง.

กวยาเนาวประทป. (2555). เทคนคการเรยนคณตศาสตร :แคลคลสเบองตน. กรงเทพฯ : ฟสกสเซนเตอร.

จกรนทรวรรณโพธกลาง.(2555). คมอสาระการเรยนรคณตศาสตรเพมเตมม.4 – 6 เลม 6.กรงเทพฯ :

พ.ศ. พฒนา.

จ ารสอนสม. (2547). คมอคณตศาสตรเพมเตมเลม 2 ชนมธยมศกษาปท 6 ภาคเรยนท 2. กรงเทพฯ :

แมค.

จระเจรญสขวมลและวนจวงศรตนะ.(ม.ป.ป.).สรปสตรหลก&สตรคณตศาสตรม.6เลม 5 – 6.

บรรณานกรม

40

กรงเทพฯ : ไฮเอดพบลชชงจ ากด.

ธนวฒน (สนต) สนทราพรพล. (2547). คณตศาสตรชวงชนท 4 (ม.4 , 5 , 6) เลม 6 ส าหรบชนมธยม

ศกษาปท 6. กรงเทพฯ: ไฮเอดพบลชชง,

ธระศกด อรจนานนท. (2546). แคลคลส 1 ส าหรบวศวกร = CalculusI for engineers.กรงเทพฯ :

สกายบค.

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลยกระทรวงศกษาธการ. (2548). คมอครสาระการเรยนร

เพมเตมคณตศาสตรเลม 2 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตรชนมธยมศกษาปท 6. กรงเทพฯ :

โรงพมพครสภาลาดพราว.

สมยเหลาวานชยและพวพรรณเหลาวานชย. (2558). คณตศาสตรมธยมศกษาปท 4 – 6 เลม 6 (รายวชา

พนฐานและเพมเตม). กรงเทพฯ : ไฮเอดพบพบลชชง.

สกญญาสนทวงศณอยธยา. (2555). แคลคลส 1 ฉบบเสรมประสบการณ. กรงเทพฯ : วทยพฒน.

6 33202 · 2 2 x 3 o เท่ากับข้อใด ก. 7 5 ข. 7 6 ค. 7 8 ง. 7 9 8. x...

Documents